Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata berlaku untuk fungsi f dengan f() + 5 pada selang [; ]. Jika ya, tentukan nilai c (; ) yang memenuhi f(c) R f(). (Kalkulus) Tentukan solusi persamaan diferensial (Kalkulus ) Tentukan d (a) @ (b) 4 j dy y + y ; y() e: t sin(t + ) dta j :
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y + dan kurva y. 5. Tentukan integral tak tentu berikut 6 + 4 ( )( + ) : 6. Tentukan dy dari y (sin ) y ln ; < < : 7. Tentukan integral tak tentu berikut p ln( p ) 8. Misalkan f terde nisi pada R: (a) Buktikan bahwa 4 f ( p ) f () (b) Jika f() dan R 4 f ( p ) R f(), berdasarkan (a) hitung 9. Misalkan fungsi f kontinu pada R sehingga f(t) dt cos + f(t) sin t dt Tentukan 4 f() :
. (Kalkulus) Virus in uenza menyebar pada komunitas yang terdiri N orang. Diketahui bahwa pada komunitas tersebut ada (t) orang yang telah tertular in uenza pada saat t. Misalkan laju penyebaran virus in uenza proporsional dengan perkalian antara banyaknya orang yang tertular, (t), dengan banyaknya orang yang tidak tertular in uenza, (N (t)). (a) Rumuskan permasalahan di atas kedalam persamaan diferensial, (b) Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut. (Kalkulus ) Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R, seperti terlihat pada gambar di bawah ini, diputar mengelilingi (a) sumbu, (b) sumbu y.
. JAWABAN UJIAN KEDUA KALKULUS/KALKULUS SEMESTER PENDEK 4 JUMAT, AGUSTUS 4 ( JAM) (a) (b) Dengan memisalkan + 4 4 + ln + C: u 4 + 5 ) du 8 ) du ; 4 maka p 4 + 5 4 pudu 4 6 4 + 5 + C: u + C. Karena f merupakan fungsi polinom maka f kontinu di setiap bilangan real, sehingga f kontinu pada selang [; ] : Jadi Teorema Nilai Ratarata berlaku untuk fungsi tersebut pada selang [; ] : f (c) R ( + 5) ( + ) 6: + 5 Jadi c + 5 6 ) c :. (Kalkulus) Persamaan diferensialnya dy y + y + y 4
Dengan memisahkan peubah dengan y-nya diperoleh y dy + + y dy + ln jyj + ln jj + C: Nilai konstanta C diperoleh dari nilai awal y () e; berarti jika maka y e; sehingga ln jej + ln jj + C + + C ) C : Jadi solusi khusus persamaan diferensialnya adalah (Kalkulus ) (a) d (b) Karena maka 4 @ ln jyj + ln jj : t sin t + dta sin j j j j + d (sin 6 + ) 5 sin 6 + : ; jika ( ) ; jika < ( ) + 4 ( ) + + 4 8 + 8 + 4 + 4 + 64 8 6 4 5
4. Gambar daerah yang dibatasi kurva y + dan y adalah Luas daerahnya adalah L + + + 4 8 + 9 Catatan: Misalkan tidak diketahui gambarnya, maka ditentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva dengan cara sebagai berikut: + ( ) ( + ) atau 6
Kemudian untuk menentukan kurva yang di atas atau kurva yang di bawah, misalkan f () dan g () +, kemudian periksa nilai f () g () pada selang yang ditentukan. Untuk kasus ini, f () g () ( + ) dan pada selang [ ; ] f () g () Jadi kurva f di bawah kurva g pada selang [ ; ] : 5. 6 + 4 ( ) ( + ) A + B + C + A ( + ) + (B + C) ( ) ( ) ( + ) Jadi 6 + 4 A + + (B + C) ( ) : ) A ) A ) 4 A + C ) C ) A + B + C ) B Ini berarti 6 + 4 ( ) ( + ) + + : Integral bagian pertama diselesaikan dengan memisalkan u ) du ; sehingga u du ln juj + C ln j j + C : Integral bagian kedua diselesaikan dengan memisalkan u + ) du ; sehingga + u du ln juj + C ln + + C : 7
Jadi 6 + 4 ( ) ( + ) + + ln j j + ln + + C: 6. y (sin ) y ln ; < < Kedua ruas di-lnkan sehingga diperoleh ln y ln y ln h(sin ) i y ln ln (sin ) Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap, maka dy dy y ln + y ln (sin ) + y ln (cos ) sin (ln ) (ln (sin )) dy y dy (ln ) (ln (sin )) dy y (ln ) (cos ) + sin y ln (sin ) + + y ln (sin ) y (ln ) (cos ) sin y ln (sin ) y (ln ) (cos ) + sin (ln ) (ln (sin )) y 7. p ln p p ln p ln () p ln () Dengan memisalkan u ln ) du dv p ) v ; 8
dan dengan pengintegralan parsial diperoleh p ln () (ln ) 8. Misalkan f terde nisi pada R: (a) Misalkan (ln ) (ln ) (ln ) + C 9 + C: z p ) dz p ) p dz ) z dz :Batas pengintegralan diubah menjadi sehingga 4 p f ) z p 4 ) z p 4 ; zf (z) dz (b) Dengan pengintegralan parsial dan pemisalan dan maka u ) du dv f () ) v f () ; f () f () f () : @[ f ()] f () A ff () ( )g (4 + ) : 9
9. Jadi d f (t) dt d cos + f () sin + f () sin () sin f () sin f () sin sin sin cos Dengan memisalkan 4 f () 4 sin cos : f (t) sin (t) dt u cos ) du sin ; dan mengubah batas pengintegralan diperoleh ) u cos 4 ) u cos 4 p 4 sin cos p u du p ( ) p u p p :. (Kalkulus) Pada suatu komunitas terdapat N orang. Misalkan (t) adalah banyaknya orang yang tertular in uenza pada saat t: Karena laju penyebaran virus in uenza proporsional dengan perkalian antara banyaknya orang yang tertular dengan banyaknya orang yang tidak tertular, mak (a) (t) dt k (t) (N (t)) ;
atau jika (t) ; maka persamaan diferensial tersebut dapat ditulis k (N ) : dt (b) Untuk menentukan solusinya, peubah-peubahnya harus dipisahkan sehingga diperoleh k dt (N ) (N ) k dt Untuk menyelesaikan integral bagian pertama, maka (N ) A + B N A (N ) + B (N ) (samakan penyebut). Jadi A (N ) + B: ) AN + ) A N N ) + BN ) B N ; sehingga (N ) N + N N N ln jj + N ( ) ln jn j + C : Karena > dan N > ; maka ln jj ln () dan ln jn j ln (N ), sehingga (N ) N ln() N ln(n ) + C ; sedangkan k dt kt + C :
Ini berarti (Kalkulus ) N ln() N ln(n ) kt + C N [ln ln (N )] kt + C N ln N kt + C ln N Nkt + NC N enkt+nc e Nkt e NC Ce Nkt Titik potong kedua kurva dapat ditentukan dari Karena j + j j + j 4 4 6: + ; jika ( + ) ; jika < maka terdapat dua kasus dalam mencari titik potong: Kasus : untuk < ( + ) 4 4 6 ) 4 4 6 + ) ( + ) ) atau Karena < ; maka titik potong kedua kurva adalah di : Kasus : untuk + 4 4 6 ) + 5 + 4 ( + 4) ( + ) ) 4 atau : Karena ; maka titik potongnya adalah : Dari persamaan fungsi nilai mutlaknya, diketahui bahwa titik "puncak" nilai mutlak adalah titik ( ; 4) : Fungsi kuadrat y 4 6 + 4 + 6 ( + ) + ( + ) : Jadi "puncak" fungsi kuadratnya adalah titik ( ; ) :
(a) Volume benda putar yang diperoleh jika daerah R diputar mengelilingi sumbu- adalah h V (j + j 4) 4 6 i (metode cincin) + n ( ( + ) 4) 4 6 o n (( + ) 4) 4 6 o atau jika diselesaikan dengan metode kulit tabung, maka terlebih dahulu harus ditentukan persamaan kurva kuadrat dalam y sebagai berikut Bila y ( + ) ( + ) y ; maka + ; sehingga + p y ) + p y ; sedangkan jika < ; maka + < ; sehingga + p p y ) y :
Persamaan nilai mutlaknya juga harus dituliskan sebagai y + ; untuk (karena y + 4) y 6; untuk < (karena y 4) Jadi volume benda putarnya adalah V + 4 ( y) [(y + ) ( y 6)]dy h ( y) + p y p y i dy Catatan: Pada metode cincin, dikalikan dengan "jari-jari luar" "jari-jari dalam" Penggunaan metode kulit tabung pada kasus ini, i. y harus dikalikan ( ) karena y berada di kuadran ke- sehingga y < ; padahal jari-jari harus bernilai positif ii. panjang/tinggi tabung tetap diambil yang positif, yaitu "kanan kiri". (b) Volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y (dengan menggunakan metode kulit tabung) adalah V + ( ) 4 6 (j + j 4) ( ) 4 6 ( 4) ( ) 4 6 ( + 4) Jika diselesaikan dengan menggunakan metode cincin, maka rumus integralnya adalah V + 4 ( y 6) (y + ) dy p y + p y dy 4