Persamaan Diferensial Orde Satu

Transkripsi

1 Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk P Pada perkembangan ilmu sekarang PD sebagai model banak dijumpai dalam bidang-bidang sains, teknologi (teknik), biologi, ekonomi, ilmu sosial, demografi. PD digunakan sebagai alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat solusi masalah ang ditinjau. Karena itu, penting sekali mempelajari P Dalam modul ini, Anda pertama-tama mempelajari PD ang lebih sederhana, aitu PD orde satu. Anda akan mengenal tipe-tipe persamaan diferensial dan mempelajari bagaimana carana menelesaikan PD tersebut. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan memahami metode penelesaian PD orde satu dan terampil menggunakanna. Secara lebih rinci, setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:. mengidentifikasi tipe-tipe PD orde satu ang dapat diselesaikan.. menentukan solusi umum PD orde satu; 3. menentukan PD orde satu ang solusi umumna diberikan; 4. menentukan solusi khusus dengan menggunakan sarat awal; 5. memilih metode dan menggunakanna untuk menelesaikan PD orde satu; 6. memberikan contoh masalah konkret ang dapat dirumuskan dalam bentuk PD orde satu serta menelesaikanna dengan tuntas.

2 . Persamaan Diferensial Biasa Kegiatan Belajar Pengertian PD Orde Satu dan Solusina Definisi Suatu PD orde satu dapat dinatakan secara umum dalam dua bentuk, aitu: Seperti pada matakuliah Kalkulus: atau d d adalah turunan pertama dari terhadap variabel. atau d d adalah turunan kedua dari terhadap variabel. Dst. Bentuk implisit, d F,, = 0 d atau F(,, ) = () Bentuk eksplisit, d f (, ) d = atau = f (, ).... () Contoh. Contoh-contoh mengidentifikasi PD orde satu: d = 0 atau = 0 d PD orde satu bentuk implisit. Perhatikan orde turunan variabel terhadap ang dilingkari.. d + e = 0 atau + e = 0 d bukan PD orde satu, PD orde dua bentuk implisit 3. = + e (PD orde satu bentuk eksplisit: f(,)=+e ) 4. = + (bukan PD orde satu, PD orde dua bentuk eksplisit).

3 MATA433/MODUL.3 Definisi Suatu fungsi = () dikatakan solusi PD () atau () apabila = () dan turunanna memenuhi PD () atau (). Contoh. Anda dapat memeriksa bahwa = + adalah solusi PD: =. Demikian pula = + C untuk C konstanta sebarang juga merupakan solusi PD: =. (Periksa dengan menggunakan Definisi.) Solusi = + disebut sebagai suatu solusi khusus (partikelir) untuk PD: =, sedangkan solusi sebagai solusi umum PD: =. = + C ang memuat konstanta C disebut Jadi solusi umum suatu PD masih memuat konstanta C, sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta C suatu bilangan tertentu atau suatu solusi ang memenuhi sarat-sarat ang diberikan, misalna sarat awal. Contoh.3 Tinjau PD: = cos.... (3) Penelesaian: Solusi umum PD ini adalah = sin + Fungsi-fungsi: = sin +, = sin dan = sin 4 masing-masing adalah solusi khusus PD (3) ang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil masingmasing nilai C =, C = 0 dan C = 4. Untuk menentukan solusi khusus ang memenuhi sarat awal ( π / ) = 0, ditentukan C dari solusi umum = sin + C dengan mengambil nilai =0 dan = π /. dibaca maka Jadi, 0 = sin ( π / ) + C C = 9 sehingga solusi khusus ang memenuhi sarat awal ( π / ) = 0 adalah = sin + 9.

4 .4 Persamaan Diferensial Biasa Contoh.4 + =.... (4) Tinjau PD: ( ) 0 Penelesaian: Anda dapat memeriksa bahwa solusi umum PD (4) adalah = C C. Dengan mengambil C =, C =, C = 4 diperoleh masing-masing solusi khusus =, = 4 dan = 4 6. Untuk menentukan solusi khusus ang memenuhi sarat awal ()= 6, Anda tentukan C dari persamaan = C C dengan mengambil nilai = 6 untuk =. Ini memberikan 6 = C = C C atau C C 6 = 0 ( C 3)( C+ ) = 0 C = 3, C =. Jadi, ada dua solusi khusus ang memenuhi sarat awal () = 6, aitu = 3 9 dan = 4. Adana dua solusi khusus ini disebabkan PD (4) mempunai pangkat dua. Keluarga Lengkungan (Kurva) Anda telah mengetahui solusi umum suatu PD memuat konstanta Jadi solusi umum dapat ditulis dalam bentuk = (, C). Contoh.5 Solusi umum PD: = cos adalah = (, C) = sin + C. Grafik dari solusi umum = (, C) merupakan keluarga lengkungan (kurva) karena untuk setiap pengambilan nilai C diperoleh suatu lengkungan solusi khusus.

5 MATA433/MODUL.5 Contoh.6 Solusi umum PD: = adalah C = C = = (, C) = + C, ang merupakan keluarga parabola. Untuk C= diperoleh parabola = + dan seterusna (lihat Gambar.). (0,0) - C = 0 C = - Sekarang dapatkah Anda menentukan suatu PD ang solusi umumna adalah keluarga lengkungan = (, C) ang diketahui? Gambar. Perhatian: (a). PD ang solusi umumna = (, C) pada prinsipna dapat dicari dengan mengeliminasi C dari kedua persamaan = (, C) d = ( (, C) ). d Contoh.7 Tentukan PD ang solusi umumna = Ce. = Ce Penelesaian: Kita eliminasi C dari kedua persamaan: = Ce Dari kedua persamaan ini Anda melihat bahwa =. Jadi, PD: = mempunai solusi umum = Ce..

6 .6 Persamaan Diferensial Biasa Perhatian: (b). Bila solusi umumna diberikan dalam bentuk implisit g(,, C ) = 0 maka pada prinsipna PD-na diperoleh dengan mengeliminasi C dari kedua persamaan: g(,, C) = 0 d g (,, C ) = 0, dengan mengingat fungsi dari. d Contoh.8 Tentukan PD ang solusi umumna + = C. Penelesaian: Dengan menurunkan + = C terhadap secara implisit diperoleh: +. = 0. Karena persamaan ini tidak lagi memuat C maka secara langsung diperoleh PD: = sebagai PD ang solusi umumna + = C. Contoh.9 Tentukan PD ang solusi umumna: g(,, C) = C + C = 0. Penelesaian: Dengan menurunkan g(,,c) terhadap secara implisit diperoleh C = 0. Sekarang Anda mengeliminasikan C dari kedua persamaan: C + C = 0 C = 0. Dari persamaan kedua diperoleh C =. Ini dimasukkan ke persamaan pertama, menghasilkan:. + = 0 PD ini mempunai solusi umum atau ( ) 4 + = 0. g(,, C) = C + C = 0.

7 MATA433/MODUL.7 Setelah membaca materi kegiatan belajar di atas, cobalah kerjakan latihan berikut agar pemahaman Anda lebih mantap. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Manakah di antara PD-PD berikut merupakan PD orde satu? A. + 3 = 0 ( ) + = sin + = 0 ( ) = 0. a. Mengindentifikasi tipe-tipe PD orde satu. b. Menentukan solusi umum PD orde satu. ) Manakah di antara PD-PD berikut dalam bentuk eksplisit atau implisit A. = sin sin = 0 3 ( ) + 4 = 0 + ' =. 3) Anda diminta memeriksa apakah = C cos...(*) merupakan solusi umum dari PD: + tan = 0....(**) Langkah-langkah ang harus dilakukan sebagai berikut: (i) Turunan = C cos terhadap secara eksplisit adalah:... [sebut persamaan (***)] (ii) Sekarang substitusikan persamaan (*) dan (***) ke (**), diperoleh... (iii) Kesimpulan :... 4) Solusi umum PD: ( ) = 4 adalah: A. = + C = ( + C) 3/

8 .8 Persamaan Diferensial Biasa = ( + C) = ( + C) 3. c. Menentukan PD orde satu apabila solusi umum diberikan. 5) Anda diminta menentukan PD ang solusi umumna adalah g(,, C) = + C + C = 0... (*) Langkah-langkah ang harus dilakukan sebagai berikut: (i) Turunan g(,,c) terhadap secara implisit adalah:... [sebut persamaan (**)] (ii) Sekarang C dieliminasi dari kedua persamaan:... [ persamaan (*)]... [ persamaan (**)] (iii) Dari salah satu persamaan di (ii), diperoleh C =... (iv) Substitusi C ini ke persamaan lainna di (ii) menghasilkan PD ang diminta, aitu persamaan diferensial:... C cos 6) Fungsi = adalah solusi umum PD: A. + = cos + = sin + = cos + = sin. 7) PD ang solusi umumna A. 5 4 ( + ) 3 + = ( + ) + = ( + ) + = ( + ) 3 + = 0. 8) PD ang solusi umumna A. 4 g(,, C) = C + = 0 adalah... g(,, C) = 3 C + C = 0 adalah ( + ) + 6 ( + ) + 36 = ( + ) 6 ( + ) + 36 = ( + ) + 4 ( + ) + 36 = ( + ) 4 ( + ) + 36 = 0.

9 MATA433/MODUL.9 d. Menentukan solusi khusus PD orde satu dengan mengguna-kan sarat awal. 9) Anda diminta memeriksa apakah = e... (*) merupakan solusi khusus dari PD: =... (**) dengan sarat awal (0) =. Langkah-langkah ang harus dilakukan sebagai berikut: (i) Periksa apakah sarat awal memenuhi solusi khusus.... (ii) Kalau tidak memenuhi (SELESAI). Kalau memenuhi, turunan = e adalah:... [sebut persamaan (***)] (iv) Substitusikan persamaan (*) dan (***) ke (**) (v) Kesimpulan:... 0) Solusi khusus PD: = sin ang memenuhi sarat awal (0) = 3 adalah A. = cos + = cos + 5 = cos + = cos + 4. Agar latihan Anda terarah dengan baik dan Anda dapat memperkirakan hasil latihan Anda, bacalah rambu-rambu jawaban dan jawaban latihan ini di akhir modul ini. Setelah mengerjakan latihan, simaklah rangkuman kegiatan belajar berikut ini sehingga Anda merasa siap untuk mengerjakan Tes Formatif. RANGKUMAN PD orde satu adalah suatu fungsi ang memuat satu variabel bebas () dan satu variabel tak bebas () beserta turunan pertamana ( ) ang dikaitkan secara eksplisit atau implisit. Solusi umum PD adalah fungsi ang memuat konstanta C dan memenuhi PD tersebut. Solusi khusus

10 .0 Persamaan Diferensial Biasa adalah solusi ang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil nilai C suatu bilangan tertentu atau solusi ang memenuhi sarat ang diberikan, misalna sarat awal. Grafik dari solusi umum merupakan keluarga lengkungan, di mana untuk setiap nilai C diperoleh suatu lengkungan (kurva) atau traektori. PD ang solusi umumna diberikan oleh fungsi g(,,c) = 0 dapat ditentukan dengan mengeliminasi C dari kedua persamaan: g(,, C) = 0 d g (,, C ) = 0 d dengan mengingat sebagai fungsi dari. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! ) Fungsi = + cos adalah solusi PD... A. = + sin = sin = + cos = cos ) Solusi umum PD: ( + ) = 0 adalah... A. = C + C = C C = C + C = C C 3) Solusi khusus PD: adalah... A. ( + 3) = 0 ( + 3) + = 0 ( + ) = 0 ( + ) + = 0 + = 0 ang memenuhi sarat () = 4

11 MATA433/MODUL. 4) PD: ( + )( + ) = 0 mempunai solusi umum: g(,, C) C + = 0. Solusi PD ang memenuhi sarat () = adalah... A. + + = 0 + = 0 + = = 0 5) PD ang solusi umumna g(,, C) sin C + = 0 adalah... A. (sin + ) (cos + ) = 0 (sin ) + (cos + ) = 0 (sin + ) (cos ) = 0 (sin + ) + (cos ) = 0 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian ang belum dikuasai.

12 . Persamaan Diferensial Biasa P Kegiatan Belajar PD Variabel Terpisah dan PD Homogen ersamaan diferensial orde satu ang dapat ditulis dalam bentuk: g( ) = f ( ).... () Variabel dan disebut PD orde satu variabel terpisah. dengan variabel terpisah diantara d tanda = Dengan mengambil =, PD () dapat dituliskan d dalam bentuk g( ) d = f ( ) d.... () Contoh.0 PD: + + = 0 adalah PD variabel terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk (), aitu: + + = 0 atau + =. Contoh. PD: ( + ) + ( + 4) = 0 adalah PD variabel terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk (), aitu: + 0, + = atau + 4 atau dalam bentuk (), aitu hana mengandung variabel. + d + d = d + 4 = d. hana mengandung variabel.

13 MATA433/MODUL.3 Contoh. PD: ( + ) = ( + ) bukan PD variabel terpisah karena tidak dapat dituliskan dalam bentuk () atau (). Perhatian: Metode penelesaian PD variabel terpisah dapat dilakukan dengan mengintegralkan langsung PD (), aitu: g ( ) d = f ( ) d + C.... (3) Contoh.3 Selesaikan PD: + + = 0. Penelesaian: PD ini, dengan sedikit melakukan manipulasi aljabar, dapat dituliskan dalam + bentuk () sebagai d = d. Dengan mengintegralkan kedua ruas didapat: + d = d = d ln C + = + +. Jadi solusi umumna adalah = ln + C. Contoh.4 Tentukan solusi PD: ang memenuhi sarat awal (0) =. ( + ) + + = 0... (4) Penelesaian: Dengan membagi PD (4) dengan ( + )( + ) didapat PD: d d + = 0 atau = Pengintegralan kedua ruas menghasilkan arc tan = arc tan + C.

14 .4 Persamaan Diferensial Biasa Dari sarat awal (0) =, diperoleh C sebagai berikut: arc tan = arc tan 0 + C C = arc tan. Jadi solusi PD (4) ang memenuhi sarat awal (0) = adalah π arc tan = arc tan + arc tan atau arc tan + arc tan = 4 π atau tan (arc tan + arc tan ) = tan = 4. Dari rumus tangens diperoleh tan (arc tan ) + tan (arc tan ) + tan (arc tan + arc tan ) = =. tan (arc tan ).tan (arc tan ) Jadi, solusi PD (4) ang memenuhi sarat awal (0) = adalah dibaca maka atau mengakibatkan + = + = + = =. + Contoh.5 0 (Aplikasi). Suatu bola tembaga mempunai temperatur 00 C. Pada saat t = 0 bola tembaga tersebut dimasukkan ke dalam cairan ang temperaturna C. Tentukan setelah 30 C. Setelah 3 menit temperatur bola menjadi 0 berapa menit temperatur bola menjadi 40 C? Penelesaian: Misalkan ( t ) temperatur bola tembaga pada saat t. Berdasarkan hukum Newton, model matematika untuk temperatur adalah: d = k ( 30),... (5) dt di mana (-k) konstanta dengan k > 0. PD (5) adalah PD variabel terpisah dan d dituliskan dalam bentuk = k dt. Dengan mengintegralkan kedua ruas 30 didapat ln ( 30) = k t + ln C (di sini konstanta integrasi diambil ln C) ln ( 30) ln C = k t atau = e C 30 kt atau ( t) = C e kt + 30.

15 MATA433/MODUL.5 Jadi solusi umum PD (5) adalah: ( t) = C e kt Dari sarat awal (0) = 00, Anda dapat mencari C, aitu 00 = C + 30 C = 70. Jadi temperatur pada saat t adalah ( t) = 70e kt (6) Dari sarat (3) = 70, konstanta k dapat ditentukan, aitu 3k 3k 3k = 70e e = 40 e = = k = ln k = ln ln 3 7 = 3 4. Untuk menentukan waktu sehingga temperatur bola menjadi masukkan ( t ) = 40 pada persamaan (6), aitu 0 40 C, kita kt kt 0 40 = 70e + 30 e = = atau kt = ln ln = 7 ln 7 ln 7 3ln 7 3ln 7 atau t = = =. Jadi, setelah waktu t = menit, k ln ln ln 4 0 temperatur bola tembaga menjadi 40 C. Definisi Suatu PD orde satu dikatakan PD homogen apabila dapat diubah/ditulis menjadi PD berbentuk: = g( ).... (7) Contoh.6 PD: + = 0 adalah PD homogen karena dapat diubah menjadi PD: g = = =, dengan g( u) = u u.

16 .6 Persamaan Diferensial Biasa Contoh.7 PD: sin. = sin + adalah PD homogen karena dapat diubah menjadi PD berbentuk : sin + sin + u sin u + = = = g, dengan g( u) =. sin sin sin u Contoh.8 PD: ( ) = 0 bukan PD homogen karena = = tidak dapat ditulis dalam bentuk = g. Perhatian : Metode penelesaian PD orde satu homogen Ingat bentuk ini dalam penelesaian PD orde dilakukan dengan substitusi z = sehingga PD satu homogen. berubah menjadi PD variabel terpisah. Tinjau PD homogen berbentuk = g... (8) Ambil substitusi z =. Maka = z dan d = dz + z d dan dari (8) d dz + z d didapat = = = g( z) d d dz dz atau + z = g( z) = g( z) z. d d dz d Jadi =... (9) g( z) z PD (9) ini merupakan PD variabel terpisah. Dengan mengganti penelesaian (9) akan menghasilkan solusi umum PD (7). z = dalam

17 MATA433/MODUL.7 Contoh.9 Tentukan solusi umum PD: + = (0) Penelesaian: Bentuk PD (0) ditulis menjadi = = = g( ), dengan g( u) = u. Jadi PD (0) adalah PD homogen. u Dengan mengambil z =, dari (9) PD di atas menjadi definisi g( u) = u, PD ini berubah menjadi, u dz d d = z dz =. z z z Solusi PD ini adalah Dengan mengganti = ln + C atau z = ln + C. z =, diperoleh solusi umum PD (0) dz d = g( z) z = (ln + C).. Dari Contoh.0 Selesaikan PD: sin = sin () Dalam Contoh 8 di atas telah ditunjukkan bahwa PD () dapat Anda tulis menjadi = g, di mana u sin u + g( u) =. sin u Penelesaian: Dengan mengambil z =, berdasarkan (9) PD menjadi

18 .8 Persamaan Diferensial Biasa dz d dz d d = = sin z dz =. g( z) z z sin z + z sin z PD ini mempunai solusi umum: cos z = ln + C. Dengan mengganti z = diperoleh solusi umum PD (), aitu cos = ln + C atau cos + ln = C. Perhatian: a + b + c d + a + b + c d =... () PD: ( ) ( ) 0 dapat ditinjau dengan 3 (tiga) kasus: a b c (a) Bila = = = k maka PD () berubah menjadi PD: a b c (b) Bila k d + d = 0, PD variabel terpisah. a b c = = k, dengan substitusi u = a + b. PD a b c menjadi PD variabel terpisah ( ) u + c k u + c d + ( du a d) = 0 b [ b ( k u + c ) a ( u + c )] d + ( u + c ) du = 0 u + c d + du = (3) ( k b a ) u + b c a c a b (c) Bila, dengan substitusi u = a + b + c dan a b v = a + b + c, dapat diperlihatkan bahwa b du b dv a du a dv d = ; d = a b a b a b b a PD() menjadi u ( b du b dv) v ( a du a dv) = 0 dan ( b u a v) du + ( a v b u) dv = 0,... (4) suatu PD homogen.

19 MATA433/MODUL.9 Contoh. Tentukan solusi umum PD: (4 6 + ) d + ( 3 + 3) d = (5) Penelesaian: Ini adalah kasus (b). Dengan substitusi u = 3, dari (3) didapat PD (5) menjadi PD u + 3 u + 3 d + du 0 d du 0 8u = = 8 3 u d + du = 0 atau u ln ( u ) C 8 3 u =. Solusi umum PD adalah 8 ( 3 ) 3 ln ( 3 3 ) ln ( 3 ) C + = C atau + + =. Contoh. Tentukan solusi umum PD: ( + ) d + ( + + ) d = (6) Penelesaian: Dengan substitusi u = + dan v = + +, dari (3), PD (6) menjadi PD: ( u v) du + ( v + u) dv = 0 v dv v u u v = = = g du u v v u suatu PD homogen. + + u v Substitusi z =, PD menjadi u dz du (z + ) dz du = = z u z u z z + z + du z dz du dz = + dz = atau z + u z + z + u

20 .0 Persamaan Diferensial Biasa ln( z + ) + tan z = ln u + ln C atau tan Ce v atau u + = u Jadi, solusi umum PD adalah v u atau tan u( z + ) = Ce tan v u u + v = Ce. + + tan =. ( ) ( ) Ce z Setelah membaca materi kegiatan belajar di atas, cobalah kerjakan latihan berikut agar pemahaman Anda lebih mantap. LATIHAN ) Manakah di antara PD-PD berikut PD variabel terpisah? A. ( ) + = 0 ( + ) + = 0 ( sin + ) + cos = 0 ( sin + ) + ( + ) = 0 ) Manakah di antara PD-PD berikut PD homogen A. ( ) + = 0 Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ( + + ) = + ( + ) + ( ) = 0 = + sec ( / ) 3) PD: = dapat diubah menjadi ln (i)... d =... d (ii) Solusi umum adalah...

21 MATA433/MODUL. 4) Solusi umum PD: sin = cos adalah A. = C cos = C sin = C cos = C sin 3 5) Solusi PD: ( + ) = ang memenuhi sarat awal (0) = adalah A. = ( ) = ( + ) = ( + ) = ( ) 6) Suatu zat radioaktif mula-mula banakna 0 gram. Zat radioaktif berkurang banakna sebanding dengan banakna pada saat tersebut. Tentukan waktu T sehingga banakna zat radioaktif pada saat T adalah setengah dari banakna zat semula. Waktu T ini dikenal sebagai waktu setengah umur (hidup). Langkah Penelesaian: Misalkan, ( t ) gram menatakan banakna zat radioaktif pada saat t. Maka ( t ) memenuhi PD: d (i) = k?, di mana k adalah konstanta pembanding dengan k > 0. dt Penelesaian PD memberikan solusi umum (ii) =... Dengan memasukkan sarat awal (0) = 0 didapat solusi (iii) =... Selanjutna waktu T diperoleh dari persamaan: (iv)... Yang memberikan nilai T: (v) T =...

22 . Persamaan Diferensial Biasa 7) PD: = + 4 dapat ditulis dalam bentuk = g( / ), di mana A. 4 g( u) = u g( u) = + 4u u u 4 g( u) = u + g( u) = 4u. u u 8) Tentukan solusi umum PD: tan = 0. Untuk menelesaikanna Anda diminta melengkapi ungkapan-ungkapan berikut: (i) PD dapat ditulis dalam bentuk: =... = g( / ), di mana g( u ) =... (ii) Dengan substitusi z =, berdasarkan (8) diperoleh PD: d... dz = (iii) Solusi PD di (ii) adalah... (iv) Dengan mengganti aitu... z = diperoleh solusi umum PD di atas, 9) Solusi umum PD: sec = + A. = C e = C e = C e = C e cos( / ) cos( / ) sin( / ) sin( / ) adalah...

23 MATA433/MODUL.3 0) Solusi umum PD: ( ) d + ( + + 3) d = 0 adalah... A. /3 4/3 ( ) = C( + ) /3 4/3 ( ) = C( + + ) /3 4/3 ( 4 8 7) = C( + ) /3 4/3 ( ) = C( ) RANGKUMAN PD variabel terpisah adalah PD orde satu ang dapat ditulis dalam bentuk: g( ) = f ( ). Penentuan solusina dilakukan dengan langsung mengintegrasikanna. PD homogen adalah PD orde satu ang dapat dituliskan dalam bentuk = g. Penelesaian PD homogen dilakukan dengan mengubahna ke PD variabel terpisah dengan menggunakan substitusi z =. Kini, setelah membaca rangkuman, tiba saatna Anda mengerjakan Tes Formatif. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! ) PD variabel terpisah di antara PD-PD berikut adalah PD: A. ( + ) = ( + cos ) + ( + 6 sin ) = 0 + = 0 ( + ) + = 0.

24 .4 Persamaan Diferensial Biasa ) PD homogen di antara PD-PD berikut adalah PD: A = 0 = + cos ( / ) ( + ) + = 0 3 ( + ) =. 3) Dengan substitusi z =, PD: cos sin 0 + = menjadi... A. ( + cos z) dz d = z (sin z cos z ) ( + cos z) dz d = z (sin z + cos z + ) ( cos z) dz d = z (sin z cos z + ) ( cos z) dz d =. z (sin z + cos z ) berubah 4) Solusi PD: A. d = ( + ln )( + ) d adalah... ln ( + ) = + (ln + ) + C ln ( + ) = (ln ) + C ln ( + ) = + (ln ) + C ln ( + ) = (ln + ) + C. 5) Solusi umum PD: A. = ln ( C ln ) C = ln ln = ln (ln C) ln ln C = / = + e adalah...

25 MATA433/MODUL.5 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian ang belum dikuasai.

26 .6 Persamaan Diferensial Biasa M Kegiatan Belajar 3 PD Eksak dan Faktor Integrasi isalkan f (, ) suatu fungsi dua variabel. Maka Anda telah mengetahui bahwa diferensial total df adalah df f = df (, ). turunan parsial f(,) f f df = d d +. Contoh.3 3 Fungsi f (, ) = mempunai diferensial total 3 df = 3 d + d. Contoh.4 Fungsi f (, ) = sin mempunai diferensial total df = sin d + ( cos ) d. Sekarang PD eksak didefinisikan sebagai berikut: Definisi PD orde satu berbentuk: M (, ) d + N(, ) d = 0... () disebut eksak apabila terdapat fungsi f (, ), sehingga df (, ) = M (, ) d + N(, ) d.... () Dari definisi PD eksak dan hubungan () Anda melihat bahwa df (, ) = 0. df (, ) = f (, ) Jadi, dengan mengintegralkan ini diperoleh bahwa solusi umum PD () adalah f (, ) = C.

27 MATA433/MODUL.7 Selanjutna dari definisi diferensial total dan hubungan (), Anda melihat bahwa: f f = M (, ) dan = N(, ).... (3) M = M(,) dan N = N(,). Bila M(,) dan N(,) mempunai turunanturunan parsial ang kontinu di bidang, maka dari (3) diperoleh M f = dan N f =.... (4) Selanjutna, bila f mempunai turunan-turunan parsial kedua ang kontinu maka dari (4) diperoleh: M N =.... (5) Sarat (5) merupakan sarat perlu agar PD () eksak. Dapat diperlihatkan bahwa sarat ini juga sarat cukup sehingga hubungan (3) dapat dipergunakan untuk menentukan fungsi f (, ) = C ang merupakan solusi umum PD (). Contoh.5 M = M(,) dan N = N(,). Tinjau PD: + d + d = (6) Di sini M = dan N = +. Karena M =, N = dan M N = maka PD (6) eksak. Untuk menentukan solusi umum PD (6), Anda mencari fungsi f (, ) = C sehingga hubungan (3) berlaku, aitu f = M dan f = N. f Dari hubungan = M =, didapat dengan mengintegralkan terhadap : f (, ) = + g( ),... (7)

28 .8 Persamaan Diferensial Biasa g() konstanta pengintegralan terhadap. Jadi, di mana g( ) konstanta pengintegralan terhadap d (karena g ( ) = 0 ) dan f (, ) merupakan fungsi d f dari dua variabel dan. Dari hubungan = N dan (7), didapat: f = + g ( ) = +. g ( ) = dan ini memberikan g( ) = d = ln. Jadi, solusi umum PD (6) adalah f (, ) + ln = C. Contoh.6 Tinjau PD: e d + ( e + ) d = (8) Di sini M (, ) = e dan N(, ) = e + sehingga Karena M e = dan M N e =. N = maka PD (8) eksak. Untuk menentukan solusi umum PD (8), Anda mencari fungsi f (, ) f = M dan = C sehingga f = N. Dari hubungan f = M = e, dengan mengintegralkan terhadap, diperoleh: f (, ) = e + g( ).... (9) f di mana g( ) konstanta pengintegralan terhadap. Dari hubungan = N f dan (9) diperoleh: = e + g ( ) = e +. Jadi, g ( ) = dan g( ) =. Solusi umum PD (8) adalah f (, ) e + = C.

29 MATA433/MODUL.9 Contoh.7 PD: d + ( ) d = (0) M N M adalah tidak eksak karena = ; = dan N. Penelesaian PD pada Contoh.7, tidak dapat dilakukan dengan menggunakan metode pada contoh-contoh sebelumna. Untuk PD ini dibutuhkan suatu fungsi ang disebut dengan faktor integrasi. Faktor integrasi: Tinjau kembali PD pada Contoh.7, akni d + ( ) d = (0) Karena M N = ; = dan M N, maka PD (0) tidak eksak. Tetapi bila PD (0) dikalikan dengan faktor maka diperoleh PD: 0 d + d = ang eksak karena =. Fungsi semacam disebut sebagai faktor integrasi. Definisi Misalkan PD: M (, ) d + N(, ) d = 0 tidak eksak. Fungsi µ (, ) sehingga PD: µ (, ) M (, ) d + µ (, ) N(, ) d = 0... () menjadi eksak, disebut faktor integrasi.

30 .30 Persamaan Diferensial Biasa Terlihat bahwa solusi umum PD ang tidak eksak sama dengan solusi umum PD ang menjadi eksak, aitu PD ang telah dikalikan dengan faktor integrasina. Oleh karena itu, kita cukup mencari solusi umum PD eksakna. Bagaimanakah Anda menentukan faktor integrasi untuk suatu PD ang bukan eksak? Masalah ini umumna tidak mudah. Di bawah ini kita berikan beberapa ide dan petunjuk untuk menentukan faktor integrasi. Tinjau PD ang tidak eksak M (, ) d + N(, ) d = 0. Karena PD () eksak maka ( µ M ) ( µ N) = atau µ M = µ (, ) M (, ) µ N = µ (, ) N (, ) M N µ + M µ = µ + N µ atau M N N µ M µ =.... () µ Sekarang kita meninjau beberapa kasus berikut: (a) Misalkan µ = µ ( ) (aitu fungsi dari saja). Maka µ µ dµ = 0 dan =. d Jadi, PD () menjadi M N dµ M N dµ N = atau =.... (3) µ d µ d N Bila M N = g( ), N maka dari PD (3) didapat d µ d = g( ) atau µ = g( ) d. µ d µ Dengan melakukan pengintegralan, didapat

31 MATA433/MODUL.3 g( ) d g d e. ln µ = ( ) µ = Jadi, faktor integrasina adalah g( ) d µ = e, dengan M N g( ) =. N Contoh.8 Kita telah mengetahui bahwa PD: tidak eksak. Untuk PD ini: M N ( ) = = N d + ( ) d = 0... (4) ( ) = = = g( ). ( ) Faktor integrasi PD (4) adalah a a lnb = lnb µ = e = e = e = e a a ln b ln b a e = e = b. = = Ini sama dengan ang disebutkan di atas. g( ) d (/ ) d ln ln (b) Dengan argumentasi seperti di (a), Anda dapat menunjukkan (sebagai latihan) bahwa bila M N µ = µ ( ) dan = g( ), M g( ) d maka faktor integrasina adalah µ = e. Contoh.9 PD: d + ( 3 ) d = 0... (5) tidak eksak (kenapa?), selanjutna M N = = = g( ). M Jadi, faktor integrasi PD (5) adalah

32 .3 Persamaan Diferensial Biasa 4 d g d ( ) 4 4ln ln 4 µ = e = e = e = e = =. 4 Untuk menentukan solusi PD (5) sekarang kita meninjau PD: 3 3 d + d = 0 atau d + d = (6) Untuk menentukan solusi umum PD (6), Anda mencari fungsi f f 3 f(,) sehingga = dan =. 3 4 f Dari hubungan =, diperoleh: f (, ) = + g( ).... (7) 3 3 f 3 Dari hubungan = dan (7) didapat g ( ) = atau 4 4 g ( ) = g( ) =. Jadi, solusi umum PD (6), ang juga merupakan solusi umum PD (5) adalah f (, ) = C 3 =. (c) Misalkan µ = µ ( ). Dengan substitusi z =, didapat µ d z d = µ. = µ dan µ d z d = µ. = µ. dz dz dz dz Dengan memasukkan ini ke () didapat: d d M N N µ M µ µ dz dz = atau M N dµ =. µ dz N M Sekarang bila

33 MATA433/MODUL.33 M N N M dengan z = h( z), = maka faktor integrasi adalah h( z) dz µ = e di mana z =. Contoh.30 Tinjau PD: 3 4 d + ( + 3 ) d = (8) PD ini tidak eksak (kenapa?) M N = ( + 9 ) = 9 Jadi, adalah N M = + 3 = 3. M N = = =. Maka faktor integrasina 3 N M 3 5 z 3 dz z 3ln z µ = e = e = =. 3 3 z ( ) (d) Dengan cara ang sama seperti (c), Anda dapat menunjukkan bahwa bila M N µ = µ ( + ) dan = h( z), ( N M ) di mana z = +. Maka faktor integrasina adalah h( z) dz µ = e, dengan z = +. Contoh.3 Tinjau PD: ( ) d ( + ) d = (9) PD ini tidak eksak (kenapa?) M N = ( ) = dan

34 .34 Persamaan Diferensial Biasa N M = ( + ) ( ) = ( + ). Jadi, M N = = =, ( N M ) ( + ) + z dan faktor integrasina adalah ( / z) dz ln z µ = e = e = =. z + Perhatian: Dalam praktikna, untuk menentukan faktor integrasi, Anda harus memeriksa apakah M N M N = g( ) atau = g( ) N M atau M N = h( z) = h( ) N M atau M N = h( z) = h( + ). ( N M ) Bila salah satu berlaku, misalna M N = h( z) = h( ), N M h( z) dz maka faktor integrasina adalah µ = e, dengan z =.

35 MATA433/MODUL.35 Contoh.3 Tinjau PD: d + ( + + ) d = 0. PD ini tidak eksak (kenapa?) M N = = bukan fungsi dari M N =, tetapi N + + Jadi, faktor integrasina adalah M N M d ln µ = e = e =. = = = g( ). Setelah membaca materi kegiatan belajar di atas, cobalah kerjakan latihan berikut agar pemahaman Anda lebih mantap. LATIHAN ) Tentukan df dari fungsi-fungsi berikut: A. f (, ) = + sin f (, ) = + e f (, ) = e f (, ) = + + ) Tentukan fungsi f (, ) sehingga A. Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!. df = d + ( + ) d df = sin d + ( cos + ) d df = d + cos d + + +

36 .36 Persamaan Diferensial Biasa 3 df = ( e + ) d + ( e + ) d. 3 3) Manakah di antara PD-PD berikut eksak: A. 3 d + (4 + ) d = 0 ( + sin ) d + ( + cos + ) d = 0 ( + ln ) d + ( + ln ) d = ( + ln ) d + ( + ) d = 0. 4) Untuk menentukan solusi PD eksak: ( + cos ) d + ( sin ) d = 0, lengkapi langkah-langkah berikut: (i) Solusi PD dicari dengan menentukan f (, ) = C sehingga f f =... dan =... f (ii) Hubungan =..., memberikan f (, ) =... + g( ) f dan dari hubungan =..., didapat g ( ) =..., ang memberikan g( ) =... (iii) Jadi solusi umum PD tersebut adalah f (, )... = C. 5) Tentukan solusi PD-PD berikut: A. 3 d + 4 d = ( ) d + ( + ) d = 0 d + ( + ) d = 0 cos cos d sin sin cos d = 0

37 MATA433/MODUL.37 6) Solusi PD: A. ( cos + ) d + ( cos + ) d = 0 adalah f (, ) cos + = C f (, ) cos = C f (, ) sin + = C f (, ) sin = C 3 7) Faktor integrasi PD: ( ) d d = 0 adalah A. fungsi dari fungsi dari fungsi dari fungsi dari ( + ) 8) Faktor integrasi dari PD: A. µ = µ = µ = µ = + d + ( ) d = 0 adalah 9) Tentukan faktor integrasi PD-PD berikut: 3 A. ( ) d + d = 0 3 d + ( ) d = 0 3 d ( + ) d = 0 ( ) d d = 0. 0) Tentukan solusi umum PD-PD berikut: A. d ( + ) d = 0 3 d + ( ) d = 0

38 .38 Persamaan Diferensial Biasa Agar latihan Anda terarah dengan baik dan Anda dapat memperkirakan hasil latihan Anda, bacalah rambu-rambu jawaban dan jawaban latihan 3 ini di akhir modul ini. Setelah mengerjakan latihan 3, simaklah rangkuman kegiatan belajar berikut ini sehingga Anda merasa siap untuk mengerjakan Tes Formatif 3. RANGKUMAN M f PD orde satu: M (, ) d + N(, ) d = 0 adalah eksak apabila N =. Solusi dicari dengan menentukan f (, ) sehingga = M dan f = N. Bila PD: M (, ) d + N(, ) d = 0 tidak eksak maka fungsi µ = µ (, ) sehingga PD: µ (, ) M (, ) d + µ (, ) N(, ) d = 0 menjadi eksak, disebut faktor integrasi. Solusi PD eksak ini adalah juga solusi PD ang tidak eksak. Faktor integrasi µ(,) dapat dicari dengan memeriksa apakah: M N N M N N M M N = g( ) atau = g( ) atau M M N = g( z) = g( ) atau = g( z) = g( + ). ( N M ) g( z) dz Faktor integrasi µ adalah µ = e, di mana z = atau z = atau z = atau z = +. Kini, setelah membaca rangkuman, tiba saatna Anda mengerjakan Tes Formatif.

39 MATA433/MODUL.39 TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! ) PD ang eksak di antara PD-PD berikut adalah... 3 A. ( + sin ) + ( + cos ) = 0 3 ( cos + e ) + 3 sin + e = 0 3 ( ln + ) + + = 0 sin + cos + = 0 ) Nilai a dan b agar PD: eksak adalah... A. a = ; b = 3 a = ; b = 3 a = ; b = 3 a = ; b = 3 3 ( + a ) d + ( b + + ) d = 0 3) Solusi umum PD: ( + cos ) d + ( cos ) d = 0 adalah... A. f (, ) + cos = C f (, ) cos = C f (, ) + sin = C f (, ) sin = C

40 .40 Persamaan Diferensial Biasa 4) PD: A ( ) d + ( ) d = 0 mempunai faktor integrasi: 3 µ = µ = 3 µ = µ = ( + ) 5) Solusi umum PD: A. f (, ) + = C 3 f (, ) = C 3 f (, ) + = C f (, ) = C 3 3 ( ) d + ( ) d = 0 adalah: Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang

41 MATA433/MODUL.4 Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 4. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian ang belum dikuasai.

42 .4 Persamaan Diferensial Biasa P Kegiatan Belajar 4 PD Linear Orde Satu ersamaan diferensial linear orde satu adalah PD orde satu ang berbentuk: d + P( ) = ϕ( ).... () d Contoh.33 d PD: + = e adalah PD linear. d Contoh.34 d PD: = sin adalah PD linear. d Contoh.35 d PD: + = bukan PD linear karena tidak berbentuk d PD(). P = P() Bila PD () dikalikan dengan Pd e maka diperoleh Pd d Pd e P( ) ϕ( ) e + = d.... () Sekarang perhatikan bahwa d Pd Pd d Pd Pd d e e P e e = + = + P d d d.... (3) Dari () dan (3) didapat: d Pd Pd e ϕ( ) e = d dan dengan mengintegralkanna diperoleh: Pd Pd e = ϕ( ) e d + C

43 MATA433/MODUL.43 atau Pd Pd = e ϕ( ) e d + C. Jadi solusi umum PD () adalah: Pd Pd = e ϕ( ) e d + C. Contoh.36 d Selesaikan PD: + = 3. d Penelesaian: Di sini P( ) = dan ϕ ( ) = 3 sehingga Pd ln Pd P d = d = ln dan e = e = ; e =. Jadi solusi umum PD adalah 3 = { (3 ) d + C} = ( 3 d + C) = C ( C ) + = +. Contoh.37 Tentukan solusi umum PD: = 0. Penelesaian: d 4 PD ini ditulis dalam bentuk () menjadi + =. d 4 Di sini P( ) = dan ϕ ( ) =. Seperti di Contoh.36 diperoleh Pd Pd P d = d = ln atau e = dan e =. Jadi solusi umum PD di atas adalah 4 = d C ( 4) d C 4 C + = + = + [ ]

44 .44 Persamaan Diferensial Biasa = 4 + C. Contoh.38 Selesaikan PD: + tan = sin dengan sarat awal (0) =. Penelesaian: Di sini P( ) = tan dan ϕ ( ) = sin. sin sehingga Pd = tan d = d = ln (sec ), cos Pd ln(sec ) e Pd = e = sec dan e = cos sec =. Jadi solusi umum PD di atas adalah { } ( ) = cos (sin )(sec ) d + C = cos sin d + C = (cos )( cos + C) = cos + C cos. Sarat awal (0) = memberikan = + C C = 3. Jadi solusi PD ang memenuhi (0) = adalah = cos + 3 cos. Contoh.39 (Aplikasi). Berdasarkan hukum Kirchoff, arus listrik dalam rangkaian LR (Gambar.) memenuhi PD linear berikut: di L RI E( t) dt + = atau di R E( t) + I =, dt L L di mana I = arus, R = tahanan, L = induktan dan Gambar. E(t) adalah voltase. R E( t) R R Di sini P( t) = dan ϕ ( t) = sehingga Pdt = dt = t L L. L L Jadi solusi umumna adalah

45 MATA433/MODUL.45 ( R / L) t E( t) ( R / L) t I( t) = e e dt + C L. Bila E( t) = E 0 = konstanta maka ( R / L) t E0 ( R / L) t I( t) = e e dt + C L E L E = e. e + C = + C e L R R ( R / L) t 0 ( R / L) t 0 ( R / L) t. Persamaan Diferensial Bernoulli PD berbentuk: d α + P( ) = ϕ( ) d, α real, α 0 dan α... (4) disebut PD Bernoulli. Dengan substitusi α = z, PD (4) berubah menjadi PD linear. Contoh.40 Tinjau PD: + =.... (5) Penelesaian: Ambil substitusi = atau sehingga dari (5) didapat ( z ), menghasilkan PD z =. Maka z d dz = d, z d dz + = z d z z. Kalikan dengan dz z d =.... (6) PD (6) ini mempunai P( ) = dan ϕ ( ) =.

46 .46 Persamaan Diferensial Biasa Pd ln Jadi, P( ) d = d = ln ; e Pd = e = dan e =. Dan solusi umum PD (6) adalah z =. d + C = ( + C) = + C. Jadi solusi umum PD (5) adalah = =. z + C Setelah membaca materi kegiatan belajar di atas, cobalah kerjakan latihan berikut agar pemahaman Anda lebih mantap. LATIHAN ) Manakah di antara PD-PD berikut linear d A. sin d + = + d cos d + = ( + ) d + = d d ( ) d + + = +. ) Manakah di antara PD-PD berikut PD Bernoulli A. + = = 3 = + Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 3 + = ( ). 4

47 MATA433/MODUL.47 3) Bila ϕ ( ) = 0 maka PD linear berubah menjadi A. PD tidak eksak PD homogen PD variabel terpisah Bukan PD orde satu. 4) Solusi PD: + = adalah A. = + Ce = + Ce = + Ce = + Ce. 5) Solusi PD: = 3e adalah A. = (3 + C) e 3 = (3 + C) e = (3 + C) e 3 = (3 + C) e. 6) Diketahui PD: ( + ) d + d = cot d. Bila PD ini ditulis d dalam bentuk + P( ) = ϕ( ) maka d A. P( ) =... dan ϕ ( ) =... P( ) d...; e Pd Pd = =... ; dan e =... Solusi PD menjadi =. 7) Tentukan solusi umum PD-PD berikut: A. + cot = csc + = e + + =. + e

48 .48 Persamaan Diferensial Biasa 8) PD Bernoulli = dengan substitusi (i) z =... akan berubah menjadi PD: dz (ii) d + = 9) Solusi PD: A. 3 = + adalah = + + Ce = + Ce = + + Ce = + Ce. 0) Tentukan solusi PD-PD berikut: A. + = = 3 cos + =. Agar latihan Anda terarah dengan baik dan Anda dapat memperkirakan hasil latihan Anda, bacalah rambu-rambu jawaban dan jawaban latihan 4 ini di akhir modul ini. Setelah mengerjakan latihan 4, simaklah rangkuman kegiatan belajar berikut ini sehingga Anda merasa siap untuk mengerjakan Tes Formatif 4. RANGKUMAN d PD linear + P( ) = ϕ( ), mempunai solusi d Pd Pd = e { ( ϕe ) d + C}. PD Bernoulli: + P( ) = ϕ( ) α, dapat diubah menjadi PD

49 MATA433/MODUL.49 linear dengan menggunakan substitusi α = z. Kini, setelah membaca rangkuman, tiba saatna Anda mengerjakan Tes Formatif. ) PD orde satu linear di antara PD-PD berikut adalah... 4 A. + ( + ) = + 3 sin = + sin = e + (sin + ) = cos. ) PD Bernoulli di antara PD-PD berikut adalah... A. ( + ) = TES FORMATIF 4 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! + 3 = = 0 + cos = e ) PD Bernoulli: + = dengan menggunakan substitusi berubah menjadi PD linear. A. dz z = d dz z = d dz + z = d dz + z =. d z =

50 .50 Persamaan Diferensial Biasa 4) Solusi PD: adalah... + = cos ang memenuhi ( π / ) = 8/ π A. = (cos ) + = ( cos ) + = (sin ) + = ( sin 3) +. 5) Solusi umum PD: A. = + + C = ( + ) adalah = + C 4 3 = + + C 4 3 = C Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutna. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 4, terutama bagian ang belum dikuasai.

51 MATA433/MODUL.5 Kunci Jawaban Latihan Latihan ) (lihat Contoh.) A. tidak a a tidak. ) (lihat Contoh.) A. eksplisit implisit implisit eksplisit. 3) (i) = C sin C sin + C cos. tan = 0 sin C sin + C cos. = 0 (ii) cos C sin + C sin = 0 0 = 0 (iii) = C cos adalah solusi umum dari PD: + tan = 0. 4) C (gunakan sistematika penelesaian pada soal nomor 3). 5) (i) + C + C = 0 (iii) C = + + C + C = 0 (ii) (iv) + ( ) = 0 + C + C = atau ( + ) ( + ) + = 0. 6) C (gunakan sistematika penelesaian pada soal nomor 5). 7) A (idem soal nomor 6). 8) B (idem soal nomor 7). 9) (i) 0 (0) = e = ()() = (iv) e = e (memenuhi)

52 .5 Persamaan Diferensial Biasa (ii) (memenuhi) (v) = e adalah solusi khusus PD: (iii) =... (***) e =. e 0) D (gunakan sistematika penelesaian pada soal nomor 9) Latihan ) A. tidak a; + = 0 ; + tidak a; sin = 0. ) A. a tidak tidak a. 3) (i) d d = ln (ii) ln = ln (ln ) + C. 4) 5) 6) (i) (ii) 7) d k dt = = C e kt, (konstanta integrasi diambil ln C ) (iii) = 0 e kt 0 (iv) = 0 e (v). T = ln. k kt

53 MATA433/MODUL.53 8) (i). = + tan ( / ) = g( / ), di mana g( u) = u + tan u cos (ii). d = dz = z dz tan z sin z (iii). ln = ln (sin z) + ln C = C sin z (iv). = C sin ( / ). 9) 0) A. Latihan 3 f f ) A. df = d d + = ( + cos ) d + ( + cos ) d df = ( + e ) d + ( + e ) d + + df = e d + e d ( ) ( ) df = d + d. ( + ) ( + ) ) A. 3 f (, ) = + 3 f (, ) = sin + f (, ) = ln( + ) + sin 3 f (, ) = e ) A. a a tidak a. f 4) (i). = + cos ; f = sin

54 .54 Persamaan Diferensial Biasa f (ii). = + cos f (, ) = + cos + g( ) f = sin = sin + g ( ) dan g ( ) = ; g( ) =. (iii). f (, ) + cos = C ) A. f (, ) = C 4 4 f (, ) + = C 4 4 f (, ) + ln = C 6) C 7) C f (, ) sin cos = C. 8) B 9) A. 0) A. µ = µ = 3 µ = µ = ( + ) f (, ) + = C f (, ) + = C.

55 MATA433/MODUL.55 Latihan 4 ) A. a tidak a tidak. ) A. a tidak a a. 3) 4) 5) C 6) A. cot P( ) = ; ϕ( ) = + + Pd P( ) d = ln( + ); e = + dan = (ln(sin ) + C ). + Pd e = + 7) A. 8) (i) 9) D ( ) = + C sin = e + + Ce = e [arc tan ( e ) + C]. z = 3 (ii) dz z d =. 0) A. Ce = + 3 = + + Ce 3 = 3 (3 sin + 3cos + C).

56 .56 Persamaan Diferensial Biasa Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif ) B ) C 3) A 4) B 5) A Tes Formatif ) B ) C 3) A 4) C 5) C Tes Formatif 3 ) B ) A 3) C 4) C 5) B Tes Formatif 4 ) C ) D 3) A 4) C 5) B

57 MATA433/MODUL.57 Daftar Pustaka Boce, W.E. & R. DiPrima (99). Elementar Differential Equations and Boundar Value Problems. 5 th ed. New York: John Wile & Sons. Kreszig, E. (993). Advanced Engineering Mathematics. 7 th ed. New York: John Wile & Sons. Simmons, G.F. (979). Differential Equations with Applications and Historical Notes. McGraw-Hill Publishing Compan, Ltd.