KELUARGA EKSPONENSIAL Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Inferensial Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Pd

Transkripsi

1 KELUARGA EKSPONENSIAL Utuk Memeuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Iferesial Dose Pegampu: Nedra Mursetya Somasih Dwipa, M.Pd Disusu Oleh : V A4 Kelompok. Nuuk Rohaigsih (444009). Rochayati (444000) 3. Siam Tri Khasaah (44400) 4. Emi Suryai (444006) 5. Puika Dwi Yati ( ) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 06

2 KELUARGA EKSPONENSIAL A. Keluarga Ekspoesial Keluarga fugsi kepadata probabilitas yag tergatug pada parameter θ da berbetuk f(x; θ) = C(θ)e [Q(θ)T(x)] h(x) Dega x R, θ Ω( R) da C(θ) > 0 serta h(x) > 0 utuk x S diamaka keluarga ekspoesial. Jika variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik dega f(x; θ) dega θ Ω R maka fugsi kepadata probabilitas dari X sebagai f(x; θ) = C(θ)e [Q(θ)T(x)] h(x). Cotoh : Misalka f(x; θ) = ( x ) θx ( θ) x I A (x) dega A = {0,,, }. Fugsi probabilitas tersebut dapat diyataka sebagai f(x; θ) = ( x ) θx ( θ) x I A (x) x = ( θ) θ [ θ ] ( x ) I A(x) = ( θ) θ [log( e θ )] ( x ) I A(x) maka fugsi probabilitas dari distribusi biomial f(x; θ) = ( x ) θx ( θ) x I A (x) adalah f(x; θ) = ( θ) θ [log( e θ )] ( x ) I A(x). Sehigga distribusi Biomial merupaka aggota keluarga ekspoesial dega C(θ) = ( θ), Q(θ) = log ( θ θ ), T(x) = x, h(x) = ( x ) I A(x). Cotoh : Misalka variabel radom X berdistribusi N (μ, σ ). Jika σ diketahui μ = θ maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah

3 f(x, θ) = (x μ) πσ e[ σ ] f(x, θ) = = (x θ) πσ e[ σ ] = (x xθ+θ ) πσ e[ σ ] = πσ e[ x σ ] e [xθ σ ] e [ θ σ ] θ πσ e[ σ ] e [ θ σ x] e [ σ x ] dega θ R sehigga distribusi tersebut merupaka aggota keluarga ekspoesial dega c (θ) = θ πσ e[ σ ], Q (θ) = θ σ, Jika μ diketahui da σ = θ maka X adalah, T(x) = x, h (x) = e[ f(x, θ) = (x μ) πσ e[ σ ] x σ ]. fugsikepadata probabilitas dari = (x μ) πθ e[ θ ] f(x; θ) = πθ e[ θ (x μ) ] Dega θ (0, ) sehigga distribusi tersebut keluarga ekspoesial dega c(θ) = πθ, Q(θ) = θ, T(x) = (x μ), h(x) =. merupaka aggota Jika ruag parameter dari keluarga fugsi kepadata ekspoesial parameter megadug iterval o degeerate maka keluarga tersebut legkap. Teorema.6 Misalka X variabel radom dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) dega θ Ω R seperti tersebut diatas. Keluarga

4 G = {g(x; θ) θ Ω} merupaka fugsi kepadata probabilitas dari T (X) maka G legkap asalka Ω megadug iterval o degeerate. Teorema.7 Misalka X, X,,.. X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi kepadata probabilitas merupaka aggota keluarga ekspoesial parameter.. Statistik T = i= T (X ) merupaka statistik cukup utuk θ.. Fugsi kepadata probabilitas dari T* selalu berbetuk g( t; ) Q t c e h* t 3. Jika variabel radom kotiu maka fugsi kepadata probilitasya dapat diyataka sebagai g Q t t; c e h* t

5 Teorema berikut ii meyataka sifat kelegkapa dari suatu keluarga distribusi. Teorema.8 Keluarga G gx; degeerate. legkap asalka megadug iterval o Dalam hal ii G gx; dega kepadata probabilitas dari statistik cukup Teorema.9 Misalka X,..., g( x; ) T * adalah keluarga fugsi, X X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi kepadata probabilitas merupaka aggota keluarga ekspoesial da T * seperti didefiisika pada Teorema.7.. Jika V sebarag statistik yag lai, V salig bebas jika da haya jika distribusi dari V da Cotoh 3: Misalka T * tidak tergatug pada X X,..., X variabel radom salig bebas dega fusi, kepadata N,. Statistik yag merupaka aggota keluarga ekspoesial dalam X X i i Merupaka statistik cukup utuk sedagka S i X X merupaka statistik lai yag tidak tergatug pada θ maka dega megguaka Teorema.9 diperoleh bahwa x da S salig bebas. B. Geeralisasi dari Keluarga Ekspoesial Misalka X, X,, X variabel radom salig bebas da X = (X, X,, X ) t. Fugsi kepadata probabilitas bersama dari merupaka aggota keluarga ekspoesial r parameter jika mempuyai betuk i

6 f(x; θ) = c(θ)e [ i= Q i(θ)t i (x)] h(x) dega x = (x, x,, x ) t utuk i =,,., k da k, θ = (θ, θ,, θ ) t ε Ω R r, C(θ) > 0, θ ε Ω da h(x) > 0 utuk x ε S himpua ilai positif dari f(x; θ) yag salig bebas terhadap θ. Cotoh 4: Misalka variabel radom X berdistribusi N(θ, θ ). Fugsi kepadata probalitas dari X dapat diyataka sebagai f(x, μ) = (x μ) πσ e[ σ ] f(x, θ) = (x θ) πσ e[ σ ] = (x xθ+θ ) πσ e[ σ ] = πσ e[ = x σ ] e [xθ f(x; θ, θ ) = e [ θ πθ σ ] e [ θ σ ] θ πσ e[ σ ] e [ θ σ x] e [ σ x ] x] θ [ θ x x e θ θ ] Hal ii berarti keluarga distribusi ormal merupaka aggota keluarga distribusi ekspoesial dega da c(θ) = e [ θ ] θ, Q (θ) = θ, Q πθ θ (θ) = θ Dalam hal ii θ = (θ, θ ). T (x) = x, T (x) = x, h(x) =