Open Source. Not For Commercial Use
|
|
- Liani Kusuma
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati kecendrungan nilai f(, y) bila (, y) mendekati titik (a, b). Ilustrasi: Perhatikan grafik dan peta kontur f(, y) = 2 y 2 2 +y 2 di bawah ini. Tanpa melakukan proses perhitungan limit, perkirakanlah: Bila (, y) (0, 0) sepanjang sumbu, nilai f(, y)? Bila (, y) (0, 0) sepanjang sumbu y, f(, y)? Bila (, y) (0, 0) sepanjang garis y =, f(, y)? Dari pengamatan di atas, maka Sekarang, coba pikirkan lim 2 y 2. (,y) (2,1) 2 +y 2 lim 2 y 2 (,y) (0,0) 2 +y Untuk menghitung limit fungsi tsb., kita gunakan rujukan sebagai berikut: Substitusikan titik limit yang dituju pada fungsi yang bersangkutan. Bila nilainya terdefinisi, maka nilai tersebut adalah nilai limitnya. Tentukan lim 2 y 2 (,y) (2,1) 2 +y =... 2
2 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 2 Definisi Limit Fungsi 2 Peubah Limit dari fungsi dua peubah f(, y) untuk (, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis f(, y) = L artinya untuk setiap lim (,y) (a,b) ǫ > 0, selalu dapat dicari δ > 0 sehingga 0 < (, y) (a, b) < δ f(, y) L < ǫ. Catatan: (, y) (a, b) = ( a) 2 + (y b) 2 Catatan: Fungsi f(, y) tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b). Nilai limit f(, y) tidak boleh bergantung pada arah (, y) mendekati (a, b). (Pada fungsi dua peubah tidak ada istilah limit kiri atau limit kanan). Contoh 2 : 1. Tunjukan lim 2 y 2 (,y) (0,0) 2 +y tidak ada Tunjukan lim 2 y (,y) (0,0) 4 +y tidak ada. 2 (Petunjuk: Hitung sepanjang garis y = m dan parabola y = 2 )
3 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 3 Kekontinuan di satu titik Fungsi f(, y) disebut kontinu di (a, b) bila memenuhi Sifat 2 : lim = f(a, b) (,y) (a,b) Bila f(, y) dan g(, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg dan f/g kontinu di (a, b). Polinom dua peubah, p(, y) = a + b + cy + d 2 + ey + fy 2 + kontinu di R 2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya. Fungsi komposisi. Misalkan g(, y) kontinu di (a, b) dan f() kontinu di g(a, b), maka f g(, y) = f(g(, y)) kontinu di (a, b). Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f(, y) = cos( 3 4y + y 2 ). Kekontinuan di himpunan Misalkan S R 2. Fungsi dua peubah f(, y) disebut kontinu pada S bila f kontinu pada setiap titik pada S. Perlu diperhatikan bila S memiliki batas (perhatikan gambar di samping ini), maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja. Sifat: Misalkan f(, y) fungsi dua peubah. Bila f y dan f y kontinu pada himpunan buka S, maka f y = f y pada S.
4 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 4 Keterdiferensialan Perkuliahan ini tidak akan membahas konsep diferensial fungsi dua peubah secara teoritik. Pembahasan konsep akan langsung dianalogikan dengan konsep turunan di fungsi satu peubah. Perhatikan fungsi satu peubah f(), p D f dan h R. Bila fungsi tersebut mempunyai turunan, maka berlaku f(p + h) = f(p) + f (p)h + ǫ(h 2 ) Untuk fungsi dua peubah hal yang analog berlaku. Misalkan f(, y) fungsi dua peubah dan p = (, y) D f. Untuk memudahkan notasi, kita akan menuliskan p sebagai vektor p =, y. Pada fungsi dua peubah berlaku hubungan f( p + h) = f( p) + f( p) h + ǫ(h 2 ) dengan, f( p) = f ( p), f y ( p) = f ( p)î + f y ( p)ĵ Catatan: Vektor f dibaca grad dari f dan disebut vektor gradien dari fungsi dua peubah f(, y). Sifat: Bila f (, y) dan f y (, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b) maka f(, y) terdiferensialkan di (a, b) dengan gradien f(a, b). Contoh: Tunjukan f(, y) = e y + 2 y terdiferensialkan di mana-mana dan tentukan gradiennya. Sifat 2 : a. [f( p) + g( p)] = f( p) + g( p) b. [αf( p)] = α f( p) c. [f( p) g( p)] = f( p) g( p) + f( p) g( p) Sifat: Jika fungsi f(, y) terdiferensial pada p maka f(, y) kontinu di p.
5 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 5 Turunan berarah Popon berada pada sebuah keping dengan distribusi suhu seperti pada gambar di samping. a. Bila dia bergerak pada arah horizontal, berapakah laju perubahan suhunya? b. Pada arah manakah dia harus bergerak supaya penurunan suhunya maksimum? Pertanyaan (a) sudah dapat anda jawab yaitu. Untuk menjawab pertanyaan (b), kita akan mempelajari konsep turunan berarah. Misalkan f(, y) fungsi dua peubah dan p =, y D f. f ( p) = lim h 0 f( p + hî) f( p) h dan Misalkan u vektor satuan pada bidang, u = u 1, u 2 = u 1 î+u 2 ĵ. Turunan berarah dari f(, y) pada arah u di titik p adalah: D u f( p) = f f( p + h u) f( p) ( p) = lim u h 0 h Perhatikan: f ( p) = Dîf( p) dan f y ( p) = Dĵf( p) f y ( p) = lim h 0 f( p + hĵ) f( p) h Secara fisis, turunan berarah menyatakan laju perubahan f(, y) di titik p bila f begerak pada arah u. Secara umum, menghitung D u f( p) dari konsep limit di atas cukup menyulitkan. Biasanya perhitungan dilakukan melalui sifat berikut: Misalkan f(, y) terdiderensialkan di p, maka D u f( p) = u f( p) Contoh: Misalkan f(, y) = 4 2 y + 3y 2, tentukan turunan berarah dari f di titik (2, 1) : (a.) pada arah a = 4, 3. (b.) pada arah menuju titik (5, 3). Diskusi: Misalkan z = f(, y), pada arah manakah D u f( p) naik dan turun paling cepat?
6 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 6 Contoh: Seekor kutu berada pada titik (2,-1,21) di permukaan f(, y) = 4 2 y + 3y 2, tentukan pada arah mana dia harus bergerak agar tanjakannya maksimum dan berapa tanjakan tersebut? Kurva Ketinggian vs Gradien Perhatikan kurva ketinggian L dari z = f(, y) yang melalui titik P( 0, y 0 ). Misalkan u vektor singgung satuan terhadap L di titik P. D u f(p) = 0 (mengapa?). Dilain pihak D u f(p) = u f(p). Dengan demikian f(p) u atau f(p) L di titik P. Contoh: Diberikan fungsi z = y2. Tentukan vektor gradien yang melalui titik (2, 1), lalu gambarkan kurva ketinggian yang melalui titik tersebut dan vektor gradiennya. Aturan Rantai Jenis 1 Misalkan z = f(, y), dengan = (t) dan y = y(t). Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap dan y, tetapi terhadap t merupakan fungsi satu peubah. Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung turunan f terhadap t: dz dt = z d dt + z y dy dt Contoh: Misalkan z = 3 y dengan = 2t dan y = t 2. Tntukan dz Aturan Rantai Jenis 2 Misalkan z = f(, y), dengan = (s, t) dan y = y(s, t). Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap dan y, juga fungsi dua peubah terhadap s dan t. Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung turunan parsial f terhadap s dan t: z s = z s + z y y s dan z t = z t + z y y t dt. Contoh: Misalkan z = 3 y dengan = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan z z s dan t.
7 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 7 Penurunan Fungsi Implisit dengan aturan Rantai a. Untuk fungsi satu peubah Misalkan F(, y) = 0 mendefinisikan y sebagai fungsi secara implisit. Turunkan kedua ruas terhadap, maka diperoleh: F d d + F dy y d = 0. dy d = F/ F/ y b. Untuk fungsi dua peubah Misalkan F(, y, z) = 0 mendefinisikan z sebagai fungsi dan y secara implisit. Turunkan terhadap, diperoleh: F + F y y + F z z = 0. Turunkan terhadap y, diperoleh: F y + F y y y + F z z y = 0. Contoh: Karena y = 0 dan z = F/ F/ z y = 0 (mengapa?), maka dan z y = F/ y F/ z 1. Tentukan dy d dari y 10y 4 = 0 (gunakan dua cara: aturan rantai dan penurunan implisit). 2. Tentukan z dan z y dari 3 e y+z y sin( z) = 0
8 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 8 Bidang Singgung Perhatikan permukaan F(, y, z) = 0 dan V bidang singgung di titik p = ( 0, y 0, z 0 ). F(p) = F (p), F y (p), F z (p) V (?). Misalkan (, y, z) sebarang titik pada bidang V. Jelas F(p) 0, y y 0, z z 0 (?). Dengan demikian setiap titik pada bidang singgung memenuhi persamaan: Contoh: F(p) 0, y y 0, z z 0 = 0. F (p), F y (p), F z (p) 0, y y 0, z z 0 = 0 F (p)( 0 ) + F y (p)(y y 0 ), F z (p)(z z 0 ) = 0 Hal khusus, bila z = f, y). Tulis f(, y) z = 0 = F(, y, z). F = f, f y, 1. Dengan demikian persamaan garis singgung terhadap f(, y) di titik p adalah f (p)( 0 ) + f y (y y 0 ) (z z 0 ) = 0 1. Tentukan persamaan garis singgung terhadap 2 +y 2 +2z 2 = 23 di titik (1, 2, 3). 2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap z = 2 + y 2 di titik (1, 1, 2). 3. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan bidang oy terhadap z = 2 2y y y.
9 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 9 Diferensial dan Aproksimasi Misalkan fungsi z = f(, y). ( 0, y 0, z 0 ) & (, y, z) D f. Diferensial dari peubah bebas dan y adalah: d = = 0 dy = y = y y 0 tetapi, z = z z 0 = f(, y) f( 0, y 0 ) dan diferensial dari peubah tak bebas z adalah dz = f ( 0, y 0 )d + f y ( 0, y 0 )dy. Interpretasi geometri dari z dan dz diperlihatkan pada gambar di atas. Untuk d dan dy yang cukup kecil z dz. Diperoleh rumus aproksimasi z = f(, y, z) f( 0, y 0, z 0 ) f ( 0, y 0 )d + f y ( 0, y 0 )dy = dz Contoh 2 : 1. Misalkan z = y y 3. Tentukan z dan dz bila (, y) berubah dari (2, 1) ke (2, 03 ; 0, 98). 2. Gunakan hampiran diferensial untuk menghitung 3,9 9,1.
10 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 10 Maksimum dan Minimum Fungsi 2 Peubah Misalkan z = f(, y) dan p 0 D f a. f disebut mencapai maksimum di p 0 bila f(p 0 ) f(p) p D f, nilai maksimumnya f(p 0 ). b. f disebut mencapai minimum di p 0 bila f(p 0 ) f(p) p D f, nilai minimumnya f(p 0 ). c. f disebut mencapai maksimum lokal di p 0 bila f(p 0 ) f(p) untuk semua titik p disekitar p 0. d. f disebut mencapai minimum lokal di p 0 bila f(p 0 ) f(p) untuk semua titik p disekitar p 0. Titik tempat terjadinya maksimum/minimum global/lokal disebut titik ekstrim. Titik ekstrem tidak selalu ada (berikan contoh). Bila daerah definisi dari f(, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas, maka titik ekstrim global selalu ada. (Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan F = 0 b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada. c. Titik batas dari D f Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f(, y) = y2 f (, y) = 2 2 dan f y (, y) = y 2. Titik stasioner (1, 0) dan f(1, 0) = 1. Titik singular dan titik batas tidak ada. Perhatikan bahwa: f(, y) = y2 4 = y2 4 1 = ( 1)2 + y2 Jadi (1, 0) merupakan titik minimum global, dan tidak ada titik maksimum Titik kritis Teorema Pengujian titik ekstrim lokal Misalkan f(, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik stasioner p 0 = ( 0, y 0 ). tetapkan D = f (p 0 ) f yy (p 0 ) f 2 y(p 0 ), a. Jika D > 0 dan f (p 0 ) < 0, maka p 0 titik maksimum lokal. b. Jika D > 0 dan f (p 0 ) > 0, maka p 0 titik minimum lokal. c. Jika D < 0, maka p 0 titik pelana (bukan titik ekstrim). d. Jika D = 0, tidak ada kesimpulan.
11 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 11 Latihan 1. Tentukan titik ekstrim lokal dan titik pelana dari z = 2 a 2 + y2 b Tentukan titik pada z 2 = 2 y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal. 3. Tentukan titik ekstrim dari f(, y) = y 2 pada daerah S = {(, y) : 2 + y2 4 1} (petunjuk: untuk mencari titik ekstrim pada batas S, gunakan substitusi = cost dan y = 2 sint dengan t ).
12 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 12 Ekstrim dengan Kendala, Metode Lagrange Masalah titik ekstrim pada fungsi 2 peubah ada dua macam: a. Masalah ekstrim bebas (yang telah dibahas pada pasal sebelumnya). b. Masalah ekstrim dengan kendala/syarat Masalah ekstrim dengan kendala membahas masalah mencari titik ekstrim sepanjang kurva z = f(, y) dengan syarat titik-titik (, y) berada sepanjang lengkunagn g(, y) = 0. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut: Carilah nilai maksimum dari f(, y) = y 2 sepanjang g(, y) = 2 + y2 4 1 = 0. Dengan mesubstitusikan kurva kendala pada f(, y) akan diperoleh masalah ekstrim bebas (dengan jumlah peubah bebas yang lebih sedikit), selanjutnya dapat diselesaikan dengan metode pencarian ekstrim bebas. Namun demikian, tidak selalu kurva kendala dapat disubstitusikan ke dalam fungsi semula (cari contohnya). Metode Pelipat Lagrange merupakan alternatif lain untuk mencari ekstrim dengan kendala. Perhatikan kurva ketinggian dari f(, y) = k untuk k = 200, 300,, 700 yang digambarkan bersama-sama dengan kendala g(, y) = 0. Yang harus ditentukan adalah titik pada kurva ketinggian dengan nilai k terbesar yang juga dilalui kendala g(, y) = 0 (mengapa demikian?).
13 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 13 Titik tersebut terletak pada kurva ketinggian yang bersinggungan dengan g(, y) = 0. Pada ilustrasi, titik tersebut adalah p 0 dengan nilai k = 600. f(p 0 ) kurva ketinggian f(, y) = 600 dan g(p 0 ) g(, y) = 0 (mengapa?). Karena f(, y) = 600 dan g(, y) = 0 bersinggungan di p 0 maka f(p 0 ) segaris dengan g(p 0 ). Jadi di titik maksimum diperoleh hubungan f(p 0 ) = λ g(p 0 ) dengan λ suatu bilangan real. Hal yang sama juga berlaku di titik minimum (titik p 1 ). Dengan demikian diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (Metode Lagrange) Untuk mencari titik ekstrim dari z = f(, y) dengan kendala g(, y) = 0, carilah solusi dari sistem persamaan f(, y) = λ g(, y) dan g(, y) = 0 Titik-titik p yang memenuhi persamaan tersebut merupakan titik kritis dari masalah ekstrim terkendala. Bilangan λ disebut pelipat Lagrange. Diskusi: 1. Bila didapatkan n buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum dan minimumnya? 2. Bila didapatkan 1 buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum dan minimumnya? Contoh 2 : 1. Carilah nilai maksimum dari f(, y) = y 2 sepanjang g(, y) = 2 + y2 4 1 = Carilah titik-titik ekstrim dari f(, y) = y 2 2 pada elips y2 = Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak yang dapat dibuat bila harga bahan alasnya tiga kali harga bahan sisi yang lain. Harga bahan alasnya Rp 6.000/m 2 dan jumlah uang yang tersedia Rp (Catatan: f(, y, z) = f, f y, f z ). 4. Tentukan titik ekstrim dari f(, y, z) = + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan silinder 2 + y 2 = 2 dengan bidang y + z = 1. Catatan: Masalah ini adalah masalah ekstrim dengan dua kendala yaitu g(, y, z) = 0 dan h(, y, z) = 0, rumus metode Lagrange-nya adalah: f(, y, z) = λ g(, y, z) + µ h(, y, z) g(, y, z) = 0 h(, y, z) = 0
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciKalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciKuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 2 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciIlustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Lebih terperinciSilabus. Sekolah : : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi. Kegiatan Pembelajaran. Kompetensi Dasar.
Silabus Sekolah : Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI/ Ilmu Sosial Semester : II (Genap) Standar Kompetensi : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi : 35 x 45 Menit Kompetensi
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciBAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
Lebih terperinciUJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)
Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin
Lebih terperinci5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinci= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciBAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciTIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKIPSI MATA KULIAH EL-... Matematika Lanjut: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciDIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65
DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinciMatematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS
MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciBAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan 1
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciAPLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
Lebih terperinci(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Lebih terperinciFungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan
Lebih terperinciSILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Lebih terperinciBAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciTERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan
Lebih terperinci4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciDEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1B4 KALKULUS 2 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinci4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga
Lebih terperinciAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciSATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
Lebih terperinciPengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial
Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Drs. Johannes P. Mataniari FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Suatu peubah
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
Lebih terperinciINTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,
Lebih terperinci