BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL

Transkripsi

1 BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama, metode klasik, yaitu iferesi didasarka haya pada iformasi yag didapatka dari sampel acak yag dipilih dari populasi. Kedua, metode Bayesia, yaitu dega megguaka pegetahua sebelumya tetag distribusi probabilitas dari parameter yag tidak dketahui terkait dega data sampel. Statistik iferesial diguaka utuk dua hal utama, yaitu Estimasi da uji hipotesis. 8. Estimasi dega metode klasik Poit estimate dari suatu parameter populasi θ adalah suatu ilai tuggal θˆ dari suatu statistik Θˆ. Misal: ilai x dari statistik X yag dihitug dari sampel adalah suatu titik perkiraa dari parameter populasi μ. biased estimator Defiisi: Statistik Θˆ dikataka ubiased estimator dari parameter θ bila ( Θˆ ) θ μ Θˆ E Varias dari poit estimator Bila ˆΘ 1 da ˆΘ adalah dua ubiased estimator dari parameter populasi yag sama θ, maka yag dipilih adalah estimator yag meghasilka varias lebih kecil. VIII - 1

2 Estimasi Iterval Estimasi iterval parameter populasi θ adalah iterval dalam betuk ˆ θ < θ < ˆ θ, dimaa ˆ θ da ˆ θ tergatug pada ilai statistik Θˆ utuk sampel tertetu da juga pada samplig distributio Θˆ. Iterpretasi Estimasi Iterval Karea sampel yag berbeda aka meghasilka ilai Θˆ yag berbeda da juga ilai ˆ θ da ˆ θ yag berbeda. Dari distribusi samplig Θˆ kita harus dapat meetuka Θˆ da Θˆ ( ) α sedemikia rupa sehigga: P Θˆ < θ < Θˆ 1 utuk 0 < α < 1, Iterval ˆ θ < θ < ˆ θ yag dihitug dari sampel yag dipilih disebut (1- α)100% iterval keyakia (cofidece iterval). 1- α diamaka koefesie keyakia (cofidece coefficiet) atau tigkat keyakia (degree of cofidece), da ˆ θ da ˆ dsiebut batas keyakia (cofidece limit). Sehigga bila α 0.05; θ berarti iterval keyakia adalah 95%. Semaki lebar iterval keyakia semaki yaki dalam peetua parameter. 8.3 Sampel tuggal: meaksir rata-rata Bila x adalah rata-rata dari sampel acak dari populasi dega varias, iterval keyakia (1- α)100% utuk μ adalah: x z / < μ < x + z α α / z α / adalah ilai z yag terletak disisi kaa α/. Bila jumlah sampel kurag dari 30, hasil yag diperoleh tidak akurat. Sebalikya bila sampel lebih besar dari 30 hasil yag didapat terjami lebih akurat. VIII -

3 Cotoh: rata-rata kosetrasi ikel dari 36 lokasi sampel sugai adalah.6 gram/mm. Tetuka iterval keyakia 95% da 99% utuk rata-rata kosetrasi ikel. Asumsika deviasi stadar populasi adalah 0.3. Titik perkiraa μ adalah x.6. Nilai z α z (lihat tabel distribusi / 0.05 ormal). Maka pada iterval keyakia 95% adalah x zα / < μ < x + zα /.6 ( 1.96) < μ <.6 + ( 1.96).50 < μ <. 70 pada iterval keyakia 99%; z. 575 z α / (.575) < μ <.6 + (.575).47 < μ <. 73 Dari hasil diatas meujukka dibutuhka iterval yag lebih lebar utuk meigkatka tigkat keyakia. Teorema: bila x diguaka utuk meaksir μ, kita dapat yaki (1- α)100% bahwa kesalaha tidak melebihi z α /. Dari cotoh, sebelumya kita yaki 95% bahwa rata-rata sampel x.6 berbeda dari rata-rata sebearya μ sebesar tidak lebih dari 0.1. VIII - 3

4 Teorema: bila x diguaka utuk meaksir μ, kita dapat yaki (1- α)100% bahwa kesalaha tidak melebihi jumlah tertetu e bila jumlah sampel adalah: α /. z e Cotoh: Berapa bayak sampel diperluka pada cotoh sebelumya bila kita meghedaki tigkat keyakia 95% dega tigkat kesalaha kurag dari ( 1.96)( 0.3) α / z e KASS: tidak diketahui Serig dalam beberapa kasus, kita megestimasi rata-rata populasi dega varias yag tidak diketahui. Bila kita ambil sampel acak dega distribusi ormal, maka variabel acak, X μ T S / adalah Studet s t-distributio dega derajat kebebasa -1. S stadar deviasi sampel. T dapat diguaka utuk membuat iterval keyakia. Prosedur sama dega sebelumya, haya digati dega S da ditribusi ormal stadar digati dega distribusi t. Sehigga kita dapat meyataka bahwa: P ( t < T < ) 1 α α / tα / X μ P tα / < < tα / 1 α S / P X S S tα / < μ < X + tα / 1 α VIII - 4

5 Iterval keyakia pada sampel besar Bila 30, maka s dapat meggatika da iterval keyakiaya adalah: s x ± zα / 8.4 Kesalaha stadar (stadard error) Stadard deviasi dari X merupaka stadard error dari X, diyataka sebagai adalah /. Sehigga batas keyakiaya (cofidece limit) adalah: x ± zα / da ditulis sebagai x ± zα / s.e. ( x) tuk kasus tidak diketahui, maka: s x ± tα / da ditulis sebagai x ± tα / s.e. ( x) 8.5 Prediksi iterval Dalam beberapa kasus seorag peeliti igi memprediksi kemugkia ilai pegamata aka datag (value of a future observatio) dega megguaka ilai pegamata sebelumya. Prediksi iterval utuk suatu pegamata aka datag dega tigkat keyakia (1- α)100% dari suatu pegegamata sebelumya yag terdistribusi ormal dega rata-rata μ yag tidak diketahui da varias diketahui adalah : x z + 1/ < x < x + z 1 1/ α / 1 0 α / + Cotoh: Karea peurua suku buga perbaka, suatu Bak bayak meerima aplikasi peggadaia. Berdasarka pegalama 50 pemijama peggadaia sebelumya meujukka bahwa rata-rataya 18,300 $. Asumsika deviasi VIII - 5

6 stadar 15,000 $. Tetuka 95% prediksi iterval jumlah pijama peggadaia. x z + 1/ < x < x + z 1+ 1/ α / 1 0 α / ( 1.96)( 15000) 1+ 1/ 50 < < ( 1.96)( 15000) 1+ 1/ x < x < tuk kasus tidak diketahui, formulasi diyataka sebagai berikut: x t s + 1/ < x < x + t s 1 1/ α / 1 0 α / Megestimasi perbedaa dua rata-rata Bila x 1 da x adalah rata-rata sampel acak bebas 1 da dari suatu populasi dega varias utuk μ 1 - μ diyataka sebagai: Cotoh: 1 da. Iterval dega tigkat keyakia (1- α)100% 1 α / zα / ( x x ) z + < μ μ < ( x x ) 1 Suatu percobaa tetag kebutuha baha bakar dilakuka pada dua tipe mesi, A da B. 50 percobaa dilakuka pada mesi tipe A, da 75 utuk tipe B. Ratarata mesi A dapat meempuh jarak 36 miles utuk setiap galo baha bakar, sedagka utuk mesi B adalah 4 miles per galo. Tetuka μ 1 - μ dega tigkat keyakia 96%. Asumsika deviasi stadar A da B adalah 6 da 8. pada iterval keyakia 96%; z α z. 05 (lihat tabel) μ / 0.0 ( 36).05 + < μ < ( 4 36) < μ μ 1 < VIII - 6