Tri Handhika Pusat Studi Komputasi Matematika (PSKM), Kampus D 139 Universitas Gunadarma Abstrak

Transkripsi

1 PENGGUNAAN MEODE EMPIRICAL BES LINEAR UNBIASED PREDICION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL ri Hadhika Pusat Studi Komputasi Matematika (PSKM), Kampus D 139 Uiversitas Guadarma trihadika@staff.guadarma.ac.id Abstrak Makalah ii bertujua utuk mecari taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model. Parameter-parameter pada Geeral Liear Mixed Model merupaka parameter utuk melihat efek fixed da efek radom dari variabel-variabel prediktor terhadap variabel respo. Dalam hal ii, metode yag diguaka utuk mecari taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model adalah Metode Empirical Best Liear Ubiased Predictio (EBLUP). Berbeda dega Metode Best Liear Ubiased Predictio (BLUP) di maa parameter dari variasi efek radom-ya diketahui, Metode EBLUP memerluka peaksira terhadap parameter tersebut yag pada keyataaya tidak diketahui ilaiya. Metode yag diguaka utuk meaksir parameter dari variasi efek radom adalah Metode Maximum Likelihood (ML). Kata kuci: Best Liear Ubiased Predictio; Empirical Best Liear Ubiased Predictio; Geeral Liear Mixed Model. Abstract his paper aims to fid the estimated parameters i the Geeral Liear Mixed Model. Parameters i the Geeral Liear Mixed Model are the parameter to see the fixed effects ad the radom effects of the predictor variables o the respose variable. I this case, the estimatio methods used to search the parameters i the Geeral Liear Mixed Model is the Empirical Best Liear Ubiased Predictio (EBLUP) method. Ulike the Best Liear Ubiased Predictio (BLUP) method where the variace parameters of the radom effects is kow, the EBLUP method requires estimatio of the variace parameters that i fact the value is ot kow. he method used to estimate the variace parameters of the radom effects is the Maximum Likelihood (ML) method. Key word: Best Liear Ubiased Predictio; Empirical Best Liear Ubiased Predictio; Geeral Liear Mixed Model. 1. PENDAHULUAN Pola hubuga atara variabel prediktor dega variabel respo dapat diyataka dalam betuk persamaa regresi di maa variabel prediktorya dapat berupa faktor fixed atau faktor radom. Model regresi liier yag melibatka lebih dari satu variabel prediktor 1

2 dega satu variabel respo disebut model regresi liier bergada. Pada model ii diasumsika bahwa variasi error spherical. Jika asumsi tersebut tidak dapat terpeuhi maka model tersebut diamaka Geeralized Liear Regressio Model (GLRM) dega asumsi variasi error ospherical. Model GLRM yag dipegaruhi tidak haya oleh efek fixed tetapi juga oleh efek radom disebut Geeral Liear Mixed Model. Makalah ii bertujua utuk mecari taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model sehigga dapat dilihat efek-efek dari variabel prediktor tersebut terhadap variabel respo. erdapat bermacam-macam metode peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model, di ataraya adalah Best Liear Ubiased Predictio (BLUP) da EBLUP. Pada Makalah ii aka dibahas metode peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega Metode EBLUP yag merupaka perluasa dari Metode BLUP. Pada metode EBLUP, asumsi bahwa parameter dari variasi efek radom diketahui tidak diguaka seperti halya pada BLUP, melaika aka diestimasi melalui Metode Maximum Likelihood (ML) yag aka dijelaska lebih lajut. Peaksira ii dilakuka karea pada keyataaya sulit utuk megetahui parameter dari variasi efek radom tersebut.. MODEL di maa Pada bagia ii diberika Geeral Liear Mixed Model adalah sebagai berikut: y X Zb e (.1) y : vektor radom dari variabel respo yag terobservasi berukura 1 di maa ilai observasiya disebut vektor data. X : matriks full rak berukura k dari variabel prediktor yag eleme-elemeya diketahui. : vektor parameter bersifat fixed berukura k 1 terobservasi. yag tidak diketahui da tidak Z : matriks full rak berukura h dari variabel prediktor yag eleme-elemeya diketahui. b : vektor radom parameter yag tidak diketahui da tidak terobservasi berukura h 1. e : vektor radom error yag tidak terobservasi berukura 1.

3 dega asumsi E b 0, Ee 0, Var b E bb G, Var e E ee R, di maa b da e idepedetly distributed sedagka G da R adalah matriks varias kovarias yag tergatug pada vektor parameter dari variasi efek radom, yaitu 1,,, q Oleh karea b da e idepede, maka corr, E E. b e 0 sehigga cov b, e be eb 0. Berikut ii diberika betuk dari matriks G da R: Prosedur peaksira parameter dega megguaka Metode Best Liear Ubiasd Predictio (BLUP) dimulai dega memisalka ilai-ilai dari vektor radom b yag dapat diotasika dega di maa berbetuk vektor. Igi diketahui pegaruh dari efek fixed da efek radom (tetapi buka error) yag merupaka kombiasi liier dari da. Misalka y c l y adalah sembarag peaksir dari kombiasi liier di maa c suatu ilai kostata da l suatu vektor kostata sedagka berukura k 1 da berukura h 1. tersebut jika y y dapat megestimasi kombiasi liier merupaka peaksir yag ubiased da liier di maa defiisi masigmasigya adalah sebagai berikut, y disebut ubiased jika E y da disebut liier jika ay1 by a y1 b y. dapat diestimasi oleh E b, Diketahui bahwa y jika da haya jika c 0 da merupaka kombiasi liier dari baris-baris X. Selajutya, ambil sembarag yag merupaka kombiasi liier yag dapat diestimasi kemudia defiisika t b. Selai itu, defiisika pula E y Mea Squared Error (MSE) dari peaksir G R h g11 g1 g1 g1 g gh gh 1 gh ghh r11 r1 r1 r1 r r r 1 r r y. b sebagai 3

4 Dega megguaka Metode Best Liear Ubiased Predictio (BLUP) di maa ˆ y da ˆ y sedemikia sehigga diasumsika diketahui, didapat ˆ y X X X y (.) da 1 y G Z y X ˆ y ˆ (.3) di maa R ZGZ. Dega demikia, Best Liear Ubiased Predictor (BLUP) dari adalah y ˆ y ˆ y ˆ (.4) yag memiliki MSE terkecil dari semua taksira yag ubiased da liier. Detail peurua rumus dapat dilihat pada Makalah Phydelya dega judul Pegguaa Metode Best Liear Ubiased Predictio pada Geeralized Liear Mixed Model. 3. HASIL 3.1. Peaksira Parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega Asumsi b da e Berdistribusi Normal Pada Bagia sebelumya telah dijelaska megeai pegguaa Metode Best Liear Ubiased Predictio (BLUP) dalam peaksira pada Geeral Liear Mixed Model tapa asumsi distribusi. Pada dasarya Metode EBLUP adalah suatu metode peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag merupaka perluasa dari Metode ˆ yag pada BLUP dega megguaka taksira parameter dari variasi efek radom keyataaya parameter tersebut tidak diketahui ilaiya. Metode peaksira yag diguaka pada Makalah ii adalah Metode ML yag memerluka asumsi distribusi. Oleh sebab itu, diasumsika bahwa b da e berdistribusi ormal. Dikareaka taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag telah didapat sebelumya ((.)) da (.3)), yaitu ˆ da ˆ, didapat tapa asumsi distribusi maka harus dicari taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega asumsi b da e berdistribusi ormal yag diotasika dega da. 4

5 Dega asumsi b da e berdistribusi ormal, parameter pada Geeral Liear Mixed Model, yaitu da dapat ditaksir megguaka Metode ML. Metode ii memerluka y y, y,, y da fugsi likelihood yag merupaka joit pdf dari 1,,,. Joit pdf tersebut dapat diyataka sebagai berikut: 1 h y, y f g h (3.1.1) di maa g g y (3.1.) Oleh sebab itu, (3.1.1) dapat ditulis sebagai di maa y, f g h 1 1 h G -1 exp. 1 G sehigga diperoleh L, ; y f y, g h 1 1 G R -1-1 exp. 1 R G Oleh karea igi dicari taksira dari da megguaka Metode ML, agar lebih mudah dalam hal perhitugaya aka diguaka fugsi log-likelihood, yaitu: l L, ;( y c y R y y R X y R Z X R y X R X X R Z ) Z R y Z R X Z R Z G dega 1 (3.1.3) c l G R suatu kostata. Selajutya, fugsi log-likelihood tersebut dituruka terhadap masig-masig da kemudia dicari peyelesaiaya sehigga didapat 5

6 Selajutya, dega proses elimiasi didapat (3.1.4) X R X X R Z X R y Z R X Z R Z G Z R -1 y. (3.1.5) X R R Z Z R Z G Z R X X R R Z Z R Z G Z R y da Z R Z G Z R -1 y X (3.1.6). (3.1.7) Jadi, selai ˆ da ˆ yag didapat tapa asumsi distribusi, terdapat pula da yag merupaka taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega megasumsika b da e berdistribusi ormal. Selajutya, utuk peaksira megguaka Metode ML seharusya memerluka da yag didapat dega asumsi b da e berdistribusi ormal. Aka tetapi, berikutya aka dibuktika bahwa da yag didapat dega asumsi b da e berdistribusi ormal tersebut, teryata idetik dega ˆ da ˆ yag diperoleh tapa asumsi distribusi. Oleh karea itu, utuk seterusya peaksira aka megguaka ˆ da ˆ. 3.. Memeriksa bahwa aksira Parameter pada Geeral Liear Mixed Model yag didapat dega atau tapa Asumsi b da e Berdistribusi Normal adalah Idetik elah diketahui dari (.) da (.3) bahwa taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model tapa asumsi distribusi adalah ˆ da ˆ. Sedagka, taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega asumsi b da e berdistribusi ormal diberika oleh (3.1.6) da (3.1.7). Dari (3.1.6), misalka: W R R Z Z R Z G Z R -1. (3..1) Oleh karea dapat dibuktika bahwa W I, maka terbukti pula bahwa ˆ. (3..) 6

7 Selai itu, dapat dibuktika pula bahwa 1 disimpulka bahwa Z R Z G Z R GZ sehigga dapat ˆ (3..3) Berdasarka (3..) da (3..3) terbukti bahwa dega atau tapa asumsi b da e berdistribusi ormal kedua jeis taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model tersebut idetik sehigga taksira parameter yag didapat dega asumsi b da e berdistribusi ormal juga memiliki sifat liear, ubiased, da best Peaksira Parameter dari Variasi Efek Radom Pada Makalah ii, Metode ML diguaka utuk meaksir pada Geeral Liear Mixed Model. Oleh karea itu, dibutuhka fugsi likelihood yag merupaka joit pdf dari y y, y,, y sehigga fugsi likelihood-ya adalah sebagai berikut: L, ; y f y exp 1 y X y X (3.3.1) Sebagaimaa sebelumya, Metode ML megguaka fugsi log-likelihood, yaitu: 1-1 l L, ; y c l y X y X (3.3.) dega c l adalah suatu kostata. Selajutya, fugsi log-likelihood tersebut dituruka terhadap, diotasika dega, formula berikut ii: s, sehigga utuk eleme ke-j didapat dega s, tr 1 1 y X y X (3.3.3) j j j j. j Sesuai dega Metode ML, berikutya (3.3.3) dicari solusiya mejadi y X ˆ y X ˆ j j tr (3.3.4) 7

8 erlihat dari (3.3.4) tidak dapat diselesaika secara aalitik. Oleh karea itu, taksira dega Metode ML kemudia diselesaika secara umerik. Pada Makalah ii, algoritma yag diguaka adalah Scorig Algorithm di maa iterasi ke- a 1, yaitu ˆ a1, secara iteratif megguaka formula sebagai berikut: dega s 1 ˆ, ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ s a a a a a ˆ, ˆ s1 ˆ, ˆ, s ˆ, ˆ,, s ˆ, ˆ q da ˆ ˆ 1 ˆ ˆ q di maa radom l L, ; y jk E tr j k k (3.3.5) j Berdasarka pejabara di atas, didapatka taksira parameter dari variasi efek ˆ secara umerik yag selajutya aka diguaka dalam peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model sesuai dega Metode EBLUP Peaksira Parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega Metode EBLUP aksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega megguaka Metode EBLUP didapat dega mesubstitusika taksira, diotasika dega ˆ y, ke ˆ da ˆ, yaitu: ˆ ˆ y, y X ˆ X X ˆ y da 1 ˆ ˆ ˆ y, y G ˆ Z ˆ y X ˆ y, y Berdasarka (.4) taksira kombiasi liier yag baru adalah sebagai berikut: ˆ ˆ ˆ y y ˆ y y ˆ ˆ y y. (3.4.1) 8

9 Oleh karea ˆ ˆ y y tersebut didapat dega mesubstitusika ˆ y ke ˆ da ˆ, maka perlu dibuktika ketakbiasa dari taksira tersebut. Sebelumya diketahui lemma berikut ii: Lemma 3.1 Jika z adalah vektor radom berdistribusi simetris di sekitar ol sedemikia sehigga z da z idetically distributed, da f z adalah variabel radom yag merupaka fugsi gajil dari z sehigga f z f z, maka f z Sebelumya diketahui bahwa berdistribusi simetris di sekitar ol. ˆ berhigga da ˆ y E ˆ y y merupaka fugsi geap serta traslatio-ivariat dari y sehigga didapat ˆ y ˆ y X ˆ Zb e ˆ Zb e (3.4.) Oleh karea terbukti bahwa y E ˆ ˆ y t 0 maka dapat disimpulka bahwa ˆ ˆ y y tetap ubiased utuk megestimasi. 4. PENERAPAN Sebuah Waralaba makaa cepat saji igi meambahka produk makaa baru dalam daftar meuya. Oleh sebab itu, pihak marketig megusulka kepada pihak maajeme tiga piliha betuk promosi atau campaig X yag aka diujicobaka di eam lokasi Waralaba atau locatio Z yag dipilih secara acak dari sepuluh Waralaba yag ada. Namu, selama satu bula pertama pihak maajeme igi melihat terlebih dahulu seberapa besar pegaruh masig-masig betuk promosi da lokasi Waralaba dalam meigkatka pejualaya (sales). Diasumsika bahwa matriks-matriks varias kovarias dari e da b, yaitu R 0Ir da G 1I g di maa 0 da 1 merupaka parameter dari variasi e da b sedagka I r da I g merupaka matriks idetitas berukura 3030 da 6 6. Sebelum melakuka peaksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model, perlu diperiksa terlebih dahulu keormala dari variabel depede (Sales). Dega megguaka Metode EBLUP didapatka taksira dari parameter-parameter tersebut, yaitu sebagai berikut. ˆ , ˆ , , ˆ , , , , ,

10 5. KESIMPULAN Dari pembahasa Makalah ii dapat disimpulka bahwa Metode Empirical Best Liear Ubiased Predictio (EBLUP) yag merupaka perluasa dari Metode Best Liear Ubiased Predictio (BLUP) dapat diguaka utuk meaksir parameter pada Geeral Liear Mixed Model dega terlebih dahulu melakuka peaksira terhadap parameter dari variasi efek radom yag pada keyataaya tidak diketahui ilaiya. REFERENSI Ato, H. (000), Dasar-Dasar Aljabar Liier, Batam: Iteraksara. Jiag, J. (007), Liear ad Geeralized Liear Mixed Models ad heir Applicatios, New York: Spriger. Harville, D. A. (1997), Matrix Algebra from A Statisticia s Perspective, New York: Spriger. Kackar, R. N., ad Harville, D. A. (1981), Ubiasedess of wo-stage Estimatio ad Predictio Procedures for Mixed Liear Models, Commuicatios i Statistics, Series A, 10, McCulloch, C. E., ad Searle, S. R. (001), Geeralized, Liear, ad Mixed Models, New York: Joh Wiley ad Sos. Phydelya, A. (007), Pegguaa Metode Best Liear Ubiased Predictio pada Geeralized Liear Mixed Model, Depok: Departeme Matematika FMIPA UI. Searle, S.R., Casella, G., ad McCulloch, C. E. (199), Variace Compoets, New York: Wiley. 10