Persamaan Diferensial

Transkripsi

1 Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017

2 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4

3 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab sebelumnya, tugas kita adalah mengintegrasi (mengganti-diferensiasi) suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F. Kita tuliskan : f(x)dx = F (x) + C dan menurut definisi ini adalah benar asalkan F (x) = f(x). Dalam bahasa turunan F (x) = f(x) setara dengan df (x) = f(x)dx dalam bahasa diferensial, sehingga : df (x) = F (x) + C Maka kita mengintegrasi diferensial suatu fungsi untuk memperoleh fungsi tersebut (tambah suatu konstanta). Ini adalah sudut pandang Leibniz; dengan menerimanya akan membantu kita untuk memecahkan persamaan diferensial.

4 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak Apakah Itu? Persamaan diferensial adalah sebarang persamaan dengan nilai tak diketahui berupa suatu fungsi dan yang melibatkan turunan (atau diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini. Fungsi, yang ketika disubtitusikan dalam persamaan diferensial menghasilkan identitas atau solusi, disebut penyelesaian persamaan diferensial. Jadi, menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui. Dalam materi kali ini kita akan membahas persamaan diferensial orde satu dengan variabel terpisahkan.

5 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak y + 2y = 3y f (x) + 2f (x) = 3f(x) d 2 y dx dy dx = 3y

6 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak Solusi 1 Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f(x) disebut solusi PD jika fungsi y = f(x) disubtitusikan ke PD diperoleh persamaan identitas. 2 Solusi Umum dan Khusus Jika fungsi y = f(x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus. Contoh : 1.1 Solusi Umum y = cosx + C y + sinx = 0, karena (cosx + C) + sinx = sinx + sinx = Solusi Khusus y = cosx + 6 y + sinx = 0, karena (cosx + 6) + sinx = sinx + sinx = 0

7 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak Pemisahan Variabel dy dx = x + 3x2 y 2 y 2 dy = (x + 3x 2 )dx

8 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak Masalah Gerak v(t) = s (t) = ds dt a(t) = v (t) = dv dt = d2 s dt 2 Dimana s(t), v(t), dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat.

9 Orde Satu Selesaikan persamaan diferensial dy dx = x + 3x2 y 2 Kemudian cari penyelesaian yang memenuhi y = 6 ketika x = 0. PENYELESAIAN Lakukan pemisahan variabel: y 2 dy = (x + 3x 2 )dx

10 Orde Satu Langkah pertama, kedua ruas diintegralkan y 2 dy = (x + 3x 2 )dx y C 1 = x2 2 + x3 + C 2 y 3 = 3x x3 + (3C 2 3C 1 ) y = 3 3x x3 + C Selanjutnya, menghitung nilai konstanta C, masukkan y = 6 dan x = 0. 6 = 3 C 216 = C

11 Orde Satu Maka didapatkan, y = 3 3x x Kemudian substitusikan pada fungsi, dy dx = x + 3x2 y 2 y = x + 3x 2 ( 3 2 x2 + 3x )2/ 3 y = x2 + 3x

12 Orde Satu Ketika x = 0, kita masukkan pada fungsi y = x2 + 3x Didapatkan y = 6. Maka, subtitusi fungsi yang ditunjukkan y = 6 dan x = 0 dihasilkan identitas atau merupakan solusi.

13 Orde Satu Buktikan bahwa y = 1 x 2 adalah solusi dari dy dx + x y = 0? Jawab : Turunkan fungsi y, y = 1 x 2 y = (1 x 2 ) 1 2 y = x 1 x 2 dy dx = x 1 x 2

14 Orde Satu Kemudian substitusikan ke, dy dx + x y x + x 1 x 2 1 x 2 Terbukti. = 0 = 0 0 = 0

15 Orde Satu Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 96 feet per detik. Berapa tinggi maksimum yang dicapainya?(percepatan gravitasi = 32 feet per detik) Diketahui : - v 0 = 96 - dv dt = 32 v = 32dt = 32t + C Jawab : Karena v = 96 pada t = 0, kita temukan bahwa C = 96, sehingga

16 Orde Satu v = 32t + 96 ds = 32t + 96 dt s = 32t + 96 s = 16t t + s 0 s = 16t t Pada saat v = 0 dan t = 3, maka s = 144ft

17 Orde Satu 1 Buktikan bahwa y = sin(x + C) dan y = ±1 adalah solusi ( 2 dari dy dx) + y 2 = 1! 2 Selesaikan persamaan diferensial dy dx = (2x + 1)4, y = 6 pada x = 0! 3 Jika rem sebuah mobil, pada waktu sepenuhnya digunakan, menghasilkan perlambatan tetap sebesar 11 feet per detik. Berapa jarak pengereman terpendek sampai mobil berhenti dari suatu kecepatan 60 mil per jam? (60 mil per jam = 88 feet per sekon)