APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

Transkripsi

1 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil sebarang titik i pada masing-masing h i dan bentuk persegi panjang yang alasnya h i (jadi panjangnya i ) dan tingginya f( i ). Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas f(. i ) i. Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah : Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(), sumbu X, dan garis-garis a dan b. Jika k, maka banyaknya subinterval n, sehingga luas daerah tersebut adalah : lim Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y, sumbu X, dan adalah : Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

2 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 9 Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah : A. Jika f() kontinu pada a b dan f() pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(), a, b, dan sumbu X adalah B. Jika f() kontinu pada a b dan f() pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(), a, b, dan sumbu X adalah Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

3 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 C. Jika f() kontinu pada a b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(), a, b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing daerah. Misal pada gambar : Maka Luas Luas I Luas II Luas III Jadi Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(), a, b, dan sumbu X adalah D. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(y), garis-garis y a, y b, dan sumbu Y adalah : E. Kalau fungsi f() dan g() kontinu pada a b, secara umum berlaku bahwa luas daerah yang dibatasi oleh f() dan g(), garis a serta b adalah : Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

4 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 b f ( ) Luas L g( ) d a seperti tampak pada gambar berikut : atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a y b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y), g(y), garis y a, dan y b, adalah : b f ( y) Luas L g( y) dy a seperti tampak pada gambar berikut : Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

5 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 Catatan Penting : Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau y (bila persegi panjang mendatar / horizontal).. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak) atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi. Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah :. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y, garis,, dan sumbu X adalah : Jadi luas daerah tersebut adalah : Luas ( ) d ( ) d Writing by Fida@T.Informatika UMP Page 5

6 Bahan ajar Kalkulus Integral Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan yaitu Luas ( ) d.7. 9 (salah!!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y dan garis y. Titik potong parabola f() y dan garis lurus g() y adalah (, ) dan (-, - )* * ) y dipotongkan dengan garis y maka atau - -. Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat -, diperoleh ( )( ), berarti atau -. Untuk, maka y, dan untuk -, maka y -. Sehingga diperoleh pasangan titik potong kedua kurva yaitu (, ) dan (-, -). Writing by Fida@T.Informatika UMP Page 6

7 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 Grafik dari kurva seperti berikut : Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb : ( ) g( ) Luas f d d d selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu : - - ( )( ) Jadi pada interval -, - sehingga penghitungan luas dilakukan dengan menegasikan nilai integrand-nya sbb : Writing by Fida@T.Informatika UMP Page 7

8 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 Writing by Fida@T.Informatika UMP Page 8 ( ) d Luas d ( ) ( ) ( ) Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -, kurva garis terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g() f() bernilai positif atau ( ) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung menggunakan : ( ) ) ( ) ( d f g Luas ( ) { } d ( ) d ( ) d 6 5. Luas daerah satu ruas sikloida t sin t, y cos t seperti ditunjukkan pada gambar berikut adalah : Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t sampai π. Karena t sin t, maka d dt cos t dt ( cos t) dt.

9 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 Sehingga Luas π t π t y d ( cost )( cost) dt π t ( cost ) dt π t ( cost cos t) dt π π π t dt cos t dt t t cos t dt π π π t sin t cos t t dt untuk menghitung nilai integral cos sin t, sehingga π t t dt gunakan kesamaan fungsi trigonometri cos t - π t cos t dt π t ( sin t ) dt π π t (dt π t t sin t dt π t sin t dt. Writing by Fida@T.Informatika UMP Page 9

10 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 π t sin t dt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri ( cos ) sin, dengan demikian sin t ½( - cost) sehingga π t sin t dt π t ( cos t ) dt π t ( cos t ) dt π π dt t t cos t dt π π t cos t dt. t Dengan substitusi u t, maka du dt, sehingga π t cos tdt π cosu du t π t cosu du π π sin u sin t. π Jadi ( cost ) t dt t sin. t π π π π π t t t sin t sin. t π π π π π t t t sin t sin t π π π π t t sin Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

11 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 t sin π π π t sin t.π (sin π sin ) ( sin π π π sin ) Latihan :. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y dan sumbu X. Sebagai bantuan, grafik kurvanya adalah :. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y dan garis y dengan garfik sebagai berikut : Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

12 Bahan ajar Kalkulus Integral 9. Hitung luas daerah antara y 6 dan y. Grafik digambarkan seperti berikut :. Tentukan luas daerah yang di dalam y dengan grafik simetri terhadap sumbu X dan simetri terhadap sumbu Y dan grafik ditunjukkan seperti berikut : Writing by Fida@T.Informatika UMP Page

13 Bahan ajar Kalkulus Integral 9 Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung kali luas pada kuadran pertama. Luas daerah di kuadran pertama adalah : d Luas sehingga luas daerah keseluruhan adalah Luas d Writing by Fida@T.Informatika UMP Page