Hendra Gunawan. 26 Februari 2014

Transkripsi

1 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/ Februari 2014

2 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan operasi pada deret pangkat kt yang diketahui jumlahnya untuk mendapatkan deret pangkat ktli lainnya dan jumlahnya 2/21/2014 c Hendra Gunawan 2

3 Sasaran Kuliah Hari Ini 9.8 Deret Taylor dan Deret Maclaurin Menentukan deret Taylor dan deret Maclaurin dari suatu ungsi di sekitar titik yg ditentukan 9.9 Hampiran Taylor terhadap Fungsi Menentukan hampiran Taylor terhadap suatu ungsi di sekitar titik yang ditentukan, beserta tki taksiran kesalahannya 2/21/2014 c Hendra Gunawan 3

4 MA1201 MATEMATIKA 2A 98DERET 9.8 TAYLOR DAN DERET MACLAURIN Menentukan deret Taylor dan deret Maclaurin dari suatu ungsi di sekitar titik yang ditentukan 2/21/2014 c Hendra Gunawan 4

5 Ingat Mengapa Deret Tak Terhingga Dengan turunan pertama, kita mendapatkan hampiran sin, untuk 0. Bila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kita akan dapatkan hampiran yang lbihbik lebih baik 3 sin 6, untuk Kelak kita dapat menunjukkan bahwa 3 5 sin 3! 5!......, 2/14/2014 c Hendra Gunawan 5 0. untuk.

6 Pada Kuliah yang Lalu Kita telah membahas bahwa deret pangkat 3 5 S... 3! 5! konvergen untuk seluruh bilangan real, dan S memenuhi persamaan dierensial orde 2: S = S, dengan S0 = 0 dan S 0 = 1. Solusi persamaan dierensial ini adalah S = sin. 2/21/2014 c Hendra Gunawan 6

7 Sejauh Ini Diberikan suatu deretpangkat, kita dapat menentukan selang kekonvergenannya. Untuk deret geometri, serta turunan dan integralnya, kita bisa mendapatkan jumlahnya. Demikian juga utk beberapa deret pangkat yang jumlahnya sama dengan e, cos, dan sin. Lalu, dengan operasi pada deretpangkat, kita dapat memperoleh uraian deret pangkat dari ungsi seperti = e dan g = e /1. 2/21/2014 c Hendra Gunawan 7

8 Pertanyaan Baru Diberikan suatu ungsi, dapatkah kita meng uraikannya sebagai sebuah deret pangkat c 2 0 c1 a c2 a untuk di sekitar a? Dengan perkataan lain, apakah kita dapat mencari c 0, c 1, c 2, sehingga deret pangkat di atas konvergen ke untuk di sekitar = a.... 2/21/2014 c Hendra Gunawan 8

9 Misalkan dapat diuraikan sebagai deret pangkat di sekitar = a Mk Maka, c 0 mestilah sama dengan nilai i a. Selanjutnya, jika kita turunkan terhadap 2 ' c 2c2 a 3c3 a maka c 1 mestilah sama dengan nilai a. 1 1 Turunkan lagi terhadap : '' 2! c 2 2 3! c3 a 4 3 a... maka c 2 mestilah sama dengan ½ a. Dan seterusnya 2/21/2014 c Hendra Gunawan 9...

10 Jadi Jika dapat diuraikan sebagai deret pangkat 2 1 c0 c1 a c2 a... maka mempunyai turunan setiap orde dan n a 2 c n, n 0,1,2,... n! dengan 0 a = a dan 0! = 1. Tetapi bagaimana sebaliknya? Jika n a ada untuk tiap n, dan c n kita hitung dgn rumus 2, apakah jumlah deret pangkat 1 sama dgn? 2/21/2014 c Hendra Gunawan 10

11 Deret Taylor dan Deret Maclaurin Uraian deret pangkat dari di sekitar = a disebut deret Taylor untuk di a, yakni: '' a a ' a a a ! Jika a = 0, maka deret pangkat tsb disebut deret Maclaurin untuk, yakni: ''0 2 '''0 3 0 '0... 2! 3! 2/21/2014 c Hendra Gunawan 11

12 Polinom dan Suku Sisa Taylor Misalkan ungsi yang mempunyai turunan ke n+1 pada selang terbuka I yang memuat a. Maka, untuk setiap I, berlaku = P n + R n dengan '' a Pn a ' a a a ! n a n... a n! dan suku sisa n1 c n1 Rn a, n 1! untuk suatu c di antara dan a. 2/21/2014 c Hendra Gunawan 12

13 Teorema Taylor Misalkan ungsi yang mempunyai turunan tiap orde pada selang I = a r, a + r. Maka, untuk setiap I, berlaku a Jika dan hanya jika ' a a n1 c lim Rn lim n n n 1! dengan c diantara dan a. '' a 2! a a n 1 2 2/21/2014 c Hendra Gunawan 13 0,...

14 Contoh 1 Tentukan deret Maclaurin untuk sin dan periksa bahwa deret tsb merepresentasikan sin untuk setiap R. Jawab: 2/21/2014 c Hendra Gunawan 14

15 Contoh 2 Tentukan deret Maclaurin untuk sinh dan periksa bahwa deret tsb merepresentasikan sinh untuk setiap R. Jawab: 2/21/2014 c Hendra Gunawan 15

16 Beberapa Deret Maclaurin Penting l1 ln1 3. tan 1 4. e 2/21/2014 c Hendra Gunawan 16

17 Beberapa Deret Maclaurin Penting 5. sin 6. cos 7. sinh 8. cosh 2/21/2014 c Hendra Gunawan 17

18 Latihan Tentukan deret Maclaurin untuk 1. = 1 + 1/2, untuk 1 < < g = tan, untuk π/2 < < π/2. 2/21/2014 c Hendra Gunawan 18

19 MA1201 MATEMATIKA 2A 99HAMPIRAN 9.9 TAYLOR TERHADAP FUNGSI Menentukan hampiran Taylor terhadap suatu ungsi di sekitar titik yang ditentu kan, beserta taksiran kesalahannya 2/21/2014 c Hendra Gunawan 19

20 Dierensial & Aproksimasi Berlanjut Dengan turunan pertama, kita dapat menghampiri ungsi di sekitar = a : a ' a a P 1. 1 Polinom di ruas kanan tidak lain merupakan polinom Taylor orde 1 dari di a. Bila mempunyai turunan kedua di sekitar = a, maka kesalahan penghampiran di atasadalah dlh '' c 2 R1 1 a, 2! dgn c di antara dan a. 2/21/2014 c Hendra Gunawan 20

21 Hampiran Taylor Orde n Hampiran Taylor Orde n Jika mempunyai turunan ke n+1, maka kita dapat menghampiri ungsi di sekitar = a dengan polinom Taylor orde n:.!... ' P n a a a a n n dengan kesalahan penghampiran 1 1 n n a c R dgn c di antara dan a., 1! 1 n a n R g 2/21/2014 c Hendra Gunawan 21

22 Contoh 1 Tentukan polinom Maclaurin orde 4 dari = cos. Gunakan polinom ini untuk menghampiri nilai cos Taksirlah kesalahan maksimumnya. Jawab: 2/21/2014 c Hendra Gunawan 22

23 Contoh 2 Taksirlah nilai e 0.1 dengan kesalahan tak lebih daripada Jawab: 2/21/2014 c Hendra Gunawan 23

24 Bahan Diskusi Diketahui = 4. Tentukan polinom Taylor orde 4 dari di 1. Jelaskan mengapa polinom ini menyatakan secara eksak. 2/21/2014 c Hendra Gunawan 24