BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi Parametrik Regresi parametrik merupaka metode statistika yag diguaka utuk megetahui pola hubuga atara variabel prediktor dega variabel respo, dega asumsi bahwa telah diketahui betuk fugsi regresiya. Secara umum betuk regresi parametrik liier ditulis sebagai berikut: y i = β 0 + β j X i + ε i, i = 1,2,.., da j = 1,2,, k (2.1) atau dalam betuk matriks dapat ditulis dega: Y = Xβ + ε, ε~n(0, σ 2 ) (2.2) Meduga koefisie regresi β pada regresi sederhaa dapat megguaka metode kuadrat terkecil. Metode ii dilakuka dega memiimumka ε T ε terhadap β. ε T ε = (Y Xβ) T (Y Xβ), kemudia ε T ε dituruka terhadap β da disamaka dega ol sehigga diperoleh peduga : β = (X T X) 1 (X T Y) (2.3) (Eubak,1998) 2.2 Regresi Noparametrik Utuk pegamata yag idepede, (t i, y i ) dimaa i = 1,2,, maka model regresi secara umum dapat ditulis dega : y i = f(t i ) + ε i, i = 1,2,, (2.4) 5
6 y i adalah variabel respo ke-i, f(t i ) adalah fugsi regresi yag tidak diketahui betuk kurva regresiya da ε i adalah error radom atau galat acak yag diasumsika idepede da idetik dega rataa 0 da keragama σ 2. Meurut Eubak jika fugsi regresi f(t i ) tidak diketahui atau tidak tergatug pada asumsi betuk kurva tertetu, maka fugsi regresi dapat diduga megguaka regresi oparametrik. Pedekata oparametrik diguaka utuk meduga kurva regresi yag tidak diketahui betuk kurva regresiya da tidak igi terikat pada asumsi tertetu seperti pada regresi parametrik. Dalam regresi oparametrik data diharapka mecari sediri betuk pedugaaya, sehigga memiliki fleksibilitas yag tiggi. Kurva regresi haya diasumsika termuat dalam suatu ruag fugsi yag berdimesi tak higga da merupaka fugsi mulus (smooth). Meduga fugsi f(t i ) dilakuka berdasarka data pegamata dega megguaka tekik smoothig yag dapat diguaka atara lai peduga histogram, kerel, deret orthogoal, splie, k-nn, deret fourier, da Wavelet (Eubak, 1988). 2.3 Regresi Semiparametrik Regresi semiparametrik merupaka gabuga atara regresi parametrik da regresi oparametrik. Model regresi semiparametrik dapat ditulis sebagai berikut: y i = X T i β + f(t i ) + ε i, i = 1,2,, (2.5)
7 y i adalah variabel respo ke-i, X i adalah kompoe parametrik, f(t i ) adalah fugsi regresi yag tidak diketahui betuk kurva regresiya da ε i adalah galat acak dega ε i ~N(0, σ 2 ). 2.4 Peduga Desitas Kerel Misalka suatu sampel radom t 1, t 2,, t dari suatu populasi dega fugsi desitas g(t) tidak diketahui. Berdasarka sampel radom ii aka diduga fugsi desitasya. Metode yag palig sederhaa adalah dega membetuk histogram frekuesi relatif. Rage data dibagi atas k iterval dega batas iterval a1,a2,,ak, sehigga a1 a2 ak. Peduga desitas utuk suatu ilai t yag berada dalam iterval a i < t a i+1, diotasika g h(t), diyataka dega formula berikut: g h(t) = bayak data pada iterval a i sampai dega a i+1 b dega lebar iterval atara ai sampai dega ai+1 disebut bi width yag diotasika dega (Wad da Joes, 1995). b Histogram yag kurag halus dapat diatasi dega prosedur oparametrik, salah satuya megguaka peduga (estimator) kerel. Peduga desitas kerel merupaka pegembaga dari peduga histogram. Peduga kerel diperkealka oleh Roseblatt da Parze sehigga disebut peduga desitas kerel Roseblatt- Parze. Roseblatt memberi bobot pada setiap pegamata, dega memilih fugsi K, sehigga pegamata yag lebih dekat ke t aka memberi sumbaga
8 yag lebih besar terhadap g h(t). Fugsi K ii merupaka fugsi pembobot yag diamaka fugsi kerel (Hardle, 1994). Secara umum kerel dega badwidth h (Wad da Joes, 1995) didefiisika sebagai: K K h (t) = 1 h K (t ), utuk < t < da h > 0 (2.6) h serta memeuhi: (i) K(t) 0, utuk semua t (ii) K(t)dt = 1 (iii) t 2 K(t)dt = σ 2 > 0 (iv) tk(t)dt = 0 maka peduga desitas kerel utuk fugsi desitas g(t) adalah g h(t) = 1 K h(t t i ) = 1 h K (t t i h ) (2.7) Pada persamaa (2.7) terlihat bahwa g h(t) tergatug pada fugsi kerel K da parameter. Betuk bobot kerel ditetuka oleh fugsi kerel, h K sedagka ukura bobotya ditetuka oleh parameter pemulus badwidth. Pera badwidth seperti lebar iterval pada histogram. Beberapa jeis fugsi kerel (Hardle, 1990) atara lai: h yag disebut a. Kerel Uiform :K(t) = 1 I( t 1) 2 b. Kerel Triagle : K(t) = (1 t )I( t 1) c. Kerel Epaechikov : K(t) = 3 4 (1 t2 )I( t 1) d. Kerel Quartic : K(t) = 15 16 (1 t2 ) 2 I( t 1)
9 e. Kerel Triweight : K(t) = 35 32 (1 t2 ) 3 I( t 1) f. Kerel Gaussia : K(t) = 1 2μ exp (1 2 ( t2 )), < t g. Kerel Cosius : K(t) = π cos 4 (π t) I( t 1) 2 Dega I adalah fugsi idikator. Berikut disajika betuk kurva dari masig-masig fugsi kerel pada selag [-1,1] (Wikipedia) pada gambar 2.1: Gambar 2.1(a) Kerel Uiform Gambar 2.1(b) Kerel Triagle Gambar 2.1(c) Kerel Epaechikov
10 Gambar 2.1(d) Kerel Quartic Gambar 2.1(e) Kerel Triweight Gambar 2.1(f) Kerel Gaussia Gambar 2.1(g) Kerel Cosius 2.5 Regresi Noparametrik Kerel Regresi kerel adalah tekik statistika oparametrik utuk meduga fugsi regresi f(t i ) pada model regresi oparametrik y i = f(t i ) + ε i, dega i = 1,2,,. Secara teoritis fugsi regresi (Carmoa, 2003) didefiisika sebagai:
11 f(t) = E(Y T = t) = y g(y t)dy = y g(t, y)dy g(t) (2.8) Fugsi desitas bersama g(t, y) tidak diketahui da dapat diduga dega kerel multiplikatif, yaitu: g h1,h 2 (t, y) = 1 K ( t t 1 ) K ( y y i ) h 1 h 2 h 1 h 2 = 1 K h 1 ( t t 1 ) K h2 ( y y i ) (2.9) h 2 sehigga diperoleh peduga fugsi regresi, yaitu: h 1 f (t) = yg h 1 h 2 (t, y)dy g h(t) (2.10) aka dihitug pembilag pada persamaa (2.10) y g h1 h 2 (t, y)dy = 1 y K h 1 (t t i )K h2 (y y i )dy = 1 K h 1 (t t i ) y K h2 (y y i )dy = 1 K h 1 (t t i ) y K( y y i )dy h 2 dega memisalka y = y i + zh 2 dy dz = h 2 dy = h 2 dz, sehigga: = 1 K h 1 (t t i ) y i + zh 2 h 2 h 2 K ( zh 2 h 2 ) h 2 dz = 1 K h 1 (t t i ) (y i + zh 2 )K(z)h 2 dz =
12 = 1 K h i (t t i ) (y i K(z) dz + h 2 zk(z)dz) karea K(z)dz = 1 da z K(z)dz = 0, maka diperoleh: y g h1 h 2 (t, y)dy = 1 K h 1 (t t i )y i (2.11) dega meggati pembilag da peyebut pada (2.10) dega (2.11) da (2.7) maka diperoleh: 1 f (t) = K h(t t i )y i 1 K h(t t i ) f (t) = K h(t t i )y i K h (t t i ) f (t) = w hi (t) y i (2.12) (2.13) (2.14) Dega w hi (t) = K h(t t i ) = K h (t t i ) 1 h 1 h K (t t i h ) K ( t t i h ) = K ( t t i h ) K ( t t i h ) (2.15) Peduga (2.12) diusulka oleh Nadaraya da Watso, sehigga peduga ii serig disebut peduga Nadaraya-Watso (Hardle, 1994). Pada regresi kerel, ukura pedugaya ditetuka oleh badwidth. Smoothig pada regresi kerel pedugaya salig melegkapi (Rya,1996).
13 2.6 Pemiliha Badwidth Optimal Permasalaha utama pada kerel smoothig buka terletak pada pemiliha fugsi kerel tetapi pada pemiliha badwidth (Hastie da Tibshirai, 1990). Badwidth (h) adalah parameter pemulus (smoothig) yag berfugsi utuk megotrol kemulusa dari kurva yag diduga. Badwidth yag terlalu kecil aka meghasilka kurva yag udersmoothig yaitu sagat kasar da sagat fluktuatif (Gambar 2.2), da sebalikya badwidth yag terlalu lebar aka meghasilka kurva yag oversmoothig yaitu sagat mulus (Gambar 2.3), tetapi tidak sesuai dega pola data (Hardle, 1994). Oleh karea itu perlu dipilih badwidth yag optimal utuk meghasilka kurva yag optimal (Gambar 2.4) Plot Estimasi Kerel Triagle Percepata (g) -100-50 0 50 10 20 30 40 50 Waktu (milidetik) Gambar 2.2. Kurva regresi dega megguaka badwidth (h) yag terlalu kecil. (Sumber: Lestari (2010))
14 Plot Estimasi Kerel Triagle Percepata (g) -100-50 0 50 10 20 30 40 50 Waktu (milidetik) Gambar 2.3. Kurva regresi dega megguaka badwidth (h) yag terlalu besar. (Sumber : Lestari (2010)) Plot Estimasi Kerel Triagle Percepata (g) -100-50 0 50 10 20 30 40 50 Waktu (milidetik) Gambar 2.4. Kurva regresi dega megguaka badwidth (h) optimal (Sumber : Lestari (2010))
15 Suatu kriteria utuk h aka dibatasi pada kelas peduga liear, yag maa utuk setiap h ada matriks H(h) berukura, H(h) simetri da semidefiit positif, sehigga f h = H(h)Y dega eleme-eleme H(h) adalah:. w ij = K(t t i h ) K ( t t i h ) (2.15) Salah satu metode utuk medapatka h optimal adalah dega megguaka kriteria Geeralized Cross Validatio (GCV) (Eubak, 1988), yag didefiisika sebagai berikut: GCV(h) = MSE ( 1 tr(i H(h))) 2 (2.16) dega MSE: MSE = 1 (y i f h (t i )) 2 2.7 Pertumbuha Balita Pertumbuha balita dapat dilihat dari perkembaga berat bada balita tersebut. Pertumbuha balita bisa dipatau dega melihat grafik berat bada yag terdapat di kartu meuju sehat (KMS). Stadar acua pertumbuha balita adalah Berat Bada meurut Umur (BB/U), Berat Bada meurut Tiggi Bada (BB/TB), da Tiggi Bada meurut Umur (TB/U). Parameter Yag umum diguaka di Idoesia adalah Berat Bada meurut Umur (BB/U) sesuai dega stadar tabel WHO-NCHS (Natioal Ceter of Health Statistics) da parameter ii dipakai meyeluruh di Posyadu.
16 Klasifikasiya adalah ormal, uderweight (kurus) da overweight (gemuk) (Masruri,2009) dalam Setyaigsih (2010).