BAB III BANJAR DAN DERET

Transkripsi

1 BAB III BANJAR DAN DERET ILUSTRASI 3.1 Berbicara masalah kependudukan sudah sangat jamak kita mendengar ramalan yang dilakukan oleh Malthus, bahwa pertumbuhan pangan mengikuti deret hitung sementara pertumbuhan manusia mengikuti deret ukur. Apabila kita tidak memahami teori teori yang ada dalam matematika tentu kita kebingungan, membedakan antara deret ukur dan deret hitung dan mengapa Malthus menggunakan dua teori tersebut untuk menggambarkan pesimisme dia terhadap kondisi pertumbuhan penduduk yang mungkin di kemudian hari akan menyebabkan berkurangnya kesejahteraan masyarakat. Ilustrasi di atas merupakan salah satu kasus yang menunjukkan pentingnya metode deret ukur dan deret hitung dan bagaimana penggunaannya bagi beberapa kasus ekonomi. Deret ukur ataupun deret hitung sering digunakan dalam penghitungan prediksi suatu usaha ketika diketahui jumlah yang diproduksi atau yang dijual pada dua periode tertentu. Semisal pada ilustrasi di bawah ini : ILUSTRASI 3.2 Sebuah perusahaan garment pada akhir tahun kedua mampu mengekspor barang senilai Rp 65 milyar. Sementara untuk pasar lokal, perusahaan tersebut mampu mempunyai pangsa pasar sebesar Rp 127 milyar. Karena kondisi perekonomian dunia yang sedang membaik, maka pada akhir tahun kelima pasar ekspor meningkat menjadi Rp 82 milyar rupiah. Sementara pasar dalam negeri naik menjadi Rp 142 milyar rupiah. Dengan asumsi ceteris paribus, perusahaan berusaha memprediksikan produksi yang mampu dipasarkan pada akhir tahun kesembilan. Kasus tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan deret hitung atau deret ukur. Secara statistik kasus seperti di atas dapat diselesaikan 18

2 dengan menggunakan trend atau analisis rangkai waktu. Namun untuk menggunakan trend dibutuhkan data minimal 5 periode. A. BANJAR Banjar adalah suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar disebut suku. Bentuk banjar adalah a 1, a 2, a 3, a n, di mana suku ke 1 = S 1 = a 1 suku ke 2 = S 2 = a 2 suku ke n = S n = a n Banjar di atas dapat disimbolkan dengan a n, sehingga kalau ditulis lagi menjadi a n = a 1, a 2, a n. Banjar yang tidak mempunyai akhir / banyaknya suku tidak terbatas disebut banjar tak berhingga Banjar yang banyaknya suku tertentu disebut banjar berhingga Macam banjar = Banjar hitung, Banjar ukur dan Banjar harmoni. A.1. Banjar hitung Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan punya selisih yang besarnya sama, banjar disebut banjar hitung apabila : a 2 a 1 = b a 3 a 2 = b a 4 a 3 = b a n a n-1 = b di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau negatif Contoh 3.1) n = 1,2,3,4, n, b = S n S n-1 = 1 5n = 5,10,15,20, 5n b = S n S n-1 = 5 19

3 12-2n = 10,8,6,4, (12-2n) b = S n S n-1 = -2 A.2. Banjar Ukur Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku berurutan punya hasil bagi yang sama besarnya. Jadi suatu banjar disebut banjar ukur kalau : S 2 / S 1 = p S 3 / S 2 = p S n / S n-1 = p, di mana p merupakan nilai banding (= ratio) yang besarnya tetap dan dapat bertanda positif atau negatif Contoh 3.2) ap n-1 = a, ap, ap 2,,ap n n-1 = 5,10,20,40,,5(2 n-1 ) A.3. Banjar Harmoni adalah banjar yg sukunya merupakan kebalikan dari suku banjar hitung Contoh 3.3) 1/n = 1, ½, 1/3, ¼,,1/n 1/5n = 1/5,1/10,1/15/1/20,,1/5n B. DERET Deret adalah susunan bilangan yang dibentuk berdasarkan syarat syarat tertentu. Deret sering juga disebut dengan barisan. Bilangan bilangan yang merupakan unsur pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Apabila suku-suku pada suatu banjar dijumlah, maka jumlah tersebut dinamakan deret, atau merupakan penjumlahan semua suku suatu banjar. Macam deret meliputi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni B.1. Deret hitung Deret hitung adalah suatu deret di mana berlaku bahwa selisih dua buah suku yang berurutan berharga konstan. Selisih bilangan yang 20

4 membedakan suku suku deret hitung disebut pembeda ( b ), yang diperoleh dari selisih antara nilai nilai dua suku yang berurutan. Sementara suku pertamanya disebut (a). 1, 2, 3, n Apabila a adalah suku pertama suatu banjar dan b adalah beda antara dua suku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung: suku pertama = a suku kedua = a + b suku ketiga = a + 2b suku keempat = a + 3b suku ke-n = a + (n-1)b = S n, Jadi suku ke-n suatu deret hitung ditentukan oleh : S n = a + (n-1)b Jumlah suatu deret hitung dapat dihitung dengan rumus : J = ½ n (a + S n ) Di mana a = suku pertama S n = suku ke-n Contoh 3.4 Diketahui deret hitung : 5, 12, 19,..Sn Berapakah suku ke 6? dan jumlah keseluruhan nilai pada suku ke 6 Jawab : Diketahui a = 5 b = 12 5 = 7 S 6 = 5 + ( 6 1 ) 7 = 40 J 6 = ½ ( 6 ) ( ) =

5 B.2. Deret ukur Deret ukur adalah suatu deret dimana berlaku perbandingan ( rasio ) dari dua buah suku yang berurutan atau merupakan perkalian suku-suku banjar ukur. Sehingga perubahan deret ukur berdasarkan perkalian terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan deret ukur disebut pengganda. 5, 10, 20,, (5(2n-1) Apabila pada deret ukur, suku pertama suku kedua = a = ap suku ketiga = ap 2 suku ke-n = ap n-1 = S n, suku ke-n suatu deret ukur ditentukan oleh S n =ap n-1 jumlah n suku suatu deret ukur : 1- p n a - ps n r n - 1 J = a = = a p 1 p r - 1 Rumus ini tidak berlaku bagi p = 1 Bila P < 1 dan jumlah sukunya tak terhingga, maka jumlahnya dihitung dengan menggunakan rumus : a J = p Contoh 3.5 Diketahui deret ukur 4, 8, 16, 32..S n Hitunglah suku ke 6 dan berapakah jumlah keseluruhan nilai pada suku ke 6 Jawab : S n = a.p n-1 a = 4 p = 2 Sn = 4 ( 2)

6 Sn = 4 ( 2) 5 = 128 Jn = a = ( a psn ) 1 - p = 4 - ( ) 1 2 = 252 C. Penerapan Ekonomi Seperti dalam ilustrasi di atas, penerapan deret sering digunakan untuk menyelesaikan kasus dalam pertumbuhan dan perkembangan yang mempunyai pola seperti perubahan nilai nilai suku dalam deret, baik deret ukur maupun deret hitung. Contoh 3.6 Perusahaan Abadi Jaya pada tahun 1998 berhasil membukukan penjualan sebesar Rp 120 juta, pada tahun 2002, penjualannya mengalami peningkatan menjadi Rp 165 juta. Apabila perkembangan penjualan mengikuti pola deret hitung, berapa besar perkembangan Perusahaan Abadi Jaya tersebut pada setiap tahunnya? Dan berapa prediksi jumlah penjualan pada tahun 2005 S 02 = 165 a + 4 b = 165 S 98 = 120 a = 120 4b = 45 b = 11,25 juta Prediksi tahun 2005 adalah S 05 = b = 198,75 juta Jadi prediksi jumlah penjualan pada tahun 2005 dengan kondisi yang sama adalah sebanyak 198,75 juta. 23

7 Deret juga dapat digunakan dalam penghitungan bunga majemuk. Proses berpikirnya adalah bahwa bunga dapat diasumsikan sebagai penjumlahan sebesar nilai tertentu dari suatu modal. Dalam penghitungan bunga majemuk kita mempunyai rumusan Fn = F 1 ( 1 + I ) n. Bandingkan dengan rumusan deret ukur S n = ap n-1. Ternyata keduanya mempunyai hasil yang identik. Contoh 3.7 Perusahaan tas, mampu memproduksi 200 tas setiap bulan dan merencanakan akan menaikkan produksinya setiap bulan sebesar 20 %. Berapakah besar produksi pada bulan ke 3 dan berapakah jumlah keseluruhan yang sudah diproduksi sampai bulan ketiga? a = 200 Tiap bulan naik 20 % x 200 = 40 unit p = 240 / 200 = 1,2 Sn = a. p n-1 S3 = 200 x ( 1,2 2 ) = 200 ( 1,44 ) = 288 buah tas Jumlah keseluruhan produksi sampai dengan bulan ketiga adalah Jn = a ( p n 1 ) p 1 = 200 ( 1, ) 0,2 = 200 ( 0,44 ) 0,2 = 440 unit tas Salah satu penerapan deret ukur dan deret hitung dalam ekonomi yang paling konvensional adalah pertumbuhan penduduk seperti yang dikhawatirkan oleh Robert Malthus. Secara matematis, pertumbuhan penduduk bisa dirumuskan sebagai berikut : 24

8 P t = P 1 R t-1 Di mana R = ( 1 + r ) P t R = Pertumbuhan pada tahun ke-t = Persentase pertumbuhan per tahun.t = Jangka waktu. Contoh 3.8 Penduduk di daerah Muara, berjumlah jiwa. Karena keberhasilan program Keluarga Berencana, maka pertumbuhan penduduk per tahun adalah sebesar 0,72 %. Berapakah estimasi penduduk di daerah tersebut 5 tahun mendatang? Jawab : Pt = ( 1 + 0,0072 ) 4 = jiwa. Jadi dengan pertumbuhan penduduk 0,72 % per tahun, 5 tahun mendatang jumlah penduduk Muara adalah jiwa Hal yang sangat dikhawatirkan oleh Robert Malthus dalam kaitannya dengan pertumbuhan penduduk adalah bahwa pertumbuhan penduduk sejalan dengan deret ukur yang merupakan pengganda atau perkalian sementara pertumbuhan makanan mengikuti deret hitung yang merupakan pembeda atau penjumlahan, sehingga dikhawatirkan jumlah makanan pada suatu periode tertentu tidak akan mampu lagi memenuhi jumlah penduduk yang ada. Pernyataan Malthus tentang deret ukur dan deret hitung apabila digambarkan secara matematis, misalnya penduduk tahun pertama adalah 10, dengan pertumbuhan 2 kali. Sementara peroduksi pangan di tahun pertama adalah 200 dengan pertambahan 50 untuk setiap tahun. Ketentuan ini bisa digambarkan sebagai berikut : 25

9 Tabel 3.1. Perbandingan pertambahan penduduk dan produksi pangan Waktu / Tahun Jumlah Penduduk Produksi Pangan Dari data dan hasil penghitungan deret ukur dan deret hitung di atas, bisa dilihat bahwa mulai tahun ketujuh, ternyata pertumbuhan penduduk sudah melampaui pertambahan makanan. 26