Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Transkripsi

1 Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 1

2 Tekik Fugsi Distribusi Defiisi: Misalka F () fugsi distribusi dari peubah acak X yag bergatug pada bilaga bulat positif. Apabila F() merupaka fugsi distribusi dari X sedemikia sehigga Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI Lim utuk setiap X dimaa F() kotiu, maka dikataka peubah acak X memiliki distribusi pedekata (limitig distributio) dega fugsi distribusi pedekataya adalah F(). F F 2

3 Tekik Fugsi Pembagkit Mome Teorema Misalka peubah acak X mempuyai fugsi distribusi F () da fugsi pembagkit momeya M (t) = M(t;) ada, utuk setiap da. Jika ada fugsi distribusi F() da fugsi pembagkit momeya M(t), sedemikia sehigga maka X dikataka mempuyai distribusi pedekata dega fugsi distribusi F() Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI lim M t; M t h t, h 0 3

4 Dalam hal ii variabel acak X tersebut haya dikataka mempuyai distribusi pedekata atau tidak mempuyai distribusi pedekata. Apabila X mempuyai distribusi pedekata maka betuk distribusi pedekata tersebut tidak diketahui. Ed Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 4

5 Cotoh 3 Misalka X adalah peubah acak berdistribusi chikuadrat dega derajat kebebasa =. Jika peubah acak Y X Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 2, maka tetuka distribusi pedekata dari Y dega megguaka FPM. Utuk meyelesaika cotoh soal di atas pertama-tama terlebih dahulu meetuka fkp dari X, da meetuka FPM dari X. Selajutya meetuka FPM dari Y da apakah ilai lim M t; M t, 5

6 Apabila teryata lim mempuyai distribusi pedekata. M t; M t maka Y Apabila sebuah peubah acak mempuyai distribusi pedekata maka kita dapat megguaka distribusi pedekata itu sebagai distribusi yag sebearya. Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 6

7 Tekik Dalil Limit Pusat Pada tekik ii, peubah acak yag merupaka jumlah da rata-rata tersebut dega megguaka trasformasi tertetu (agka baku) aka berdistribusi ormal baku. Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 7

8 Pada perkuliaha sebelumya telah membahas bahwa, jika X 1, X 2, X 3,..., X meujukka sampel acak dari distribusi ormal yag mempuyai rerata μ da varias σ 2, maka peubah acak Z berdistribusi N(0, 1) utuk setiap aggota bilaga asli. Sekarag aka membahas suatu teorema yag sagat petig, yag salah satu hasilya megataka bahwa, jika X 1, X 2, X 3,..., X adalah suatu sampel acak berukura dari sebarag distribusi yag Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI i 1 X i Z X 8

9 mempuyai mea μ da varias 0 < σ 2 <, maka Z X d Z : N 0,1 Teorema Limit Pusat Misalka X 1, X 2, X 3,..., X adalah suatu sampel acak berukura dari suatu distribusi yag mempuyai mea μ da varias 0 < σ 2 <, maka Z i 1 X i X d Z : N 0,1 Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 9

10 Cotoh 4 Diketahui peubah acak X berdistribusi b(1, p). Jika X 1, X 2, X 3,..., X merupaka sampel acak da Y X i i 1 1. Tujukka bahwa Y berdistribusi B(, p) 2. Jika = 100 da p = 0,5. Hitug secara pedekata P 47,5 Y 52,5 Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 10

11 Kekovergea Stokastik Misalka F () merupaka fugsi distribusi dari peubah acak X yag distribusiya bergatug pada bilaga bulat positif. Apabila c meujukka sebuah kostata yag tidak bergatug pada, maka peubah acak X dikataka koverge stokastik ke-c jika da haya jika utuk setiap ε > 0 berlaku: lim P X c 1 Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 11

12 Peetua koverge stokastik sebuah statistik terhadap parameterya atau kostata dapat diyataka sebagai koverge dalam peluag. Misalka X 1, X 2, X 3,..., X adalah barisa dari peubah acak yag didefiisika atas ruag sampel yag sama S. Misalka pula X adalah peubah acak lai yag didefiisika atas ruag sampel S. Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 12

13 Defiisi X dikataka koverge dalam peluag ke-x P diotasika dega X X jika utuk setiap ε > 0 berlaku lim P X X 0 Peyelesaia masalah koverge dalam peluag dapat dilakuka dega megguaka ketidaksamaa Chebysev s, yaitu lim P X k k 1 2 Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 13

14 Lagkah-lagkah utuk peetua koverge stokastik: 1. Guaka ketidaksamaa Chebyshev s 2. Tetuka rerata da variasi dari statistikya 3. Substitusi ilai rerata da variasi tersebut ke dalam ketidaksamaa Chebyshev s 4. Lakuka modifikasi terhadap ilai di dalam harga mutlakya, sedemikia higga ilai tersebut sesuai dega yag diharapka 5. Misalka dega sudah disubstitusika Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI k da diperoleh ilai k. 14

15 6. Kemudia tetuka ilai k 2 7. Beri limit utuk pada kedua ruasya. Cotoh Misalka X 1, X 2, X 3,..., X merupaka sampel acak dari distribusi ekspoesial dega fkp: f 1 ep, 0 0, laiya Perlihatka bahwa X koverge stokastik ke-λ Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI 15

16 Teorema-teorema dalam distribusi pedekata Misalka F (u) da F (v) merupaka fugsi distribusi dari peubah acak U da V yag distribusiya bergatug pada bilaga bulat positif. Jika da P (c 0, c > 0, d 0) da P(U < 0) = 0, maka: P 1. 1 da 2. P 3. U V c d da 4. V U c U U V P P d Fitriai Agustia, Jur Ped.Math, UPI c d c V d P 1 U V P cd U P 16 c