BARISAN DAN DERET. Romli Shodikin, M.Pd. Prepared By : LANJUT

Transkripsi

1 BARISAN DAN DERET Prepared By : Romli Shodikin, M.Pd fskromli@yahoo.com LANJUT

2 Standar Kompetensi : Menggunakan konsep notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri LANJUT

3 DAFTAR ISI NOTASI SIGMA POLA BILANGAN BARISAN ARITMETIKA DERET ARITMETIKA BARISAN GEOMETRI DERET GEOMETRI

4 NOTASI SIGMA Konsep Notasi Sigma Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut: (1) Pada bentuk (1) Suku ke-1 = 1 = Suku ke-2 = 3 = Suku ke-3 = 5 = Suku ke-4 = 7 = Suku ke-5 = 9 = Suku ke-6 = 11 = Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k 1, k { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis : k1 (2k-1)

5 Bentuk 6 k1 (2k 1) dibaca sigma 2k 1 dari k =1 sampai dengan 6 atau jumlah 2k 1 untuk k = 1 sd k = 6 1 disebut batas bawah dan 6 disebut batas atas, lambang k dinamakan indeks (ada yang menyebut variabel) Secara umum: 9 k4 (2( k 3) 1) 9 k4 (2k 7) n k1 a k a 1 a 2 a 3... a n1 a n

6 Contoh: Hitung nilai dari: 4 k1 (2k Nyatakan dalam bentuk sigma 1. a + a 2 b + a 3 b 2 + a 4 b a 10 b 9 2. (a + b) n = 1) (211) (22 1) (231) (24 1) (a k b k 1 ) k1 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b n 2 C n 3 a n C a r0 r n 3 b n r 3 b... C r n n 1 ab n 1 C n n b n

7 Sifat-sifat Notasi Sigma : Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku: n 1 n k 1 c b f(k) a k b cf(k) a k b [f(k) g(k)] ka k b a m1 n n f(k) f(k) f(k) k1 km k1 n n p f(k) f(k p) km k mp f(k) b g(k) ka

8 Buktikan: Bukti: 10 (2k k 5 MENU UTAMA 7) (2k 7) 2 4 k 2 4 k 6 k 5 k 1 k [2(k 4) k 54 6 (2k 87) 2 k 1 6 (2k 1) 2 k 1 7] 2 6 (4k 2 4k 1) k k 2 4k 1 k 1 k 1 k k 2 4 k6 k 1 k 1 Sifat no. 5 Sifat no. 3 Sifat no. 1 dan 2

9 POLA BILANGAN Pola Bilangan Asli Pola Bilangan Segitiga 1, 2, 3, 1, 3, 6, Pola Bilangan genap Pola Bilangan Persegi 2, 4, 6, 1, 4, 9, Dan Pola bilangan yang Lainnya, adapun bentuk visualisasinya dilambangkan dengan NOKTAH guna memperjelas keteraturan atau polanya MENU UTAMA

10 BARISAN ARITMETIKA Perhatikan ilustrasi berikut KELOMPOK I KELOMPOK II KELOMPOK III COBA KALIAN TENTUKAN JUMLAH BURUNG PADA KELOMPOK KE-100? LANJUT

11 Permasalahan diatas merupakan bentuk dari barisan Aritmetika Kelompok I ( U 1 = a ) U 1 = a = 2 Kelompok II ( U 2 = a + b ) U 2 = a + b = 4 b = 2 Kelompok III ( U 3 = a + b + b ) U 3 = a + 2b Kelompok Ke-100 U 100 = a + 99 b U 100 = 200 JADI UNTUK MENENTUKAN NILAI DARI SUKU KE-N ADALAH Un = a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = selisih dua suku berurutan MENU UTAMA

12 DERET ARITMETIKA Berapa jumlah dari bilangan bulat antara 1 sampai 100? Berapa ya? Au k Ah Gelap! Siswa yang aktif dan kreatif tentu akan mencari solusi dari permasalahan disamping ini. LANJUT

13 Bagaimana cara menjawab pertanyaan diatas..? Cara biasa Tekan Cara khusus Tekan

14 Cara berpikir biasa Jumlah = = PUYENG =

15 Cara berpikir kreatif Jumlah = 50 x 101 = 5050 Mengapa bisa demikian? LANJUT

16 UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN TERSEBUT DAPAT MENGGUNAKAN TEKNIK SEBAGAI BERIKUT : S n = U 1 + U 2 + U U n n = ( 2a + ( n 1 ) b ) 2 n = ( a + U n ) LANJUT 2

17 CONTOH SOAL : 1. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan 24 dan hasil kalinya 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut! JAWABAN 2. Suku ke-2 deret aritmetika 5, jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28, tentukan suku dan deret ke-9! JAWABAN

18 MAU LANJUT ATAU LATIHAN DULU... SOAL MENU UTAMA

19 BARISAN GEOMETRI PERHATIKAN ILUSTRASI BERIKUT INI Gambar diatas merupakan potongan kertas yang dilipat menjadi dua bagian secara terus menerus. Setelah 25 kali lipatan menjadi berapa bagiankah potongan kertas tersebut? LANJUT

20 Untuk mencari solusi dari ilustrasi diatas mari kita lihat penjelasan berikut ini! Apabila suku pertama ( U1 ) dan perbandingan suku ke-2 dan ke-1 disebut rasio ( r ), maka : U 1 = a = ar 0 U 2 = ar = ar 1 U 3 = arr = ar 2 U n = ar n-1 Sehingga banyak lipatan setelah ke-25 adalah a = 1 dan r = 2, maka : U 25 = 1 x 2 24 = bagian Jadi banyak lipatan kertas MENU UTAMA

21 DERET GEOMETRI PIKIRKAN KEJADIAN BERIKUT INI ANTO BERMAIN SUATU PERMAINAN GAME DI KOMPUTER, SETIAP KENAIKAN LEVEL MENDAPAT BONUS NILAI DENGAN KELIPATAN 40 POIN DARI LEVEL SEBELUMNYA. JIKA ANTO BERMAIN DENGAN NILAI AWAL 10 POIN, BERAPA POIN YANG DIDAPAT ANTO PADA LEVEL ENAM? LANJUT

22 UNTUK MENJAWAB PERTANYAAN DIATAS PERHATIKAN URAIAN BERIKUT!!! APABILA NILAI AWAL ( a ), KENAIKAN BONUS( r ), LEVEL ENAM ( n ), MAKA : S n = a + ar + ar ar n-1 rs n = ar + ar ar n-1 + ar n S n rs n = a ar n ( 1 r ) S n = a ( 1 r n ), SEHINGGA DIPEROLEH : LANJUT Sn Sn a(1 r n ) 1 r n a( r 1) r 1 Untuk r < 1 Untuk r > 1

23 JADI PENYELESAIAN DARI PERMASALAHAN ANTO ADALAH : Diketahui : a = 10, r = 40, Dan n = 6 Jawab : S 6 10( ( ) 1) Jadi poin Anto pada permainan level ke-6 Adalah LANJUT

24 LANJUT ISTIRAHAT LAGI YA

25 CONTOH SOAL : 1. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan 26 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan tersebut! JAWABAN 2. Diketahui deret geometri Hitunglah jumlah deret dari 10 suku pertamanya! JAWABAN

26 JAWAB : Jumlah 3 bilangan 24, maka : ( a b ) + a + a + b = 24 3a = 24 a = 8 Hasil kali 384, maka : ( a b ) x a x ( a + b ) = 384 a ( a 2 b 2 ) = 384, jika a = 8 maka : 8 ( 64 b 2 ) = 384kembali 64 b 2 = 48 b 2 = 16, maka b = ± 4 Jadi barisan tersebut : 4, 8, 12 atau 12, 8, 4

27 JAWAB : U 2 = a + b = 5 a = 5 b.. ( i ) U 4 + U 6 = 2a + 8b = 28 a + 4b = 14.. ( ii ) Subtitusi persamaan ( i ) ke ( ii ) a + 4b = 14 ( 5 b ) + 4b = 14 3b = 14 5 b = 3 LANJUT Jadi suku ke-9 U 9 = a + 8b a = 5 b = 5 3 = 2 = 2 + ( 8 x 3 ) = 26

28 JAWAB : Jumlah tiga bilangan 26, maka : a r 6 6r 26 Hasil kali 216, maka : a xa x ar 216 r a3 = 216, a = 6 Subtitusi persamaan ( ii ) ke ( i ), maka : 6 6 6r 6r r 2 20r + 6 = 0 ( 3r 1 ) ( 2r + 6 ) = r atau r = Jadi Untuk r, barisan 18, 6, 2 3 Untuk r = 3, barisan 2, 6, 18

29 LANJUT JAWAB : a = 2, r = 8, dan n = 10 S n a( r r 2(8 10 n 1) 1 1) 8 1 2( ) Jadi jumlah deret 10 suku pertama adalah

30 1. Diketahui suatu barisan aritmetika mempunyai beda. Jika U 10 = 31, maka nilai dari U 21 adalah. a. 34 b. 44 c. 54 d. 64 e. 74

31 2. Suatu deret aritmetika, diketahui U 5 = 6 dan U 2 + U 9 = 15 Jumlah 20 suku pertamanya adalah. a. 250 b. 350 c. 450 d. 550 e. 650

32 3. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan 62 dan hasil kali ketiga bilangan Maka ketiga bilangan tersebut adalah. a. 1, 9, 52 b. 2, 10, 50 c. 4, 16, 42 d. 1, 20, 50 e. 5, 10, 20

33 4. Deret geometri diketahui suku ke-4 dan suku ke-9 berturut-turut 4 dan 128.Maka jumlah deret dari 10 suku pertamanya adalah. a. 20,83 b. 56,83 c. 76,83 d. 87,83 e. 98,83

34 JAWABAN ANDA BENAR COBA SOAL BERIKUTNYA

35 JAWABAN ANDA BENAR COBA SOAL BERIKUTNYA

36 JAWABAN ANDA BENAR COBA SOAL BERIKUTNYA

37 JAWABAN ANDA SALAH COBA LAGI

38 JAWABAN ANDA SALAH COBA LAGI

39 JAWABAN ANDA SALAH COBA LAGI

40 JAWABAN ANDA SALAH COBA LAGI

41 SELESAI JAWABAN ANDA BENAR

42 1 JAWAB 2 JAWAB

43 SOAL: Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah... MAU LAGI...????

44 MENU UTAMA

45