UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I

Transkripsi

1 UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x) x 3x + 4: 3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva di titik ; 0 : 4x + 4 y + sin (xy) 4. Tentukan turunan ke n dari fungsi f dengan f (x) 1 (x 5). 5. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R ke R yang memenuhi f 0 (x) 1 ; dan (f g) (x) f (g(x)) x: x Tunjukkan bahwa g 0 (x) g (x) : 1

2 6. Diketahui fungsi f dengan f (x) p x ; x 0 p x ; x < 0 (a) Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata (TNR) berlaku untuk f pada : i. selang [0; 4] ; ii. selang [ 1; 4] : (b) Jika TNR ada yang dapat diterapkan pada bagian (a) di atas maka tentukan nilai c pada selang yang dimaksud. 7. Sebuah tangki berbentuk kotak dengan alas bujursangkar dengan sisi 60 cm dan tinggi tangki 100 cm diletakkan di atas drum berbentuk silinder dengan jari-jari 30 cm dan tinggi 100 cm. Mula-mula tangki tersebut penuh dengan air sedangkan drum dalam keadaan kosong. Kemudian air di tangki dialirkan ke dalam drum dengan laju tertentu sehingga laju turunnya tinggi air di tangki adalah 10 cm/menit. Tentukan laju naiknya tinggi air di dalam drum pada saat tinggi air di drum 40 cm. 8. Diketahui fungsi f dengan 8 < 0 ; 4 x < 0 f (x) x : ; 0 x 4 x x + ; 4 < x < 6 Lakukan analisis untuk menentukan : (a) semua titik kritis, (b) nilai maksimum global dan nilai minimum global. 9. Diketahui fungsi f dengan f (x) 16x x 4 (x 4) 4 : Tentukan (jika ada) : x x 4 ; f 0 (x) x 4 (x 4) ; f 00 (x) (a) selang-selang di mana f naik dan di mana f turun. (b) selang-selang di mana f cekung ke atas, selang di mana f cekung ke bawah, dan titik balik. (c) garis-garis asimtot dari kurva f: (d) gra k fungsi f:

3 10. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3; 4), memotong sumbu-x positif di A dan memotong sumbu-y positif di B, sehingga luas segitiga OAB minimum. 3

4 JAWABAN UTS KALKULUS I TANGGAL 9/4/ (a) dy dx 10x (x + ) 5x () 4 (x + 1) (b) Misalkan y u ; dengan u cos (v) ; dan v x : Maka dy du u; du dv dv sin (v) ; x; sehingga dx. Cara 1 Cara dy dx dy du dv du dv dx cos x sin x x 4x sin x cos x : f 0 (x) lim h!0 f (x + h) f (x) h (x + h) 3 (x + h) + 4 (x 3x + 4) lim h!0 h x + xh + h 3x 3h + 4 x + 3x 4 lim h!0 h xh 3h lim lim (x h!0 h h!0 3) x 3: f 0 f (t) f (x) (x) lim t!x t x t 3t + 4 x 3x + 4 lim t!x t x t x 3t + 3x lim t!x t x (t x) (t + x) 3 (t x) lim t!x t x lim (t + x t!x 3) x 3: 3. Dengan teknik penurunan implisit diperoleh : 8x + y dy + [cos (xy)] y + x dy 0 dx dx dy y + x cos (xy) 8x y cos (xy) dx dy dx 8x y cos (xy) : y + x cos (xy) 4

5 Kemiringan garis singgung di titik ; 0 adalah nilai dy dx di titik ; 0 ; yaitu : 8 8: Jadi persamaan garis singgungnya adalah y 0 8 x, y 8x + 4: 4. f (x) 1 (x 5) (x 5) : f 0 (x) ( ) (x 5) 3 () f 00 (x) ( ) ( 3) (x 5) 4 f 000 (x) ( ) ( 3) ( 4) (x 5) 5 3. f (n) (x) ( 1) n (n + 1)! (x 5) (n+) n : 5. dd UJIAN TENGAH SEMESTER KALKU- LUS Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Diketahui fungsi f dengan f (x) x x: (a) Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () : (b) Tentukan persamaan garis singgung gra k fungsi f di titik (; 4) :. Tentukan turunan pertama dari fungsi g dengan g (x) x 3 sin x : 3. Diketahui fungsi f dengan f (x) x 4 4x 3 di R: Tentukan nilai ekstrim lokal fungsi f dan jenisnya. 4. Diketahui y x ln(x): Tentukan 5

6 (a) Turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, turunan keempat dan turunan kelima. (b) Turunan ke-n, untuk n > 1: 5. Diketahui persamaan lingkaran x +y 16: Dengan menggunakan teknik penurunan implisit, tunjukkan bahwa d y dx 16 y 3 : 6. Periksalah apakah Teorema Nilai Rata-rata dapat diterapkan pada fungsi dan selang [a; b] yang diberikan berikut ini. Bila dapat, tentukan semua nilai c sehingga f 0 (c) f (b) f (a) : b a (a) f (x) x 3, pada selang [0; ] : (b) g (x) x + 1 x, pada selang 1; 1 : 7. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini BENAR ataukah SALAH. (Jawaban tepat: nilai 1 ; jawaban tidak tepat: nilai 1, tidak menjawab: nilai 0): Misalkan a; b; c R dan a < b < c. (a) Jika f kontinu di c; pastilah f terturunkan di c: (b) Jika f turun pada [a; b) dan f turun pada [b; c]; pastilah f turun pada [a; c]: 6

7 (c) Jika f naik pada [a; b] dan turun pada (b; c]; pastilah f(b) maksimum lokal. (d) Jika f kontinu pada [a; c] dan terturunkan pada (a; c); pastilah ada b (a; c) sehingga f(c) f(a) + f 0 (b)(c a): 8. Diberikan fungsi f dengan f (x) 5 3x 1 x ; f 0 4x (x) (1 x ) ; f 00 (x) x (1 x 3 : Tentukan (jika ada) ) (a) daerah asal fungsi f: (b) titik-titik potong dengan sumbu koordinat. (c) titik-titik kritis. (d) selang di mana f naik, selang di mana f turun, dan nilai-nilai ekstrim. (e) selang di mana f cekung ke atas, selang di mana f cekung ke bawah, dan titik balik. (f) garis-garis asimtot fungsi f. (g) sketsa gra k fungsi f. 9. Sebuah tabung pejal berbentuk silinder tegak mendapat tekanan mendatar dari semua arah sedemikian sehingga jari-jari tabung mengecil dengan laju tetap 1 cm/menit, namun volume tabung tetap 00 cm 3 : (a) Tentukan laju perubahan luas permukaannya pada saat jari-jari tabung 5 cm. (b) Tentukan jari-jari dan tinggi tabung pada saat laju perubahan luas permukaan sama dengan nol. 10. Sebuah kerucut harus dibuat dari selembar logam berbentuk lingkaran dengan jari-jari 10 meter dengan cara memotong satu sektor (juring).lihat gambar, juring yang diarsir dibuang. Tentukan (sudut pusat dari juring yang dibuang) supaya volume kerucut maksimum. '$ r 1 J &% J E J EE J J E J EE J r 1 J E J EE r JJ E E 7

8 Petunjuk (a) Luas juring 1 r 1 (b) Luas kulit kerucut r 1 r (c) Volume kerucut 1 3 r h 8