PEMODELAN DATA TIME SERIES DENGAN PENALIZED SPLINE FILTER. Wuleng,A.T., Islamiyati,A., Herdiani, E.T. Abstrak

Transkripsi

1 PEMODELAN DATA TIME SERIES DENGAN PENALIZED SPLINE FILTER Wuleg,A.T., Islamiyati,A., Herdiai, E.T. Abstrak Regresi oparametrik adalah suatu pedekata regresi utuk pola data yag tidak diketahui betuk kurva regresiya. Data time series merupaka data yag memperkiraka besarya atau jumlah sesuatu pada waktu yag aka datag berdasarka data masa lampau. Data time series diasumsika errorya salig berkorelasi membutuhka aalisis tersediri, salah satu pedekata yag dapat diguaka adalah pedekata oparametrik yaitu Pealized Splie Filter. Pealized Splie Filter merupaka salah satu betuk peaksir regresi oparametrik, dimaa fugsi pealtiya megguaka fugsi filter. Estimasi fugsi Pealized Splie Filter megguaka metode least square da diaplikasika pada data ilai kurs rupiah terhadap dollar Amerika Serikat pada bula jauari 202 selama 30 hari. Melalui pedekata Pealized Splie Filter diperoleh hasil bahwa berdasarka model optimal, maka dapat dijelaska bahwa perubaha kurs rupiah terhadap dollar Amerika Serikat pada taggal 4 Jauari 202 telah megalami peurua yag sagat drastis. Kata Kuci : Regresi oparametrik, Pealized Splie, Time Series, Pealized Splie Filter.. Pedahulua Pedekata regresi oparametrik memiliki fleksibilitas yag tiggi, karea data diharapka mecari sediri betuk estimasi kurva regresiya tapa dipegaruhi oleh faktor subyektivitas peeliti. Salah satu model regresi dega pedekata oparametrik yag sagat serig diguaka utuk melakuka estimasi terhadap kurva regresi adalah regresi splie. Splie merupaka salah satu model yag mempuyai iterpretasi statistik da iterpretasi visual yag baik. Selai itu, splie juga mampu meagai karakter data da fugsi yag bersifat mulus da memiliki kemampua yag sagat kecil utuk meagai data yag perilakuya berubah pada sub iterval tertetu (Cox da O Sulliva,996). Pegguaa regresi oparametrik dapat diguaka pada beberapa jeis data, misalya data cross-sectio, logitudial, pael da time series. Data time series yag diasumsika errorya salig berkorelasi membutuhka aalisis tersediri. Berbagai pedekata aalisis time series sudah diguaka oleh bayak peeliti melalui pedekata parametrik, baik pada data yag stasioer maupu pada data yag tidak stasioer. Pedekata lai yag dapat diguaka utuk megaalisis data time series adalah pedekata oparametrik (Kauermam da Krivobokova, 2008). Salah satu pedekata oparametrik yag dapat diguaka adalah Pealized Splie Filter, yaitu splie yag megguaka filter dalam fugsi pealtiya. 2. Tijaua Pustaka 2. Model Regresi Parametrik Aalisis regresi adalah suatu metode dalam statistika yag diperguaka utuk melihat/meyelidiki pola hubuga sepasag variabel atau lebih. Misalka dimiliki sekumpula data berpasaga (t, y) da hubuga atara kedua variable diasumsika megikuti model regresi : y = f t i + ε, i =,2,, () Dega f kurva regresi da ε error radom yag diasumsika berdistribusi ormal idepede dega mea ol da variasi σ 2. Dalam regresi parametrik terdapat asumsi yag sagat kaku da kuat yaitu betuk kurva regresi diketahui, misalya liear, kuadratik, kubik, polyomial derajat p, ekspoe da lai-lai. Utuk memodelka data megguaka regresi parametrik liear, kuadrat, kubik atau yag lai-lai, umumya dimulai dega membuat scatter plot (Budiatara, 2006).

2 2.2 Model Regresi Noparametrik Splie Salah satu model regresi dega pedekata o parametrik yag dapat diguaka utuk meduga kurva regresi adalah regresi splie. Regresi splie adalah suatu pedekata ke arah plot data dega tetap memperhitugka kemulusa kurva. Splie dalam regresi oparametrik mempuyai sifat fleksibilitas yag tiggi da mempuyai kemampua megestimasi perilaku data yag cederug berbeda pada iterval yag berlaia (Eubak, 988 da Budiatara, 2006). Sifat ii memugkika model regresi splie meyesuaika diri secara efektif terhadap karakteristik lokal dari data. Pegguaa splie difokuska kepada adaya perilaku atau pola data, yag pada daerah tertetu mempuyai karakteristik yag berbeda dega daerah lai. Kemampua ii ditujukka oleh fugsi trucated (potoga-potoga) yag melekat pada estimator da potoga-potoga tersebut yag disebut titik kots. Titik kots merupaka titik perpadua bersama yag meujukka perubaha pola perilaku fugsi pada selag yag berbeda (Hardle, 990). Regresi oparametrik splie, dari fugsi f seperti dibawah ii : y = f t i + ε, t ε a, b, i =,2,, (2) Pemulusa splie aka megestimasi fugsi f sebagai solusi dari masalah optimasi yaitu dega mecari f ε L 2 a, b yag memiimumka jumlah kuadrat galat terpealti (pealized residual sum of square) sebagaimaa persamaa Pealized Splie Filter (PLS) berikut: b PLS = y f(t i ) 2 + λ f m (t i ) 2 dx i= a (3) (Wahba, 990) 2.3 Pealized Splie Pealized Splie merupaka salah satu betuk regresi splie yag memuat fugsi dega memperhitugka parameter peghalus λ. Metode optimasi yag diguaka adalah Pealized Least Square (PLS) sebuah metode yag memberika kompoe peghalus pada metode least square. PLS yaitu kriteria optimasi yag meggabugka atara kecocoka terhadap data da kemulusa kurva. Peduga fugsi yag mampu memetaka data dega baik serta mempuyai ragam galat yag kecil. Oleh karea itu, dega megguaka data amata sebayak, maka f(t) diperoleh dega memiimumka fugsi Pealized Least Square, yaitu : 2.4 Time Series PLS = (y i f t i ) 2 + λ f p (t i ) 2 dt i= Peramala adalah memperkiraka besarya atau jumlah sesuatu pada waktu yag aka datag berdasarka data masa lampau yag diaalisis secara alamiah khususya megguaka metode statistika (sudjaa, 984:254). Ada dua jeis model peramala yag utama, yaitu model rutu waktu (time series) da model regresi (kausal). Pada model rutu waktu, peramala masa depa dilakuka berdasarka ilai pada masa lalu dari suatu variabel da kesalaha pada masa lalu, tujua model rutu waktu adalah meemuka pola dalam rutu data histories da meerapka pola tersebut ke masa depa. Sedagka model kausal megasumsika bahwa faktor yag diramalka meujukka suatu hubuga sebab akibat dega satu atau lebih variabel bebas. 2.5 Pealized Splie Filter Pealized splie filter (PSF) diguaka pada data time series yag diasumsika errorya salig berkorelasi. Dega megguaka fugsi pealized splie filter (PSF), yaitu :

3 y f(t i ) 2 + λ f(t i ) f(t i ) f(t i ) f(t i 2 ) 2 i= i=3 (4) Dimaa, Istilah pertama adalah ukura kesesuaia time series sedagka istilah kedua adalah ukura kemulusa kurva yaitu ukura kemulusa kurva dalam memetaka data, da 0 < λ < adalah parameter pemulus, yaitu pegotrol keseimbaga atara kecocoka terhadap data (Goodess-of-Fit) da kemulusa kurva (pealty). Lebar λ (dari iterval) disebut parameter peghalus. Jika λ besar (iterval kecil), maka aka diperoleh peaksir dega bias yag besar tetapi memiliki variasi yag kecil (oversmoothig) atau peaksir kurva yag diperoleh aka semaki mulus. Sebalikya jika λ kecil (iterval besar), maka aka diperoleh peaksir dega bias yag kecil amu variasiya besar (udersmoothig). Dega kata lai ukura stadar jumlah kuadrat galat da medomiasi kriteria peaksira kurva, sehigga megakibatka kurva mejadi sagat fluktuatif (Simajutak, 2009) 3. Hasil da Pembahasa 3. Estimasi Regresi Noparametrik Pealized Splie Filter dega Metode Least Square Model Noparametrik Pealized Splie Filter (PSF) pada data time series telah diberika pada bab sebelumya yag dituliska dalam betuk : (4.) y f(t i ) 2 + λ f(t i ) f(t i ) f(t i ) f(t i 2 ) 2 i= i=3 dimaa : i= y f(t i ) 2 : fugsi goodess of fit λ i 3 f(t i ) f(t i ) f(t i ) f(t i 2 ) 2 : fugsi pealty yag memperhitugka ilai λ sebagai parameter peghalus da f sebagai fugsi filter. f(t) pada persamaa (4.) merupaka fugsi splie liear dega titik kot yag dapat dituliska sebagai berikut : f t = β 0 + β t + β 2 (t k ) + (4.2) da jika dituliska dalam betuk matriks maka aka mejadi : f = Tβ dimaa : f T (T k) + β f f = 2 0, T = T 2 (T 2 k) +, β = β f β t T t (T t k) 2 + Sedagka f t i, f t i, da f(t i 2 ) sebagai fugsi filter, dimaa fugsi filter ii merupaka fugsi liear dari t i, t i, da t i 2 dega i = 3,4,, t. Sehigga dapat dituliska sebagai berikut : f t i = T i β i, i = 3,4,, t f t i = T i β i, i = 2,3,, t f t i 2 = T i 2 β i 2, i =,2,, t Selajutya, persamaa (4.) dapat dituliska dalam betuk matriks mejadi : PSF = y TB y TB + λ Tβ 2T β + T 2 β 2 Tβ 2T β + T 2 β 2

4 Kurs = y y 2β T y + β T Tβ + λ β T Tβ 2β T T β + β T T 2 β 2 2β T Tβ + 4β T T β 2β T T 2 β 2 + β 2 T 2 Tβ 2β 2 T 2 T β + β 2 T 2 T 2 β 2 selajutya pada persamaa diatas dituruka terhadap β, yaitu : d(psf) = 0 2T y + 2T Tβ + λ 2T Tβ 2T T dβ β + T T 2 β 2 2β T T + β 2 T 2 T β = T T + λ T Tβ 2β T T + β 2 T 2 T β = T T + λpf + T y Dimaa, P = T 2 xt + T y da f = 0 0 Tx Jika β disubsitusi dega peaksirya, maka aka diperoleh : y = Tβ + ε Sehigga, estimasi kurva splie dega Pealized Splie Filter diperoleh : y = Tβ = T T T + λpf + T Terlihat bahwa pedugaa kurva splie dega PSF merupaka kelas pedugaa liear dalam observasi respo y da bergatug pada R, dalam hal ii adalah titik kot k da parameter peghalus λ Model Regresi Pealized Splie Filter pada Data Time Series Plot Data Pegguaa regresi oparametrik didasarka pada plot data yag tidak megikuti suatu pola parametrik atau dapat pula berdasarka pada teori yag ada sebelumya bahwa kecederuga data tidak megikuti pola parametrik atau sagat berfluktuatif. Adapu plot data tersebut ditujukka pada gambar, sebagai berikut : f f 2 f t Data Kurs Rupiah 28-Dec-2-Ja-27-Ja-22-Ja-27-Ja-222-Ja-227-Ja-2-Feb-2 Taggal Gambar. Plot data Kurs Rupiah pada taggal Jauari 202 sampai 30 Jauari 202

5 ilai iali tukar rupiah Dari Gambar () di atas data yag diguaka adalah data kurs rupiah yag dimulai pada taggal Jauari 202 sampai 30 Jauari 202 yag dapat disimpulka bahwa data tidak megikuti sebuah pola parametrik, dimaa terlihat pada iterval iterval waktu tertetu terjadi pola yag berbeda dega iterval waktu laiya. Terlihat bahwa pada taggal 7 Jauari 202, Kurs Rupiah megalami peurua yag sagat drastis da terus meigkat ke hari-hari setelahya. Sehigga data ilai tukar rupiah dapat dipolaka dega pedekata regresi oparmaterik, khususya dega megguaka Pealized Splie Filter Pemiliha Titik Kot Pemiliha titik kot sagat petig, karea berpegaruh pada model regresi splie yag aka di pilih. Peetua kot yag berbeda aka meghasilka model regresi splie yag berbeda pula. Titik kot tersebut aka berpegaruh pada ilai MSE λ da GCV(λ). Pemiliha titik kot pada pedekata regresi splie liear aka ditujukka pada tabel. 4. Tabel 4 Nilai GCV da MSE pada titik kot utuk splie liear Titik Kot Titik GCV MSE (k) Kot (k) GCV MSE () (2) (3) (4) (5) (6) Berdasarka Tabel 4. meujukka bahwa pegguaa titik kot diperoleh ilai GCV da ilai MSE yag terkecil pada k = 3. Dari pemiliha jumlah titik kot optimum, ilai GCV yag terkecil berada pada titik kot 3 yaitu sebesar da ilai MSE sebesar Sehigga model splie liear yag optimal diguaka adalah model splie liear dega titik kot. Kurva splie liear dega titik kot (k = 3) sebagai berikut : Gambar 4.2. Kurva splie liear dega GCV(k) dega titik kott hari Berdasarka Gambar 4.2 meujukka bahwa data tersebar di sekitar garis estimasi, sehigga pola yag terbetuk dari hasil estimasi tersebut dapat diiterpretasika berdasarka model optimal yag diperoleh dari pegguaa titik kot. Dega megguaka software S Plus 2000 da persamaa β = T T T T T y, maka diperoleh model splie dega titik kot sebagai berikut :

6 ilai iali tukar rupiah y = t t 3 + Model regresi splie di atas mempuyai ilai GCV sebesar dega R 2 sebesar 76,93%. Hal ii meujukka bahwa model di atas merupaka model regresi splie terpealti yag optimal dalam mejelaska kurs rupiah terhadap dollar dalam setiap hariya pada bula Jauari tahu 202, termasuk pola perubaha yag teridetifikasi dalam model tersebut Model Pealized Splie Filter (PSF) optimal berdasarka titik Kot da λ optimal Pemiliha titik kots sagat mempegaruhi hasil estimasi yag optimal dalam regresi splie. Titik kot yag terpilih adalah titik kot yag memberika ilai GCV da MSE yag miimum, dega ilai λ yag diguaka adalah 0 < λ <. Dari beberapa ilai λ yag dicobaka, diperoleh ilai GCV miimum pada λ = Selajutya, dega λ = 0.00 aka dilakuka pemiliha titik kot seperti yag aka ditujukka pada Tabel 4.3. Tabel 4.3 Nilai GCV da MSE dega λ = 0.00 pada titik kot utuk splie liear Titik Kot (k) GCV MSE () (2) (3) Berdasarka Tabel 4.3 di atas dapat dilihat bahwa pada pegguaa titik kot da ilai λ = 0.00 diberika ilai GCV yag miimum pada titik k = 3 dega ilai GCV sebesar da MSE sebesar Gambar yag bersesuaia dega titik kot ( k = 3) aka ditujukka pada gambar 4.3 dibawah ii : hari Gambar 4.3. Estimasi Kurva splie liear dega GCV(k) dega titik kot

7 Berdasarka Gambar 4.3 meujukka bahwa data tersebar di sekitar garis estimasi, sehigga pola yag terbetuk dari hasil estimasi tersebut dapat diiterpretasika berdasarka model optimal yag diperoleh dari pegguaa titik kot, diperoleh model Pealized Splie Filter dega titik kot sebagai berikut : y = t t 3 + Model Pealized Splie Filter di atas mempuyai ilai GCV sebesar dega R 2 sebesar 76,2%. Hal ii meujukka bahwa model di atas merupaka model Pealized Splie Filter yag optimal dalam mejelaska kurs rupiah terhadap dollar dalam setiap hariya pada bula Jauari tahu 202, termasuk pola perubaha yag teridetifikasi dalam model tersebut. Berdasarka model optimal, maka dapat dijelaska bahwa perubaha kurs rupiah terhadap dollar Amerika pada taggal 4 Jauari 202 telah megalami peurua yag sagat drastis 5. Kesimpula da Sara 5.. Kesimpula Berdasarka uraia pada bab sebelumya dapat disimpulka beberapa, yaitu :. Estimasi Regresi Noparamterik Pealized Splie Filter (PSF) melalui Pealized Least Square (PLS) pada data time series diperoleh : dega, y = Tβ = T( T T + λpf + T ) β = T T + λpf + T y 2. Model Regresi Pealized Splie Filter pada data kurs rupiah dega megguaka titik kot da parameter peghalus λ = 0,00, yaitu yaitu : y = t t 3 + Dega ilai GCV sebesar dega R 2 sebesar 76,2%. Hal ii meujukka bahwa model di atas merupaka model Pealized Splie Filter yag optimal dalam mejelaska kurs rupiah terhadap dollar dalam setiap hariya pada bula Jauari tahu 202, termasuk pola perubaha yag teridetifikasi dalam model tersebut. Berdasarka model optimal, maka dapat dijelaska bahwa perubaha kurs rupiah terhadap dollar Amerika pada taggal 4 Jauari 202 telah megalami peurua yag sagat drastis Sara Berdasarka pembahasa di atas, maka peulis meyaraka utuk selajutya megkaji beberapa pedekata regresi oparametric yag memperhitugka fugsi filter selai splie filter, misalya HP filter, BP filter, dll. Selai itu, masih perlu megkaji lebih lajut tetag splie filter, khususya pada data dalam jumlah yag lebih bayak. DAFTAR PUSTAKA Budiatara, I.N.,(2006). Regresi Noparametrik Dalam Statistika. Makalah Pembicara Utama pada Semiar Nasioal Matematika, Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Makassar (UNM), Makassar. Cox, D.D. da O Sulliva, F., (996), Pealized Type Estimator for Geeralized Noparametrik Regresisio., Joural of Multivariate Aalysis, 56, Eubak, R. L. (988), Splie smoothig ad Noparametrik Regressio, Marcel Dekker, New York Hardle, W., (990), Applied Noparametric Regressio, Cambridge Uiversity Press, New York Kauerma, Gora da Tatyaa Krivobokova,. (2008), Filterig Time Series with Pealized Splies, New School, New York Wahba, G. (990), Splie Models For Observatio Data, SIAM Pesylvaia