Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Transkripsi

1 Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala da dituliska dega : d d d... t 0 dt dt dt Persamaa differesial mempuai baak ragam da jeis mulai dari ag mudah diselesaika higga ag sulit diselesaika mulai dari ag sederhaa sampai ag sagat kompleks. Salah satu persamaa differesial ag baak diguaka dalam peerapaa adalah Persamaa Differesial Liier ag dituliska dega: d d d a a.. a a0 f t dt dt dt Persamaa differesial liier umuma dapat diselesaika dega megguaka cara aalitik seperti pemakaia Trasformasi Laplace tetapi pada betuk ag kompleks persamaa differesial liier ii mejadi sulit diselesaika. Metode umerik dapat diguaka utuk meelesaika persamaa differesial dega megguaka batua komputer sebagai alat hitug ketika metode aalitik sulit diguaka. Pada beberapa betuk persamaa differesial khususa pada differesial o-liier peelesaia aalitik sulit sekali dilakuka sehigga metode umerik dapat mejadi metode peelesaia ag disaraka. Sebagai cotoh perhatika betuk persamaa differesial ag sederhaa berikut ii: d d d d Persamaa diffresial di atas tampaka sederhaa tetapi utuk meelesaika persamaa diffresial di atas bukalah sesuatu ag mudah bahka dapat dikataka dega megguaka cara aalitik tidak dapat ditemuka peelesaia. Sehigga pemakaia metode-metode pedekata dega metode umerik mejadi suatu alteratif ag dapat diguaka. Ada beberapa metode ag dapat diguaka utuk meelesaika persamaa differesial atara lai: metode Euler metode pedekata dega deret Talor metode ruge-kutta da metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulto. Haa saja metode-metode pedekata ii meebabka peelesaia ag dihasilka bukalah peelesaia umum dari persamaa differesial tetapi peelesaia khusus dega ilai awal da ilai batas ag ditetuka. Permasalaha persamaa differesial ii merupaka permasalaha ag baak ditemui ketika aalisa ag dilakuka tergatug pada waktu da ilaia megalami perubaha-perubaha berdasarka waktu. Hampir baak model matematis di dalam ilmu tekik megguaka perataa dalam persamaa differesial. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 65

2 7.. Metode Euler Perhatika betuk persamaa differesial berikut: f Dega megguaka pedekata ilai awal 0 0 maka ilai-ilai berikuta daat diperoleh dega: h. f Cotoh: Diketahui persamaa differesial berikut: d d Maka : atau f Bila ditetuka ilai awala adalah 00 da h0. maka diperoleh : Bila ditigkatka utuk sampai dega 0 kemudia diambil grafika diperoleh : Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 66

3 7.. Metode Talor Metode Talor adalah suatu metode pedekata ag megguaka deret Talor sebagai betuk perbaika ilai utuk ilai fugsi secara keseluruha pada peelesaia persamaa differesial. Perhatika fugsi dari persamaa differesial berikut: f Dega memberika ilai pedekata awal 0 0 peelesaia dapat diperoleh dega: k 0 0 k " ! k! Cotoh: Diketahui persamaa differesial : d si d Maka : si atau f si " f f f cos si cos si 3 si cos si cos Dega pedekata awal 00 maka utuk ilai dapat dihitug dega: 0 0 [ si0 0] [ cos0 si0 0] [ cos0 0] Catata: Pemakaia metode Talor tidak baak digemari karea diperluka perhituga ag cukup rumit dalam peelesaiaa. Tetapi metode ii dapat meujukka hasil ag bagus pada beberapa permasalaha peelesaia persamaa differesial Metode Ruge Kutta Metode Ruge-Kutta merupaka pegembaga dari metode Euler dimaa perhituga peelesaia dilakuka step demi step. Utuk fugsi dari persamaa differesial : f Dega titik pedekata awal 0 0 berdasarka metode Euler ilai fugsi peelesaia diperoleh dega : h. f atau d dimaa d adalah ilai perubaha ilai fugsi setiap step Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 67

4 Metode Ruge-Kutta : Metode Ruge-Kutta membuat step ag lebih kecil dari perubaha ilai dega membagi ilai perubaha tiap step mejadi sejumlah bagia ag ditetuka betuk palig sederhaa dari metode Ruge Kutta ii adalah membagi bagia perubaha mejadi dua bagia sehigga : h. f h. f d dimaa f da f adalah ilai fugsi step ag diambil dari betuk fugsi persamaa differesial pada step tegaha. Sehigga diperoleh formulasi dari Metode Ruge-Kutta sebagai berikut: k k dimaa: k h. f k h f h. k Cotoh: Selesaika persamaa differesial berikut: d d ugsi persamaa differesial adalah : f Dega ilai pedekata awal 00 diperoleh: k k Bila hasila diteruska sampai 0 da digambarka aka diperoleh: Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 68

5 Metode Ruge Kutta 4 Bila pada metode Ruge-Kutta ilai koefisie perbaikaa adalah buah maka pada metode ii megguaka 4 ilai koefisie perbaika aitu k k k 3 k 4 ag diberika sebagai berikut: k k k3 k4 6 dimaa : k h. f k k k 3 h k h. f h k h. f h. f h k 4 Cotoh: Hitug peelesaia persamaa differesial berikut: d e d ugsi persamaa differesial: 3 f e Bila ditetuka pedekata awal 00 da step h0. dega megguaka metode Euler 4 diperoleh: k k k3 k Persamaa Differesial Tigkat Tiggi Pada baak peerapa persamaa differesial ag diguaka adalah persamaa differesial tigkat tiggi baik itu tigkat 3 da seterusa. Sedagka pembahasa di depa adalah peelesaia persamaa differesial tigkat satu ag diataka dega fugsi : f Utuk meelesaika persamaa differesial tigkat tiggi diperluka pegembaga model persamaa differesial ag aka meghasilka pegembaga betuk metode Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 69

6 Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 70 ag diguaka. Pada buku ii dibahas pemakaia metode Euler da Ruge Kutta utuk meelesaika persamaa differesial tigkat tiggi ii. Perhatika persamaa differesial tigkat berikut ii: "... 0 a a a a a Ubah variabel-variabel differesial dega variabel-variabel ide sebagai berikut: 3... " Dega medifferesialka setiap variabel di atas diperoleh: f Setiap differesial meataka suatu fugsi persamaa differesial tigkat satu sehigga utuk meelesaiaka persamaa differesial tigkat diperluka fugsi persamaa differesial tigkat satu ag bekerja secara bersama-sama Peelesaia Persamaa Differesial Tigkat Dega Metode Euler Perhatika persamaa differesial tigkat berikut: d d d d Ubah variabel: da sehigga diperoleh persamaa differesial tigkat satu berikut: ii berarti diperoleh fugsi masig-masig: g f Dega megguaka metode Euler diperoleh:.. h g f h Cotoh: Selesaiaka persamaa differesial: 3 d d d d

7 Maka diperoleh dua fugsi f da g berikut: f g 3 Bila ditetuka pedekata awal da step h0. maka dega metode euler diperoleh: Peelesaia Persamaa Differesial Tigkat Dega Metode Ruge-Kutta Perhatika persamaa differesial tigkat berikut: d d d d Ubah variabel: da sehigga diperoleh persamaa differesial tigkat satu berikut: ii berarti diperoleh fugsi masig-masig: f g Dega megguaka metode Ruge-Kutta diperoleh: k k l l dimaa: k h. f l h. g k h. f h k l l h g h k. l Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 7

8 Cotoh: Selesaiaka persamaa differesial: d d 3 d d Maka diperoleh dua fugsi f da g berikut: f g 3 Bila ditetuka pedekata awal da step h0. maka dega metode euler diperoleh: k l k l Beberapa Peerapa Persamaa Differesial Pada sub bab ii aka dibahas beberapa peerapa persamaa differesial pada sistem mekais da sistem listrik serta peelesaiaa secara umerik Peerapa Persamaa Differesial Pada Sistem Mekais Perhatika gambar sistem pegas berikut ii: k k m Model matematik utuk sistem pegas di atas adalah: d m k k dt dimaa adalah besara simpaga. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 7

9 Bila ditetuka misala 0 N maka diperoleh persamaa differesial tigkat sebagai berikut: d [ k k 0] dt m Dega megguaka pegubaha variabel da diperoleh dua fugsi persamaa differesial aitu: f g [ k k 0] m Bila ditetuka m0 k da k 5 diperoleh: g Dega step h 0.5 pedekata awal 00 dega metode Euler aka meghasilka : Peerapa Persamaa Differesial Pada Sistem Listrik Perhatika gambar ragkaia listrik berikut ii: L C ~ Vt R Model matematis utuk ragkaia listrik di atas adalah: t dv C V L V u du E dt R 0 Betuk persamaa di atas adalah persamaa differesial itegral persamaa tersebut dapat diubah mejadi persamaa differesial tigkat sebagai berikut: Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 73

10 d V dv C LV E dt R dt Karea E berupa kostata maka dapat dituliska sebagai E saja. Bila ilai-ilai L R C da E ditetuka misalka C0-5 R0K L0-4 da E maka diperoleh persamaa differesial tigkat : d V dv 0 0V dt dt dega megambil variabel t V da V diperoleh dua fugsi : f g 0 0 Dega meetuka pedekata awal t0 V00 V 0 da h0. da dega megguaka metode Euler diperoleh peelesaia: Tugas Selesaika persamaa differesial berikut: d 0 d megguaka metode Euler Ruge-Kutta da Ruge-Kutta 4 dega h0. da titik pedekata awal 0. Persamaa differesial di atas secara aalitik mempuai peelesaia umum: e Badigka hasil ketiga metode dega ilai peelesaia umuma. Selesaika persamaa differesial berikut: d e d megguaka metode Euler Ruge-Kutta da Ruge-Kutta 4 dega h0. da titik pedekata awal 00. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 74

11 3 Perhatika sistem mekais berikut ii: k k m Model matematis dari sistem di atas adalah: d k m k dt Bila ditetuka ilai 0 m0 k da k3 da titik pedekata awal 00 da 0. Tetuka peelesaia persamaa differesial di atas. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 75