Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
|
|
- Dewi Kusnadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti notasi Leibniz istilah anti turunan kita ganti dengan istilah integral tak tentu. Secara umum, setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat: 1. memahami konsep integral tak tentu;. memahami sifat-sifat integral tak tentu. Secara khusus, setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. menentukan integral tak tentu suatu fungsi secara langsung;. menentukan integral tak tentu melalui substitusi sederhana;. menggunakan integral tak tentu untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan peubah terpisah, masalah gerak lurus dan masalah ekonomi.
2 1. Kalkulus II Kegiatan Belajar 1 Anti Turunan (Integral Tak Tentu) Definisi 1.1 Fungsi F disebut suatu anti turunan dari fungsi f di suatu selang I apabila F( x) f ( x). Sebagai ilustrasi perhatikan contoh-contoh berikut Contoh 1.1 Apabila diberikan fungsi Jadi apabila kita sebut F( x) 5x x 7, maka F( x) 15x 6 x. f ( x) 15x 6x maka f adalah turunan dari F, ini berarti F adalah anti turunan dari f. Namun demikian apabila G( x) F( x) C; C suatu konstanta sebarang maka G( x) F( x) f ( x). Ini berarti G(x) juga merupakan anti turunan dari f. Jadi anti turunan dari fungsi f sangat banyak. Contoh 1. Jika diberikan fungsi F(x) = C, C konstanta maka F( x) 0. Ini berarti anti turunan dari fungsi f(x) = 0 adalah fungsi konstan. Contoh 1. Misalkan dua fungsi f dan g memenuhi hubungan f ( x) g( x). Selisih fungsi f dan g kita sebut h( x) f ( x) g( x). Sehingga didapat h( x) f ( x) g( x) 0. Dari Contoh 1., hal ini berarti h(x) = C, C konstan dan C = f(x) g(x) atau f(x) = g(x) + C. Contoh ini memberi kesimpulan bahwa dua fungsi yang turunannya sama, maka kedua fungsi tersebut berbeda dalam konstanta.
3 MATA4111/MODUL 1 1. Pembahasan selanjutnya akan digunakan istilah integral tak tentu untuk anti turunan. Apabila F( x) f ( x), integral tak tentu dari fungsi f terhadap x adalah f ( x) dx F( x) C ; C kontanta sembarang f(x) disebut integran, dx disebut integrator dan, F(x) disebut fungsi primitif. Teorema 1.1 i. dx x C k f x dx k f x dx k konstan ii. ( ) ( ) ; iii. iv. f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx n1 n x x dx c; n 1. n 1 Bukti: Semua bukti Teorema 1.1 dari nomor i sampai dengan iv berkaitan dengan rumus turunan. Sebagai contoh berikut ini bukti (iv). n1 n x ( n 1) x n d C dx x dx. n1 n1 Dengan demikian Teorema 1.1 bagian iv terbukti. Contoh 1.4 Hitunglah (x 7) dx. Dengan menggunakan (iii) dan (ii) (x 7) dx x dx 7dx
4 1.4 Kalkulus II x dx 7 1 x c 1 7( x c) x c1 7x 7 c. Karena c1 7c konstanta sebarang, hal tersebut dapat dinyatakan oleh C, sehingga diperoleh jawab 7 x x C dx Hasil ini dapat diperiksa dengan menurunkan d x 7x C x 7. dx Contoh 1.5 Tentukan 5 x dx x 5 x dx x dx C x c x x C 8 8 Contoh 1.6 Hitunglah 1 1 dx x x x x dx x x dx
5 MATA4111/MODUL x x x x C C x C x Dalam banyak hal untuk menentukan integral tak tentu tidak selalu bisa langsung diperoleh dengan menggunakan Teorema 1.1 di depan, tetapi terkadang dapat diusahakan dengan cara mengganti peubahnya. Sebagai contoh hitunglah integral berikut 4x 1 x dx. Substitusikan u1 x maka du xdx atau 4xdx du, sehingga 1 1 4x 1 x dx u ( du) u du 4 4 u C (1 x ) C Prosedur penyelesaian integral tersebut dapat dituangkan pada teorema berikut, yang analog dengan aturan rantai pada penurunan. Teorema 1. (Aturan rantai untuk integral tak tentu) Misalkan fungsi g dapat diturunkan terhadap x dan range dari fungsi g adalah selang I. Misalkan fungsi f terdefinisi di I dan F merupakan antiturunan dari f di I. Jika u = g(x), maka ( ) ( ) ( ) f g x g x dx C F g x C Bukti: Dengan menggunakan aturan rantai pada penurunan dan asumsi-asumsi yang ada pada Teorema diperoleh hal berikut df( u) df( u) du du f ( u). f g( x). g( x). dx du dx dx
6 1.6 Kalkulus II Dari sini dapat disimpulkan bahwa: f g( x) g( x) dx F( u) C F g( x) C atau lebih lengkap lagi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g x g x dx f u du F u C F g x C Teorema 1. Jika g fungsi yang diferensiabel dan u = g(x), maka Bukti: Jelas! n1 n1 n n u gx ( ) g( x) g( x) dx u du C C apabila n 1. Contoh 1.7 Hitunglah 5x4 dx. Dengan menggunakan Teorema 1.. n1 n1 Misalkan u = 5x - 4 maka du = 5dx atau 1 du dx, 5 sehingga x4 dx u. du 5 5 u du 1. u C 5 (5 x 4) C 15 Contoh 1.8 Hitunglah 10 x(4 x ) dx.
7 MATA4111/MODUL Karena d(4 x ) 6 x dx, maka dapat ditulis x(4 x ) dx (4 ) (4 ) 6 x d x (4 x ) C (4 ) 11 x C 66 Contoh 1.9 Hitunglah x x dx. Misalkan u x; maka dx u du. Dengan substitusi ini didapat u x atau x x dx ( u ). u. u du 6 4 xu (u 1u 18 u ) du dan diperoleh u u 6u C ( x) ( x) 6( x) C 7 5 Coba Anda periksa dengan cara menurunkan hasil terakhir ini, maka akan didapat fungsi yang diintegralkan.
8 1.8 Kalkulus II LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Tentukan integral tak tentu! 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) ( x x ) dx 5 dx x x x x 1 dx t dt t 1 y dy ( y) 6 (5x 1)(5 x x8) dx x s ds s 4 x x 1 dx. Petunjuk Jawaban Latihan 1) ) ) 4) 1 x x x C 1 5x C x x ( 1) 9 x C 1 t 1 C
9 MATA4111/MODUL ) 6) 7) 8) ( ) 18( ) y y C 1 (5 8) 7 1 x x C 1 ( ) 6( ) s s C 1 1 x x x C RANGKUMAN Anti turunan integral tak tentu dari fungsi f adalah f ( x) dx F( x) C dengan F( x) f ( x) f( x ): disebut integran Fx ( ): disebut fungsi primitif dx : disebut integrator C : lambang integral : konstanta sebarang. Integral tak tentu bersifat linear, yaitu 1 1 k f ( x) k g( x) dx k f ( x) dx k g( x) dx k, k konstanta. 1 Sifat linear ini ekivalen dengan dan 1. k f ( x) dx k f ( x) dx f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx.. Teorema-teorema sederhana yang selanjutnya dijadikan rumus 1. dx x C. n1 n x x dx c, n 1 n 1
10 1.10 Kalkulus II f g x g x dx F g x C. ( ) ( ) ( ) dengan F( x) f ( x) 4. n1 n gx ( ) g( x) g( x) dx C, n 1. n 1 Dalam beberapa hal tertentu untuk menentukan integral tak tentu dapat dibalik dari rumus turunan. Tetapi untuk beberapa hal lain harus menggunakan teknik-teknik pengintegralan yang selanjutnya akan dibahas pada Modul Teknik Pengintegralan. TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) ) x x 1 dx sama dengan. 5 A. 9x x x C 5 4 B. x x x C C. x x x C D. x x x C x (1 x ) dx sama dengan. A. 5 x x 5 C 7 B. x x C C. x x x C D. 5 x x C
11 MATA4111/MODUL ) 4) 5) x x dx sama dengan A. ( x) ( x) 6( x) C B. ( x) ( x) ( x) C C. 7 1 ( x) ( x) 6( x) C D. 7 5 ( x) ( x) ( x) C 1 x x 1 dx sama dengan. A. ( 1) x C 9 1 B. x x C 9 1 C. x x C D. ( 1) 9 x C ( x x) dx sama dengan. x x 1 1 A. ( x x 1) C 1 B. ( 1) x x C 1 C. ( 1) x x C 1 D. ( x x 1) C
12 1.1 Kalkulus II Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
13 MATA4111/MODUL B Kegiatan Belajar Penggunaan Integral Tak Tentu eberapa penggunaan integral tak tentu akan dibahas pada Kegiatan Belajar ini. A. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL dy Persamaan diferensial f( x) dapat diubah menjadi ( ), dx dy f x dx yang merupakan persamaan diferensial dengan peubah dipisah. Apabila fungsi f merupakan turunan dari fungsi F, maka jika kedua ruas tersebut diintegralkan, yaitu dy f ( x) dx diperoleh y F( x) C; C konstanta sebarang. y = F(x) + C merupakan solusi persamaan diferensial di atas, yang merupakan keluarga (himpunan) fungsi dengan parameter C. Kurva fungsi-fungsi tersebut di bidang; masing-masing tidak ada yang berpotongan. Suatu titik tertentu ( x1, y 1) hanya dilalui oleh sebuah kurva dari anggota himpunan fungsi tersebut. Contoh 1.10 Tentukan semua solusi persamaan diferensial dy. x dx Kemudian gambarkan solusi tersebut! dy x dapat ditulis sebagai. dx dy x dx Apabila kedua ruas diintegralkan, yaitu dy x dx, maka didapat y C1 x C atau
14 1.14 Kalkulus II y x C, di mana C C C 1. Untuk menggambarkan solusi tersebut kita ambil beberapa nilai konstanta C, misalnya C, 1, 0, 1,. Maka diperoleh himpunan fungsi seperti yang terlihat pada Gambar 1.1. Y X Gambar 1.1 Gambar 1.1 Contoh 1.11 Tentukan solusi persamaan diferensial pada contoh 1.10, yang melalui titik (, 7). Dari Contoh 1.10, telah diperoleh solusi persamaan diferensial y x C Isikan koordinat titik (, 7) ke solusi tersebut C =. 7 C, maka didapat Jadi yx merupakan solusi khusus dari persamaan diferensial di contoh 1.10, yang melalui titik (, 7).
15 MATA4111/MODUL Contoh 1.1 Gradien garis singgung pada suatu kurva di titik (x, y) adalah Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (, 1). x y. Gradien garis singgung di sebarang titik (x, y) adalah turunan di titik tersebut, sehingga diperoleh dy x y dx atau dy x dx. y Jika diintegralkan masing-masing ruas, yaitu dy x dx, y maka didapat solusi umum persamaan diferensial 1 1 y x C Untuk memperoleh kurva yang melalui kurva titik (,1), isikan koordinat titik ini kedalam solusi umum 1 1. C atau C, didapat C 10. Jadi persamaan kurva yang ditanyakan adalah y x B. GERAK LURUS Persamaan gerak suatu partikel sepanjang garis lurus adalah s = f(t). s = panjang jalan yang ditempuh t = waktu. Kecepatan dari gerak lurus adalah ds v f () t dan dt percepatannya
16 1.16 Kalkulus II d s dv a f ( t). dt dt Contoh 1.1 Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus pada saat (waktu) t = 1, percepatannya adalah t 1, kecepatannya dan panjang jalan ditempuh 4. Nyatakan kecepatan dan panjang jalan yang ditempuh sebagai fungsi dari waktu. Misalkan s, v dan a berturut-turut menyatakan panjang jalan, kecepatan dan percepatan, sedangkan t menyatakan waktu. dv Karena a, maka dt dv t 1 dt atau dv (t 1) dt. sehingga Integralkan masing-masing ruas, yaitu dv (t 1) dt, diperoleh solusi v t t C 1. Pada saat t = 1, kecepatan v =. Isikan ke solusi tersebut 1 1 1C C. Jadi kecepatan gerak partikel adalah v t t. Selanjutnya, kita tahu bahwa: ds v, sehingga diperoleh dt ds t t dt atau ds ( t t ) dt. 1
17 MATA4111/MODUL Integralkan ruas kiri dan ruas kanan, yaitu ds ( t t ) dt. Hasil integral ini adalah 1 1 s t t t C. Pada saat t = 1, diketahui s = 4. Isikan ke hasil integral tersebut, maka didapat C 7 C. 6 Akhirnya didapat persamaan gerak partikel s t t t. 6 C. DALAM MASALAH EKONOMI Dalam masalah ekonomi kita kenal beberapa istilah berikut. Misalkan x jumlah unit produksi pada suatu selang waktu tertentu. C(x) : ongkos produksi C ( x) : ongkos marginal R(x) : harga jual/pendapatan R ( x) : pendapatan marginal P(x) : keuntungan P ( x) : keuntungan marginal. Ongkos, pendapatan dan keuntungan rata-rata berturut-turut dan ( ). Px x Cx ( ), x Rx ( ) x
18 1.18 Kalkulus II Contoh 1.14 Ongkos marginal produksi x unit suatu barang adalah 4x 8. Apabila ongkos produksi untuk 5 unit barang tersebut Rp0.000,-. Tentukan total ongkos produksi x unit barang! C( x) 4x 8 atau dc( x) 4x 8 dx dc( x) (4x 8) dx Integralkan ruas kiri dan kanan, didapat C = untuk x = = K. K C( x) x 8x C( x) x 8 x K; K konstanta Karena ongkos marginal tak negatif, maka 4x8 0 atau x. Jadi total ongkos produksi : C( x) x 8x ; x. Contoh 1.15 Apabila pendapatan marginal untuk x unit barang adalah 71 x x. Tentukan persamaan untuk total pendapatan dan keuntungan marginal apabila ongkos produksi x untuk barang adalah x. R( x) 71x x R( x) (71 x x ) dx 1 7x6 x x K. Karena R(0) = 0, kenapa? maka K = 0. 1 Total pendapatan R( x) 7x6 x x. Diketahui ongkos produksi C( x) 50 7 x.
19 MATA4111/MODUL Keuntungan P(x) = R(x) C(x) 1 7x6 x x (50 7 x) x6 x x. Jadi keuntungan marginal P( x) 01 x x ; x 0. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) dy x x4; y 6 untuk x =. dx Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut! ) Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah x. Tentukan persamaan kurva tersebut yang melalui titik (,)! ) Gerak partikel sepanjang garis lurus pada saat t = 0 jarak tempuh s = 0, kecepatan v =,dan percepatan a = 5 t. Tentukan persamaan gerak partikel tersebut! 4) Produksi x unit barang ongkos marginalnya adalah 0,x 11, dalam rupiah. Harga jual barang tersebut Rp19,- per unit dan total ongkosnya Rp100,- Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh dalam jangka waktu yang ditentukan. Petunjuk Jawaban Latihan 1) 1 y x x 4x 6
20 1.0 Kalkulus II ) ) y x x 5 1 s t t t 4) Rp1400,- RANGKUMAN Penggunaan integral tak tentu dalam pembahasan kegiatan belajar ini pada prinsipnya menyelesaikan persamaan diferensial dengan peubah dipisah. Solusi yang diperoleh merupakan himpunan kurva. Untuk mendapatkan sebuah kurva caranya mengisikan syarat yang diberikan pada solusi tersebut, sehingga diperoleh konstanta tertentu dari persamaan kurva solusi. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Solusi persamaan diferensial adalah. A y ( x1) 4 4 B. 1 4 y ( x1) C y ( x1) 4 4 D. 1 4 y ( x1). dy ( x 1) ; y = untuk x = 0, dx ) Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 96 kaki per detik. Tinggi maksimum yang dicapainya adalah. (Gesekan dengan udara diabaikan, gaya gravitasi kaki/detik)
21 MATA4111/MODUL A. 144 kaki B. 10 kaki C. 169 kaki D. 88 kaki. ) Apabila ongkos marginal untuk x unit barang adalah 6x 4x dan ongkos awal.000,-, maka fungsi ongkos untuk x unit barang adalah. A. B. C. D. c( x) x x 000 c( x) 6x 4x 000 c( x) 6x 4x 000 c( x) x x 000. Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan Modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.
22 1. Kalkulus II Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) B ) C ) A 4) D 5) C Tes Formatif 1) C ) A ) D
23 MATA4111/MODUL 1 1. Daftar Pustaka Edward, Penny Calculus with Analytic Geometry. 4 th edition. Prentice- Hall. Leithold, L Theory Calculus with Analutic Geometry. Harper and Row Publisher. Purcell, E.J. dan Dale Varberg Calculus with Analytic Geometry. 5 th edition Prentice-Hall.
BAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinci= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinci: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c
Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27 Daftar
Lebih terperinciSATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
Lebih terperinciINTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER Program Studi: Statistika Fakultas: Sains dan Matematika Mata Kuliah: Kalkulus I Kode: AST21-312 SKS: 3 Sem: I Dosen Pengampu: Drs. Agus Rusgiyono, M.Si., Sutrisno, S.Si,
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciBAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Lebih terperinciDERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciINTEGRAL MATERI 12 IPS ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL MATERI 12 IPS ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp.
Lebih terperinciKalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 4 Derivatif ALZ DANNY WOWOR Cakupan Materi A. Defenisi Derivatif B. Rumus-rumus Derivatif C. Aplikasi Derivatif
Lebih terperinciINTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Lebih terperinciintegral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.
integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciINTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperincibila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciINTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciPenyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya
. Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk
Lebih terperinciTurunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan bidangbidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi
Lebih terperinciFakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.
Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciII. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS)
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) Kode / Nama Mata Kuliah : A11.54101/ Kalkulus 1 Revisi 2 Satuan Kredit Semester : 4 SKS Tgl revisi : Agustus 2014 Jml Jam kuliah dalam seminggu : 4
Lebih terperinciDepartment of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
Lebih terperinciAPLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinci= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
Lebih terperinciModel Optimisasi dan Pemrograman Linear
Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus
Lebih terperinciPenggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi
Modul 6 Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec F PENDAHULUAN ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
DIFERENSIASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor URAIAN MATERI Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinyatakan sebagai fungsi
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciHendra Gunawan. 25 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 25 September 2013 Kuis 1 (Kuliah yang Lalu) 1. Selesaikan pertaksamaan 2x 3 < x. 2. Diketahui i f(x) ) = x 2 sin (1/x) untuk x 0 dan f(0) = 0.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciBAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciINTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Lebih terperinciLAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0)
160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...)
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciIntegral yang berhubungan dengan kepentingan fisika
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diferensial Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas x, maka dy adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) y, yang
Lebih terperinciINTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP
A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.
Lebih terperinciMatematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciPenggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu
Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu Fendi Al Fauzi 15 Desember 1 1 Pengantar Persoalan yang melibatkan integral dalam kalkulus ada
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dewasa ini pemodelan matematika telah berkembang seiring perkembangan matematika sebagai alat analisis berbagai masalah nyata. Dalam pengajaran mata kuliah pemodelan
Lebih terperinciFungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Lebih terperinci16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Lebih terperinciAljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul
Lebih terperinciHendra Gunawan. 11 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 11 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Dengan memperhatikan: daerah asal dan daerahhasilnya, titik titik potong dengan sumbu koordinat, asimtot
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA ( ) ( ) ( ) Asalkan limit ini ada dan bukan atau. Jika limit ini memang ada, dikatakan ( ) ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah Asalkan limit ini ada dan bukan. Jika limit ini memang
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL DALAM MENGHITUNG BANYAK POLUTAN YANG MASUK KE DALAM EKOSISTEM
APLIKASI INTEGRAL DALAM MENGHITUNG BANYAK POLUTAN YANG MASUK KE DALAM EKOSISTEM KALKULUS I Oleh Reyka Bella Desvandai 121810101080 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciKED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I
7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi
Lebih terperinciGeometri di Bidang Euclid
Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinciKALKULUS INTEGRAL 2013
KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral
Lebih terperinci