Hendra Gunawan. 8 November 2013

Transkripsi

1 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 8 November 013

2 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 4 1. Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva. Jumlah Riemann dan Integral Tentu 3. Teorema Dasar Kalkulus I dan Metode Substitusi 4. Teorema Dasar Kalulus II dan Sifat sifat Integral Tentu 5. Teorema Nilai Rata rata Integral 6. Pengintegralan Numerik 11/08/013 (c) Hendra Gunawan

3 MA1101 MATEMATIKA 1A BAB 5. PENGGUNAAN INTEGRAL 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 3

4 Sasaran Kuliah Hari Ini 5.1 Luas Daerah Menghitung luas daerah (pada bidang) yang dibatasi oleh beberapakurva. 5. Volume Benda Putar dan Benda dengan Penampang Tertentu Menghitung gvolume benda putar (dengan metode cakram/cincin) dan benda dengan penampang p tertentu (dengan metode irisan sejajar). 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 4

5 MA1101 MATEMATIKA 1A 5.1 LUAS DAERAH Menghitung luas daerah (pada bidang) yang dibatasi oleh beberapa kurva. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 5

6 Luas Daerah Bila f(x) kontinu dan bernilai itk tak negatif, maka b f ( x ) dx menyatakan luas daerah pada bidang xy a yang terletak di bawah kurva y = f(x), a x b, dan di atas sumbu x. Bila f(x) bernilai tak positif, maka luas daerah yang terletak di atas kurva y = f(x), a x b, dan di bawah sumbu x sama dengan (c) Hendra Gunawan b a f ( x) dx

7 Luas Daerah Secara umum, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu x adalah b a f ( x) dx. Contoh: Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 1, garis x =, garis x =, dan sumbu x. [Petunjuk: Gambar terlebih dahulu daerah yang dimaksud.] (c) Hendra Gunawan

8 Jawab: Luas daerah yang dimaksud d adalah dlh 1 1 x 1 dx ( x 1) dx (1 x ) dx ( x 1) dx. 1 1 Karena f(x) = x 1 genap, maka luas daerah tsb sama dengan 1 x 1 dx (1 x ) dx ( x 1) dx x x x x /08/013 (c) Hendra Gunawan 8

9 Luas Daerah di Antara Dua Kurva Misalkan f(x) g(x) pada [a, b] dan kita ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva y = f(x) dan y = g(x), serta garis x = a dan garis x = b. Luas irisan ke i dapat ditaksir sbb: L i [f(x i ) g(x i )]. x i. Bila kita jumlahkan dan ambil limitnya, maka luas daerah yang dimaksud d dapat dinyatakan b sebagai L [ f ( x ) a g ( x )] dx. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 9

10 y=f(x) L i y=g(x) L i [f(x i ) g(x i )]. x i L b [ f ( x ) a g ( x )] dx. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 10

11 Contoh Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x. Jawab: Luas irisan sama dengan L i [x i x i ]. x i ; jadi luas daerah tsb sama dengan 1 L [ x x ] dx 1. 6 x x /08/013 (c) Hendra Gunawan 11

12 Latihan Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva kurva: 1. y = x dan y = x.. y = x, y = x 4, dan x = x = y y dan x y = 4. [Petunjuk: Iris daerahnya secara horisontal!] 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 1

13 MA1101 MATEMATIKA 1A 5. VOLUME BENDA PUTAR DAN BENDA DENGAN PENAMPANG TERTENTU Menghitung volume benda putar (dengan metode cakram/cincin) dan benda dengan penampang tertentu (dengan metode irisan sejajar). 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 13

14 Benda Putar Benda pejal seperti bola, tabung lingkaran, dan kerucut merupakan contoh benda putar, yang dapat diperoleh dengan memutar daerah setengah lingkaran, persegipanjang, dan segitiga terhadap sumbu putar yang berimpit dengan salah lhsatusisi iidaerahtb tsb. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 14

15 Menghitung Volume Benda Putar: MetodeCakram/Cincin Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x diputar mengelilingi sumbu x, dan kita ingin menghitung gvolume benda putar yang terbentuk. Kita iris dan taksir volume cincin yang terbentuk, yaitu V i π[x i x i4 ]. x i. Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah x x V [ x x ] dx /08/013 (c) Hendra Gunawan 15 0

16 Menghitung Volume Benda Putar: MetodeCakram/Cincin Tentukan volume benda putar yang terbentuk bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x diputar mengelilingi g sumbu y. Irislah secara men datar, taksir volumenya, dan integralkan! 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 16

17 Benda dengan Penampang Tertentu Piramida bukan benda putar, tetapi ia mempunyai penampang mendatar yang sama, berbentuk persegi. Volumenya dapat dihitung dengan mengiris piramida tsb secara mendatar, menaksir volume tiap irisannya, lalu mengintegralkannya. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 17

18 Metode Irisan Sejajar Bila panjang sisi alas = S dan tinggi piramida = T, maka volume irisan mendatar pada ketinggian t sama dengan V (St/T). t; jadi volume piramida tsb sama dengan V S t dx T T 0 S T. 3 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 18

19 Contoh Lainnya Alas sebuah benda berbentuk setengah lingkaran berjari jari 1. Misalkan penampang benda tsb yang tegak lurus terhadap sisi setengah lingkaran yang merupakan diameter, berbentuk persegi. Tentukan volume benda tsb. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 19

20 Latihan 1. Tentukan volume benda putar yang terbentuk bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x diputar mengelilingi: a. sumbu x b. sumbu y c. garis y = 1.. Alas sebuah benda berbentuk lingkaran berjari jari 1. Misalkan penampang benda tsb yang tegak lurus terhadap suatu diameter, berbentuk persegi. Tentukan volume benda tsb. 11/08/013 (c) Hendra Gunawan 0