Hendra Gunawan. 13 September 2013

Transkripsi

1 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/ September 2013

2 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t cos t 2. Buktikan bahwa lim 0. bahas t 0 sekarang! t 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 2

3 Sasaran Kuliah Hari Ini 15Limit 1.5 di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga Menghitung limit di tak hingga dan limit tak hingga. 1.6 Kekontinuan Memeriksa kekontinuan fungsi dan menggunakan Teorema Nilai Antara untuk memecahkan masalah yang relevan. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 3

4 MA1101 MATEMATIKA 1A 1.5 LIMIT DI TAK HINGGA & LIMIT TAK HINGGA 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 4

5 Apa yang Terjadi Bila atau? /(^2+1) /13/2013 (c) Hendra Gunawan 5

6 Limit di Tak Hingga Misalkan f terdefinisi pada [c, ). Kita tuliskan lim f ( ) apabila untuk setiap ε > 0 terdapat M є R sehingga: jika > M, maka f() ( L < ε. [Secara intuitif, limit f di tak hingga sama dgn L jika untuk cukup besar, nilai f() dekat ke L.] 1 Contoh 1. lim 0. [jika >??, maka 1/ <ε.] 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 6 L

7 Contoh 2 Buktikan bahwa lim Bukti. ki Diberikan ik ε > 0 sembarang, pilih M > 1/ε. Kita periksa: jika > M, maka M Ini membuktikan bahwa lim /13/2013 (c) Hendra Gunawan 7

8 Limit di Minus Tak Hingga Misalkan f terdefinisi pada (,d]. Kita tuliskan lim f ( ) apabila untuk setiap ε > 0 terdapat N є R sehingga: jika < N, maka f() ( L < ε. [Secara intuitif, limit f di minus tak hingga sama dgn L jika utk minus besar, nilai f() dekat ke L.] 1 Contoh 3. lim 0. [jika <??, maka 1/ <ε.] 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 8 L

9 Contoh 4 Buktikan bahwa lim Bukti. ki (dikerjakan k di papan tulis) 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 9

10 Limit Tak Hingga Tinjau fungsi f() = 1/, dengan 0. Apa yang terjadi di dekat = 0? Berapakah khnilai i limit i f di 0, bilaada? Misalkan f terdefinisi di sekitar = c. Kita tuliskan lim c f ( ) apabila untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < c < δ, maka f() > M. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 10

11 Limit Tak Hingga Misalkan f terdefinisi di sekitar = c. Kita tuliskan lim c f ( ) apabila untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < c < δ, maka f() > M. Catatan: lim f ( ) dan lim f ( ) c c didefinisikan secara analog. [Rumuskan sendiri df definisinya, atau lh lihat buku.] 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 11

12 Contoh 1 1. lim [jika 0 < <??, maka 1/ > M] M.] lim [jika 0 < <??, maka 1/ < N.] 0 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 12

13 Latihan 1. Hitunglah: 2 1 lim 2 11 a. b. c. lim( 1 ) 4 1 lim Hitunglah lim dan lim /13/2013 (c) Hendra Gunawan 13

14 MA1101 MATEMATIKA 1A 1.6 KEKONTINUAN 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 14

15 Fungsi Kontinu di Suatu Titik Misalkan f terdefinisi di sekitar c, termasuk di c. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila lim c f ( ) f ( c ), yakni untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika c < δ, maka f() f(c) < ε. f(c) Fungsi f dikatakan kontinu pada (a,b) apabila f kontinu di setiap titik c є (a,b). 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 15 c

16 Keluarga Fungsi Kontinu 1. Fungsi polinom kontinu disetiap titikpada R. Demikian pula fungsi rasional kontinu di setiap titikpada daerah asalnya. [Ingat Teorema Substitusi.] 2. Fungsi nilai mutlak f() = kontinu pada R. 3. Fungsi akar f() = kontinu pada (0, ). Fungsi ini kontinu kanan di c = Fungsi f() = sin dan g() = cos kontinu pada R. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 16

17 Teorema Jika f dan g kontinu di c dan k konstanta, maka kf, f + g, f g, fg, f/g, f n, dan n f kontinu di c. Jika lim c f lim g( ) c ( g( )) f L dan f kontinu di L, maka ( L). Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f g kontinu di c. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 17

18 Contoh 1. f() = sin kontinu di setiap titik karena merupakan hasilkali dua buah fungsi yang kontinu di setiap titik (pada R). 2. F() = 2 1 kontinu di setiap titik (pada R) karena h() = 2 1 kontinu di setiap titik, g() = juga kontinu di setiap titik, dan F() = g(h()) = (g h)(). 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 18

19 Fungsi Kontinu pada Selang Tutup Fungsi f dikatakan kontinu pada [a,b] apabila f kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b. Contoh: f() = kontinu pada [ 1,2]. 12] Grafik fungsi f yang kontinu pada selang tutup [a,b] tidak terputus dari titik (a,f(a)) ()) ke (b,f(b)). ( 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 19

20 Teorema Nilai Antara Jika f kontinu pada [a,b],, f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), maka terdapat c є (a,b) sehingga f(c) = 0. Contoh: f() () = kontinu pada [ 1,2], f( 1) = 1 dan f(2) = 5. Menurut Teorema Nilai Antara, terdapat c є ( 1,2) 12)sehingga f(c) = c 3 c = 0 (yakni, f mempunyai akar pada [ 1,2]). 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 20

21 Ilustrasi TNA y a c b 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 21

22 Latihan 1. Tentukan nilai L agar f kontinu di 1. f() = = 3 1, 1 1 L, 1 2. Tentukan a dan b agar f kontinu di setiap titik. f ( ) 1, 1 a b, 1 2, Buktikan bahwa p() = 5 1 mempunyai akar positif. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 22