KALKULUS MULTIVARIABEL II

Transkripsi

1 Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia

2 Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang 3 4 Bentuk Vektor dari

3 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Definisi Daerah S pada bidang dikatakan sederhana x jika terdapat interval [a, b] sehingga berlaku 1 untuk setiap r [a, b], garis x = r tidak beririsan dengan daerah S, 2 untuk setiap r (a, b), irisan antara garis x = r dan daerah S merupakan suatu interval, 3 irisan antara garis x = a dan daerah S merupakan suatu interval atau sebuah titik, dan 4 irisan antara garis x = b dan daerah S merupakan suatu interval atau sebuah titik (lihat gambar).

4 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Daerah sederhana x Daerah tidak sederhana x Daerah sederhana y dan sederhana z (pada ruang) didefinisikan analog dengan definisi daerah sederhana x.

5 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Diketahui S merupakan daerah tertutup dan terbatas pada bidang xy dengan perbatasan dari S terbentuk dari sebanyak berhingga kurva tertutup sederhana. Diketahui fungsi M dan N kontinu dan memiliki turunan parsial yang kontinu pada S. Jika merupakan gabungan dari kurva-kurva yang membentuk perbatasan S dengan sifat daerah interior S berada di sebelah kiri kurva, maka M dx + N dy = S ( N x M y ) da.

6 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Hanya akan diberikan bukti untuk kasus S merupakan daerah terhubung yang sederhana x dan sederhana y. Misal S merupakan himpunan sederhana x dan sederhana y. Karena S sederhana y, maka S memiliki bentuk seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah, yaitu S = {(x, y) a x b, g(x) y f(x)}.

7 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Perbatasan dari S merupakan kurva tertutup yang terdiri atas empat kurva, yaitu 1, 2, 3, dan 4 (dalam hal ini, dimungkinkan bahwa 2 atau 4 hanya berupa titik). Diperoleh bahwa M dx = M dx + M dx + M dx + M dx Suku kedua dan suku keempat pada ruas kanan persamaan di atas bernilai nol, karena pada kurva 2 dan 3, x merupakan konstanta, sehingga dx = 0.

8 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Selanjutnya diperoleh M dx = a = = b a a M (x, g(x)) dx + b b = S b a M (x, f(x)) dx [M (x, f(x)) M (x, g(x))] dx f(x) g(x) M y M(x, y) y da dydx

9 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Dengan cara yang analog dan dengan memandang S sebagai himpunan sederhana x diperoleh bahwa N dy = S N x da, sehingga diperoleh M dx + N dy = S ( N x M y ) da.

10 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Bentuk Vektor dari Diketahui kurva mulus tertutup sederhana di bidang xy dengan orientasi positif dan kurva memenuhi persamaan parameter x = x(t), y = y(t). Diperoleh vektor singgung satuan di titik (x(t), y(t)) adalah T = dx dt dt ds i + dy dt dt ds j = dx ds i + dy ds j dan vektor normal satuan di titik (x(t), y(t)) ke arah luar daerah S yang dibatasi oleh adalah n = dy ds i dx ds j.

11 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Jika F = Mi + Nj + P k merupakan medan vektor pada bidang, maka F n ds = ( N dx + M dy).

12 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Berdasarkan diperoleh F n ds = S ( M x + N y ) da. Dengan mengingat F = M x + N y diperoleh F n ds = S F da.

13 Pada Bidang Bentuk Vektor dari Jika F(x, y) = v(x, y) menyatakan vektor kecepatan fluida di (x, y), maka F n ds merupakan banyaknya fluida yang meninggalkan S. Selanjutnya, nilai integral tersebut disebut fluks dari medan vektor F yang melintasi kurva dalam arah ke luar.