MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-
|
|
- Vera Sucianty Susman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari-
2 Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, )
3 Pengertian Turunan Parsial Laimna perhitungan perubahan suhu per satuan panjang dilakukan di setiap titik (,), 0 dan 0, jika limitna ada, maka (, ) (, lim ) 0 (1a) (, ) (, lim ) 0 (1b) dan Menatakan perubahan suhu per satuan panjang di setiap titik dalam arah, dan
4 Pengertian Turunan Parsial adalah turunan ungsi (,) terhadap dengan memperlakukan sebagai suatu tetapan, ang disebut turunan parsial ungsi (,) terhadap adalah turunan ungsi (,) terhadap dengan memperlakukan sebagai suatu tetapan, ang disebut turunan parsial ungsi (,) terhadap Lambang lain = (,) = (,)
5 Pengertian Turunan Parsial Turunan parsial (1a) dan (1b) umumna juga merupakan ungsi dari dan, maka jika diturunkan lebih lanjut, disebut turunan parsial kedua.
6 Contoh 1 Misalkan (,)= sin (). Maka.., cos( ) cos( ) cos( ) sin cos( ) cos sin( ) cos( ) cos sin( ) ( cos( )) sin
7 Contoh Tinjau pers. Gas ideal PV = nrt, dengan P,V, dan T berturut-turut adalah tekanan, volume dan suhu gas ideal; sedangkan n adalah jumlah mol gas, dan R suatu tetapan isika, aitu tetapan gas semesta (universal). Berikut kita akan menganggap n tetap. Jika kita pecahkan bagi P, diperoleh: nrt P P V T nr V dan P V nrt V Jika kita pecahkan bagi V, diperoleh: nrt V nr V P T P V P nrt P P T T V V P nr P V nr nrt P Sehingga 1 nrt PV
8 Dierensial Total Yang lalu : perubahan ungsi (,) terhadap pertambahan salah satu variabelna, atau. Permasalahan : bagaimanakah perubahan ungsi (,) bila dan keduana bertambah secara bebas?? Misalkan ungsi (,) mempunai turunan parsial di (,). Pertambahan ungsi (,) jika bertambah menjadi +, dan menjadi +, adalah = ( +, + ) (,) Jika ditambahkan dan dikurangkan (, + ) di ruas kanan, diperoleh : = [ ( +, + ) (, + )] + [(, + ) (,)] (*) Pertambahan dalam ungsi (, + ) dengan mempertahankan + tetap
9 Dierensial Total Teorema nilai rata-rata kalkulus Jika () memiliki turunan () pada setiap titik dalam selang [ -, + ], maka [(+ )-()]= (ξ) Dengan ξ = + ( 0 < < 1 ) sebuah titik dalam selang [ -, + ]. Dengan demikian, [ ( +, + ) (, + )] = ( + 1, + ) dengan 0 < 1 < 1 Dengan cara ang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan [(, + ) (,)] = (, + ) dengan 0 < < 1
10 Dierensial Total Jika turunan parsial (,) dan (,) kontinu di (,), maka ( + 1, + ) = (,) + ε 1 (, + ) = (,) + ε dengan lim ε 1 = 0 dan lim ε = 0, bila dan menuju nol. Pers.(*) teralihkan menjadi : = (,) + (,) + ε 1 + ε Dengan mengambil limit 0 dan 0, diperoleh turunan total ungsi (,) : d d d Untuk (,,,... ), turunan totalna d d d d...
11 Contoh 3 Hitunglah dierensial total ungsi pada contoh 1 (,)= sin (). Jawab. = cos () dan = - cos () Sehingga turunan totalna : d = ( cos () )d + ( - cos ()d
12 Contoh 4 (1) Percepatan gravitasi g dapat ditentukan dari panjang l dan periode T bandul matematis ; rumusna adalah g = 4π l/t. Tentukanlah kesalahan relati terbesar dalam perhitungan g jika kesalahan relati dalam pengukuran l adalah 5 % dan T, %. Solusi : Kesalahan relati dalam pengukuran l adalah kesalahan sebenarna dalam pengukuran l dibagi dengan panjang terukur l. Karena kita dapat mengukur l lebih besar atau kecil daripada l sesungguhna, maka kesalahan relati terbesar dl/l mungkin -0,05 atau 0,05. Begitupula dt/t terbesar adalah 0,0. Bagaimana dengan dg/g???
13 Contoh 4 () g = 4π l/t ln g = ln(4π ) + ln l ln T atau dg g dl l dt T Menurut ketidaksamaan segitiga : dg g dl l dt T maka, kesalahan relati terbesar dg/g adalah dg/g = 0,05 + (0,0) = 0,09
14 Aturan Berantai (1) = (, ) : persamaan permukaan S dalam ruang. Jika variabel dan berubah sepanjang kurva C sebarang, dengan persamaan parameterna : = (s), dan = (s) s sebagai parameter maka = ((s), (s)) = (s) Sehingga sepanjang kurva C d d d d ds, ds d ds, ds d ds ds d ds d ds d ds
15 Aturan Berantai () Kasus khusus : = (, ) ; = () ; bebas d d ds ds Secara umum untuk n > variabel, = (,,,... ) dengan = ( u, v, w,... ) = ( u, v, w,... ) = ( u, v, w,... ) d d d d...
16 Aturan Berantai (3) Karena masing-masing variabel,,,... adalah juga ungsi dari u, v, w,..., maka :... dw w dv v du u d... dw w dv v du u d... dw w dv v du u d Sehingga, turunan total ungsi (,,,...) adalah dv v v v du u u u d
17 Contoh 5 Jika = + ln, dengan = u + v, = u v, dan = u, tentukanlah v dan u, Solusi : u u u u =( + )(1) + ( ln )(1) + (-/)() = 4 + ln / v v v v = ( + )(v) + ( ln )(-v) + (-/)(0) = 4v + v ln
18 Fungsi Implisit Bentuk eksplisit, = () Bentuk implisit, φ(, ) = 0, d/d =??? d d d d d ( / ) asalkan 0 ( / ) Secara geometris, ungsi implisit φ(, ) = 0 menatakan sebuah kurva pada bidang, dan d/d menatakan kemiringan garis singgungna di titik dimana 0
19 Contoh 6 Tentukanlah kemiringan garis singgung pada kurva =3 di titik (1, -1) Solusi : φ(, ) = ( ) = 0 Turunan parsial φ(, ) terhadap dan : ( 4 7) ( 4 4) Kemiringan kurva di titik (1, -1 ) adalah : ( / ) ( 4 7) d d ( / ) (4 4) (1, 1) 13/8
20 Fungsi Implisit (> variabel) Untuk ungsi implisit dalam tiga atau lebih variabel,,,..., aitu φ(,,,... ) = 0, d d d d... 0 Jika 0, pemecahan bagi d : d d d... /( / ) d d ( / ) ( / ) d d ( / ) ( / )
21 Contoh 7 Tentukan d / d dan d / d dari persamaan =0 Solusi : φ(,, ) = =0 Dengan demikian : d d d d Jika = 0, sepanjang lingkaran + = 1, kedua turunan parsial ini takterdiinisikan.
22 PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (1) Hukum Pertama Termodinamika Jika pada sebuah sistem ang berinteraksi secara termal dengan lingkungan melakukan usaha terhadap lingkungan sebesar δw, maka sistem tersebut akan mengalami pertambahan energi dalam du, dan menerima atau melepas kalor sebanak δq, menurut hubungan δq = du + δw δq dan δw untuk membedakan bahwa pertambahan kalor, dan usaha bergantung pada jenis proses, sedangkan du menatakan dierensial total energi dalam sistem. Untuk sistem gas, keadaan sistem ditentukan P,V, dan T melalui pers. Keadaan F(P, V, T) = 0 Gas ideal : PV = nrt dan umumna U (T, V), sedangkan δw = P dv
23 PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA () Hukum Termodinamika Kedua Bagi proses irreversibel (terbalikkan ), kalor δq = TdS, dengan S adalah entropi Hukum pertama termodinamika : T ds = du + P dv, atau du = - TdS + P dv Tampak bahwa U = U(S, V) U du S U ds dv V U T S U P V V S U S U V T V P S V U S S U V T V P S Relasi Mawell besaranbesaran termodinamika
24 PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (3) Dengan cara ang sama, tunjukkan relasi Mawell berikut: T P V S ; S V P T ; S P V T
4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinci4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciBagian 2 Turunan Parsial
Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi
Lebih terperinciIlustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciUJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan
Lebih terperinciDiferensial dan Integral
Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua
Lebih terperinciHendra Gunawan. 21 Maret 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Lebih terperinci11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,
Lebih terperinci4. Hukum-hukum Termodinamika dan Proses
4. Hukum-hukum Termodinamika dan Proses - Kesetimbangan termal -Kerja - Hukum Termodinamika I -- Kapasitas Panas Gas Ideal - Hukum Termodinamika II dan konsep Entropi - Relasi Termodinamika 4.1. Kesetimbangan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi
Lebih terperinci2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinci1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA. menu. Mirza Satriawan. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Definisi KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang
Lebih terperinciSulistyani, M.Si.
Sulistyani, M.Si. sulistyani@uny.ac.id Pendahuluan Termodinamika berasal dari bahasayunani, yaitu thermos yang berarti panas, dan dynamic yang berarti perubahan. Termodinamika adalah ilmu yang mempelajari
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk
Lebih terperinciQ = ΔU + W.. (9 9) Perjanjian tanda yang berlaku untuk Persamaan (9-9) tersebut adalah sebagai berikut.
Penerapan Hukum I Termodinamika- Hukum I Termodinamika berkaitan dengan Hukum Kekekalan Energi untuk sebuah sistem yang sedang melakukan pertukaran energi dengan lingkungan dan memberikan hubungan antara
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur
Lebih terperinciBAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. DEFINISI TURUNAN Turunan dari ( terhadap dideinisikan dengan: d d ' ' ( lim h 0 ( h-( h RUMUS DASAR TURUNAN ' n n n k k ' 0 k ' u' nu u n n '( ( '( ( '( ( '( ( 0 '( ( n
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang
Lebih terperinciPengertian Dasar Termodinamika Termodinamika secara sederhana dapat diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang membahas dinamika panas suatu sistem Termo
Tinjauan Singkat Termodinamika Pengertian Dasar Termodinamika Termodinamika secara sederhana dapat diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang membahas dinamika panas suatu sistem Termodinamika merupakan sains
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciFungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan
1-eb-17 ungsi Dua Peubah atau Lebih Pertemuan 9 Turunan Parsial ungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinatakan dalam bentuk eksplisit maka
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciI. Beberapa Pengertian Dasar dan Konsep
BAB II ENERGETIKA I. Beberapa Pengertian Dasar dan Konsep Sistem : Bagian dari alam semesta yang menjadi pusat perhatian kita dengan batasbatas yang jelas Lingkungan : Bagian di luar sistem Antara sistem
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinciA. 3 x 3 + 2x + C B. 2x 3 + 2x + C. C. 2 x 3 + 2x + C. D. 3 x 3 + 2x + C. E. 3 x 3 + 2x 2 + C A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 160
7. UN-SMA-- Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 7 m. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut m m m m m 7. UN-SMA-- Pak Musa mempunyai kebun
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. DEFINISI TURUNAN Turunan dari ( terhadap dideinisikan dengan: d d ( lim h 0 ( h-( h RUMUS DASAR TURUNAN n n n k k 0 k u nu u n n ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ( n n n c RUMUS JUMLAH
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinci4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU
BAB II PERSAAA TIGKAT SATU DERAJAT SATU Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami ara-ara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu
Lebih terperinciSOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I SISTEM BILANGAN REAL, PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA
SOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I BAB I. SISTEM BILANGAN REAL PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA. Tentukan bilangan rasional ang mempunai penajian desimal 5777777.... Tentukan himpunan penelesaian
Lebih terperincipanjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 25 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 25 September 2013 Kuis 1 (Kuliah yang Lalu) 1. Selesaikan pertaksamaan 2x 3 < x. 2. Diketahui i f(x) ) = x 2 sin (1/x) untuk x 0 dan f(0) = 0.
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara
Lebih terperinciSenin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciBAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
Lebih terperinci1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
Lebih terperinciTERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN 1.1 Apa Termodinamika itu Termofisika adalah ilmu pengetahuan yang mencakup semua cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari dan
I. PENDHULUN. pa Termodinamika itu Termofisika adalah ilmu pengetahuan ang mencakup semua cabang ilmu pengetahuan ang mempelajari dan menjelaskan sikap at di bawah pengaruh kalor dan perubahan-perubahan
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
Lebih terperinciMETODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]
METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] Zulfaneti dan Rahimullaily* Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar Abstract: There is
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciFisika Dasar I (FI-321)
Fisika Dasar I (FI-321) Topik hari ini Hukum Termodinamika Usaha dan Kalor Mesin Kalor Mesin Carnot Entropi Hukum Termodinamika Usaha dalam Proses Termodinamika Variabel Keadaan Keadaan Sebuah Sistem Gambaran
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinci3. Termodinamika Statistik
3. Termodinamika Statistik Pada bagian ini akan dibahas pemanfaatan postulat statistik yang berdasarkan sistem dalam keadaan keseimbangan untuk menjelaskan besaran makroskopis. Disiplin ini disebut Mekanika
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinci4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Sinun Kemirinan tali busur PQ adala : m PQ Jika à, maka tali busur PQ akan beruba menjadi
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinci5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan 1
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL
REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL Bahan Kuliah Prinsip Teknik Pangan Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi Departemen Ilmu & Teknologi Pangan Fakultas Teknologi Pertanian IPB BOGOR REVIEW MATEMATIKA
Lebih terperinciDIKTAT. Persamaan Diferensial
Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT Persamaan Diferensial Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S email: dwilestari@un.a.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Tiga
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Tiga [MA4] Integral Lipat Tiga pada Balok ( k, k, k ) B B k k 7/6/7 [MA 4]. Partisi balok B menjadi n bagian; B, B,, B k,,
Lebih terperinciUJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)
Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperinciBAB TERMODINAMIKA. dw = F dx = P A dx = P dv. Untuk proses dari V1 ke V2, kerja (usaha) yang dilakukan oleh gas adalah W =
1 BAB TERMODINAMIKA 14.1 Usaha dan Proses dalam Termodinamika 14.1.1 Usaha Sistem pada Lingkungannya Dalam termodinamika, kumpulan benda-benda yang kita tinjau disebut sistem, sedangkan semua yang ada
Lebih terperinci