MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU IX

Transkripsi

1 MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU IX KALKULUS DIFERENSIAL Prepared By : W. Rofianto ROFI 010

2 TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam ROFI 010

3 TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA Seseorang mengendarai mobil dengan jarak tempuh (s) yang dapat diestimasi sebagai fungsi dari waktu (t) berikut : s f(t) 8t + 8t Kecepatan (tingkat perubahan jarak) rata-rata selama dua jam pertama adalah : s t f () f 0 (0) Km / jam ROFI 010

4 KONSEP DIFERENSIASI Bentuk y/ disebut difference quotient yang mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas. y f ( + ) f ( ) Apabila dalam pembagian tersebut perubahan variabel bebas sangat kecil atau mendekati nol maka pembagian tersebut dinamakan turunan atau derivatif (derivative) lim 0 y lim 0 f ( + ) Kalkulus diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. f ( ) dy d y' ROFI 010

5 MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI Turunan dari y f() adalah : y f ( + ) f ( ) ( + ) + ( + ) dy lim y' ( + ) 0 d ROFI 010

6 KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI ATURAN 1 : FUNGSI KONSTANTA Jika f() k, di mana k adalah sembarang konstanta f () 0 ATURAN : FUNGSI PANGKAT Jika f() n, di mana n adalah bilangan real, ROFI 010 f () n n-1 ATURAN 3 : PERKALIAN KONSTANTA DENGAN FUNGSI Jika f() c g(), di mana c adalah konstanta dan g() adalah fungsi yang dapat diturunkan f () c g ()

7 KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI ATURAN 4 : PENJUMLAHAN/PENGURANGAN FUNGSI Jika f() u() ± v(), di mana u dan v dapat diturunkan f () u () ± v () ATURAN 5 : PERKALIAN FUNGSI Jika f() u() v(), di mana u dan v dapat diturunkan f () u ()v() + v ()u() ATURAN 6 : PEMBAGIAN FUNGSI Jika f() u()/v(), di mana u dan v dapat diturunkan dan v() 0 u '( ) v( u) v' ( ) u( ) f () v( ) [ ] ROFI 010

8 KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI ATURAN 7 : PANGKAT DARI SUATU FUNGSI Jika f() [u()] n, di mana u dapat diturunkan dan n adalah bilangan real f () n [u()] n-1 u () ATURAN 8 : FUNGSI EKSPONENSIAL Jika f() e u(), di mana u dapat diturunkan f () u ()e u() ATURAN 9 : FUNGSI LOG NATURAL Jika f() ln u(), di mana u dapat diturunkan u' ( ) f () u( ) ROFI 010

9 LATIHAN Tentukan dy d dari fungsi-fungsi di bawah ini 1. y f() y f() ( 4)( 6) 3. y f() y f() ( ) 3 5. y f() ( - )( - 4) 3 6. y f() 4 5 ROFI 010

10 DERIVATIF ORDE KE DUA ATAU LEBIH Turunan kedua dari suatu fungsi adalah turunan dari turunan pertama fungsi tersebut. Turunan kedua dari suatu fungsi dengan variabel bebas dapat dituliskan sebagai : f ''( ) d y d Turunan ke-n dari suatu fungsi dinotasikan dengan f (n), dapat dihitung dengan mendiferensiasikan fungsi tersebut sebanyak n kali. ROFI 010

11 INTERPRETASI DERIVATIF Seseorang mengendarai mobil dengan jarak tempuh (s) yang dapat diestimasi sebagai fungsi dari waktu (t) berikut : s f(t) 8t + 8t Kecepatan (tingkat perubahan jarak terhadap waktu) sesaat pada jam kedua adalah : ds dt f () 16t () km/jam ROFI 010

12 INTERPRETASI DERVATIF f() f () > 0 B f () 0 f () < 0 A f () < 0 f () > 0 C E f () < 0 f () > 0 D f () 0 ROFI 010

13 PENENTUAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM RELATIF TEST DERIVATIF I I. Tentukan semua titik kritis *, syarat f (*) 0 II. Untuk setiap nilai *, tentukan nilai f () di sebelah kiri ( l ) dan kanan ( r ) dari * a. Jika f ( l ) > 0 dan f ( r ) < 0 maka titik [(*, f(*)] adalah titik maksimum relatif b. Jika f ( l ) < 0 dan f ( r ) > 0 maka titik [*, f(*)] adalah titik minimum relatif c. Jika f ( l ) dan f ( r ) bertanda sama maka titik [(*, f(*)] adalah titik belok 3 Contoh : f ( ) ROFI 010

14 PENENTUAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM RELATIF TEST DERIVATIF II I. Tentukan semua titik kritis *, syarat f (*) 0 II. Untuk setiap nilai *, tentukan nilai f (*) a.jika f (*) > 0 fungsi menghadap ke atas dan titik [(*, f(*)] adalah titik minimum relatif b.jika f (*) < 0 fungsi menghadap ke bawah dan titik [(*, f(*)] adalah titik maksimum relatif c. Jika f (*) 0 tidak dapat ditarik kesimpulan fungsi menghadap ke mana, untuk itu diperlukan test derivatif I untuk menguji sifat titik tersebut 3 Contoh : f ( ) ROFI 010

15 LATIHAN Carilah titik-titik kritis dan sifatnya dari fungsi-fungsi berikut: 1. f() f() - 5 ROFI 010

16 SKETSA KURVA SUATU FUNGSI FAKTOR-FAKTOR PENTING - Titik-titik maksimum dan minimum relatif Syarat, f () 0 - Titik belok Syarat f () 0 - Titik potong y dan (optional) Dengan memisalkan atau y adalah nol - Arah akhir Dengan menganalogikan pada fungsi linier atau fungsi kuadrat 3 Contoh : f ( ) ROFI 010

17 LATIHAN Sketsalah fungsi berikut : f ( ) ROFI 010