UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I/KALKULUS

Transkripsi

1 UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I/KALKULUS Selasa, 3 Maret 004 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0, KECUALI NOMOR 8. Diketahui fungsi f dengan f() =. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 ().. Tentukan y 0 dari y = sin + sin. sin(=6) 3. Jika sin y = 3, tentukan y" y 0 di titik (; 0). 4. Beberapa buldoser milik PT TSLB (Tukang Sulap Lahan Bersejarah) meraung-raung untuk mengeruk dan meratakan sebuah lapangan olahraga menjadi lahan parkir bus wisata. Tanah yang dihasilkan kemudian diangkut untuk ditimbun di suatu lokasi tak jauh dari lapangan tersebut. Timbunan tersebut membentuk kerucut dengan tinggi (h) yang sama dengan jari-jari (r). Volume timbunan (V ) bertambah dengan laju 4 m 3 /menit. Tentukan berapa laju pertambahan tinggi timbunan ketika jari-jarinya meter. (V = 3 r h). 5. Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 56 km selama.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diijinkan di jalan tol (maksimum 00 km/jam). Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 00 km/jam. 6. Diberikan f() = jj dan g() = sin( + ). Jika ada, tentukan (a) f 0 (). d (b) (f() + g()). d

2 7. Jika f 000 kontinu pada interval I yang memuat c, f 0 (c) = f 00 (c)=0 dan f 000 (c) > 0, maka tentukan nilai minimum lokal dari f 0 pada I, beserta alasannya. 8. Diketahui fungsi f dengan f() = +, f 0 () = ( ), dan f"() = ( ) 3. (a) Tentukan daerah asal fungsi f. (b) Tentukan selang fungsi f naik dan selang fungsi f turun. (c) Tentukan selang fungsi f cekung ke atas dan selang fungsi f cekung ke bawah. (d) Jika ada, tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot garis miring. (e) Gambar gra k fungsi f. 9. Diketahui fungsi f dengan Tentukan : f () = + ; 0 p ; 0 < 4 (a) nilai maksimum global dan nilai minimum global fungsi f pada [ ; 4]. (b) nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal fungsi f pada ( ; 4). 0. Seorang simpatisan partai politik akan menempel poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Pada jarak 8 meter di depan gedung tersebut terdapat pagar setinggi meter. Simpatisan tersebut akan membuat tangga yang menghubungkan jalan di luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Dengan berbekal pengetahuan Kalkulus, bantulah simpatisan partai tersebut untuk menentukan panjang minimum tangga tersebut. Semoga sukses!

3 JAWABAN UTS KALKULUS/KALKULUS 003/004 SELASA, 3 MARET 004. Cara : f 0 () = f () f ()! = 0! ( ) = :!!! ( ) Cara : f 0 f ( + h) f () () h!0 h h( + h) ( + h) i h!0 h!0 h + h + h + h h!0 + h h h + h h h h h!0 h = : Jadi f 0 () = () = = :. y = sin + sin sin (=6) h = sin + sin = h ( h) ( h) h!0 h h!0 = [sin + sin ]: Jadi y 0 = cos () + sin cos = 4 cos + 4 sin cos : 3. sin y = 3 : Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap diperoleh (cos y) y 0 = 3 ; sehingga y 0 = 3 cos y () Jika kedua ruas persamaan () diturunkan secara implisit terhadap maka akan diperoleh: y 00 = ( 6) (cos y) 3 ( sin y) y 0 (cos y) : 3

4 Dari persamaan () diperoleh nilai y 0 di titik (; 0) adalah 3 cos 0 = = ; sedangkan nilai y 00 di titik (; 0) adalah 6 (cos 0) ( 3) ( sin 0) (cos 0) = 6 ( ) (0) () = 6: Jadi y 00 y 0 di titik (; 0) adalah 6 = 3: 4. Volume timbunan yang berbentuk kerucut adalah V = 3 r h: Diketahui r = h; sehingga rumus volume menjadi V = 3 h3 : Jika persamaan ini diturunkan secara implisit terhadap t diperoleh dv dt = h dh dt : Diketahui dv dt = 4 m3 /menit, maka pada saat h = diperoleh: Jadi dh dt = m/menit. 4 = () dh dt : 5. Misalkan f () menyatakan jarak yang ditempuh (dalam satuan km). Menurut Teorema Nilai Rata-rata, terdapat c 0; 3 sehingga f 0 (c) = f (3=) f (0) 3= = 56 0 ; 5 = 04: Jadi terdapat waktu di antara 0 dan 3 sehingga kecepatan mobil Badrun pernah mencapai 04 km/jam. Jadi kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 00 km/jam. 6. Misalkan f () = jj = ; untuk 0 ; untuk < 0 dan g () = sin ( + ) : (a) Pada selang-selang bukanya f 0 ; untuk > 0 () = ; untuk < 0 : 4

5 Di titik = 0; f 0 () harus diperiksa dengan menggunakan de nisi turunan. f () f (0) 0 f () f (0) = : ( ) = ; f () f (0) Karena 0 f 0 (0) tidak ada. Jadi: f 0 () = f () f (0) ; untuk > 0 ; untuk < 0 : f () f (0) ; maka = 0 (b) d d (f () + g ()) = f 0 () + g 0 () : Sedangkan g 0 () = cos ( + ) : Jadi: f 0 () + g 0 () = f 0 () = + cos ( + ) ; untuk > 0 + cos ( + ) ; untuk < 0 7. f 00 (c) = 0 dan c I! c titik stasioner dari f 0 : f 000 () kontinu pada selang I; dan f 000 (c) > 0; maka dari Uji Turunan Kedua diperoleh kesimpulan bahwa f 0 (c) merupakan nilai minimum lokal dari f 0 : Karena diketahui f 0 (c) = 0; maka 0 adalah nilai minimum lokal dari f 0 : 8. f () = + (a) D f = fj 6= g : (b) =; f 0 () = ( ) = ( ) ( ) ; f 00 () = ( ) 3 Tanda f (0) () (0) (c) Jadi f naik pada selang ( ; 0] dan [; ); sedangkan f turun pada selang [0; ) dan (; ]: Dapat ditambahkan, bahwa f (0) = adalah nilai maksimum lokal, dan f () = 3 adalah nilai minimum lokal fungsi f: Tanda f 00 () f cekung ke bawah pada selang ( selang (; ) : ; ) dan cekung ke atas pada 5

6 (d) Karena! + +! +!! = ; atau = maka garis = merupakan asimtot tegak dari fungsi f: Karena f () = + = + dan [f () ]!! = 0 maka garis y = merupakan asimtot miring dari fungsi f: Karena f () + = +; dan!! f () + =!! maka f tidak mempunyai garis asimtot datar. (e) Gambar gra k fungsi f : 9. f () = + ; jika 0 p ; jika 0 < 4 6

7 (a) Titik-titik (bilangan) kritis dari fungsi f ditentukan dengan cara sebagai berikut: 8 < + ; jika < < 0 f 0 () = : p ; jika 0 < < 4 Turunan pertama f di = 0 diperiksa dengan cara sebagai berikut: f () f (0) 0 f () f (0) + 0 ( + tidak ada. p ) Jadi f 0 (0) tidak ada. Ini berarti bahwa = 0 merupakan titik (bilangan) kritis fungsi f: ( + ) = ; p f 0 () = 0 untuk =, jadi = fungsi f: Titik ujung selang: = ; dan = 4: merupakan titik kritis (b) f () Keterangan ( ) + = adalah nilai maksimum mutlak fungsi f = 0 + = 3 p = adalah nilai minimum mutlak fungsi f 8 < f 0 () = : + ; jika < < 0 p ; jika 0 < < 4 Tanda f () 0 4 Dari Uji Turunan Pertama, nilai minimum lokalnya adalah f = 0; dan f tidak mencapai nilai maksimum lokal. 0. 7

8 Misalkan l adalah panjang tangga. Dari segitiga sebangun diperoleh y = 8 + l = y + (8 + ) 8 + = + (8 + ) = Misalkan p () = l ; maka (8 + ) : p () = (8 + ) p 0 () = + ( 6 8) = = ( + 8) p 0 () = 0 untuk = 8 (tidak memenuhi karena negatif) atau = : Karena p 00 () = ( ) ; maka p 00 () > 0; sehingga dari Uji 4 Turunan Kedua diperoleh bahwa p minimum di = : Jadi y = 0 = 5 l = y + (8 + ) = 5 l = p 5 = 5 p 5 meter. Jadi panjang tangga minimum adalah 5 p 5 meter. 8