I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

Transkripsi

1 I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da aplikasiya dalam fisika. Bayak feomea fisis yag terjadi membutuhka deret sebagai solusiya, misalya dalammeyelesaika masalah badul sederhaa. Selai itu, melalui deret juga dapat memperoleh ilai-ilai umerik utuk bilaga e,,, da sebagaiya. Deret takhigga juga bermafaat utuk perhituga itegral, meyelesaika persamaa diferesial (baik biasa maupu parsial), deret Fourier, da sebagaiya.. Barisa da Deret Barisa adalah uruta suku-suku yag dibetuk megikuti atura atau kaidah yag telah ditetapka. Sebagai cotoh,,,,,,, Suku ke- sebuah barisa diyataka dega a. Suku ke- ii meujukka atura pembetuka suku-suku deret itu. Pada cotoh di atas, suku ke- berturut-turut adalah da. Deret adalah peryataa pejumlaha yag ditujukka oleh suku-suku barisa. Berdasarka barisa di atas diperoleh deret da Jika jumlah suku-sukuya terbatas, barisa atau deret disebut berhigga. Sebalikya, jika jumlah suku-sukuya tak terbatas, barisa atau deret itu diamaka barisa atau deret takhigga. Peulisa deret takhigga biasaya diguaka otasi sigma, misalya:

2 Atau secara umum dapat disimbolka u u u u (.). Deret Geometri Deret geometri didefiisika sebagai a + ar + ar +. ar. (.) Sebagai cotoh : 9 Jumlah suku pertama dapat dihitug dega rumus S a( r ). r Cotoh: S a( r ) r [ ( ) ] [ ( ) ] (.) Jumlah deret geometris meurut defiisiya S lim x S (.) Dimaa S, adalah jumlah suku ke- dari deret.. Defiisi da Notasi Deret Tak higga Ada bayak deret tak higga laiya selai deret geometris, sebagai cotoh:. (.5a). (.5b) x x x. x (.5c) Secara umum, deret tak higga di defiisika sebagai a a a a, (.6) Dimaa a (satu utuk setiap bilaga bulat positif ) adalah bilaga atau fugsi yag diberika oleh beberapa formula atau atura. Sehigga deret (.5a), (.5c) dapat diyataka dega otasi sigma

3 x x x x (.7a) x (.7b)! Dari semua cotoh tersebut, kita igi meetuka limit deret tersebut, (jika deret tersebut memiliki limit). Cotoh: Tetuka limit dari deret Peyelesaia: Kita bagi bilaga da peyebut oleh da hitug limit, sehigga semua ilai mejadi ol kecuali Deret Diverge da Deret Koverge Kita aka membahas deret berikut: a + a + a + + a (.8) Pejumlaha beberapa suku pertama aka meghasilka hal-hal berikut: S a S a + a S a + a + a S a + a + a + + a. (.9) Besara S disebut jumlah per bagia, yaitu jumlah suku pertama deret. Harga limit dari S adalah lim S S. (.0) x a. Jika jumlah per bagia S dari deret takhigga cederug meuju harga tertetu, yaitu S, maka deretya disebut koverge. Sebalikya, deret diverge.

4 b. Harga S disebut jumlah deret. c. Ada ilai sisa, yaitu R S S. lim R lim S S S S 0 (.).6 Aplikasi Deret Bayak aplikasi deret tak higga yag aka diguaka pada bab berikutya. Kita aka melihat bagaimaa kita dapat megguaka deret pagkat (yaitu deret yag memiliki pagkat x) utuk memberi maka pada fugsi bilaga kompleks, da bagaimaa medefiisika fugsi dari matriks dega megguaka fugsi deret pagkat. Da juga deret pagkat hayalah cotoh pertama dari deret tak higga. Selajutya kita aka belajar tetag deret Fourier (yag istilahya adalah sius da kosius). Setelah itu, kita aka megguaka deret pagkat utuk memecahka persamaa diferesial, da kita aka membahas deret lai seperti Legedre da Bessel. Akhirya, kita aka meemuka bagaimaa sebuah studi tetag deret pagkat mejelaska pemahama kita tetag fugsi matematika yag kita guaka dalam aplikasi..7 Uji Kovergesi. Uji Awal (prelimiary test) meyataka, jika lim a 0, deret diverge. Adapu syarat uji biasa yaitu : a. Jika a 0 maka harus dilakuka tes atau pegujia lebih lajut, b. Jika a 0 maka sudah pasti dikataka sebagai deret diverge Cotoh : a. 5 lim 5 lim Karea a 0 Maka dapat disimpulka bahwa utuk meetuka deret koverge/ diverge harus diguaka tes lebih lajut atau uji yag laiya + + b. lim ( ) (+) ++ lim + + Kara a 0 maka diamaka deret diverge

5 . Uji Badig Jika suku demi suku dari deret u a, dega a adalah deret koverge, maka deret u juga koverge. Jika suku demi suku deret v b, dega b membetuk deret diverge, maka deret v juga diverge. Syarat : Jika 0 a b, utuk semua ilai a. Jika b koverge, maka a juga koverge b. Jika a diverge, maka b Cotoh : juga diverge Uji deret yag koverge dega uji badig, guaka! 6 sebagai deret pembadig yag merupaka deret koverge 8 N!! > ! < utuk > Maka deret koverge! 6 0 > > < < 8 6. Uji Itegral takberhigga, deret diverge I a d { berhigga, deret koverge Cotoh: Uji kovergesi dari deret harmoik berikut dega megguaka tes itegral maka, (.)

6 a d d l Oleh karea itegral tersebut takberhigga, maka deret tersebut adalah deret diverge.. Uji Nisbah Cotoh. ρ lim ρ lim a + a (.) Jika ρ <, deret koverge Jika ρ >, deret diverge Jika ρ, Guaka tes lai Tijau a dega a Da a! + lim a + lim a + deret ii adalah deret koverge, Hal tersebut diatas pejelasaya adalah : dega megguaka () maka ρ [ ( + )!! ]! (+)! ρ lim ρ lim 0 +!(+), maka berdasarka uji rasio diperoleh 0 <. Sehigga dega demikia berdasarka uji rasio deret tersebut ( ).. (+)()( ).. + +! +! + +! +, Dega ρ <, maka deret ii dikataka deret koverge Cotoh a + a + ( + ) + (+)

7 + ( + ) Maka, ρ lim a + a lim ++ Karea ρ maka megguaka tes lai. Cotoh! a + + a ( + )!! + ( + )!! (+)! ( + )! + Maka, ( + ) ρ lim a + a lim 0 + Karea ρ < maka deret ii adalah deret koverge

8 5. Uji Badig Khusus Ditijau deret positif a Jika deret positif a b koverge da lim <, deret b Jika deret positif a d diverge da lim > 0, deret d a koverge. a diverge. Deret Bolak-balik (Alteratig Series) Deret bolak-balik adalah deret yag suku-sukuya bergati tada. Sebagai cotoh, ( )+ Deret bolak-balik berikut: ( ) + a, dega a positif, koverge jika memeuhi dua syarat i. Setiap suku-suku deret ii secara umerik kurag dari suku-suku sebelumya, a + < ii. a. lim a 0. Deret Pagkat Secara umum, deret pagkat dapat dituliska sebagai 0 a (x a) a 0 + a (x a) + a (x a) +, dega a adalah tetapa yag (boleh) berilai ol da a disebut koefisie deret pagkat. Sebagai cotoh, x + x + ( x) (x ) + (x ) + ( (x )) Sebuah fugsi f(x) dapat dikembagka ke dalam deret Taylor dega megguaka rumus

9 f(x) f () (a) 0 (x a).! Jika a 0, uraia deret Taylor berubah mejadi deret Maclauri: f(x) f () (0) 0 x.! Beberapa deret Maclauri dari fugsi dasar yag serig diguaka dalam fisika adalah ) si x x x! + x5 5! x7 7! + ) cos x x! + x! x6 6! + ) e x + x + x! + x! + x! + ) l( + x) x x + x x + 5) ( + x) p + px + p(p )! x + p(p )(p ) x + (deret biomial Newto)! Dega megguaka beberapa deret fugsi dasar di atas, kita dapat memperoleh deret dega mudah. Perhatika beberapa cotoh berikut: ) f(x) e x cos x ( + x + x + x + x x + ) ( + x x6 x + ) + x!!!!! 6! ) f(x) ta x si x x cos x x! +x5 5! x7 7! + x! +x! x6 6! + x + x + x5 5 +.