Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu

Transkripsi

1 Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu Angga Budi Permana Dosen Pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si, M.T. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Ujian Tugas Akhir - Ruang Sidang, 18 Juli 2012

2 Latar Belakang Latar Belakang Latar Belakang 1 Graf dinotasikan G(V, E) dengan V himpunan simpul dan E himpunan sisi yang menghubungkan tiap simpul. 2 Dimensi Metrik diperkenalkan oleh Harray dan Melter Penelitian sebelumnya dilakukan oleh Johanes pada tahun 2009 tentang dimensi metrik dari pengembangan graf kincir dengan pola K 1 + mk n. 4 Pada Tugas Akhir ini akan dilakukan analisa dimensi metrik pada subkelas pohon tertentu.

3 Rumusan Masalah Rumusan Rumusan Bagaimana bentuk umum dimensi metrik graf subkelas pohon.

4 Batasan Masalah Batasan Masalah Batasan Masalah 1 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf ulat teratur C m,n dengan m 1 dan n 2. 2 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf kembang api teratur F m,n dengan m = 1, n 2 dan m, n 2 3 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf pohon pisang teratur B m,n dengan m = 1, n 3 dan m 2, n 3

5 Tujuan dan Manfaat Tujuan Tujuan Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah mencari dimensi metrik graf pada Subkelas pohon. Manfaat Manfaat dari penelitian ini adalah diharapkan dapat memberikan kontribusi penelitian dalam bidang teori graf, khususnya dimensi metrik pada Subkelas pohon.

6 Tinjauan Pustaka Graf Bintang Graf bintang adalah graf dengan satu simpul pusat c yang terhubung dengan n simpul anting. Derajat dari simpul c adalah n, sedangkan derajat simpul anting adalah 1. Graf bintang dinotasikan dengan K 1,n [9].

7 Graf Ulat (Caterpillar Graph) Definisi Graf ulat didapatkan dengan menghubungkan simpul pusat c dari graf bintang secara berurutan. Lintasan yang menghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintang tersebut disebut simpul backbone dari graf ulat. Jika banyaknya simpul anting sama maka graf tersebut merupakan graf ulat teratur. Dinotasikan dengan C m,n dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting [9].

8 Graf Kembang Api (Firecracker Graph) Definisi Graf kembang api dapat diperoleh dengan menambahkan sebuah sisi dan sebuah simpul pada setiap simpul backbone yang akan menghubungkan antara simpul backbone dengan simpul daun dari sebuah graf ulat. Dinotasikan dengan F m,n dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah anting. [9].

9 Graf Pohon Pisang (Banana Tree) Definisi Graf pohon pisang B m,n adalah sebuah graf yang diperoleh dengan menghubungkan satu simpul daun dai setiap m buah salinan graf bintang K 1,n ke sebuah simpul baru yang disebut simpul akar r [8].

10 Jarak (Distance) Definisi Jarak (distance) antara simpul u dan v pada graf G, dinotasikan dengan d(u, v) adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada graf G. Jika tidak ada lintasan antara u dan v maka d(u, v) = [2].

11 Dimensi Metrik Definisi Dimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda (resolving set) pada G. Untuk simpul u dan v dalam graf terhubung G, jarak d(u, v) adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W = (w 1, w 2,..., w k ) dari simpul-simpul dalam graf terhubung G dan simpul r pada G, adalah vektor-k (pasangan k-tuple), r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w 2 ),..., d(v, w k )) menunjukkan representasi dari v pada W. Himpunan W dinamakan himpunan pembeda (resolving set) G jika simpul-simpul G mempunyai representasi berbeda.

12 Dimensi Metrik(Cont.) Definisi Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum, dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G dan dinotasikan dengan dim(g). Himpunan pembeda pada suatu graf tidaklah tunggal. Suatu graf dapat memiliki beberapa himpunan pembeda yang ukuran dan anggota himpunannya berbeda. Setiap graf terhubung sederhana pasti memiliki suatu himpunan pembeda.

13 Dimensi Metrik Metrik

14 Dimensi Metrik Observasi

15 Dimensi Metrik Observasi Dugaan Awal

16 Dimensi Metrik Observasi Dugaan Awal Konstruksi

17 Dimensi Metrik Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas Bawah

18 Dimensi Metrik Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas BawahEvaluasi

19 Konstruksi Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur C m,n dengan m 1 dan n 2 Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur C m,n dengan menggunakan Lemma 4.2, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut: Lemma 4.2 Untuk setiap graf ulat teratur C m,n dengan m 1 dan n 2, sedikitnya (n 1) simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

20 Graf Ulat Teratur C m,n

21 Simpul anggota himpunan pembeda C m,n

22 Representasi terhadap W r(a 1n W ) = (2, 2, 2,..., 3, 3, 3,..., 4, 4, 4,...,...,...,...), r(a 2n W ) = (3, 3, 3,..., 2, 2, 2,..., 3, 3, 3,...,...,...,...), r(a 3n W ) = (4, 4, 4,..., 3, 3, 3,..., 2, 2, 2,...,...,...,...),. r(a mn W ) = (...,...,...,...,...,...,..., 3, 3, 3,..., 2, 2, 2), r(c 1 W ) = (1, 1, 1,..., 2, 2, 2,..., 3, 3, 3,...,...,...,...), r(c 2 W ) = (2, 2, 2,..., 1, 1, 1,..., 2, 2, 2,...,...,...,...), r(c 3 W ) = (3, 3, 3,..., 2, 2, 2,..., 1, 1, 1,...,...,...,...),. r(c m W ) = (...,...,...,...,...,...,...,...,...,..., 1, 1, 1).

23 Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur C m,n Teorema 4.1 Jika C m,n graf ulat teratur dengan m 1 dan n 2 maka dim(c m,n ) = m(n 1).

24 Bukti Misalkan graf ulat teratur C m,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan c 1, c 2, c 3,..., c m dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a 11, a 12,..., a 1n, a 21, a 22,..., a 2n,..., a mn, dengan menggunakan Lemma 4.2 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a 11, a 12,..., a 1n 1, a 21, a 22,..., a 2n 1,..., a mn 1 } yang pasti memiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.2 dijelaskan bahwa sedikitnya (n 1) simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul anting sebanyak (n 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambil sebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknya anggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n 1), dengan demikian batas bawah adalah m(n 1), selanjunya

25 Bukti(Cont..) pada konstruksi Subbab 4.1 dengan m(n 1) sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbeda sehingga batas atas adalah m(n 1), oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf ulat teratur adalah dim(c m,n ) = m(n 1).

26 Konstruksi Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur F m,n dengan m = 1 dan n 2 Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur F 1,n dengan menggunakan Lemma 4.3. Lemma 4.3 Untuk setiap graf kembang api teratur F m,n dengan m = 1 dan n 2 sedikitnya terdapat simpul anting n simpul merupakan himpunan pembeda.

27 Graf Kembang Api Teratur F m,n

28 Simpul anggota himpunan pembeda F m,n

29 Representasi terhadap W r(c 1 W ) = (1, 1, 1,...), r(x 1 W ) = (2, 2, 2,...),

30 Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur F m,n dengan m = 1 dan n 2 Teorema 4.2 Jika F m,n graf kembang api teratur dengan m = 1 dan n 2 maka dim(f m,n ) = n.

31 Bukti Misalkan graf kembang api teratur F m,n dengan simpul backbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan x 1 dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a 11, a 12,..., a 1n dengan menggunakan Lemma 4.3 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a 11, a 12,..., a 1n } yang pasti memiliki representasi berbeda terhadap W, pada Lemma 4.3 dijelaskan bahwa sedikitnya n simpul anting merupakan anggota himpunan pembeda, dengan demikian batas bawah adalah n, selanjunya pada konstruksi Subbab 4.2 dengan n sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbeda sehingga diperoleh batas atas adalah n, oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf ulat teratur adalah dim(f 1,n ) = n dengan m = 1 dan n 2.

32 Konstruksi Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur F m,n Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur F m,n dengan menggunakan Lemma 4.4. Lemma 4.4 Untuk setiap graf kembang api teratur F m,n untuk m 2 dan n 2 sedikitnya terdapat simpul anting (n 1) simpul backbone ke-m merupakan himpunan pembeda.

33 Graf Kembang Api Teratur F m,n

34 Simpul anggota himpunan pembeda F m,n

35 Representasi terhadap W r(a 1n W ) = (2, 2, 2, 2,..., 5, 5, 5, 5,..., 6, 6, 6, 6,...), r(a 2n W ) = (5, 5, 5, 5,..., 2, 2, 2, 2,..., 5, 5, 5, 5,...),. r(a mn W ) = (...,..., 6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 2,...), r(c 1 W ) = (1, 1, 1, 1,..., 4, 4, 4, 4,..., 5, 5, 5, 5,...), r(c 2 W ) = (4, 4, 4, 4,..., 1, 1, 1, 1,..., 4, 4, 4, 4,...),. r(c m W ) = (..., 5, 5, 5, 5,..., 4, 4, 4, 4,..., 1, 1, 1, 1), r(x 1 W ) = (2, 2, 2, 2,..., 3, 3, 3, 3,..., 4, 4, 4, 4,...), r(x 2 W ) = (3, 3, 3, 3,..., 2, 2, 2, 2,..., 3, 3, 3, 3,...),.

36 Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur F m,n Teorema 4.3 Jika F m,n graf kembang api teratur dengan m, n 2 maka dim(f m,n ) = m(n 1).

37 Bukti Misalkan graf ulat teratur F m,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan x 1, x 2, x 3,..., x m dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a 11, a 12,..., a 1n, a 21, a 22,..., a 2n,..., a mn, dengan menggunakan Lemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a 11, a 12,..., a 1n 1, a 21, a 22,..., a 2n 1,..., a mn 1 } yang pasti memiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.4 dijelaskan bahwa sedikitnya (n 1) simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul anting sebanyak (n 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambil sebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknya anggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n 1),

38 Bukti (Cont..) dengan demikian batas bawah adalah m(n 1), selanjunya pada konstruksi Subbab 4.3 dengan m(n 1) sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbeda sehingga batas atas adalah m(n 1), oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf kembang api teratur adalah dim(f m,n ) = m(n 1).

39 Konstruksi Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur B m,n dengan m = 1 dan n 3 Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur B m,n m = 1 dan n 3 dengan menggunakan Lemma 4.5. Lemma 4.5 Untuk setiap graf pohon pisang teratur B m,n dengan m = 1 dan n 3 sedikitnya terdapat (n 1) simpul anting merupakan himpunan pembeda.

40 Graf Pohon Pisang Teratur B m,n

41 Simpul anggota himpunan pembeda B m,n

42 Representasi terhadap W r(c 1 W ) = (1, 1, 1, 1,..., 1), r(x 1 W ) = (2, 2, 2, 2,..., 2), r(r W ) = (3, 3, 3, 3,..., 3),

43 Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur B m,n m = 1 dan n 3 Teorema 4.4 Jika B 1,n graf pohon pisang teratur dengan m = 1 dan n 3 maka dim(b m,n ) = (n 1)

44 Bukti Misalkan graf pohon pisang teratur teratur B 1,n dengan simpul backbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan simpul backbone x 1 dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan {a 11, a 12,..., a 1n 1, x 1 } dengan menggunakan Lemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a 11, a 12,..., a 1n 1 } yang pasti memiliki representasi berbeda terhadap W, pada Lemma 4.5 dijelaskan bahwa sedikitnya (n 1) simpul anting merupakan anggota himpunan pembeda, dengan demikian batas bawah adalah (n 1), selanjunya pada konstruksi Subbab 4.4 dengan (n 1) sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki representasi yang berbeda sehingga diperoleh batas atas adalah (n 1), oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf pohon pisang teratur adalah dim(b 1,n ) = (n 1) dengan m = 1 dan n 3.

45 Konstruksi Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur B m,n Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur B m,n dengan menggunakan Lemma 4.6. Lemma 4.6 Untuk setiap graf pohon pisang teratur B m,n dengan m 2 dan n 3 sedikitnya terdapat (n 2) simpul anting merupakan himpunan pembeda.

46 Graf Pohon Pisang Teratur B m,n

47 Simpul anggota himpunan pembeda B m,n

48 Representasi terhadap W r(a 1n 1 W ) = (2, 2, 2,..., 6, 6, 6,..., 6, 6, 6,..., 6, 6, 6), r(a 2n 1 W ) = (6, 6, 6,..., 2, 2, 2,..., 6, 6, 6,..., 6, 6, 6),. r(a mn 1 W ) = (6, 6, 6,..., 6, 6, 6,..., 6, 6, 6,..., 2, 2, 2), r(c 1 W ) = (1, 1, 1,..., 5, 5, 5,..., 5, 5, 5,..., 5, 5, 5), r(c 2 W ) = (5, 5, 5,..., 2, 2, 2,..., 5, 5, 5,..., 5, 5, 5),. r(c m W ) = (5, 5, 5,..., 5, 5, 5,..., 5, 5, 5,..., 2, 2, 2), r(x 1 W ) = (2, 2, 2,..., 4, 4, 4,..., 4, 4, 4,..., 4, 4, 4), r(x 2 W ) = (4, 4, 4,..., 2, 2, 2,..., 4, 4, 4,..., 4, 4, 4),.

49 Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur B m,n Teorema 4.5 Jika B m,n graf pohon pisang teratur dengan m 2 dan n 3 maka dim(b m,n ) = m(n 2)

50 Bukti Bukti Misalkan graf pohon pisang teratur B m,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan x 1, x 2, x 3,..., x m, dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a 11, a 12,..., a 1n 1, x 1, a 21, a 22,..., a 2n 1, x 2,..., a mn 1, x m. Pada Lemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n 2) untuk setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya banyak anggota himpunan pembeda adalah m(n 2), dengan demikian batas bawah dari graf pohos pisang teratur B mn adalah m(n 2). Pada Subbab 4.5 telah dilakukan kontruksi untuk mencari batas atas dengan menggunakan Lemma 4.6 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a 11, a 12,..., a 1n 2, a 21, a 22,..., a 2n 2,..., a mn 2 }.

51 Bukti Bukti Misalkan graf pohon pisang teratur B m,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan x 1, x 2, x 3,..., x m, dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a 11, a 12,..., a 1n 1, x 1, a 21, a 22,..., a 2n 1, x 2,..., a mn 1, x m. Pada Lemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n 2) untuk setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya banyak anggota himpunan pembeda adalah m(n 2), dengan demikian batas bawah dari graf pohon pisang teratur B m,n adalah m(n 2).

52 Bukti (Cont..) Bukti (Cont..) Pada Subbab telah dilakukan kontruksi untuk mencari batas atas dengan menggunakan Lemma 4.6 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a 11, a 12,..., a 1n 2, a 21, a 22,..., a 2n 2,..., a mn 2 } dimana setiap simpul yang bukan anggota himpunan pembeda memiliki representasi yang berbeda terhadap himpunan pembeda W. Dengan demikian batas atas yang diperoleh untuk graf pohon pisang B m,n adalah m(n 2), Oleh karena batas atas dan batas bawah pada graf pohon pisang B m,n adalah m(n 2) maka dimensi metrik dari graf pohon pisang teratur dim(bm, n) = m(n 2).

53 Simpulan

54 Simpulan Simpulan 1 Dimensi metrik graf ulat teratur C m,n adalah m(n 1) dengan m 1 dan n 2 2 Dimensi metrik graf kembang api teratur F m,n adalah n dengan m = 1 dan n 2 3 Dimensi metrik graf kembang api teratur F m,n adalah m(n 1) dengan m 2 dan n 2 4 Dimensi metrik graf pohon pisang teratur B m,n adalah (n 1) dengan m 1 dan n 3 5 Dimensi metrik graf pohon pisang teratur B m,n adalah m(n 2) dengan m 2 dan n 3