LANDASAN TEORI Ruang Contoh Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam ondisi yang sama yang hasilnya tida dapat dipredisi secara tepat tetapi ita dapat mengetahui semua emunginan hasil yang muncul disebut percobaan aca Definisi (Ruang contoh) Ruang contoh himpunan semua hasil yang mungin dari suatu percobaan aca dan dinotasian dengan Ω (Grimmett and Stirzaer 99) Definisi (Kejadian) Kejadian suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω (Grimmett and Stirzaer 99) Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jia irisan dari eduanya himpunan osong () φ (Grimmett and Stirzaer 99) Definisi 4 (Medan- ) Medan- suatu himpunan yang anggotanya terdiri dari himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi syarat beriut : Jia A maa A c 3 Jia A A maa U Ai i= (Hogg et al 5) Definisi 5 (Uuran Peluang) Misalan Ω ruang contoh suatu percobaan dan medan- pada Ω Suatu fungsi Ρ yang memetaan unsur-unsur e himpunan bilangan nyata atau Ρ : disebut uuran peluang jia : Ρ ta negatif yaitu untu setiap A Ρ( A) Ρ bersifat aditif ta hingga yaitu jia A A dengan A A = φ j j maa ( ) ( ) A Ρ U n = Ρ n n A = = n 3 Ρ bernorma satu yaitu ΡΩ ( ) = Pasangan (Ω Ρ) disebut ruang uuran peluang atau ruang probabilitas (Hogg et al 5) Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B diataan saling bebas jia : Ρ( A B) =Ρ( A) Ρ ( B) Secara umum himpunan ejadian { A ; i I} diataan saling bebas jia : ( ) A i ( A i ) Ρ = Ρ i I J i J untu setiap himpunan bagian J dari I (Grimmett and Stirzaer 99) Peubah Aca dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah aca) Misalan Ω ruang contoh dari suatu percobaan aca Fungsi yang terdefinisi pada Ω yang memetaan setiap unsur ω Ω e satu dan hanya satu bilangan real ( ω ) disebut peubah aca Ruang dari himpunan bagian bilangan real { x: x ( ω) ω } = = Ω (Hogg et al 5) Suatu peubah aca dilambangan dengan huruf apital misalnya YZ sedangan nilai dari peubah aca dilambangan dengan huruf ecil seperti xyz Definisi 8 (Peubah aca disret) Peubah aca diataan disret jia semua himpunan nilai dari peubah aca tersebut merupaan himpunan tercacah (Hogg et al 5) Definisi 9 (Fungsi sebaran) Misalan peubah aca dengan ruang Misalan ejadian A= ( x] maa peluang dari ejadian A Ρ( x) = F ( x) Fungsi F disebut fungsi sebaran dari peubah aca (Hogg et al 5) i
3 Definisi (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah aca disret fungsi : yang diberian oleh : p ( x) =Ρ ( = x) (Hogg et al 5) Definisi (Peubah aca Poisson) Suatu peubah aca disebut peubah aca Poisson dengan parameter λ λ > jia fungsi massa peluangnya diberian oleh λ λ p ( ) = e! untu = (Ross 7) Lema (Jumlah peubah aca Poisson) Jia dan Y dua peubah aca yang saling bebas dan memilii sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ dan λ maa + Y peubah aca bersebaran Poisson dengan parameter λ + λ (Taylor and Karlin 984) Buti : Lihat Lampiran Momen Peubah Aca Definisi (Nilai harapan) Misalan peubah aca disret dengan fungsi massa peluang p ( x ) Nilai harapan dari dinotasian dengan Ε ( ) Ε ( ) = xp ( x) x jia jumlah di atas onvergen mutla (Hogg et al 5) Definisi 3 (Ragam) Misalan peubah aca disret dengan fungsi massa peluang p ( x ) dan nilai harapan Ε ( ) Ragam dari dinotasian dengan Var ( ) atau =Ε(( Ε ( )) ) = ( x Ε( )) p ( x) x (Hogg et al 5) Jia bilangan bulat positif maa momen e- atau m dari peubah aca m =Ε ( ) (Hogg et al 5) Definisi 5 (Momen pusat e-) Jia bilangan bulat positif maa momen pusat e- atau dari peubah aca =Ε(( Ε ( )) ) (Hogg et al 5) Nilai harapan dari peubah aca juga merupaan momen pertama dari Nilai harapan dari uadrat perbedaan antara peubah aca dengan nilai harapannya disebut ragam dari Ragam merupaan momen pusat e- dari peubah aca Definisi 6 (Fungsi Indiator) Misalan A suatu ejadian Fungsi indiator dari A suatu fungsi Ι Α : Ω [] yang diberian oleh : { jia ω A Ι Α ( ω) = jia ω A (Grimmet and Stirzaer 99) Dengan fungsi indiator ita dapat menyataan hal beriut : ΕΙ ( A ) =Ρ ( A) Keonvergenan Peubah Aca Definisi 7 (Keonvergenan dalam sebaran) Misalan peubah aca pada suatu ruang peluang Ω P Suatu barisan peubah aca diataan onvergen dalam sebaran e peubah aca ditulis untu jia P x P untu untu semua titi x dimana fungsi sebaran P ontinu (Grimmett dan Stirzaer 99) Definisi 4 (Momen e-) Penduga
4 Definisi 8 (Statisti) Statisti merupaan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah aca yang tida tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tida dietahui (Hogg et al 5) Definisi 9 (Penduga) Misalan n contoh aca Suatu statisti U ( n ) yang digunaan untu menduga fungsi parameter g() θ diataan sebagai penduga (estimator) bagi g() θ dilambangan dengan gˆ( θ ) Bilamana nilai = x = x n = xn maa nilai U( x x x n ) disebut sebagai nilai dugaan (estimator) bagi g() θ (Hogg et al 5) Definisi (Penduga Ta Bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g() θ yaitu Ε [ U ( n)] = g( θ) disebut penduga ta bias bagi g() θ Apabila sebalinya penduga di atas disebut berbias (ii) Jia lim Ε [ U ( n)] = g( θ) n maa U ( n ) disebut sebagai penduga ta bias asimtoti bagi g() θ (Hogg et al 5) Definsi (Penduga onsisten) Suatu penduga yang onvergen dalam peluang e parameter g() θ disebut penduga onsisten bagi g() θ (Hogg et al 5) Definisi (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g() θ didefinisian sebagai MSE( U) =Ε( U g( θ)) = ( Bias( U)) + Var ( U) dengan Bias ( U) =ΕU g( θ) Proses Poisson Periodi Definisi 3 (Proses Stoasti) Proses stoasti = { t ( ) t T} suatu himpunan dari peubah aca yang memetaan suatu ruang contoh Ω e suatu ruang state () t (Ross 7) Jadi untu setiap t pada himpunan indes T () t suatu peubah aca Kita sering menginterpretasian t sebagai watu dan () t sebagai state (eadaan) dari proses pada watu t Definisi 4 (Proses stoasti watu ontinu) Suatu proses stoasti disebut proses stoasti dengan watu ontinu jia T suatu interval (Ross 7) Definisi 5 (Inremen bebas) Suatu proses stoasti dengan watu ontinu { ( t) t T} disebut memilii inremen bebas jia untu semua t < t < t < < t n peubah aca t ( ) t ( )t ( ) t ( )t ( n) t ( n ) bebas (Ross 7) Berdasaran definisi di atas maa suatu proses stoasti dengan watu ontinu disebut memilii inremen bebas jia proses berubahnya nilai pada interval watu yang tida tumpang tindih (tida overlap) bebas Definisi 6 (Inremen stasioner) Suatu proses stoasti dengan watu ontinu = { t ( ) t T} disebut memilii inremen stasioner jia ( t+ s) t () memilii sebaran yang sama untu semua nilai t (Ross 7) Berdasaran definisi di atas maa suatu proses stoasti dengan watu ontinu disebut memilii inremen stasioner jia sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titi hanya tergantung pada jara antara edua titi tersebut dan tida tergantung dari loasi titi-titi tersebut
5 Definisi 7 (Proses Pencacahan) Suatu proses stoasti { Nt ( ) t } disebut proses pencacahan jia Nt () menyataan banyanya ejadian yang telah terjadi sampai watu t (Ross 7) Dari definisi tersebut maa suatu proses pencacahan Nt () harus memenuhi syaratsyarat beriut : (i) Nt () untu semua t [ ) (ii) Nilai Nt () integer (iii) Jia s < t maa Ns () Nt () dengan st [ ) (iv) Untu s < t maa Nt () Ns () sama dengan banyanya ejadian yang terjadi pada interval (] st Definisi 8 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { Nt ( ) t } disebut proses Poisson dengan laju λ λ > jia dipenuhi tiga syarat beriut : (i) N () = (ii) Proses tersebut memilii inremen bebas (iii) Banyanya ejadian pada sembarang interval watu dengan panjang t memilii sebaran Poisson dengan nilai harapan λ t Sehingga untu semua ts> λt e ( λ t) Ρ ( Nt ( + s) Ns ( ) = ) =! = (Ross 7) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memilii inremen yang stasioner Dari syarat ini juga dapat diperoleh : Ε ( Nt ( )) = λt Definisi 9 (Proses Poisson ta homogen) Suatu proses Poisson { Nt ( ) t } disebut proses Poisson ta homogen jia laju pada sembarang watu t merupaan fungsi ta onstan dari t yaitu λ () t Definisi 3 (Intensitas loal) Intensitas loal dari suatu proses Poisson ta homogen dengan fungsi intensitas λ pada titi λ () s yaitu nilai fungsi λ di s (Cressie 993) Definisi 3 (Fungsi periodi) Suatu fungsi λ disebut periodi jia λ( s+ τ) = λ( s) untu semua dan Konstanta terecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut (Browder 996) Definisi 3 (Proses Poisson Periodi) Proses Poisson periodi suatu proses Poisson ta homogen yang fungsi intensitasnya fungsi periodi (Mangu ) Beberapa Definisi dan Lema Tenis Definisi 33 (Fungsi terintegralan loal) Fungsi intensitas λ disebut terintegralan loal jia untu sembarang himpunan Borel terbatas B ita peroleh μ( B) = B λ( s) ds < (Dudley 989) Definisi 34 ( Ο () dan ο () ) Ο dan () Simbol-simbol () ο merupaan cara untu membandingan besarnya dua fungsi ux () dan vx () dengan x menuju suatu limit L (i) Notasi ux ( ) =Ο( vx ( )) x L menyataan ux ( ) bahwa terbatas untu x L vx ( ) (ii) Notasi ux () = ο(()) vx x L menyataan bahwa ux ( ) vx ( ) untu x L (Serfling 98) Definisi 35 (Titi Lebesque) Kita ataan s titi Lebesque dari λ jia berlau h lim ( s x) ( s) dx h h h λ + λ = (Wheeden and Zygmund 977) Lema (Formula Young dari Teorema Taylor)
6 Misalan g memilii turunan e- n yang berhingga pada suatu titi x Maa n ( ) g ( x ) n g( y) = g( x) + ( y x) + ο ( y x ) =! untu y x (Serfling 98) Buti : Lihat Serfling 98 Lema 3 (Pertidasamaan Chebyshev) Jia peubah aca dengan nilai harapan μ dan ragam maa untu setiap > Ρ( μ ) Buti : Lihat Lampiran (Ross 7) Lema 4 (Teorema Limit Pusat) Misalan n suatu contoh aca dari suatu distribusi yang mempunyai nilai-harapan µ dan variance Maa peubah aca Y = ( n ) n = n ( ) n n i μ / n μ / onvergen e sebaran normal dengan nilaiharapan nol dan ragam (Hogg and Craig 5) Buti : Lihat Hogg and Craig 5