BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag mucul disebut percobaa acak. Himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa acak disebut ruag cotoh da diotasika dega Suatu kejadia A adalah himpua bagia dari ruag cotoh. (Ross, 007) Defiisi. (Meda- ) Meda - adalah suatu himpua yag aggotaya adalah himpua bagia ruag cotoh yag memeuhi syarat syarat berikut : 1. Ø.. Jika A maka A c. 3. Jika A 1, A, maka i 1 Ai (Grimmett da Stirzaker, 199) Jadi, suatu himpua disebut Meda - ( field ) jika adalah aggota, tertutup terhadap operasi uio tak higga, da tertutup terhadap operasi kompleme. Defiisi.3 (Ukura peluag) Suatu ukura peluag pada (Ω,) adalah suatu fugsi : [0,1] yag memeuhi syarat syarat berikut: 1. ( ) = 0 da (Ω) = 1 3

2 4. Jika A 1, A.. adalah himpua himpua yag salig lepas, yaitu A i A j = utuk setiap pasaga i, j dega i j, maka : Defiisi.4 (Kejadia salig bebas) A i ( Ai). i1 i1 (Grimmett da Stirzaker, 199) Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: ( AB) ( A) ( B). Secara umum himpua kejadia A ; i I Ai ( Ai) utuk setiap himpua bagia J dari I. i j i j. Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi.5 (Peubah acak) i dikataka salig bebas jika : (Grimmett da Stirzaker, 199) Peubah acak X adalah fugsi X : dega : X( ) x utuk setiap x. (Grimmett da Stirzaker,199) Defiisi.6 (Fugsi sebara) Fugsi sebara dari suatu Peubah acak X adalah fugsi F : 0,1 didefiisika oleh F ( x) ( X x). X X, yag (Grimmett da Stirzaker, 199) Defiisi.7 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikataka diskret jika semua himpua ilai { x1, x,...} dari peubah acak tersebut merupaka himpua tercacah. Defiisi.8 (Fugsi kerapata peluag) (Grimmett da Stirzaker, 199) Fugsi kerapata peluag dari suatu peubah acak diskret X adalah fugsi px : [0,1] dega p ( x) ( X x). X (Grimmett da Stirzaker, 199)

3 5.3 Mome da Nilai Harapa Defiisi.9 (Mome) Jika X adalah peubah acak diskret, maka mome ke - m dari X didefiisika m m sebagai X xi px ( xi ) jika jumlahya koverge, dimaa x i, utuk i = 1, i,, meyataka semua kumpula ilai X, dega px( xi) 0. Jika jumlahya diverge, maka mome ke - m dari peubah X dikataka tidak ada. (Taylor da Karli, 1984) Mome pertama dari peubah acak X, yaitu utuk m = 1 disebut ilai harapa dari X da diotasika dega [ X] atau µ. Defiisi.10 (Mome pusat) Mome pusat ke m dari peubah acak X didefiisika sebagai mome ke m dari peubah acak X [ X]. (Taylor da Karli, 1984) Mome pusat pertama adalah ol. Ragam dari peubah acak X adalah mome pusat kedua dari peubah acak tersebut da diotasika sebagai Var( X ) X [ X ]. Lema 1 Jika X adalah peubah acak diskret dega ragam yag berhigga, maka utuk sebarag kostata c da d, berlaku Var(cX + d) = c Var(X). Bukti : Dari defiisi A.10 kita dapat meuliska bahwa Var( cx d) (( cx d) ( cx d)) Jadi Lema 1 terbukti. (( cx d) c( ( X ) d)) ( c( X ( X ))) ( c ( X ( X )) ) c (( X ( X )) ) c Var( X ). (Casella da Berger, 1990)

4 6 Defiisi.11 (Kovaria) Misalka X da Y adalah peubah acak diskret, da misalka pula μ X da μ Y masig masig meyataka ilai harapa dari X da Y. Kovaria dari X da Y didefiisika sebagai Cov( X, Y) (( X X)( Y Y)). Lema (Casella da Berger, 1990) Misalka X da Y adalah peubah acak diskret, da misalka pula c da d adalah dua buah kostata sebarag, maka Var(cX + dy) = c Var(X) + d Var(Y) + cdcov(x,y). Jika X da Y peubah acak salig bebas, maka Var(cX + dy) = c Var(X) + d Var(Y). Bukti : Var cx dy cx dy cx dy Jadi Lema terbukti..4 Kekovergea cx dy c X d( Y) c X X d Y Y (Casella da Berger, 1990) c X X d Y Y cd X X Y Y c Var X d Var Y cd X X Y Y, c Var X d Var Y cdcov X Y. Defiisi.1 (Kekovergea barisa bilaga yata) Barisa { a } disebut mempuyai limit L da ditulis : lim a = L atau a L jika, apabila utuk setiap ε > 0 terdapat sebuah bilaga M sedemikia rupa sehigga jika > M maka a L.. Jika lim a = L ada, maka dikataka barisa tersebut koverge. Jika tidak, maka barisa tersebut diverge. (Stewart, 1999)

5 7 Lema 3 (Deret-p) Deret 1 p 1 (disebut juga deret-p) koverge jika p > 1, da diverge jika p 1. (Steawart, 1999) Defiisi.13 (Koverge dalam peluag) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge dalam peluag ke X, diotasika X p X, jika utuk setiap ε > 0, berlaku X X Defiisi.14 (Koverge dalam rataa ke r) lim 0. (Serflig, 1980) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge dalam rataa ke-r ke peubah acak X, dega r 1, ditulis X r X utuk, jika r X utuk semua da X X 0 r utuk. (Grimmett da Stirzaker, 199) Defiisi.15 (Koverge hampir pasti) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge hampir pasti ke peubah acak X, ditulis X as X, utuk, jika utuk setiap ε > 0, lim X X 1. Dega kata lai koverge hampir pasti adalah koverge dega peluag satu. (Grimmett da Stirzaker, 199)

6 8 Defiisi.16 (Koverge legkap) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge legkap ke peubah acak X, jika utuk setiap 0, berlaku X X. 1 (Grimmett da Stirzaker, 199) Defiisi.17 (Koverge dalam sebara) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge dalam sebara ke peubah acak X, ditulis X d X, jika P(X x) P(X x) utuk, utuk semua titik x dimaa fugsi sebara F X (x) adalah kotiu..5 Peduga Tak Bias da Peduga Kosiste Defiisi.18 (Statistik) (Grimmett da Stirzaker, 199) Statistik merupaka suatu fugsi dari satu atau lebih peubah acak yag tidak tergatug pada parameter (yag tidak diketahui). Defiisi.19 (Peduga) (Hogg et al, 005) Misalka X 1, X,, X adalah cotoh acak. Suatu statistik U = U(X 1, X,, X ) = U(X) yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g(θ) disebut peduga bagi g(θ). Nilai amata U(X 1, X,, X ) dari U dega ilai amata X 1 = x 1, X = x, X = x disebut sebagai dugaa bagi g(θ). Defiisi.0 (Peduga tak bias) (Hogg et al, 005) U(X) disebut peduga tak bias bagi g(θ), bila [ U( X )] g( ). Bila [ U( X )] g( ) b( ), maka b(θ) disebut bias dari peduga U(X). Bila lim [ U( X )] g( ) maka U(X) disebut sebagai peduga tak bias asimtotik bagi g(θ). (Hogg et al, 005)

7 9 Defiisi.1 (Peduga kosiste) (i) Suatu statistik U(X 1, X,, X ) yag koverge dalam peluag ke parameter p g(θ), yaitu U( X1, X,..., X ) g( ), utuk, disebut peduga kosiste bagi g(θ). as (ii) Jika U( X1, X,..., X ) g( ) utuk, maka U(X 1, X,, X ) disebut peduga kosiste kuat bagi g(θ). r (iii) Jika U( X1, X,..., X ) g( ) utuk, maka U(X 1, X,, X ) disebut peduga kosiste dalam rataa ke-r bagi g(θ). Defiisi. (Mea square error) (Grimmett da Stirzaker, 199) Mea Square Error (MSE) dari peduga ˆ utuk parameter θ adalah fugsi dari θ yag didefiisika oleh E ( ˆ ). (Casella da Berger, 1990) Dega kata lai MSE adalah ilai harapa kuadrat dari selisih atara peduga ˆ da parameter θ. Sehigga diperoleh E ( ˆ ) Var( ˆ ) ( E ( ˆ )) ˆ Var( ) ( Bias( )). ˆ.6 Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi.3 (O(.) da o(.)) Simbol O(.) da o(.) adalah cara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x meuju suatu limit L. (i) Notasi u(x) = O(v(x)), x L, meyataka bahwa (ii) Notasi u(x) = o(v(x)), x L, meyataka bahwa ux ( ) vx ( ) ux ( ) vx ( ) terbatas, utuk x L. 0, utuk x L. (Serflig, 1980)

8 10 Defiisi.4 (Mome kedua terbatas) Peubah acak X disebut mempuyai mome kedua terbatas jika E(X ) terbatas. (Helms, 1996) Defiisi.5 (Fugsi idikator) Fugsi idikator dari suatu himpua A, serig ditulis I A (x), didefiisika sebagai 1, jika x A I{ x A} 0, selaiya (Casella da Berger, 1990) Lema 4 (Ketaksamaa Markov) Jika X adalah peubah acak, maka utuk suatu t > 0, [ X ] ( X t). t (Ghahramai, 005) Lema 5 (Ketaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dega ilai harapa μ da ragam terbatas σ maka ( X t) utuk setiap t 0. t (Ghahramai, 005) Bukti : Karea X 0, dega ketaksamaa Markov ( X ) t. Oleh karea ( X ) t t X t adalah eqivale X t, maka Lema 5 terbukti. Lema 6 (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz) Jika X da Y adalah peubah acak dega mome kedua terbatas, maka ( [ ]) [ ] [ ] XY X E Y da aka sama dega jika da haya jika P(X = 0) atau P(Y = ax) = 1 utuk suatu kostata a. (Helms, 1996)

9 11 Bukti Utuk semua bilaga real a, ( X ay ) 0. Oleh karea itu utuk semua ilai dari a, X XYa a Y 0. Karea peubah acak oegatif, maka ilai harapaya juga oegatif, yaitu ( X XYa a Y ) 0 ( X ) ( XY) a a ( Y ) 0 Dega meuliska dalam persamaa poliomial derajat, maka Misalka A a ( Y ) ( XY) a ( X ) 0. ( Y ), B ( XY), da C ( X ). Perhatika bahwa poliomial berderajat yag memiliki palig bayak sebuah akar real, maka dikrimiaya tak positif. Sehigga B Jadi, Lema 6 terbukti. 4AC 0 XY X Y 4 ( ) 4 ( ) ( ) 0 ( XY ) ( X ) ( Y ). Lema 7 (Lema Borel-Cotelli) (i) Misalka {A } adalah sebarag kejadia, jika PA { }, maka 1 P(A terjadi sebayak tak higga kali) = 0. (ii) Misalka {A } adalah sebarag kejadia yag salig bebas. Jika { A }, maka (A terjadi sebayak tak higga kali) = 1. 1 (Durret, 1996) Lema 8 (Teorema Fubii) Jika f 0 atau f d maka f ( x, y) ( dy) 1( dx) fd f ( x, y) 1( dx) ( dy). X Y XxY Y X (Durret, 1996)

10 1 Defiisi.6 (Teritegralka lokal) Fugsi itesitas disebut teritegralka lokal, jika utuk sebarag himpua Borel terbatas B kita peroleh ( B) ( s) ds. B (Dudley, 1989) Defiisi.7 (Titik Lebesgue) Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fugsi, jika 1 h lim ( u s) ( s) du 0. h0 h h (Wheede da Zygmud, 1977).7 Proses Poisso Periodik Defiisi.8 (Proses stokastik) Proses stokastik X = { X(t), t T } adalah suatu himpua dari peubah acak yag memetaka suatu ruag cotoh ke suatu state S. (Ross, 007) Dega demikia X(t) adalah suatu peubah acak, dega t adalah eleme dari T yag serig diiterpretasika sebagai satua waktu (walaupu tidak harus merupaka waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaa) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ii, suatu ruag state S dapat berupa himpua bilaga real atau himpua bagiaya. Defiisi.9 (Proses stokastik dega waktu kotiu) Suatu proses stokastik { X(t), t T } disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T merupaka suatu iterval. (Ross, 007) Defiisi.30 (Ikreme bebas) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu { X(t), t T } disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t 0 < t 1 < t <... < t, peubah acak X(t 1 ) X(t 0 ), X(t ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t ),..., X(t ) X(t 1 ), adalah salig bebas. (Ross, 007)

11 13 Dega demikia dapat dikataka bahwa suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak salig tumpag tidih (tidak overlap) adalah salig bebas. Defiisi.31 (Ikreme stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu { X(t), t T } disebut memiliki ikreme stasioer jika X(t + s) X(t) memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t. (Ross, 007) Dapat dikataka bahwa suatu proses stokastik dega waktu kotiu X aka mempuyai ikreme stasioer jika sebara dari perubaha ilai pada sembarag iterval haya tergatug pada pajag iterval tersebut da tidak tergatug pada lokasi dimaa iterval tersebut terletak. Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses Poisso, kecuali diyataka secara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu iterval [0,). Defiisi.3 (Proses pecacaha) Suatu proses stokastik { N(t), t > 0 } disebut proses pecacaha jika N(t) meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t. Dari defiisi tersebut, maka proses pecacaha N(t) harus memeuhi syarat-syarat sebagai berikut: (i). N(t) 0 utuk setiap t [0,). (ii). Nilai N(t) adalah iteger. (iii). Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0,). (iv). Utuk s < t, maka N(t) - N(s) sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada iterval (s,t]. (Ross, 007) Defiisi.33 (Proses Poisso) Suatu proses pecacaha { N(t), t 0 } disebut proses Poisso dega laju, > 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut:

12 14 (i). N(0) = 0 (ii). Proses tersebut mempuyai ikreme bebas. (iii). Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara Poisso dega ilai harapa t. Jadi t k e ( t) P( N( t s) N( s) k) ; k 0,1,,... (Ross, 007) k! Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme stasioer. Dari syarat ii juga dapat diketahui bahwa ( N( t)) t. Proses Poisso dega laju yag merupaka kostata utuk semua waktu t disebut proses Poisso homoge. Jika laju buka kostata, tetapi merupaka fugsi dari waktu, (t), maka disebut proses Poisso tak homoge. Utuk kasus ii, (t) disebut fugsi itesitas dari proses Poisso tersebut. Fugsi itesitas (t) harus memeuhi syarat (t) 0 utuk semua t. Defiisi.34 (Itesitas lokal) Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge N dega fugsi itesitas pada titik s adalah (s), yaitu ilai fugsi di s. (Cressie, 1993) Defiisi.35 (Fugsi itesitas global) Misalka N([0,]) adalah proses Poisso pada iterval [0,]. Fugsi itesitas global dari proses Poisso ii didefiisika sebagai: N([0, ]) lim jika limit di atas ada. (Cressie, 1993) Defiisi.36 (Fugsi periodik) Suatu fugsi disebut periodik jika (s + k) = (s) utuk semua sda k, dega adalah himpua bilaga bulat. Kostata terkecil yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi itesitas tersebut. (Browder, 1996)

13 15 Defiisi.37 (Proses Poisso periodik) Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik..8 Pedugaa Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik (Magku, 001) Fugsi itesitas suatu proses Poisso merupaka laju proses Poisso tersebut. Fugsi itesitas dapat dibedaka mejadi dua, yaitu fugsi itesitas lokal (yag lebih serig haya disebut fugsi itesitas) da fugsi itesitas global. Fugsi itesitas lokal meyataka laju proses Poisso di titik tertetu, sedagka fugsi itesitas global meyataka rata-rata laju suatu proses Poisso pada suatu iterval dega pajag meuju tak higga. Pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas lokal suatu proses Poisso di titik s ialah dega meaksir rata-rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut pada iterval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalka { h } adalah barisa bilaga real positif dega sifat h 0 da N[0,t] meyataka bayakya kejadia yag terjadi pada iterval [0,t], maka itesitas lokal di titik s dapat dihampiri dega 1 h N([ s h, s h ]). Sedagka pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas global suatu proses Poisso adalah dega meaksir rata-rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut pada iterval waktu [0,]. Secara matematis, itesitas global dapat dihampiri dega 1 N([0, ]). Peduga fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik dapat dibedaka berdasarka periodeya, yaitu proses Poisso dega periode yag diketahui da periode yag tidak diketahui. Utuk periode yag tidak diketahui, kekosistea peduga tipe kerel dari fugsi itesitas proses Poisso periodik (tapa tre) telah dibuktika pada Helmers et al. (003). Adapu utuk periode yag diketahui, kekovergea lemah da kuat peduga tipe kerel dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik telah dibuktika pada Magku (006). Peduga fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik berkembag dega meyertaka suatu kompoe tre. Kekosistea peduga tipe kerel dari fugsi

14 16 itesitas proses Poisso periodik ditambah suatu tre liear telah dibuktika pada Helmers da Magku (009). Selai itu, pedugaa fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik yag meyertaka suatu kompoe tre berbetuk fugsi pagkat telah dilakuka pula kajiaya. Kekosistea peduga kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk pejumlaha fugsi periodik dega tre fugsi pagkat megguaka fugsi kerel seragam telah dikaji pada Rahayu (008). Kemudia kekosistea peduga kompoe periodik tipe kerel dari fugsi itesitas berbetuk fugsi periodik ditambah tre fugsi pagkat juga dikaji pada Rachmawati (010). Selajutya kekosistea lemah da kuat dari peduga tipe kerel fugsi itesitas berbetuk perkalia fugsi periodik dega tre liear pada proses Poisso telah dibuktika pada Magku (011).