KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

Transkripsi

1 KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

2 Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ Q - Jika, maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan m P -

3 b. Keepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = t. Pada saat t = benda berada di dan saat t = + h benda berada di +h. Perubahan waktu Perubahan posisi +h +h s Sehingga keepatan rata-rata pada selang waktu [,+h] adalah h vrata rata h

4 Jika h 0, diperoleh keepatan sesaat di = : v v h0 ratarata h h0 h Misal = + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan keepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Deinisi 4. : Turunan pertama ungsi di titik =, notasi dideinisikan sebagai bila it diatas ada

5 Notasi lain : d d, y Contoh : Diketahui tentukan. 9

6 . h h 0 h h 0 h 0 h 0 h 0 h h h h h h h h h h h h 0 9

7 Turunan kiri dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : TURUNAN SEPIHAK Turunan kanan dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : bila it ini ada. Fungsi dikatakan mempunyai turunan dierensiabel di atau jika dan Jika sebaliknya, dikatakan tidak mempunyai turunan di. _

8 Contoh : Diketahui,, Selidiki apakah dierensiabel di =. Jika ya, tentukan Jawab : a. b. Jadi, dierensiabel di = dan.

9 Teorema : Jika dierensiabel di kontinu di. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah Perhatikan bahwa Maka Siat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika kontinu di, maka belum tentu dierensiabel di. Hal ini, ditunjukkan oleh ontoh berikut.,...0 =. Terbukti.

10 Contoh Tunjukkan bahwa = kontinu di = 0 tetapi tidak dierensiabel di = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa = kontinu di =0, 0, 0 0 = kontinu di = 0 0

11 Selidiki apakah terdierensialkan di = Karena maka tidak dierensiabel di 0.

12 Contoh : Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di =.,, a b. Jawab : mempunyai turunan di = jika a. kontinu di = syarat perlu kontinu di = jika kontinu kiri dan kontinu kanan di =, atau a b a b a a b a

13 b. Turunan kiri = turunan kanan di syarat ukup ba a a aa a a a Maka a = dan b =

14 Soal Latihan. Apakah ungsi, 4, dierensiabel di =?. Apakah ungsi dierensiabel di setiap bilangan real?. Apakah ungsi dierensiabel di =?,, 4. Apakah ungsi dierensiabel di setiap bilangan real? ; a b ; 5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di =

15 ATURAN PENCARIAN TURUNAN Fungsi Turunan Pertama Deinisi Misalkan terdeinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari, ditulis, dideinisikan sebagai atau jika h=t- t, t t h0 bila itnya ada. h, h Notasi lain y, dy d d,, D d y, D dy, bentuk dikenal d sebagai notasi Leibniz.

16 Dengan menggunakan deinisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk menari turunan sebagai berikut :. Jika =k, maka dengan R r r d d r r ; g d g d g g d g d g g g d d g 0 g 0

17 Bukti ormula 4 Misalkan h = g h h h hg h g h h0 h h0 h h g h h g h g g h0 h g h g h h g h0 h h g h g h h g h0 h0 h h0 h0 h g g g g

18 . 6 6.Tentukan turunan pertama dari Contoh:. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab : Tentukan turunan pertama dari Jawab : Jawab :

19 Soal Latihan Tentukan ungsi turunan pertama dari. /..

20 TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS a. sin os b. os sin BUKTI a. Misal = sin, maka t t os sin sin t sin t t t t t sin t os. t t 0 t os. os

21 b. Misal = os, maka os h h os h0 h0 ososh sinsinh 0 h h os osh sin sinh os h os sin h 0 h h os sin h sinh sin os h0 h/ 4 h h sin h/ h/ sinh sin h h sinh sin 4 h 0 h h/ 0 os.0 sin sin

22 Untuk turunan ungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v sin tan d os d. d d os ot d sin d d. d d se d os d e. d d s d sin d. d d os sin os sin os sin sin os os sin os sin se s sin se tan os os os s sin sin ot

23 ATURAN RANTAI dy du Andaikan y = u dan u = g. Jika dan ada, maka dy du du d dy d du d dy d Contoh : Tentukan dari y sin Jawab : Misal u sehingga bentuk diatas menjadi Karena y sinu maka dy du osu dan du d dy os os d

24 Jika y = u, u = gv, v = h, dan dy d Contoh : Tentukan Jawab : Misal v dy du du dv dy d dv d 5 dari y dy du Sin du dv, dv d, ada, maka 4 dv d du sin osv os 5 dv 4 dy y u 4u 4Sin 5 du sehingga dy dy du dv.. Sin 5 Cos 5 d du dv d 5

25 Atau bisa dengan ara langsung, y 4. Sin 5 Cos 5. y Sin 4 5 Sin 5 Cos 5.

26 Soal Latihan Tentukan ungsi turunan pertama dari. y. y y y sin os 4 4 y 6. ysintan

27 TURUNAN TINGKAT TINGGI Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga Turunan ke-n " " n Contoh : Tentukan dari d d d d d y n d d d n d d n y 4 sin Jawab : y os maka y 4 sin

28 y sin Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari y y y 4 os B. Tentukan nilai sehingga " 0 bila 456 g a C. Tentukan nilai a, b dan dari b bila g = 5, g dan g 4

29 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Jika hubungan antara y dan dapat dituliskan dalam bentuk y =, maka y disebut ungsi eksplisit dari, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y ungsi implisit dari. Contoh :. y y 0. sin y y Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y ungsi dari.

30 Contoh: Tentukan dy/d dari bentuk implisit berikut Jawab:. y y 0. sin y y. D y y D0 D y D D y D 0 y yy y 0 y y y y y y

31 . Dsin y D y os y. y y yy 0 os y y y y os y y y os y os y y

32 Soal Latihan Tentukan turunan pertama y dari bentuk implisit... yy 0 ysin y y 0 tan y 4. sin y y

33 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Persamaan garis singgung ungsi y = di titik 0,y 0 dengan kemiringan m adalah Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik 0,y 0 adalah y y y m, m y y 0 0 m 0 0.

34 Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal ungsi di,6. y 6 Jawab : y 4 y, Sehingga persamaan garis singgung di titik,6 : y 6 4 y 4 Persamaan garis normal dititik,6 : y 6 y y 4

35 Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y y 6 0 di titik dengan absis = Jawab : Jika disubstitusikan nilai = pada persamaan kurva diperoleh y y y y y dan y 60 0 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah, dan,- Hitung terlebih dahulu y dengan menggunakan turunan ungsi implisit D y y 6 D0 y yy y y 00 y yy y y 0 y y y y yy y y

36 Di titik, y, Persamaan garis singgung y y 6 Persamaan garis normal y y 8 Di titik,- y, Persamaan garis singgung y y 4 Persamaan garis normal y y

37 Soal Latihan. Diketahui kurva yang dinyatakan seara implisit y y 0y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di,. Diketahui kurva yang dinyatakan seara implisit sin y y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di,

38 Terima Kasih