Definisi Integral Tentu

Transkripsi

1 Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km. Tetapi, apakah hal ii dapat terjadi dalam kehidupa sehari-hari, bahwa seseorag dapat megedari kedaraa selama 4 jam berturut-turut dega kecepata kosta? Mustahil terjadi, meskipu di jala tol sekalipu. Bisa jadi, satu jam pertama ditempuh dega kecepata 60 km / jam, setegah jam berikutya dega kecepata 20 km/jam, dua jam selajutya dega kecepata 40 km / jam da setegah jam sisaya ditempuh dega kecepata 70 km/jam. Latas, bila terjadi seperti kodisi tersebut maka berapa jarak tempuh selama 4 jam? Utuk mejawab permasalaha tersebut dapat ditujukka dega Gambar 1 berikut. Gambar 1 Jarak Tempuh Daerah yag diarsir pada Gambar 1 merupaka jarak tempuh, sehigga jarak tempuh selama 4 jam dihitug sebagai berikut, (60 x 1) + (20 x ½) + (40 x 2) + (70 x ½) = 220 km. Jadi, jarak tempuh sebagaimaa diperlihatka pada Gambar 1 merupaka luas dari daerah yag diarsir. Pedekata meghitug luas daerah (jarak tempuh) aka diperguaka utuk membatu medefiisika pegertia itegral tetu. Diberika permasalaha tetag meghitug luas daerah yag betukya tidak beratura. Misalka diberika daerah tertutup D yag dibatasi diatas oleh kurva y = x 2, dibawah oleh sumbu X, disampig kiri oleh sumbu Y, da disampig kaa oleh garis x = 2. Daerah D diperlihatka oleh Gambar 2 berikut.

2 Gambar 2 Daerah D Utuk meghitug luas daerah D, maka dilakuka pedekata luas segiempat. Perhatika bila iterval [0,2], dibagi mejadi dua sub iterval, maka dapat dibuat segiempat yag terletak di dalam daerah D, seperti terlihat pada Gambar 3 (i). Bila iterval [0,2] dibagi mejadi empat sub iterval, maka aka ada tiga segiempat yag terletak di dalam daerah D, Gambar 3 (ii) da bila [0,2] dibagi mejadi eam sub iterval, maka ada lima segiempat yag terletak di dalam daerah D, Gambar 3 (iii). Perhatika Gambar 3, haya tersedia gambar (i) sampai dega gambar (iii). Legkapilah tabel berikut. Bagaimaa cara ada meetuka utuk bayak partisi da jumlah luas partisi utuk gambar (iv) da gambar (v)? Jelaska jawaba ada. Gambar 2-3 (i) (ii) (iii) (iv) (v) Bayak partisi segiempat Jumlah Luas partisi segiempat

3 (i) (ii) (iii) Gambar 3 Partisi (Segiempat) dalam Daerah D Misalka luas daerah D disigkat dega LD da jumlah luas segiempat yag terletak di dalam daerah D disigkat dega PD. Apakah yag bisa ada ketahui tetag LD da PD? Adakah hubuga yag bisa ada simpulka tetag ilai LD da PD? Bila iterval [0,2] dibuat bayak sekali (bayakya bisa medekati tak higga) sub iterval, apakah kesimpula ada masih berlaku? Perhatika Gambar 4, haya tersedia gambar (i) sampai dega gambar (iii). Legkapilah tabel berikut. Bagaimaa cara ada meetuka bayak partisi da jumlah luas partisi utuk gambar (iv) da gambar (v)? Jelaska jawaba ada. Gambar 1-4 (i) (ii) (iii) (iv) (v) Bayak partisi segiempat Jumlah luas partisi segiempat (i) (ii) (iii) Gambar 4 Partisi (Segiempat) diluar Daerah D Sekarag perhatika bila iterval [0,2] dibuat mejadi dua sub iterval maka terdapat dua segiempat yag terletak di luar daerah D, Gambar 4 (i). Bila iterval [0,2] dibuat mejadi empat da eam sub iterval maka berturut-turut didapatka

4 empat da eam segiempat, Gambar 4 (ii) da (iii). Misalka jumlah luas segiempat yag terjadi diyataka dega PL. Apa yag bisa ada simpulka tetag ilai dari LD da PL? Adakah hubuga atara LD da PL? Misalka iterval [0,2] dibuat mejadi sebayak buah sub iterval ( bayak sekali da bahka medekati tak higga), apakah kesimpula ada masih berlaku? Perhatika Gambar 2. Misalka iterval [0,2] dibagi mejadi sebayak sub iterval yaitu 0 = x1 < x2 < x3 < < < < x = 2. Maka diperoleh ilai dari PD (jumlah luas partisi segiempat yag terletak di dalam daerah D) da PL (jumlah luas partisi segiempat yag terletak di luar daerah D) sebagai berikut PD f 1 1 f 1 k 1 k 0 PL f 1 f k 1 k 1 Notasi sigma diatas serigkali diamaka dega jumlah Riema. Secara visualisasi da perhituga, ampak bahwa PD LD PL atau f 1 LD f k 0 k 1 Bila ( meuju atau medekati tak higga) maka aka diperoleh bahwa x k 0 maka aka diperoleh limit jumlah Riema dari luasa tersebut yaitu lim f 1 LD lim f atau k 0 k 1 lim f 1 LD lim f 0 k0 0 k 1 Sebab ruas kiri da ruas kaa berilai sama maka dapat dituliska LD lim f lim f 0 k 1 k 1 Misal diberika daerah D yag dibatasi oleh fugsi y = f(x), f(x) > 0, sumbu X, garis x = a, da garis x = b yag didefiisika pada suatu iterval tutup [a,b], diperlihatka oleh daerah yag diarsir pada Gambar 5 berikut.

5 D Gambar 5. Daerah D Perhituga luas daerah D dapat juga dilakuka dega meghitug jumlah luas partisi segiempat, amu partisi segiempat tersebut buka partisi yag terletak di dalam ataupu diluar daerah D. Perhatika Gambar 6. Misal dipilih sembarag ilai x = x 1 di atara a da b. Selajutya dibuat segiempat dega tiggi f(x 1 ) da lebar (b a), maka luas segiempat adalah L1 = (b a) f(x 1 ). Gambar 6 Perhatika Gambar 7. Misal dipilih dua ilai x = c 1 da x = c 2 di atara a da b. Selajutya dibuat segiempat dega tiggi f(c 1 ), lebar (x 1 a) da tiggi f(x 2 ), lebar (b x 1 ) maka jumlah luas dua segiempat adalah L2 = (x 1 a)f(c 1 ) + (b x 1 )f(x 2 ).

6 Gambar 7 Perhatika Gambar 8. Misal dipilih tiga ilai x = c 1, x = c 2, da x = c 3 yag terletak di atara a da b. Selajutya dibuat segiempat (1) tiggi f(c 1 ), lebar (x 1 a); (2) tiggi f(x 2 ), lebar (x 2 x 1 ); da (3) tiggi f(x 3 ), lebar (b x 2 ), maka jumlah luas tiga segiempat adalah L3 = (x 1 a)f(c 1 ) + (x 2 x 1 )f(x 2 ) + (b x 2 )f(x 3 ) Gambar 8 Bagaimaa cara yag harus dilakuka utuk meetuka jumlah luas buah segiempat? Perhatika Gambar 9. Padag segiempat ke k (partisi ke k) dega lebar partisi k 1 x da pajag partisi f x k, sehigga luas segiempat (partisi) ke-k adalah f x k dega x k terletak pada iterval (x k 1, x k ). Sebab fugsi f(x) > 0 maka ilai dari f 0 da f x k x 0 sebab x k 1 selalu positif. Bila fugsi f(x) terletak dibawah sumbu X maka ilai x k f da x k x k k f juga aka egatif. Oleh karea itu, jumlah Riema dari partisi bisa berilai positif atau berilai egatif.

7 Gambar 9 Misalka iterval [a,b] dibagi mejadi sub iterval (dalam hal ii diambil yag pajagya sama walaupu hal ii tidaklah mutlak), misal a x0 x1... x1 x b da x k x 1. Pada setiap sub iterval 1, x k kita ambil suatu titik x k (titik sembarag amu utuk memudahka pejelasa dipilih titik tegah sub iterval) yaitu 1 x k. 2 Partisi yag terbetuk merupaka segiempat dega ukura x da f x k sebagai lebar da pajag partisi, sehigga luas tiap partisi adalah f x. Oleh karea itu didapatka jumlah luas partisi pada iterval [a,b] yaitu : f k 1 x k x. Jumlah ii diamaka jumlah Riema utuk f(x) yag bersesuaia dega partisi. Maka luas daerah yag dibatasi oleh y = f(x), garis x = a, garis x = b, da sumbu X aka didekati oleh jumlah Riema di atas bila diambil ( medekati tak higga). Dari sii dapat didefiisika suatu itegral tetu yaitu itegral dari fugsi y = f(x) pada suatu iterval [a,b]. Defiisi Itegral Riema b a Misal fugsi f(x) kotiu pada iterval [a,b], x k x lebar 1 partisi yag terletak pada iterval [a,b], a = x 0, b = x, x k, maka 2 itegral dari f(x) atas iterval [a,b] didefiisika sebagai limit jumlah Riema, b a f ( x )dx lim x0k 1 f x x lim f x k k 1 k x

8 Bila limit ada maka fugsi f(x) dikataka itegrabel (dapat diitegralka) pada iterval [a,b]. Itegral ii disebut Itegral Riema atau Itegral Tetu.