BARISAN DAN DERET. Peta konsep berikut untuk lebih mudah mempelajari materi Barisan dan Deret :

Transkripsi

1 BARISAN DAN DERET Peta konsep berikut untuk lebih mudah mempelajari materi Barisan dan Deret : Pengertian Aritmetika dan Geometri Suku ke-n Barisan Jumlah n Suku pada Deret Barisan dan Deret Menuliskan Deret dengan Notasi Sigma Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Deret Merancang Menyelesaikan Menafsirkan

2 TUJUAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : XII/IPA Semester : II ( Genap ) Standar kompetensi : Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasar : Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri. Indikator : 1. Menjelaskan arti barisan dan deret 2. Menemukan rumus barisan dan deret aritmetika. 3. Menemukan rumus barisan dan deret geometri. 4. Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri.

3 A. Ciri Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri 1. Pengertian Barisan Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.bentuk umum barisan bilangan a1, a2, a3,...,an. Setiap unsur pada barisan bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un ( n merupakan bilangan asli ). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau U1. Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu : Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya. Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya. 2. Barisan Aritmatika Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, dan 2, 4, 6, 8,.; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu: 3-1 = 5-3 = 7-5 = = = 6-4 = 8-6 = = 2 Secara umum u 1, u 2, u 3, u 4,,u n adalah barisan aritmatika apabila u 2 - u 1 = u 3 u 2 = u 4 u 3 =... = u n u n-1 = konstanta.konstanta ini disebut beda dan ditanyakan dengan b. pada setiap barisan aritmatika berlaku sebagai berikut. U n u n-1 = b Keterangan: u n adalah suku ke-n

4 Jadi, cirri barisan aritmatika adalah mempunyai beda yang tetap. a. Rumus untuk suku ke- n Jika suatu pertama barisan atritmatika u 1 dinamakan a dan bedanya b maka diperoleh: U 1 = a = a + ( 1 1) b U 2 u 1 = b u 2 = u 1 + b = a + b = a + (2-1) b U 3 u 2 = b u 3 = u 2 + b = a + b + b = a + 2b = a +(3-1) b U 4 u 3 = b u 4 = u 3 + b = a +2 b + b = a + 3b = a +(4-1) b dan seterusnya. Berdasarkan suku ke-n barisan aritmatika dengan melihat pola di atas adalah: U n = a + ( n 1) b Dengan u n adalah besar suku ke-n a adalah suku pertama b adalah beda Contoh 1. Carilah tiga suku berikutnya dari barisan aritmatika 1, 4, 7, 10,. Jawab : U 1 = 1, U 2 = 4 b =u 2 u 1 = 4 1 = 3 tiga suku berikutnya adalah 10+3= 13, = 16, = 19

5 2. Suatu barisan aritmatika diketahui suku kelima adalah 21 dan suku kesepuluh adalah 41, tentukan besarnya suku ke-50 Jawab : U n = a + ( n-1) b u 10 = a + 9b = 41 u 5 = a + 4b = 21 5b = 20 5b =4 U 50 = a + ( 50-1). 4 = = U 50 = 201 Jadi, besarnya suku ke-50 adalah 201 b. Rumus Jumlah n suku Deret Aritmatika Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika: S n = (a+u n ) atau S n = (2a+(n-1)b) 3. Barisan Geometri Bila kita perhatikan pada barisan 1, 2, 4, 8,, setiap perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap harganya, yaitu: Secara umum u 1, u 2, u 3,., u n adalah barisan geometri bila konstanta.

6 Konstanta ini disebut rasio (perbandingan) dan dinyatakan dengan r. pada setiap barisan geometri berlaku: = r Jadi,cirri barisan geometri adalah mempunyai rasio yang tetap a. n Jika suku pertama barisan geometri dinamakan a dan rasionya atau perbandingannya r maka diperoleh: u 1 = a = r r r dan seterusnya. Besarnya suku ke-nbarisan geometri dengan melihat pola di atas adalah sebagai berikut. = ar n-1 Dengan adalah besar suku ke-n a adalah suku pertama r adalah rasio (perbandingan) Contoh 1. Tentukan rumus umum suku ke-n barisan 16, 8, 4, 2,,dan tentukan suku ke-20. Jawab: a = 16, r = =

7 = 16( ) = ( ) = ( ) Rumus suku ke-n dari barisan 16, 8, 4, 2,.. adalah = Jadi, = = b. Rumus untuk Jumah n Deret Geometri Bentuk umum barisan adalah a, ar, ar 2,.,ar n-1. ku suku-suku dar suatu barisan geometri dijumlahkan, maka terjadilah deret geometri. Adapun rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakan sebagai S n yang dapat dicari ( ) ( ) ( ) ( ) atau adalah jumlah n suku pertama deret geometri adalah suku pertama

8 r adalah rasio Contoh: 1. Hitunglah nilai n agar jumlah deret Jawab: ( ) ( ) Jadi, n = 8 B. Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga disebut deret geometri tak higga yang dituliskan: Dengan a = adalah suku pertama r adalah rasio Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : S n = a + ar + ar 2 + ar ar n-1 r S n = ar + ar 2 + ar 3 + ar ar n S n r S n = a - ar n

9 ( 1 r ) S n = a - ar n S n = n a(1 r ) 1 r = ( ) Jika n maka ( ) 1. jika maka: = ( ) = ( disebut deret vergen), berarti tidak mempunyai limit jumlah. 2. Jika maka: = Jadi, merupakan deret konvergen. Sehingga ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah jika -1< r < 1.

10 Contoh: 1. Hitung limit jumlah dari deret geometri tak hingga: Jawab: C. Menuliskan Suatu Deret Aritmatika dan Geometri dengan Notasi sigma Suatu cara singkat untuk menyatakan bentuk penjumlahan adalah dengan menggunakan notasi ( dibaca: sigma), yaitu merupakan huruf besar Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari SUM yang berarti jumlah. Bila merupakan jumlah bilangan-bilangan maka jumlah tersebut dapat dinyatakan sebagai:

11 Indeks penjumlahan yang digunakan pada notasi sigma adalah sembarang huruf kecil dan daerah penjumlahan dapat terhingga(terbatas) dan dapat pula tak terhingga. Bila batas bawahnya a, batas atasnya b maka a dan b harus bilangan bulat dengan batas bawah penjumlahan tidak harus dimulai dengan 1( angka satu) Bila batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan itu terdiri atas n suku, sedangkan bila batas bawah penjumlahan r dan batas atasnya nmaka penjumlahan terdiri atas n-r+1 suku. Suatu deret tertentu dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma dengan cara mencari rumus suku ke-n dari deret tersebut. Contoh: 1. Tuliskan dalam bentuk notasi sigma. a Jawab: merupakan deret aritmatika dengan maka b = 2 ( ) maka = 2n-1 ( )

12 D. Merancang dan Menyelesaikan Serta Menafsirkan Solusi Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Deret Masalah dalam kehidupan sehari yang sehari-hari banyak dijumpai yang penyelesainya menggunakan rumus deret aritmatika atau geometri. Contoh: 1. Cecep meyimpan uang di koperasi sebesar Rp ,00. Koperasi memeberi bunga tetap sebesar 1% setiap bulannya. Berapakah jumlah uang cecep setelah 10 bulan Jawab: Langkah-langkah penyelesainya adalah sebagai berikut: a. Menjelaskan karakteristik masalah. Oleh karena masalah diatas bunganya tetap, maka model matematikanya berbentuk deret aritmatika. b.merumuskan model matematika. Uang cecep mula-mula M 1 = Rp ,00. Bunga = ( ) Setelah satu bulan = M 1 = M 1 + b Setelah 10 bulan = M 11 =M b. Apabila uang semula ditulis sebagai u 1 = a dan uang setelah 10 bulan di tulis sebagai u 11 maka: atau ( ) Jadi rumus yang digunakan adalah ( )

13 c. Menentukan penyelesaian dari model matematikanya. Dari contoh diatas diperole ( ) ( ) d. Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.jadi, uang cecep setelah disimpan dikoperasi selama 10 bulan dengan bunga tetap menjadi Rp ,00. E. Menjelaskan Rumus-rumus dalam Hitung Keuangan dengan Deret Aritmetika atau Deret Geometri (Pengayaan) Contoh: 1. Budi menyimpan uang di bank sebesar Rp Jika bank memberi bunga 6% setahun, tentukan besarnya uang Budi pada akhir tahun ke-3! Jawab : Andaikan pada contoh di atas Budi menabung dan bunganya ditambahkan pada modalnya, kemudian pada tahun berikutnya dihitung menurut modal yang baru, maka bunga yang demikian dinamakan bunga majemuk. Rumus bunga majemuk dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: Misal modal semula = M dan bunganya setiap tahun adalah i, dengan i = p% maka diperoleh hubungan sebagai berikut: Bunga setelah 1 tahun = Mi

14 Modal setelah 1 tahun = M + Mi = (1 + i) Bunga setelah 2 tahun = M (1 + i) i Modal setelah 2 tahun = M (1 + i) + M (1 + i)i = M (1 + i)(1 + i) = M (1 + i) 2 Bunga setelah 3 tahun = M (1 + i) 2 i Modal setelah 3 tahun = M (1 + i) 2 + M (1 + i) 2 i = M (1 + i) 2 (1 + i) = M (1 + i) 3 Dengan memperhatikan besar modal setelah 1 tahun, 2 tahun dan 3 tahun di atas, yaitu barisan bilangan M (1+i), M (1 + i) 2, M (1 + i) 3 maka besar modal setelah n tahun adalah M n = M (1 + i) n. Bentuk ini merupakan barisan geometri dengan U n = M n, a=m dan r=(1 + i) Dari soal di atas kita dapat menghitung sebagai berikut: M n = M (1 + i) n = (1 + 0,06) 3 = (1,06) 3 = , = Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp Jika setiap tahun harganya menyusutb 10% dari harga pada tahun sebelumnya, tentukan harga sepeda motor itu setelah 4 tahun! Jawab: Andaikan harga semula = M, setiap tahun menyusut sebesar i= p% maka diperoleh: Penyusutan setelah 1 tahun = Mi Harga setelah satu tahun = M Mi = M (1 - i) Harga setelah 2 tahun = M (1 i) 2

15 Setelah n tahun harganya menjadi : M n = M (1 i) n Sehingga: M 4 = M (1 i) 4 = (1 10%) 4 = (0,4) 4 = (0,6561) = Jadi harga sepeda motor setelah 4 tahun adalah Rp Dari kedua contoh di atas dapat di tarik kesimpulan bahwa hitung keuangan untuk pertumbuhan di rumuskan: M n = M (1 + i) n Dan untuk penyusutan dirumuskan: M n = M (1 - i) n

16 F. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk (Pengayaan) 1. Bunga Tunggal Misalnya kalian meminjam uang di bank sebanyak Rp selama 5 tahun. Apakah kamu hanya mengembalikan Rp saja? Tentu saja tidak Karen ada bunga yang harus di bayar. Suku bunga adalah rasio antara bunga dengan modal untuk satuan waktu tertentu. Suku bunga dinyatakan dengan %. Contoh: 1. Seorang tukang kayu meminjam uang kepada seorang pengusaha mebel sebesar Rp selama satu tahun suku bunganya sebesar 18%. Tentukan : a. Besar modal b. Besar bunga c. Jumlah yang harus dikembalikan d. Jenis bunganya Jawab: a. Modal = Rp b. Bunga = Rp = Rp

17 c. Jumlah uang yang harus dikembalikan = Rp Rp = Rp d. Bunga tersebut termasuk bunga tunggal sebab ia mengembalikan sesuai perjanjian dengan jangka waktu tertentu dan bunga dibayar pada saat mengembalikan. 2. Bu Rina meminjam uang di Koperasi simpan pinjam sebesar Rp dalam jangka waktu 1 tahun ia harus mengembalikan pinjaman itu sebesar Rp berapa % suku bunganya? Jawab: Bunga = = Suku bunga = 100% = 20% Jadi, besar suku bunganya adalah 20% 3. Badrun meminjam uang Rp pada Yusuf. Selama jangka waktu 1 bulan badrun di minta untuk mengembalikannya menjadi satu seperempat kali lebih besar. Berapa % suku bunga pinjaman tersebut? Jawab: Misal suku bunga = p% Bunga = Rp =20.000p Setelah satu tahun Badrun harus mengembalikan = 1 Rp p = p = p = p = 25

18 Jadi, bunga yang ditetapkan Yusuf adalah 25%. 4. Bajuri meminjam uang Rp dengan dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Berapa ia harus mengembalikan setelah meminjam 25 bulan? (yaitu bunga yang dibebankan pada pokok/pinjaman. Jawab: Modal = M = Rp Bunga = 2% (i = 0,02) Jangka waktu = 25 Modal setelah 1 bulan = M 1 = M + b Modal setelah 2 bulan = M 2 = M 1 + b = M + 2b Modal setelah 3 bulan = M 3 = M 2 + b = M + 3b Modal setelah 25 bulan = M 25 = M + 24b M 25 = ( ) M 25 = Jadi, Bajuri harus mengembalikan uang sebesar Rp Dari contoh di atas dapat di simpulkan: M n = M 0 + (n-1) b Dengan M n : Modal setelah n tahun M 0 : Modal mula-mula n : Jangka waktu b : bunga Perhitungan bunga tunggal ada dua macam yaitu bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa.

19 Bunga tunggal eksak berdasar perhitungan setahun ada 365 hari (tahun kabisat 366 hari), sedang bunga tunggal biasa berdasar pada perhitungan setahun ada 360 hari. Apakah keuntungan 1 tahun dihitung 360 hari? Keuntungannya ialaha pertama mempermudah perhitungan dan kedua menambah lebih besar bunga bagi yang meminjamkan uang. Contoh: Arinda meminjamkan uang Rp selama 75 hari dengan suku bunga 2% pada tahun 2008 dan tahun Hitunglah dengan buka tunggal eksak dan bunga tunggal biasa! Jawab: a. Tahun 2008 (Tahun kabisat) Bunga Tunggal eksak = = Rp4.089,36 Bunga Tunggal biasa = b. Tahun 2009 = Rp4.166,67 Bunga Tunggal eksak = = Rp4.109,59 Bunga Tunggal biasa = = Rp4.166,67 Terkadang dalam meminjam uang, bunga telah dibayar dimka hal tersebut dinamakan diskonto.

20 2. Bunga Majemuk Apabila kita meminjam uang dari bank Rp dengan suku bunga 2% per bulan misalya dan jangka pinjamannya 8 bulan. Maka kalian dapat mengetahui bahwa bunga perbulan itu Rp Bagaimana dengan bunga sebesar Rp itu? Apakah dibayarkannya pada setiap akhir bulan atau pada akhir bulan ke-8 seluruhnya? Tentu saja ini tergantung dari perjanjian. Bila pembayarannya dilakukan tiap akhir bulan, hal ini tentunya tidak asing lagi bagi kita bahwa peminjaman itu menggunakan perjanjian bunga tunggal. Jadi uang yang harus dikembalikan ialah Rp Rp = Rp Sebab bunga sebelum bulan ke-8 yang tidak dikembalikan pada waktunya harus dibungakan juga. Sehingga : J = M(1 + b) n Biasanya ditulis: M n = M o (1 + b) n Dengan M n : modal setelah berjalan n waktu M o : modal mula-mula b: suku bunga p% n: jangka waktu Contoh: 1. Modal sebesar Rp disimpan selama 2 tahun dengan suku bunga 2% perbulan. Tentukan besarnya bunga majemuk!

21 Jawab: M = Rp b = 2% n = 2 tahun = 24 Misalkan modal akhir J, maka J = M(1 + b) n = (1 + ) 24 = (1,02) 24 Untuk menghitung (1,02) 24 dapat dilakukan dengan cara: a. Dengan daftar bunga b = 2%, n = 24 diperoleh (1,02) 24 = 1, (tabel). b. Dengan kalkulator langsung (1,02) 24 = 1, c. Atau dengan logaritma. Cara yang paling mudah dengan menggunakan kalkulator. J = ( ) (1, ) J = Jadi, bunga majemuk = J M = =

22 LATIHAN Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, d, atau e sesuaia pilihan yang paling tepat! 5 n 2 1. Nilai dari 1 n 1 k 1 adalah a. -16 b. -14 c. -12 d. 14 e Notasi sigma dari adlah : 12 2 a. 2k 1 b. k 2 c. k 1 k k 1 12 d. k k k e. k 2k 1 k 1 3. Suku ke 15 dari barisan 3, 5, 7, 9, adalah a. 27 b. 12 c. 35 d. 29 e Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke- 1 sama dengan 4 dan beda 2. Jika jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e Rumus suku ke- n dari barisan bilangan : 2, 4, 8, 16, 32 adalah : a. 2n d. n 2 b. 2n + 2 e. 2n 2 c. 2n 6. Lima suku pertama dari barisan dengan rumus U n = n adalah a. 2, 5, 7, 11 d. 3, 6, 9, 15, 21 b. 2, 5, 10, 17, 26 e. 3, 7, 9, 12, 15 c. 3, 5, 7, 9, Suatu deret aritmatika suku pertama sama dengan 5 dan bedanya 3 maka suku ke seratus adalah a. 300 d. 309 b. 302 e. 312 c Suku ke- 50 dari barisan aritmatika 4, 7, 10, adalah 9. Diketahui barisan aritmatika dengan U 3 = 3 dan U 8 = 13. Suku ke 100 adalah.. a. 199 d. 196 b. 198 e. 195 c k 1

23 10. Suku tengah dari barisan aritmatika yang suku pertamanya = 3, bedanya lima, dan banyaknya suku 99, adalah a. 245 d. 248 b. 246 e. 249 c U5 deret aritmatika adalah 21 dan U 17 deret tersebut adalah 81, maka jumlah 25 suku pertama adalah. a d b e c Jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100 adalah a d b e c Diketahui suatu barisan bilangan 5, 9, 13, 17, suku ke-n barisan bilangan tersebut adalah a. U n = 4 + n d. U n = 1 + 4n b. U n = 3 + 2n e. U n = n c. U n = 2 + 3n 14. Perusahaan ASIA JAYA pada tahun pertama mempruduksi sepatu sebanyak buah. Jika setiap tahun produksinya bertambah sebanyak 25 buah, jumlah produksi sepatu pada tahun ke-21 adalah a buah d buah b buah e buah c buah 15. Pada barisan arit matika suku keempat sama dengan 8 dan suku kedua belas sama dengan 16. Suku kesepuluh adalah a. 34 d. 44 b. 38 e. 48 c Sebuah perusahaan mobil pad tahun ke tiga memproduksi sebanyak 550 unit. Tiap tiap tahun berikunya meningkat 5 % dari tahun pertama. Jumlah produksi selama sepuluh tahu adalh : a. 700 unit d unit b. 725 unit e unit c unit 17. Suku kedua dan kelima pad barisan geometri berturut turut adalah 6 dan 162. Jumlah empat suku pertam adalah : a. 60 d. 90 b 70 e. 106 c. 80

24 18. Jumlah tak hingga deret a a 1 + = 4a, maka nilai a adalah : 19. Fitri mendapat gaji Rp ,00 tiap tahun berikutnya bertambah Rp ,00 tiap tahun. Total gaji Fitri selama 6 tahun adalah : a. Rp ,00 d. Rp ,00 b. Rp ,00 e. Rp ,00 c. Rp , Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah 24 dan suku kelima adalah 81, maka jumlah lima suku yang pertama adalah : a. 112 d. 224 b. 121 e. 242 c. 211 Kerjakalah soal-soal di bawah ini! 1. Carilah Suku yang diminta dalam setiap barisan geometri di bawah ini! a. 2,6,18,,U 5 c.,, 1, 2,, U 10 b. 225, 75, 25,,U 6 d. 100, -110, 121,,U Carilah jumlah deret 1+1,1+1, , Selesaikanlah soal di bawah ini! a. Hitunglah S 10 dari suatu deret geometri dengan U 9 = 128 dan U 4 = -4 b. Suatu deret geometri rumus suku ke-n di tentukan oleh U n = 2 3 n-1. Tentukan jumlah 6 suku pertamanya! 4. Sebuah bola tenis di jatuhkan dari ketinggian 3m. setiap kali memantul mencapai ketinggian dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti memantul? 5. Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 5000 buah baju pada awal produksi. Dan selanjutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi Bila kemajuan konstan tentukan jumlah produksi setahun! 6. Hitunglah jumlah deret geometri takhngga berikut! a c b d

25 7. Jika suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya 3 dan suku pertama sama dengan 4, hitunglah besar rasio deret tersebut! 8. Mobil bergerak lurus dengan kecepatan 60 km/jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepetannya berkurang menjadi dua pertiganya.demikian 2 seterusnya, setap jam kecepatannya menjadi 3 km jarak trjauh yang dapat dicapai oleh mobil trsebut? kecepatan sebelumnya.berapa 9. Sebuah bola dijatuhkan dari ketnggian 18 m, saat mengenai lantai, bola 2 memantul mencapai ketinggian 3 panjang lintasan bola sampai berhenti 10. Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: Suku ke n suatu deret geometri ialah dan jumlah sampai tak terhingga dari aktinggian sebelumnya. Tentukan 1 n 4. Carilah suku pertama, ke dua, rasio 12. Perencanaan sebuah mesin perkakas memerlukan 7 buah roda gigi yang satu sama lainnya merupakan penggerak dan yang digerakkan. Diameternya merupakan barisan geometri D 1, D 2, D 3,. D 7. Jika putaran roda gigi n 1 = 30 put/menit dan n 4 = 101,25 put/menit, tentukan putaran roda gigi ke 5 ( n 3 ). 13. Suatu tiang akan dipancangkan ke dalam tanah. Biaya pemancangan untuk kedalaman 1 meter pertama Rp ,00, satu meter kedua Rp ,00 demikian seterusnya. Jika pertambahannya tetap menurut barisan aritmatika, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan untuk memancangkan tiang sedalam 7 meter. 14. Pada penentuan tegangan sabuk di dapat persamaan T = To.k dengan To dan k konstan serta besar sudut dalam radian. Buktikan bahwa jika meningkat secara barisan aritmetika maka T akan meningkat secara barisan geometri.

26 15. Suatu industri merencanakan membuat 9000 buah roda gigi dan harus selesai dalam waktu 1 tahun. Jika bulan meningkat secara deret aritmetika dan pada bulan pertama dapat memproduksi 200 buah, maka berapa hasil produksi dalam bulan ke 3 dan ke 12.

27 DAFTAR PUSTAKA Retnaningsih, Sri Matematika untuk SMA dan MA kelas XII Bahasa. Departemen Pendidikan Nasional. nn.(2012).barisan dan Deret doc.[online].tersedia pada: atematika/matematika/mtk- 35/MATERI%20AJAR%20barisan%20dan%20deret.doc. (22 Oktober 2013) nn.(2012).barisan dan Deret doc.[online].tersedia pada: 22 Oktober 2013) nn.(2012).barisan dan Deret doc.[online].tersedia pada: (22 Oktober 2013)

28 PETUNUJUK QUIS MAKKER : Password : fokusfokusfokus

29 Riwayat Penulis Nama : Anna Rachmadyana Harry Tempat Tanggal Lahir : Majalengka 18 Januari 1994 Hoby : Traveling Tugas : Editor Nama : Nurkhasanah Alfian Tempat Tanggal Lahir: Indramayu, 22 Mei 1993 Tugas : Design