Modul Praktikum Kalkulus II dengan Menggunakan Matlab

Transkripsi

1 Modul Praktikum Kalkulus II dengan Menggunakan Matlab disusun oleh : Arif Muchyidin, S.Si., M.Si. NIP TADRIS MATEMATIKA INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH NURJATI CIREBON 2016

2 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur hanya untuk Allah semata, Tuhan yang menguasai seluruh alam dan ilmu pengetahuan yang sangat luas ini, karena berkat rahmat dan hidayah yang tak berhingga banyaknya Allah berikan, penulis dapat menyelesaikan penyusunan Modul Praktikum Kalkulus II. Penyusunan Modul Praktikum Kalkulus II ini selain bertujuan untuk memperkuat soft skill mahasiswa, juga sebagai sarana untuk mengembangkan kreativitas dan memperkaya khasanah kematematikaan terutama dalam bidang Kalkulus II khususnya bagi penulis sendiri, mahasiswa dan bagi penerus serta pecinta matematika pada umumnya. Penulis menyadari bahwa penyusunan Modul Praktikum Kalkulus II ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan masukan baik berupa kritik, saran, maupun koreksi yang membangun. Semoga Modul Praktikum Kalkulus II dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin. Cirebon, 14 Februari 2017 Penyusun, Arif Muchyidin, S.Si., M.Si. NIP

3 DAFTAR ISI Kata Pengantar i Daftar Isi ii Tata tertib Praktikum iii Pendahuluan 1 Pertemuan Ke 1 3 Pertemuan Ke 2 13 Pertemuan Ke 3 21 Pertemuan Ke 4 25 Pertemuan Ke 5 31 Pertemuan Ke 6 37 Pertemuan Ke 7 41 Pertemuan Ke 8 47 Daftar Pustaka 53

4 TATA TERTIB PRAKTIKUM Untuk kelancaran dan kenyamanan selama kegiatan praktikum berlangsung, mahasiswa hendaknya memperhatikan hal hal berikut : 1. Datang tepat waktu 2. Menyimpan sepatu di tempat yang telah disediakan 3. Tidak membawa makanan dan minuman ke dalam laboratorium 4. Tidak membuka program lain selain Matlab, kecuali ada izin khusus 5. Menjaga kebersihan laboratorium

5 1 PENDAHULUAN Matlab merupakan sebuah singkatan dari Matrix Laboratory. Matlab pertama kali dikenalkan oleh University of New Mexico dan University of Stanford pada tahun Matlab biasa digunakan untuk kebutuhan analisis dan komputasi numerik karena Matlab merupakan suatu bahasa pemrograman matematika yang berdasar pada sifat dan betuk dari matriks. Pada awalnya, program ini merupakan interface untuk koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembangkan menggunkan bahasa FORTRAN namun sekarang merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan bahasa C++ dan assembler (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). Saat ini, kemampuan dan fitur yang dimiliki oleh Matlab sudah jauh lebih lengkap dengan ditambahkannya toolbox - toolbox yang sangat luar biasa. Software ini pertama kali digunakan untuk keperluan analisis numerik, aljabar linier dan teori tentang matriks. Selain itu, seiring dengan perkembangannya, Matlab berubah menjadi sebuah environment bahasa pemrograman yang canggih yang berisi fungsi fungsi untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan fungsi matematika lainnya. MATLAB bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada library ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila Anda telah memiliki pengalaman dalam pemrograman bahasa lain seperti C, PASCAL, atau FORTRAN. Karena kecanggihannya Matlab dapat digunakan untuk hal sebagai berikut : 1. Perhitungan Matematika, baik yang sederhana maupun yang kompleks 2. Komputasi numerik 3. Simulasi dan pemodelan 4. Visualisasi dan analisis data 5. Pembuatan grafik untuk keperluan sains dan teknik 6. Pengembangan aplikasi

6 2 M a t l a b

7 3 PERTEMUAN KE 1 (Mengenal Matlab) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat mengetahui bagian bagian matlab 2. Mahasiswa dapat melakukan perhitungan perhitungan matematika sederhana dengan menggunakan matlab 3. Mahasiswa mampu membuat grafik 2 dimensi untuk fungsi diskrit maupun fungsi kontinyu Dasar Teori 1. Bagian bagian Matlab Untuk mulai bekerja dengan Matlab, bukalah program Matlab yang sudah terinstal di laptop atau komputer, maka akan muncul tampilan sebagai berikut : Dalam Matlab, menu utama yang dapat digunakan dalam melakukan komputasi matematika adalah Command Window dan menu M-file (dibahas kemudian). Kedua menu tersebut mempunyai kelebihan dan kekurangan masing masing. Oleh karena itu dalam menentukan pilihan menu terlebih dahulu melihat kasus dan tujuan yang akan dicapai, sehingga pemilihan menu disesuaikan dengan tujuan yang akan dicapai atau output yang dihasilkan. Ketika jendela utama Matlab terbuka, maka pada Command Window akan terlihat command prompt : >>

8 4 2. Operasi Matematika pada Matlab Setelah program Matlab terbuka, tidak ada salahnya kita mencoba beberapa operasi matematika sederhana, misalnya : a. Penjumlahan / Pengurangan b. Perkalian c. Pembagian Pada dasarnya, untuk operasi sederhana seperti di atas, perintah yang dituliskan hampir sama dengan perintah pada kalkulator atau perintah pada excel. Selain itu, pada Matlab juga dapat melakukan beberapa operasi sekaligus, dimana tiap perintah diberikan tanda koma (,) sebagai pemisahnya. Perhatikan contoh berikut :

9 5 Selain itu, Matlab juga dapat menerima perintah untuk menyimpan suatu bilangan pada sebuah variabel, sebagai contoh : Misalkan diketahui x = 15, y = 0.75 dan x = π. Maka tentukanlah : 4 a. 3 x y b. sin z c. y cos z Maka perintah yang dituliskan pada Matlab adalah sebagai berikut : Matlab juga dapat digunakan untuk menentukan akar akar dari polinomial. Misalkan terdapat polinom y = x 2 x 6, maka akar akarnya adalah sebagai berikut : Perintah penentuan akar untuk polinom pada Matlab hanya ditulis koefisiennya saja, disusun membentuk sebuah matriks. Perhatikan contoh polinom berikut : Tentukan akar akar persamaan y = x 4 2x 2 + 3x 2! Maka perintah pada Matlab ditulis sebagai berikut :

10 6 Penulisan 0 pada perintah di atas merupakan representasi dari koefisien x 3, karena sejatinya polinom di atas dapat ditulis menjadi y = x 4 + 0x 3 2x 2 + 3x 2. Pertanyaan Pre Praktikum 1. Bagaimanakah cara membuat grafik dari data diskrit? 2. Bagaimanakah cara membuat grafik fungsi yang kontinyu? Metode Praktikum / Prosedur kerja Untuk membuat grafik pada Matlab, perintah yang digunakan adalah plot. Perhatikan contoh berikut : 1. Misalkan terdapat titik 1,5, 2,8, 3,11, 4,15, 5,18, 6,17, 7,14, 8,12. Jika diplot dalam Matlab, maka perintah yang digunakan adalah sebagai berikut : Diperoleh hasil sebagai berikut : gambar 1. 1 plot titik Pada gambar 1. 1 merupakan grafik yang diperoleh dari menghubungkan tiap titik yang diketahui. Dari data diketahui terdapat 8 titik dengan masing

11 7 masing koordinat seperti yang terlihat dari contoh yang diberikan. Jika tiap titik tersebut dihubungkan dengan garis, maka kenali perintah berikut : plot(x,y, string ) dengan jenis string adalah sebagai berikut : Tabel 1. 1 Jenis string Warna Garis Jenis Garis Jenis Titik b Biru - utuh. Titik g Hijau : titik - titik o lingkaran r Merah -. titik - strip x tanda x putus - putus + tanda + c biru muda -- m Ungu * tanda * y Kuning s bujur sangkar k Hitam d permata w Putih segitiga ke v bawah ^ segitiga ke atas segitiga ke < kanan > segitia ke kanan p segilima h segienam (sumber : (Widiarsono, 2005)) Sehingga jika akan membuat garis utuh warna hitam, perintah yang digunakan adalah k-. Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut : gambar 1. 2 plot titik

12 8 Dalam membuat grafik, penggunaan string boleh lebih dari satu, tidak hanya menggunakan k- seperti pada contoh sebelumnya, namun dapat juga menggunakan k*, perhatikan perintah berikut : Dari perintah tersebut, grafik yang akan dibuat berwarna hitam garis utuh (k) dan tanda bintang (*) berwarna merah (r), sehingga diperoleh grafik berikut : gambar 1. 3 plot garis utuh dan bintang Jika memperhatikan gambar 1. 3, hanya plot titik dan garis saja. Untuk menambahkan judul grafik, label sumbu x dan label pada sumbu y, langkah yang paling mudah untuk ditempuh adalah dengan klik insert pada toolbar, maka akan muncul beberapa pilihan, yaitu : a. pilih X Label untuk memberi label pada sumbu X, b. Y Label untuk memberi label pada sumbu Y, c. Title untuk memberi judul grafik, d. Legend untuk memberi legenda pada grafik. Sehingga diperoleh gafik berikut :

13 9 gambar Menambahkan teks pada grafik Setelah mengklik Insert, maka akan muncul pilihan, klik X Label untuk memberikan label pada sumbu X, dan seterusnya. Khusus untuk Legend, posisi Legend dapat dipindah sesuai dengan keinginan dengan cara klik kotak Legend kemudian geser ketempat yang diinginkan. 2. Buatlah grafik y = 2x 3 1 pada selang 3 x 3 Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut :

14 10 gambar 1. 5 Grafik Fungsi y = 2x 2 Pada gambar 1. 5 terlihat grafik y = 2x 2 tidak mulus, lekukan pada tiap titik masih terlihat dengan jelas. Untuk membuat grafik menjadi mulus, maka pada command diberikan inkremen, perhatikan command berikut : Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut : gambar 1. 6 Grafik Fungsi y = 2x 2 dengan inkremen Jika melihat gambar 1. 5 dan gambar 1. 6 terlihat jelas perbedaannya. Pemberian nilai inkremen memberikan efek yang sangat signifikan pada grafik

15 11 yang dihasilkan. Semakin kecil nilai inkremen yang diberikan, maka grafik yang dihasilkan akan semakin mulus. 3. Membuat grafik dalam bentuk koordinat polar Buatlah grafik ρ = cos 2 3θ pada selang 0 x 2π Maka Command yang digunakan adalah sebagai berikut : Dengan grafik yang diperoleh adalah sebagai berikut : gambar 1.7 grafik koordinat polar 4. Membuat beberapa grafik dalam satu window Buatlah grafik y = sin x, y = sin x 2, y = sin(x 4) pada selang 0 x 2π Untuk membuat grafik dari ketiga fungsi di atas, maka command yang digunakan adalan hold on yang berfungsi untuk menahan gambar sebelumnya agar tak hilang atau terhapus karena tertimpa gambar yang baru. Perhatikan command berikut : Sehingga diperoleh grafik berikut :

16 12 gambar 1. 8 Membuat beberapa grafik dalam satu window Pertanyaan Pasca Praktikum Buatlah grafik untuk fungsi yang memenuhi persamaan y 1 = 1 x 1 2 dan y 2 = x pada selang 2 x 2.

17 13 PERTEMUAN KE 2 (Pendahuluan Luas) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat mempartisi grafik mejadi beberapa bagian 2. Mahasiswa dapat menentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diketahui 3. Mahasiswa dapat membandingkan hasil jumlah Riemann untuk jumlah partisi hingga dan jumlah partisi yang mendekati tak hingga Dasar Teori 1. Poligon Dalam Perhatikan daerah yag dibatasi oleh f x = x 2, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3. Misalkan luas daerah tersebut adalah K. Jika dihampiri dengan poligon poligon dalam seperti pada gambar di bawah ini : Partisikan interval 1,3 atas n bagian, sama lebar, dengan lebar tiap subinterval adalah Δx = 3 1 n = 2 n, dan P: 1 = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = 3 dengan x i = 1 + i. Δx = 1 + 2i Perhatikan interval ke i yaitu x i 1, x i. Bentuk persegipanjang dengan lebar Δx dan tinggi f x i 1. Sehingga luas persegipanjang adalah sebagai berikut : L T n = f x i 1 Δx. Jika proses dilakukan untuk i = 1,2,, n, maka akan diperoleh luas seluruh poligon yang berada di bawah kurva f x = x 2. Dengan demikian luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut : n

18 14 Dari hasil di atas jelas bahwa lim n = 26 3 dan L T n K. 2. Poligon Luar Perhatikan daerah yag dibatasi oleh f x = x 2, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3. Misalkan luas daerah tersebut adalah K. Jika dihampiri dengan poligon poligon luar seperti pada gambar di bawah ini : Partisikan interval 1,3 atas n bagian, sama lebar, dengan lebar tiap subinterval adalah Δx = 3 1 n = 2 n, dan P: 1 = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = 3 dengan x i = 1 + i. Δx = 1 + 2i Perhatikan interval ke i yaitu x i 1, x i. Bentuk persegipanjang dengan lebar Δx dan tinggi f x i 1. Sehingga luas persegipanjang adalah sebagai berikut : L R n = f x i Δx. Jika proses dilakukan untuk i = 1,2,, n, maka akan diperoleh luas seluruh poligon yang berada di bawah kurva f x = x 2. Dengan demikian luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut : n

19 15 Dan lim n L R n = Dari hasil di atas menunjukkan bahwa perhitungan luas tidak bergantung pada jenis poligon yag digunakan. Untuk n keduanya memberikan hasil yag sama. 3. Jumlah Riemann Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada interval tutup a, b dengan partisi atas n bagian (Perhatikan gambar berikut)

20 16 Partisikan interval a, b atas n bagian (dengan lebar yang tidak perlu sama). P: a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b dan misalkan x i = x i x i 1. Pada subinterval x i 1, x i pilih titik yang mewakili, misalkan x i, i = 1,2,, n Pertanyaan Pre Praktikum 1. Bagaimana cara membuat poligon luar dan poligon dalam? 2. Bagaimana cara menghitung luas daerah dengan menggunakan poligon luar dan poligon dalam dengan menggunakan matlab? Metode Praktikum / Prosedur kerja a. Bekerja dengan rsum rsums(f) merupakan salah satu tool yang disediakan oleh matlab. rsum(f) merupakan pendekatan nilai integral dari f(x) yang dapat digunakan secara interaktif dengan mengambil nilai tengah dari jumlah Riemann untuk x dari 0 sampai 1 (Team, 2016). rsums(f) juga menampilkan grafik f(x) dengan menggunakan 10 bentuk persegi panjang/partisi. Banyaknya persegi panjang/partisi yang ditampilkan dapat diubah sesuai dengan keinginan dengan hanya menggeser slider yang ada pada bagian bawah grafik. Tinggi dari tiap persegi panjang merupakan nilai dari fungsi dari titik tengah interval. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :

21 17 Hitunglah jumlah Riemann dari f x = x 2 Maka scrip pada Matlab untuk permasalahan di atas adalah sbagai berikut : dengan grafik adalah sebagai berikut : Keterangan : 1. Fungsi f(x) 2. Nilai jumlah Riemann 3. Jumlah partisi 4. Tombol slider Tombol slider digunakan untuk menambah jumlah partisi yang ditampilkan. Secara otomatis, grafik hanya menampilkan 10 partisi dari tiap fungsi yang dicari. Untuk mengubah banyaknya partisi yang ditampilkan, cara yang ditempuh sangat mudah yakni hanya dengan menggeser slider ke kiri dan ke kanan saja. Perhatikan gambar berikut :

22 18 Gari grafik terlihat bahwa posisi slider bergeser ke kanan dengan jumlah partisi yang ditampilkan adalah 10 partisi. Karena banyaknya partisi berubah, maka nilai fungsinya juga berubah. Secara otomatis, interval x yang dihitung dari tiap fungsi adalah dari 0 sampai dengan 1, bagaimana jika interval yang diinginkan adalah dari 0 sampai 10? Perhatikan contoh berikut : Hitunglah jumlah Riemann dari f x = x 2 pada interval 0 x 10. Jawab : Untuk menjawab soal di atas, maka scrip Matlab yang digunakan adalah sbagai berikut : dengan grafik yang diperoleh adalah sebagai berikut :

23 19 Pertanyaan Pasca Praktikum Dengan mengikuti prosedur yang telah dijelaskan di atas, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik grafik berikut : a. y = x 2 + 2; x = 0, x = 2 b. y = x 3 1; x = 1, x = 4

24

25 21 PERTEMUAN KE 3 (Integral Tentu) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi f dan anti turunannya 2. Mahasiswa mampu membuat scrip menghitung hasil intergral tentu Dasar Teori Definisi: catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann. Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan. Oleh karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral kalkulus berikut ini : Sifat- Sifat Umum Definite Integral :

26 22 Misalkan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a,b], maka definite integral memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut : Pertanyaan Pre Praktikum Bagaimanakah cara menghitung integral tentu dengan menggunakan matlab? Metode Praktikum / Prosedur kerja 1. Menghitung nilai integral tak tentu Tentukan nilai integral dari f x = sin x Jawab : Seperti yang telah diketahui bersama bahwa nilai integral dari f x = sin x adalah cos x. Jika menggunakan Matlab, scrip yang digunakan adalah sebagai berikut :

27 23 Untuk melihat perbedaan grafik fungsi sin(x) dan sin(x), gunakan crip sebagai berikut : Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut : 2. Menghitung nilai integral tentu Tentukan hasil dari integral berikut : Jawab π 0 sin x dx

28 24 Pertanyaan Pasca Praktikum 1. Jika F adalah anti turunan dari f, tentukanlah F jika diketahui f sebgai berikut! Buat pula grafik f dan F dalam satu window! a. f = x b. f = 3 sin t 2 cos t c. f = 3t 2 2 sin t 2. Hitunglah integral tentu berikut : 4 a. x + 2x + 1 dx 0 1 b. x 2 + x x 0 c. 2x + sin x dx π 2 0 dx

29 25 PERTEMUAN KE 4 (Aplikasi Integral Tentu Menghitung Luas) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat mengganbar grafik fungsi yang diberikan 2. Mahasiswa mampu menentukan batas nilai integran 3. Mahasiswa dapat menghitung luas daerah dari fungsi yan diberikan Dasar Teori a. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x Perhatikan gambar berikut : Sumber : (Darmayasa, 2016) Untuk daerah yang berada di atas sumbu x, misalkan diketahui fungsi y = f(x), dibatasi oleh sumbu x, garis x = a dan garis x = b, maka luas daerah R adalah sebagai berikut : b L R = y dx = a b f(x) dx a Untuk daerah yang berada di bawah sumbu x, misalkan diketahui fungsi y = g(x), dibatasi oleh sumbu x, garis x = c dan garis x = d, maka luas daerah R adalah sebagai berikut : L S = d y dx c = g(x) dx d c

30 26 b. Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva Perhatikan gambar berikut : Sumber : (Darmayasa, 2016) Misalkan terdapat kurva y 1 = f x, y 2 = g(x) yang dibatasi oleh garis x = a dan x = b, maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut adalah sebagai berikut : L u = b a f x g(x) dx Hal hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan luas suatu daerah adalah sebagai berikut : a. Sketsa grafik dari kedua kurva tersebut dalam bidang kartesius b. Tentukan batas batas pengintegralan. Batas pengintegralan diperoleh dari absis titik potong kedua kurva Pertanyaan Pre Praktikum 1. Bagaimanakah cara menentukan luas daerah dari kurva yang diberikan? 2. Bagaimanakan cara mencari luas daerah diantara dua kurva yang diberikan? Metode Praktikum / Prosedur kerja a. Luas Daerah di bawah kurva 1. Diketahui f x = x 2 dengan 2 x 2. Gambar dan tentukan luas daerahnya. Jawab : Scrip untuk menjawab soal tersebut adalah sebagai berikut :

31 27 Dengan daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut : Dimana luas daerah yang dibawah kurva f x = x 2 dengan 2 x 2 adalah Diketahui f x = x 3 untuk 0.5 x 2. Buatlah daerah yang dimaksud dan tentukan luas daerahnya! Jawab : Dengan mengunakan scrip berikut : Diperoleh daerah yang diarsir adalah sebagi berikut :

32 28 b. Menentukan luas daerah diantara dua buah kurva Diketahui y 1 = x 2 dan y 2 = 2x. Tentukan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dan hitung luasnya! Jawab : Untuk menggambar daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva, scrip yang digunakan adalah sebagai berikut : dengan daerah yang muncul adalah sebagai berikut :

33 29 Untuk menentukan luas suatu daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva, hal yang perlu diperhatikan adalah batas integrasi, yang biasanya diperoleh dari perpotongan dari kedua kurva tersebut. Oleh karena itu, hal yang perlu dicari adalah titik potong dari kedua kurva tersebut dengan cara sebagai berikut : Dengan menggunakan scrip di atas, diperoleh titik potong adalah x = 0 dan x = 2 (sama seperti yang terlihat pada gambar di atas). Setelah batas integrasi sudah diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan luas daerah yang di batasi oleh y 1 = x 2 dan y 2 = 2x adalah sebagai berikut : Jadi luas daerah yang di arsis adalah satuan luas. Pertanyaan Pasca Praktikum Tentukan daerah (gambarkan dan arsirlah) dan tentukan luasnya jika diketahui fungsi berikut : a. y = 4x x 2, yang dibatasi oleh x = 1, x = 3 dan sumbu x b. y = x 2 5x + 4, untuk 0 x 4 dan dibatasi oleh sumbu x c. y = sin x, untuk 0 x 2π dan dibatasi oleh sumbu x d. y = x 2 2x dan y = 6x x 2 e. y = 5 x 2 dan y = x 1 2 f. y = 2x, y = 1 x, danx + y = 6 2

34 30 M a t l a b

35 31 PERTEMUAN KE 5 (Volume Benda Putar Daerah yang diputar Mengelilingi sumbu X) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi asal 2. Mahasiswa mampu menentukan bentuk dari benda putar 3. Mahasiswa dapat menetukan bentuk benda putar yang dihasikan 4. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dari perputaran grafik diputar mengelilingi sumbu x dan garis y = Dasar Teori Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang dihasilkan adalah sebagai berikut : V = π b y 2 dx a (sumber : (Zaelani, Cunayah, & Irawan, 2008)) Pertanyaan Pre Praktikum 1. Bagaimanakah cara memutar grafik fungsi mengelilingi sumbu x? 2. Bagaimanakah cara menghitung volume benda putar yang dihasilkan? Metode Praktikum / Prosedur kerja 1. Gambarkan benda yang dihasilkan dari fungsi f x = sin x jika diputar mengelilingi sumbu x Jawab : Untuk membuat benda hasil perputaran fungsi di atas, perhatikan scrip berikut: a. Langkah pertama adalah dengan mendefinisikan fungsi yang dimaksud b. Tampilkan fungsi asal

36 32 c. Tampilkan benda hasil rotasi fungsi mengelilingi sumbu x d. Tampilkan benda hasil rotasi dalam sumbu YZ e. Tampilkan benda hasil rotasi dalam sumbu XY Sehingga diperoleh tampilan sebagai berikut : Atau jika sudut pandang aksis diubah, maka akan menghasilkan tampilan grafik yang berbeda pula. Perhatikan contoh berikut, jika benda putar yang diperoleh dilihat dari bagian belakang, maka scrip dan tampilan yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

37 33 2. Hitunglah volume benda putar jika diketahui f x = x 3 diputar mengelilingi sumbu x untuk 0 x 2. Jawab : Untuk menampilkan benda yang dihasilkan, silahkan gunakan scrip dan prosedur seperti pada contoh nomor 1. Sedangkan untuk menentukan volumenya, berikut ini adalah scrip dan besar volume dari masalah di atas

38 34 atau Pertanyaan Pasca Praktikum 1. Buatlah scrip jika diketahui benda pejal berikut : Hint : fungsi yang ditampilkan adalah f x = cos x 2. Buatlah sketsa grafik asal, benda putar yang dihasilkan dan tentukan pula volume benda putar tersebut jika diketahui fungsi asal sebagai berikut : a. y = x 2, untuk 0 x 2, dibatasi oleh sumbu x, dan diputar mengelilingi sumbu x b. D = x, y : 2 x 2,0 y 4 x 2, diputar mengelilingi sumbu x

39 35 M a t l a b

40

41 37 PERTEMUAN KE 6 (Volume Benda Putar Daerah yang diputar Mengelilingi sumbu Y) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi asal 2. Mahasiswa mampu menentukan bentuk dari benda putar 3. Mahasiswa dapat menetukan bentuk benda putar yang dihasikan 4. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dari perputaran grafik diputar mengelilingi sumbu y dan garis x = l Dasar Teori Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu y, garis y = c dan garis y = d diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang dihasilkan adalah sebagai berikut : (sumber : (Zaelani et al., 2008)) Pertanyaan Pre Praktikum V = π d x 2 dy c 1. Bagaimanakah cara menentukan volume benda putar jika kurva diputar mengelilingi sumbu y? 2. Apa yang terjadi jika kurva diputar mengelilingi garis x = l? Metode Praktikum / Prosedur kerja Diketahui f x = x 2 dengan 0 x 2. Jika f x diputar mengelilingi sumbu y, maka tentukanlah gambar benda yang dihasilkan beserta volumenya. Jawab : Dari soal diketahui fungsi y = x 2. Karena fungsi y = x 2 akan diputar mengelilingi sumbu y, maka fungsi dan interval dari fungsi harus diubah terlebih dahulu, sehingga diperoleh x = y untuk 0 y 4. Untuk memastikan bahwa perubahan fungsi dan interval dari fungsi tersebut sama dengan fungsi yang diketahui, tidak ada salahnya terlebih dahulu dicek kebenarannya dengan memplot grafik fungsi tersebut dengan tahapan dan scrip sebagai berikut : 1. Menampilkan grafik fungsi y= x 2 dengan 0 x 2 dan x = y untuk 0 y 4.

42 38 Diperoleh gambar sebagai berikut : 2. Menampilkan bentuk benda dari hasil rotasi terhadap sumbu y Perhatikan grafik berikut : Grafik di atas diperoleh dengan scrip sebagai berikut:

43 39 3. Menghitung volume benda Pertanyaan Pasca Praktikum Diketahui f x = x dengan 1 x 5. Tentukan bentuk benda putar dan volume yang dihasilkan jika f x diputar mengelilingi sumbu x dan sumbu y!

44

45 41 PERTEMUAN KE 7 (Volume Benda Putar Daerah antara dua kurva) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat menentukan daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva 2. Mahasiswa dapat menentukan bentuk benda putar yang dihasilkan dari perputaran dua buah kurva yag diketahui 3. Mahasiswa mampu menentukan volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran dua buah kurva yang diketahui Dasar Teori Bentuk dan volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran dua buah kurva tergantung dari sumbu putar yang akan digunakan. Ada 4 jenis sumbu putar yang biasanya digunakan, yaitu sumbu x, sumbu y, garis x =, dan garis y = l a. Mengelilingi sumbu x Daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y 2 = g(x) dan y 1 = f(x), garis x = a, dan garis x = b. Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka volume yang dihasilkan adalah sebagai berikut : V = π (sumber : (Zaelani et al., 2008)) b a y 2 2 y 1 2 dx

46 42 b. Mengelilingi sumbu y Daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah daerah yang dibatasi oleh kurva x 1 = f(y) dan x 2 = g(y), garis y = c, dan garis y = d. Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu y, maka volume yang dihasilkan adalah sebagai berikut : V = π (sumber : (Zaelani et al., 2008)) b a x 1 2 x 2 2 dy Pertanyaan Pre Praktikum 1. Bagaimanakah cara menggambar benda putar yang dibatasi oleh dua buah kurva? 2. Bagaimanakah cara menghitung volume benda putar? Metode Praktikum / Prosedur kerja a. Diputar mengelilingi sumbu X Diketahui D = x, y : 0 x 4, 1 x + 1 y x + 2 diputar terhadap sumbu x, 2 tentukan volume benda putar yang terjadi! Jawab : Untuk menjawab soal di atas, perhatikan langkah langkah berikut : 1. Membuat grafik asal Dari soal diketahui D = x, y : 0 x 4, 1 x + 1 y x + 2, maka 2 diperoleh grafik sebagai berikut:

47 43 2. Memutar grafik mengelilingi sumbu x

48 44 3. Menentukan volume benda pejal yang terjadi b. Diputar mengelilingi sumbu Y Misalkan diketahui parabola y = x 2 dan parabola y = 4x 2 dan garis y = 4. Tentukanlah benda pejal yang dihasilkan berikut volumenya jika parabola terebut diputar mengelilingi sumbu y! (sumber : (Martono, 1999)) Jawab : Sama halnya dengan menjawab soal pada bagian a di atas, langkah langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Membuat grafik asal dri soal diketahui parabola y = x 2 dan parabola y = 4x 2 dan garis y = 4. Maka diperoleh grafik sebagai berikut :

49 45 2. Memutar grafik asal mengelilingi sumbu y 3. Menentukan volume benda pejal yang dihasilkan

50 46 Pertanyaan Pasca Praktikum 1. Buatlah grafik fungsi asal, benda putar yang dihasilkan (diputar mengelilingi sumbu x dan sumbu y), dan tentukan pula volume yang dihasilkan untuk fungsi berikut : a. y = x 2 dan garis y = 2x b. x = y 2 2 dan garis x + y = 4 c. y = x 2 dan y = 6x x 2 d. y = x, untuk 2 x 4, dan garis y = 3 e. Kurva x = 2 2 y 2, lingkaran x 2 + y 2 = 9, dan dibatasi oleh sumbu y 2. Jika perputaran kurva pada nomor 1 di atas diubah mengelilingi x = 2 dan y = 3, bagaimanakah hasilnya?

51 47 PERTEMUAN KE 8 (Panjang Kurva dan Luas Permukaan Benda Putar) Tujuan Praktikum 1. Mahasiswa dapat membuat kurva asal 2. Mahasiswa mampu menghitung pajang kurva asal 3. Mahasiswa dapat membuat beda putar 4. Mahasiswa mampu menghitung luas permukaan benda putar yang dihasilkan Dasar Teori 1. Panjang Kurva Misalkan fungsi y = f(x) memiliki kurva halus pada interval a, b, panjang busur f antara a dan b adalah sebagai berikut : b s = 1 + f (x) 2 a Dengan cara yang sama, untuk kurva yang diberikan oleh x = g(y), panjang busur g antara c dan d adalah sebagai berikut : Contoh : b s = 1 + g (y) 2 a Tentukan panjang busur dari titik x 1, y 1 ke x 2, y 2 pada grafik f x = mx + b, seperti yang ditunjukkan pada grafik berikut : dx dy Jawab : Dari soal diketahui

52 48 m = f x = y 2 y 1 x 2 x 1 Sehingga panjang kurva tersebut adalah 2. Luas Permukaan Benda Putar a. Pemutaran mengelilingi sumbu x Andaikan x = f t, y = g t, a t b adalah persamaan kurva licin pada kuadran pertama (dan kedua) bidang xy. Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka akan membentuk suatu permukaan. Luas dari bagian ini dapat dihampiri oleh sebuah luas sebuah kerucut terpancung, yaitu n A = lim 2πy i s i = 2πyds P 0 i=1 (sumber : (Purcell & Varberg, 1994)) b. Pemutaran mengelilingi sumbu y Sama halnya dengan pemutaran terhadap sumbu x, luas daerah untuk pemutaran terhadap sumbu y adalah sebagai berikut : n A = lim 2πx i s i = 2πxds P 0 i=1 (sumber : (Purcell & Varberg, 1994))

53 49 Catatan : ds = 1 + dy dx 2 dx = 1 + dx dy 2 dy = dx dt 2 + dy dt 2 dt Pertanyaan Pre Praktikum 1. Bagaimanakah cara menentukan panjang dari sebuah kurva? 2. Bagaimanakah cara menghitung luas permukaan dari benda pejal yang terbentuk dari perputaran kurva mengelilingi sumbu yang diberikan? Metode Praktikum / Prosedur kerja Misalkan diketahui suatu fungsi f x = x untuk 0 x 4. Tentukan : a. Panjang kurva b. Luas permukaan benda putar jika kurva diputar mengelilingi sumbu x! Jawab : a. Panjang kurva Untuk menentukan panjang kurva tersebut, terlebih dahulu dibuat kurva yang sesuai dengan fungsi yang diketahui, yaitu f x = x untuk 0 x 4, kemudian putar kurva tersebut mengelilingi sumbu x, sehingga diperoleh sebagai berikut :

54 50 Dengan panjang kurva adalah satuan panjang. Atau jika menggunakan matlab menggunakan scrip sebagai berikut : b. Luas permukaan benda putar Dari gambar di atas diketahui bahwa benda pejal yang dihesilkan berbentuk sebuah kerucut, maka luas permukaan dari kerucut tersebut adalah sebagai berikut : Pertanyaan Pasca Praktikum Tentukan panjang kurva berikut ini! Tetukan pula luas permukaan dari benda yang dihasilkan jika kurva tersebut di putar mengelilingi sumbu x dan sumbu y! a. f x = x + 1 dengan 1 x 5 b. Lingkaran x 2 + y 2 = 9 c. y = x 2, untuk 0 x 2, dibatasi oleh sumbu x d. f x = x dengan 1 x 5 e. f x = x dengan 1 x 4

55 51 M a t l a b

56

57 53 DAFTAR PUSTAKA Darmayasa, P. (2016). Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral. Retrieved February 14, 2017, from Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga. Purcell, E. J., & Varberg, D. (1994). Kalkulus dan Geometri Analitis (5th ed.). Jakarta: Erlangga. Team. (2016). Interactive evaluation of Riemann sums - MATLAB. Retrieved January 4, 2017, from w.mathworks.com Widiarsono, T. (2005). TUTORIAL PRAKTIS. Jakarta. Zaelani, A., Cunayah, C., & Irawan, E. I. (2008) Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung: Yrama Widya.