MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

Transkripsi

1 MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world

2 Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping derivatif atau turunan.

3 Perhatikan: yang memiliki turunan y = f (x) = x 2, y = f (x) = d dx f (x) = 2 x.

4 Sekarang, jika diketahui f (x) = 2 x, maka f (x) = x 2 adalah salah satu anti-turunan yang sesuai. Secara umum, sering kita tuliskan dimana C konstanta. f (x) = x 2 + C,

5 Contoh diatas memberikan informasi bagi kita bahwa anti-turunan bersifat tidak tunggal dan karenanya lebih sulit daripada turunan.

6 Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan df (x) = f (x) dx. Atau, df (x) = f (x) + C = f (x) dx.

7 Metode substitusi Bagaimana kita dapat menyelesaikan atau menentukan suatu anti-turunan? Gunakan keterampilan teknis Manfaatkan aturan dasar

8 Metode substitusi (Beberapa) aturan dasar anti-turunan: 1 k dx = k x + C 2 3 x r dx = 1 r + 1 x r+1, r 1 e x dx = e x + C 4 dst... a x dx = 1 ln a ax + C

9 Metode substitusi Pengantar Metode substitusi Metode substitusi merupakan salah satu metode/teknik/cara menyelesaikan integral atau mencari anti turunan. Kuncinya adalah menentukan pemisalan/substitusi untuk suatu fungsi tertentu dengan tepat.

10 Metode substitusi Contoh: x x 2 dx mungkinkah kita memisalkan y = x 2 1? atau y = x 2 dan mencari anti-turunan? atau memisalkan y = x 2?

11 Metode substitusi Contoh lain, Selesaikan dengan memisalkan e x dx e2x y = e x ; y = e 2x ; y = 9 e x ; y = 9 e 2x ; y = e x ; y = e 2x ;?

12 Metode substitusi Teknik lain mencari anti-turunan adalah dengan metode anti-turunan parsial atau integral parsial, dimana kita memanfaatkan konsep turunan dua fungsi. Contoh, selesaikan x cos x dx

13 Metode substitusi Misalkan u = f (x), v = g(x), d dx (u v) = u v + u v d(u v) = u v = Jadi, u dv = u v v du

14 Metode substitusi Untuk contoh x cos x dx, misalkan atau u = x, u = cos x,?

15 Metode substitusi Nampak bahwa metode integral parsial mendorong kita untuk mencari substitusi yang tepat.

16 Metode substitusi Bagaimana dengan ln x dx, yang terlihat seperti hanya melibatkan satu fungsi?

17 Metode substitusi Metode ini dilakukan pada permasalahan mencari anti-turunan suatu fungsi yang memuat akar, seperti n (ax + b) m dx atau a 2 x 2 dx, dimana kita ingin menghilangkan tanda akar tersebut.

18 Metode substitusi Merujuk namanya, metode/teknik ini mengharuskan kita melakukan pemisalan atau substitusi, seperti (ax + b) = u n, untuk mencari anti-turunan n (ax + b) m dx.

19 Metode substitusi Contoh, x 3 x 4 dx, yang dapat diselesaikan dengan memisalkan atau u = (x 4) 3 x = u 1/3 + 4, sehingga anti-turunan diatas dapat diselesaikan sebagai 1 (u 2/ u 1/3) du 3

20 Metode substitusi Untuk kasus mencari anti-turunan a 2 x 2 dx, dapat digunakan substitusi x = a sin t, π/2 t π/2, sehingga diperoleh a 2 x 2 = a cos t

21 Metode substitusi Perhatikan bahwa substitusi lain adalah x = a tan t, π/2 < t < π/2, atau x = a sec t, 0 t π, t π/2

22 Mencari anti-turunan berbentuk seperti 14x + 1 x 3 + 5x dx, adalah salah satu kajian penting karena melibatkan polinom dan P(x) = 14x + 1 Q(x) = x 3 + 5x yang perlu diperhatikan derajat -nya.

23 Perhatikan bahwa pada kasus diatas, derajat pembilang (satu) lebih kecil daripada derajat penyebut (tiga). Dengan demikian, dapat dituliskan 14x + 1 x 3 + 5x = A x + Bx + C x dimana derajat pembilang satu tingkat lebih rendah daripada derajat penyebut. Dengan manipulasi aljabar, diperoleh A = 1/5; B = 1/5; C = 14.

24 Pada prinsipnya, kita ingin menguraikan fungsi rasional P(x)/Q(x) menjadi jumlahan beberapa fungsi rasional dengan derajat pembilang satu tingkat lebih rendah dari derajat penyebut baik secara langsung, seperti ataupun tidak langsung, seperti Bx + C x 2 + 5, C (2x + 5) 2, dimana kata tidak langsung merujuk pada pemisalan y = 2x + 5 dengan turunan konstan. (untuk pandangan lain, lihat catatan kuliah W Djohan, 2012)

25 Diskusi: Bagaimana kita mencari anti-turunan x 2 11x + 15 (x 2) 2 (x + 1) dx?

26 Apakah dengan menguraikan x 2 11x + 15 (x 2) 2 (x + 1) = A x 2 + B (x 2) 2 + C x + 1? (dengan A = 2; B = 1; C = 3)

27 Atau, x 2 11x + 15 (x 2) 2 (x + 1) = B (x 2) 2 + C x + 1?

28 Kita ingin menyelesaikan anti-turunan fungsi trigonometri, sin n x dx, atau cos n x dx, untuk n genap atau ganjil. Atau, sin m x cos n x dx, pada beberapa kemungkinan nilai m dan n.

29 Tentunya tidak dapat kita lupakan aturan dasar anti-turunan seperti berikut 1 sin x dx = cos x + C 2 cos x dx = sinx x + C 3 sec 2 x dx = tan x + C 4 sec x tan x dx = sec x + C dst...

30 Contoh: Selesaikan sin m x dx, untuk m = 2, 3, 4.