Perbandingan Metode Regresi Robust Estimasi Least Trimmed Square, Estimasi Scale, dan Estimasi Method Of Moment

Transkripsi

1 PRISMA 1 (2018) Perbadiga Metode Regresi Robust Estimasi Least Trimmed Square, Estimasi Scale, da Estimasi Method Of Momet Muhammad Bohari Rahma, Edy Widodo Fakultas MIPA, Uiversitas Islam Idoesia, Yogyakarta @studets.uii.ac.id Abstrak Aalisis regresi adalah metode aalisis yag diguaka utuk mecari betuk hubuga atar variabel melalui sebuah persamaa. Salah satu tujua aalisis regresi adalah megestimasi koefisie regresi dalam model regresi. Metode yag umum diguaka dalam megestimasi koefisie regresi adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Pegguaa metode ii harus memeuhi asumsi-asumsi yag ada. Asumsi yag serig tidak terpeuhi adalah asumsi ormalitas. Terdapatya pecila (outlier) mejadi salah satu peyebab tidak terpeuhiya asumsi ii sehigga diperluka metode lai utuk meagai outlier, metode tersebut adalah metode regresi robust. Metode estimasi parameter regresi robust atara lai Least Trimmed Square (LTS), Scale (S), da Method Of Momet (MM). Ketiga metode estimasi tersebut merupaka peduga dega high breakdow poit. Peelitia ii bertujua utuk membadigka maakah dari ketiga metode estimasi tersebut yag lebih baik dalam melakuka estimasi koefisie regresi ditijau dari ilai residual stadard error da adjusted r-square. Semaki kecil ilai residual stadard error da semaki besar adjusted r-square maka semaki baik metode estimasi tersebut. Data yag diguaka pada peelitia ii merupaka simulasi data dari Bada Pusat Statistik (BPS) Idoesia tetag produksi jagug di Idoesia tahu 2015, dimaa variabel-variabel idepedeya meliputi luas laha (X1) da produktivitas jagug (X2). Hasil peelitia ii meujukka bahwa regresi robust estimasi S memiliki ilai residual stadard error yag lebih kecil da adjusted r-square yag lebih besar dibadigka metode estimasi LTS maupu estimasi MM sehigga metode estimasi S lebih baik dalam megestimasi parameter regresi dibadigka metode estimasi LTS maupu estimasi MM. Kata Kuci: Estimasi LTS, Estimasi S, Estimasi M, Outlier, Regresi Robust. PENDAHULUAN Salah satu tujua aalisis regresi adalah megestimasi koefisie regresi dalam model regresi. Metode yag umum diguaka dalam megestimasi koefisie regresi adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Pegguaa MKT harus memeuhi beberapa asumsi klasik. Pada keyataaya, tidak jarag ditemuka hal-hal yag meyebabka tidak terpeuhiya asumsi tersebut sehigga pegguaa MKT aka memberika kesimpula yag bersifat kurag baik. Asumsi yag serig tidak terpeuhi adalah asumsi ormalitas. Terdapatya pecila (outlier) mejadi salah satu peyebab tidak terpeuhiya asumsi ii sehigga diperluka metode lai utuk meagai outlier, metode tersebut adalah metode regresi robust. Metode ii dapat megatasi outlier dega mecocokka model regresi terhadap sebagia besar data tapa meghapus data outlier (Rousseeuw da Leroy, 1987). Terdapat beberapa metode estimasi pada regresi robust diataraya Least Trimmed Square (LTS), Scale (S), da Method Of Momet (MM). Ketiga metode estimasi tersebut memiliki ilai breakdow poit yag tiggi 426

2 dibadigka dega metode estimasi laiya. Nilai breakdow poit ketiga metode estimasi tersebut adalah 50%. Oleh karea itu, berdasarka kesamaa ilai breakdow poit dari ketiga estimasi tersebut, maka pada peelitia ii aka dilakuka perbadiga utuk mecari metode estimasi maa yag lebih baik diguaka dalam megestimasi data yag megadug outlier. Dalam meetuka metode terbaik, peulis megguaka ilai Residual Stadard Error (RSE) da Adjusted R-square (R 2). Semaki kecil ilai RSE da semaki besar ilai R 2 maka semaki baik metode estimasi tersebut. Perbadiga metode estimasi pada regresi robust perah dilakuka oleh beberapa peeliti. Dewayati (2016) membadigka estimasi LTS, estimasi M, da estimasi MM, diperoleh metode estimasi yag palig baik pada data yag megadug outlier yaitu estimasi LTS. Selai itu, Pratitis (2016) membadigka estimasi M, estimasi S, da estimasi MM, diperoleh metode uruta estimasi palig efektif utuk memprediksi produksi kedelai di Idoesia adalah metode estimasi S, estimasi MM, da estimasi M. METODE Dalam peelitia ii megambil simulasi pada suatu kasus dega megguaka data dari Bada Pusat Statistik (BPS) Idoesia tetag produksi jagug di Idoesia tahu 2015, dimaa variabel-variabel idepedeya meliputi luas laha (X 1 ) da produktivitas jagug (X 2 ). Proses aalisis pada peelitia ii diuraika dega diagram alur sebagai berikut: Mulai Iput Data MKT Uji Asumsi Klasik Regresi Robust Estimasi LTS, Estimasi S, da Estimasi MM Ya Outlier? Selesai Kesimpula da Sara Pemiliha Metode Estimasi Terbaik Tidak Gambar 1. Alur Peelitia HASIL DAN PEMBAHASAN Regresi robust merupaka suatu metode yag diguaka ketika distribusi dari sisaa tidak ormal da/atau adaya beberapa outlier yag mempegaruhi model (Rya, 1997). Metode ii merupaka alat petig utuk megaalisis data yag dipegaruhi oleh outlier sehigga dapat meghasilka model yag robust atau resistace terhadap outlier. Meurut Che (2002) pada regresi robust, bayak metode estimasi yag dapat diguaka, yaki (1) estimasi M (Maximum Likelihood type), (2) estimasi LMS (Least Media Squares), (3) estimasi LTS (Least Trimmed Squares), (4) estimasi MM (Method of Momet) da (5) estimasi S (Scale). Dari kelima metode tersebut, pada pembahasa berikut haya aka dijabarka metode regresi robust dega estimasi LTS, estimasi S, da estimasi MM. a. Estimasi LTS (Least Trimmed Squares) PRISMA 1,

3 Metode LTS merupaka suatu metode pedugaa parameter pada regresi robust utuk memiimumka jumlah kuadrat h residual (fugsi objektif). Persamaa metode ii sebagai berikut (Che, 2002): β LTS = arg mi e i 2 dega h = [ ] + 2 [k+2], e 2 i = (Y i X i β 0), dimaa: 2 2 e i : kuadrat residual, e i diurutka dari terkecil ke terbesar (e 2 1 < e 2 2,, < e 2 ) : bayakya observasi k : parameter Jumlah h meujukka sejumlah subset data dega kuadrat fugsi objektif terkecil. Prosedur estimasi dega megguaka estimasi LTS adalah sebagai berikut: 1. megestimasi koefisie regresi megguaka MKT, 2. meetuka residual e 2 i = (Y i X i β 0) 2 yag bersesuaia dega (β 0), kemudia 2 meghitug jumlah h 0 = ( + k + 2)/2 pegamata dega ilai e i terkecil, h 2 3. meghitug i e i, 4. megestimasi parameter β baru dari β 0 observasi, 5. ditetuka kuadrat residual e 2 i = (Y i X i β 0) 2 yag bersesuaia dega (β baru ) kemudia meghitug sejumlah β baru observasi dega e 2 i terkecil, h 6. meghitug baru 2 i e i, 7. melakuka C-steps yaitu tahap 4 sampai 6 utuk medapatka fugsi objektif yag kecil da koverge. b. Estimasi S (Scale) Estimasi S aka memiimumka jumlah kuadrat error pada persamaa umum regresi liier. Estimasi S didefiisika sebagai berikut: β s = arg mi σ s[e 1 (β), e 2 (β),, e (β)] β dega meetuka ilai estimator skala robust (σ s) yag miimum da memeuhi: dega: mi ρ ( Y i j=0 X i,j β j ) σ i=0 σ = (e i 2 ) ( e i ( 1) k h i i=0 ) 2 Estimator β pada metode regresi robust estimasi S diperoleh dega cara melakuka iterasi higga diperoleh hasil yag koverge. Proses ii dikeal sebagai MKT terboboti secara iterasi yag selajutya disebut sebagai Iteratively Reweighted Least Square (IRLS) (Fox & Weisberg, 2010). Prosedur estimasi dega megguaka estimasi S adalah sebagai berikut: 1. megestimasi koefisie regresi megguaka MKT, 2. meghitug ilai residual e i = Y i Y i, 3. meghitug ilai estimasi skala robust σ s, PRISMA 1,

4 media e i media (e i ), iterasi = 1 0,6745 σ s = 1 0,199 w 2 ie i, iterasi > 1 { 4. meghitug ilai u i = e i, σ s 5. meghitug ilai fugsi pembobot w i, u i (1 u i 2 2 c 2), u u i < c, iterasi = 1 w i = i { 0, u i c ρ(u i ) 2 { u, iterasi > 1 i 6. megestimasi ilai β s megguaka metode IRLS, 7. melakuka lagkah 2 sampai 6 sehigga diperoleh ilai β s yag koverge. c. Estimasi MM (Method of Momet) Metode estimasi MM yaitu sigkata dari method of momet merupaka salah satu metode regresi robust yag diperkealka oleh Yohai (1987) yag meggabugka suatu high breakdow poit (50%) dega efisiesi tiggi (95%). Estimasi MM didefiisika sebagai berikut: ρ ( Y i k j=0 X i β j ) β mm = arg mi ρ ( e i ) = arg mi β σ s β Alur dari estimasi MM dapat diuraika sebagai berikut: σ s 1. megestimasi koefisie regresi dega MKT, 2. megestimasi koefisie regresi robust dega high breakdow poit, sehigga diperoleh residual e i, 3. ilai e i pada lagkah kedua diguaka utuk meghitug ilai σ s, da dihitug pula bobot awal w i, 4. ilai e i da σ s dari lagkah ketiga diguaka dalam iterasi awal dega metode WLS (Weighted Least Square) utuk meghitug koefisie regresi, w i ( e i ) x i = 0 σ s dega w i megguaka pembobot Huber atau Tukey Bisquare, 5. meghitug bobot baru w i megguaka residual dari iterasi awal WLS (lagkah 4), 6. megulag lagkah 3, 4, 5 (reiterasi dega skala residual tetap kosta) sampai (m) e i (m+1) koverge, yaitu selisih ilai β dega β j (m) medekati 0, dega m adalah bayakya iterasi. d. Studi Kasus Dalam peelitia ii, megambil simulasi pada suatu kasus dega megguaka data dari BPS (Bada Pusat Statistik) yaitu data produksi jagug di Idoesia tahu Data tersebut terdiri atas 3 variabel yaki produksi jagug sebagai variabel depede (Y), PRISMA 1,

5 luas pae sebagai variabel idepede pertama (X 1 ), produktivitas sebagai variabel idepede kedua (X 2 ). Hasil estimasi parameter megguaka MKT sebagai berikut: Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter Metode MKT Parameter Nilai Estimasi Stadard Error Itersep , ,00 X 1 (Luas pae) 5,02 0,12 X 2 (Produktivitas) 672, ,00 Dari tabel 1 didapat model awal megguaka MKT sebagai berikut: Ŷ = ,00 + 5,02X ,00 X 2 dega: Y produksi jagug (to) X 1 : luas pae (hektar) X 2 : produktivitas (kuital/hektar ilai RSE da R 2 utuk MKT sebagai berikut: Tabel 2. Nilai RSE da R 2 utuk MKT RSE ,00 R 2 0,98 Berdasarka tabel 2 diperoleh ilai RSE sebesar ,00 artiya kesalaha dalam memprediksi Y sebesar ,00 da ilai R 2 sebesar 0,98 artiya 98% variasi Y dapat dijelaska oleh X 1 da X 2, sedagka sisaya dijelaska oleh variabel lai. e. Uji Asumsi Klasik Uji asumsi klasik dilakuka utuk melihat apakah model regresi yag diperoleh memeuhi asumsi klasik sehigga dapat dikataka bahwa model yag dihasilka bersifat BLUE (Best Liear Ubiased Estimator). 1. Uji Normalitas Utuk meguji apakah dalam model regresi variabel peggaggu atau residual memiliki distribusi ormal atau tidak maka diguaka uji Kolmogorov Smirov Test. Hipotesis ol (H0) adalah residual data berdistribusi ormal. Keputusa utuk meolak H0 jika p-value kurag dari tigkat sigifikasi (α) 5%. Berdasarka hasil pegujia didapat ilai p-value = 0,013 lebih kecil dari α = 0,05 sehigga meolak H0. Oleh karea itu dapat disimpulka bahwa residual tidak berdistribusi ormal. 2. Uji Heteroskedastisitas Utuk medeteksi adaya heteroskedastisitas dalam peelitia maka salah satuya adalah megguaka cara dalam prosedur statistik yaki dega uji Glejser. H0 uji ii adalah tidak terjadi masalah heteroskedastisitas. Kriteria keputusa uji ii adalah jika p- value utuk masig-masig variabel idepede pada persamaa regresi terhadap absolute residualya lebih besar dari α maka gagal tolak H0. Berdasarka hasil pegujia, didapatka ilai p-value variabel X 1 = 0,38 da X 2 = 0,33 yag keduaya lebih besar dari α sehigga gagal tolak H0. Hal ii megidikasika bahwa model tidak megadug heteroskedastisitas. PRISMA 1,

6 3. Uji Autokorelasi Pegujia ii megguaka uji Durbi Watso. H0 uji ii adalah tidak terjadi autokorelasi, dega keputusa H0 gagal ditolak jika d U < d < 4-d U. Berdasarka hasil pegujia didapatka ilai Durbi Watso sebesar 1,97. Oleh karea d U = 1,58 < d =1,97 < 4-d U =2,42 maka gagal meolak H0 sehigga dapat disimpulka bahwa tidak terjadi autokorelasi. 4. Uji Multikoliearitas Uji ii dilakuka pegguaka ilai VIF (Variace Iflatio Factor). H 0 uji ii adalah tidak ada multikoliearitas. Jika ilai VIF < 10 maka H 0 gagal tolak yag artiya tidak ada multikoliearitas. Berdasarka hasil pegujia, didapatka ilai VIF kedua variabel idepede sebesar 1,09. Oleh karea ilai VIF = 1,09 < 10 maka H 0 gagal tolak sehigga disimpulka bahwa tidak ada multikoliearitas. f. Pedeteksia Outlier Outlier aka dideteksi berdasarka ukura outlier, yaki DFBETAS, DFFITS, Cook s Distace, Leverage Value, da R-Studet utuk setiap observasi. Pada kasus ii, karea = 33 da p = 3, dimaa p merupaka bayakya parameter regresi termasuk itersep. Jadi, observasi dikataka sebagai outlier jika ilai DFBETAS j,i > 2 = 0,35, DFFITS i > 2 p = 0,60, Cook s Distace (D i) > 4 = 0,12, Leverage Value (h ii) > 2k = 0,18, da R-Studet (t i) > t 0,025,29 = 2,05. Tabel 3. Observasi teridikasi sebagai outlier i DFBETAS 0,i DFBETAS 1,i DFBETAS 2,i DFFITS i D i h ii t i 12-0,27 0,92 0,30 1,22 0,40 0,14 2, ,06-0,74 0,14-0,76 0,20 0,76-0, ,81-1,26 1,68-2,21 0,70 0,11-6, ,38-0,01-0,32 0,39 0,05 0,11 1,09 Berdasarka tabel 3, didapat data yag teridikasi sebagai outlier yaki data ke-12, 14, 18, da 32. g. Regresi Robust Estimasi LTS Berdasarka hasil estimasi megguaka metode ii, diperoleh model regresi sebagai berikut: Ŷ = 34860,00 + 3,70 X ,00 X 2 dega ilai RSE da R 2 persamaa regresi diatas sebagai berikut: Tabel 4. Nilai RSE da R 2 estimasi LTS RSE 14260,00 R 2 0,97 Dari tabel 4, diperoleh ilai RSE sebesar 14260,00 artiya kesalaha dalam memprediksi Y sebesar 14260,00 da ilai R 2 sebesar 0,97 artiya 97% variasi Y dapat dijelaska oleh X 1 da X 2, sedagka sisaya dijelaska oleh variabel lai. PRISMA 1,

7 h. Regresi Robust Estimasi S Berdasarka hasil estimasi megguaka metode ii, diperoleh model regresi sebagai berikut: Ŷ = 31904,82 + 3,69 X ,84 X 2 dega ilai RSE da R 2 persamaa regresi diatas sebagai berikut: Tabel 5. Nilai RSE da R 2 estimasi S RSE 9130,00 R 2 0,98 Dari tabel 5, diperoleh ilai RSE sebesar 9130,00 artiya kesalaha dalam memprediksi Y sebesar 9130,00 da ilai R 2 sebesar 0,98 artiya 98% variasi Y dapat dijelaska oleh X 1 da X 2, sedagka sisaya dijelaska oleh variabel lai. i. Regresi Robust Estimasi MM Berdasarka hasil estimasi megguaka metode ii, diperoleh model regresi sebagai berikut: Ŷ = ,51X , 00X 2 dega ilai RSE da R 2 persamaa regresi diatas sebagai berikut: Tabel 6. Nilai RSE da R 2 estimasi MM RSE 27140,00 R 2 0,97 Dari tabel 6, diperoleh ilai RSE sebesar 27140,00 artiya kesalaha dalam memprediksi Y sebesar 27140,00 da ilai R 2 sebesar 0,97 artiya 97% variasi Y dapat dijelaska oleh X 1 da X 2, sedagka sisaya dijelaska oleh variabel lai. j. Pemiliha Metode Estimasi Terbaik Jika disajika dalam tabel, metode pecaria koefisie β dapat dibadigka dalam tabel dibawah ii: Tabel 7. Nilai Perbadiga RSE da R 2 Metode Estimasi RSE R 2 MKT ,00 0,98 Estimasi LTS 14260,00 0,97 Estimasi S 9130,00 0,98 Estimasi MM 27140,00 0,97 Dalam meetuka metode estimasi terbaik, diguaka dua ilai pembadig utuk masig-masig metode yaitu RSE da R 2. Metode terbaik adalah metode yag memiliki ilai RSE palig kecil da R 2 palig besar. Dari tabel 7 dapat dilihat ilai R 2 metode MKT da estimasi S memiliki ilai R 2 sama da palig besar artiya persamaa yag dihasilka kedua metode ii mempuyai kemampua mejelaska variasi Y palig baik. Namu, jika ditijau dari ilai RSE-ya maka estimasi S mejadi metode estimasi yag memiliki ilai RSE palig kecil da MKT mejadi metode yag memiliki ilai RSE PRISMA 1,

8 palig besar jika dibadigka dega metode estimasi laiya. Oleh karea itu, maka estimasi S merupaka metode yag palig baik diguaka dalam megestimasi parameter regresi utuk kasus produksi jagug di Idoesia tahu SIMPULAN Berdasarka hasil aalisis yag telah dilakuka, diperoleh metode estimasi S sebagai metode estimasi yag palig baik dalam melakuka estimasi parameter pada kasus produksi jagug di Idoesia tahu 2015 yag megadug outlier. Model regresi yag dihasilka metode ii sebagai berikut: Ŷ = 31904,82 + 3,69 X ,84 X 2 Perbadiga dilakuka megguaka ilai RSE da R 2. Metode estimasi yag baik memiliki ilai RSE yag kecil da ilai R 2 yag besar. DAFTAR PUSTAKA Che, C Robust Regressio ad Outlier Detectio with ROBUSTREG Procedure. SAS Istitute Ic. (Olie). ( diakses 13 Maret 2017) Dewayati, Amalia A Perbadiga Metode Estimasi LTS, Estimasi M, da Estimasi MM pada Regresi Robust. (Skripsi). Uiversitas Islam Idoesia. Yogyakarta. Fox, J. & Weisberg, S Robust Regressio i R. Apedix to A R ad S-Plus Compaio to Applied Regressio, Secod Editio. (Olie). ( serv.socsci.mcmaster.ca/jfox/books/compaio/appedix/appedix-robust- Regressio.pdf, diakses 5 Agustus 2017) Pratitis, Weig Dyah Perbadiga Metode Estimasi-M, Estimasi-S, da Estimasi-MM pada Regresi Robust utuk Memprediksi Produksi Kedelai di Idoesia. (Skripsi). Uiversitas Negeri Yogyakarta. Yogyakarta. Rousseeuw, P.J., & Leroy, A.M Robust Regressio ad Outlier Detectio. New York: Joh Wiley ad Sos. Rya, T.P Moder Regressio Aalysis for Scietists ad Egieers. Ghaitersburg: NIST. Yohai, Victor J High Breakdow Poit ad High Efficiecy Robust Estimates For Regressio. The Aals of Statistics, PRISMA 1,