BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA

Transkripsi

1 BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA Jika dari suatu fungsi kita dapat memperoleh turunannya, bagaimana mengembalikan turunan suatu fungsi ke fungsi semula? Operasi semacam ini disebut operasi balikan invers dari operasi semula. Dalam matematika banyak dikenal pasangan operasi balikan, misalnya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pemangkatan dan penarikan akar. Pada bab ini kita akan membahas balikan dari operasi turunan yang dinamakan dengan anti turunan. TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat. menentukan integral taktentu suatu fungsi yang diberikan.. menerapkan integral tak tentu pada berbagai kasus. 6.. Pengertian Integral Taktentu Anti turunan integral tak tentu dari fungsi f adalah fungsi F sehingga turunan dari F sama dengan f. Karena turunan dari konstanta adalah nol, maka turunan dari F( + C juga sama dengan f. dengan demikian integral tak tentu dari suatu fungsi f tidaklah tunggal. Jika integral tak tentu dari f dinotasikan dengan Contoh : f (, maka f ( = F( + C.. Misalkan n merupakan bilangan asli dengan n -. Turunan y = Dengan demikian. Turunan dari y = ln adalah n n n C. dy n. dy dy =. Sehingga ln C. n+ adalah n. Turunan dari y = e adalah dy e dy = e. Sehingga e e C. dy 4. Turunan dari y = sin adalah = cos dy = cos. Sehingga cos = sin + C. dy. Turunan dari y = cos adalah = -sin dy = - sin. Sehingga sin = -cos + C. 4

2 6.. Integrasi Parsial Pada subbab ini akan dijelaskan tentang integral parsial. Setiap aturan penurunan berkaitan dengan aturan pengintegralan suatu fungsi. Aturan pengintegralan yang berkaitan dengan aturan hasil kali untuk turunan dinamakan aturan pengintegralan parsial. Aturan hasil kali menyatakan bahwa jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunan, maka d Jika kedua ruas diintegralkan, maka : f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g ( Jadi jika u = f( dan v = g( maka rumus integrasi parsial, yaitu : u dv u v - Contoh : Hitung. ln(.. Pilih u = ln dan dv = maka ln( ln. Pilih u = dan dv Soal Latihan Hitunglah : ln f ( g( f ( g( f ( g( g( f ( du f ( dan dv g(, sehingga didapatkan v du du dan v. ln C v maka du = dan C. ( ( ( 7. ( ( e e Sehingga 4

3 cos 4. e sin. 6. ( ln( e 7. e 8. e cos 9. e sin 0... sec. e e 9. e 4. ln 0. ( 4 ln. cos. sin 6. sin. cos 4 7. tan.. ln ( 4 ln. 9. ln 0. e 6.. Penggunaan Integral Tak Tentu Contoh :. Misalkan laju pertumbuhan populasi sebanding dengan banyak populasi saat itu. Jika pada saat t = t 0 banyak populasi adalah N 0, maka buatlah model pertumbuhan populasi di atas. Misalkan N(t menyatakan banyak populasi pada saat t. Karena laju pertumbuhan populasi pada saat t sebanding dengan banyak populasi saat itu, maka laju pertumbuhan populasi pada saat t adalah Sehingga dn( t Dengan syarat awal N(t 0 = N 0, maka dt kn( t d( N( t N( t dn( t k.dt. N( t k. dt. ln N(t = k.t + L N(t = C e kt. (C= e L N 0 = C 0 kt e. (L konstanta 4

4 Sehingga N( t k( tt0 N 0 e k( tt0 N( t N 0 e.. Misalkan laju pertumbuhan penduduk bumi sebanding dengan banyaknya penduduk bumi saat itu. Jika banyaknya penduduk bumi pada tahun 970 dan pada tahun 980 berturutturut sebanyak,6 milyar dan 4,68 milyar, maka prediksikan banyaknya penduduk pada tahun 00. Dengan menggunakan jawaban soal no. diperoleh : t 0 = 970 dan N 0 =,6. N( t, 6e k( Karena N( 980, 6 e 4, 68 maka diperoleh k = Dengan demikian N( t N( 00, 6 e, 6 e k( t ( t ( , 48 Jadi banyaknya penduduk dunia pada tahun 00 diperkirakan 7,48 milyar.. Diketahui laju pertumbuhan bakteri sebanding dengan banyaknya bakteri saat itu. Jika banyaknya bakteri pada pukul.00 ada 0000 dan dua jam kemudian menjadi 4000 maka tentukan banyaknya bakteri pada pukul Dengan menggunakan hasil no. diperoleh : t 0 = dan N 0 = Sehingga N( t k( 4 Karena N ( e 40000, maka k 69. N( t 0000 e 69( t 0000e k( t Dengan demikian , 69( 7 N ( e Karbon 4 merupakan salah satu dari tiga isotop karbon dan merupakan zat radioaktif. Zat ini meluruh dengan laju sebanding dengan berat zat tersebut saat itu. Jika zat ini mempunyai waktu paruh 70 tahun dan pada saat awal adalah 0 gram, maka tentukan sisa zat karbon tersebut setelah 000 tahun. Dengan menggunakan jawaban no. diperoleh : t 0 = 0 dan N 0 = sehingga N( t 0e 70k Karena N ( 70 0 e, maka k N( t Jadi setelah 000 tahun tersisa 7,8 gram zat karbon. kt, 0004t 0 e ( 000. Dengan demikian N( e 7, 8. 44

5 Soal Latihan. Sekelompok bakteri berkembang dengan laju sebanding dengan banyaknya bakteri pada kelompok itu saat itu. Pada awalnya ada 0000 bakteri dan setelah 0 hari berkembang menjadi 4000 bakteri. Tentukan : a. banyaknya bakteri setelah hari b. kapan bakteri menjadi 4 kalinya.. Banyaknya penduduk Amerika pada tahun 790 adalah 4 juta dan menjadi 80 juta pada tahun 960. Jika laju pertumbuhan penduduk Amerika sebanding dengan banyaknya penduduk pada saat itu, maka prediksikan banyaknya penduduk Amerika pada tahun 00.. Diketahui waktu paruh zat radioaktif adalah 80 tahun. Jika pada awal tahun 00 ada 0 gram, maka tentukan banyaknya zat tersebut pada tahun Jika dalam 00 tahun zat radioaktif kehilangan 0% dari bobotnya, maka tentukan waktu paruh zat radioaktif tersebut.. Semua makhluk hidup mengandung karbon yang stabil dan karbon 4 yang radioaktif. Selama makhluk hidup masih hidup, perbandingan antara dua isotop karbon di atas tidak berubah. Setelah mati tidak ada lagi karbon yang diserap. Diketahui waktu paruh karbon 4 adalah 70 tahun dan diketahui pula bahwa sebuah benteng terbakar sesaat setelah dibangun dengan kayu yang baru ditebang. Jika pada saat ini ditemukan arang dari kayu bekas bahan bangunan benteng tua itu dengan kandungan karbon 4 sebanyak 70% dari seharusnya, maka tentukan saat benteng tersebut terbakar. 6. Diketahui bahwa laju pertumbuhan populasi sebanding dengan N(t(L-N(t dengan N(t menyatakan besar populasi pada saat t. Tentukan model pertumbuhan dari populasi tersebut jika diketahui pada saat t = t 0, besar populasinya adalah N 0. Tentukan maksimal dari besar populasi. 7. Gambarlah grafik model yang diperoleh dari soal no. 6 untuk L = 6, N 0 = 4, dan k= Karena terbatasnya sumber daya alam, laju pertumbuhan bakteri sebanding dengan N(t(00000-N(t dengan N(t menyatakan banyaknya bakteri pada saat t. Tentukan model pertumbuhan dari bakteri tersebut jika pada saat awal terdapat 0000 bakteri dan setelah dua jam bakteri telah mencapai 000. Tentukan setelah berapa lama bakteri mencapai kali lipat dari keadaan semula. 9. Diketahui waktu paruh zat suatu zat radioaktif adalah 00 tahun. Jika laju peluruhan zat radioaktif tersebut sebanding dengan banyaknya zat tersebut pada waktu itu dan diketahui pula bahwa pada awal tahun 00 terdapat 0 gram zat radioaktif tersebut, maka tentukan pada tahun berapa zat tersebut tinggal seperempatnya. 4