BAHAN AJAR. Bisnis Manajemen dan Parwisata Mata Pelajaran. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar
|
|
- Harjanti Chandra
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAHAN AJAR Kelompok : Bisnis Manajemen dan Parwisata Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : XI / 3 Standar Kompetensi : 5 Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : 51 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan 5 Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 53 Menerapkan konsep barisan dan deret geometri Waktu : 11 x pertemuan (1 x pertemuan = x 40 menit) 1
2 KOMPETENSI DASAR 51 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan INDIKATOR 511Menentukan pola bilangan jika diketahui barisannya 51Mengubahkan deret bilangan ke dalam notasi sigma TUJUAN PEMBELAJARAN 1 Siswa mampu menjelaskan pengertian barisan bilangan Siswa mampu menentukan pola bilangan dari suatu barisan 3 Siswa mampu menentukan deret bilangan jika diketahui barisannya 4 Siswa mampu mengubahkan deret bilangan ke dalam notasi sigma 5 Siswa mampu menggunakan sifat sifat notasi sigma WAKTU 4 x 40 menit ( x pertemuan)
3 A BARISAN, POLA, DAN DERET BILANGAN, NOTASI SIGMA 1 BARISAN BILANGAN Untuk memahami pengertian suatu barisan bilangan, perhatikan contoh urutan bilangan berikut ini : a), 4, 6, 8, 10, d) 1, 4, 9, 16, 5, b) 3, 6, 9, 1, 15, e) 3,,5,4, 7, 8, c) 1, 3, 5, 7, 9, d) 1, 15, 13, 18, 5, Urutan bilangan bilangan pada contoh a, b, c, dan d di atas mempunyai aturan tertentu, misalnya pada contoh a) dengan urutan bilangan, 4, 6, 8, 10, mempunyai aturan tertentunya adalah ditambahkan dengan Sedangan pada contoh c) dengan urutan 3, 6, 9, 1, 15, mempunyai aturan tertentunya adalah ditambah dengan 3 Urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu itu disebut barisan bilangan Sedangkan urutan bilangan bilangan pada contoh e) dan f) di atas tidak mempunyai aturan tertentu, sehingga bukan merupakan suatu barisan bilangan Bentuk umum barisan bilangan dapat dinyatakan dengan : Dengan : U1 = suku ke - 1 Latihan 1 U = suku ke - U3 = suku ke 3 Un-1 = suku ke (n-1) Un = suku ke n (suku umum barisan bilangan) 1 Tuliskan tiga suku berikutnya pada setiap barisan berikut ini a) 6, 7, 8, 9, b) 3, 9, 7, c) 1, 10, 100, d) 1, 1 4, 1 8, e) 1 4, 1 9, 1 16, U 1, U, U 3,,U n-1, U n 3
4 POLA BILANGAN itu Dari bentuk umum barisan suatu bilangan, dapat kita tentukan pola barisan bilangan Contoh 1: Untuk barisan bilangan pada contoh a) Urutan ke - Besar Bilangan Pola n n Jadi pola untuk bilangan yang ke n pada contoh a) adalah n atau n atau Un = n Contoh : Untuk barisan bilangan pada contoh c) Urutan ke - Besar Bilangan Pola n n 1 Jadi pola untuk bilangan yang ke n pada contoh a) adalah ( n 1) atau (n 1) atau Un = n 1 4
5 Contoh 3 : Carilah tiga suku pertama pada setiap barisan berikut ini, jika rumus suku ke n diketahui sebagai berikut : a Un = 4n + 3 b Un = n 1 a U n = 4n + 3 U 1 = = = 7 U = = = 11 U 3 = = = 16 Jadi, tiga suku pertamanya adalah 7, 11, 16 b U n = n 1 U 1 = 1-1 = 1 1 = 0 U = - 1 = 4 1 = 3 U 3 = 3-1 = 9 1 = 8 Jadi tiga suku pertamanya adalah : 0, 3, 8 Contoh 4 : Hitunglah nilai n jika, a) U n = 3n + 5 = 95 b) U n = n - 4 = 1 a U n = 3n + 5 = 95 3n + 5 = 95 3n = n = 90 n = 30 b U n = n - 4 = 1 n - 4 = 1 n = n = 5 n = 5 5
6 Latihan : 1 Tentukan lima suku yang pertama dari barisan bilangan berikut : a Un = n 3 b Un = n + 5 c Un = n d Un = ( 1) n + 1 Hitunglah nilai n jika, a Un = 4n 3 = 157 b Un = 1 n = 41 c Un = n 1 = 31 d Un = 3n 8 = 19 e Un = n 4n = 1 3 Tentukan pola bilangan (rumus suku ke n) dari barisan bilangan berikut : a, 4, 8, 16, b 1, 4, 9, 16, c 1, 1 4, 1 6, 1 8, 1 10, d 1, 1, 1, 1, Diketahui barisan bilangan 4, 10, 16, tentukan : a Rumus suku ke n nya b Suku ke 100 nya c Suku keberapa yang nilainya 100? 5 Diketahui suatu barisan bilangan, 5, 10, 13, tentukan : a Rumus suku ke n nya b Suku ke 50 nya c Suku keberapa yang nilainya 50? 3 DERET BILANGAN Deret suatu barisan bilangan dan jumlah n suku pertamanya Jika suku suku suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku suku barisan itu disebut Deret 6
7 Secara Umum : U 1, U, U 3,,U n adalah suku suku dari suatu barisan, maka U 1 + U + U U n adalah deret yang bersesuaian dengan barisan itu Jumlah n suku pertama dari suatu barisan dilambangkan dengan S n, atau S n = U 1 + U + U U n Misal : Barisan : 1,, 3, 4, 5, Deret : Barisan : 1, 4, 9, 16, 5, Deret : Contoh 5: Diketahui suatu deret hitunglah: a jumlah dua suku yang pertama b jumlah lima suku yang pertama c jumlah sepuluh suku yang pertama d jumlah n suku yang pertama e jumlah 0 suku yang pertama Jawab: a S = = 4 b S5 = = 5 = 5 c S10 = 10 = 100 d Sn = n e S0 = 0 = 400 Latihan 3 : 1 Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut ini a b c d e 4 8 7
8 Tentukan jumlah 6 suku yang pertama dari deret berikut ini: a Sn = n - 4 b Sn = n + 4 c Sn = n 3 n d Sn = n Tulislah tiap deret berikut ini, kemudian hitunglah jumlahnya a 10 bilangan asli genap pertama b 5 bilangan asli kelipatan 5 yang pertama c 7 bilangan prima yang pertama 4 NOTASI SIGMA a Pengertian notasi sigma Perhatikan bentuk penjumlahan sepuluh bilangan asli pertama, yaitu , jika yang dijumlahkan bukan sepuluh bilangan asli, melainkan 100 bilangan asli pertama, menuliskan secara lengkap tentu akan terlalu panjang dan memakan waktu yang lama Dalam matematika komunikasi dapat dilakukan dengan menggunakan symbol, misalnya menuliskan jumlah seratus bilangan asli yang pertama, disingkat dengan Menuliskan penjumlahan bilangan beruntun secara singkat ialah dengan menggunakan tanda (dibaca sigma) Dengan menggunakan notasi sigma, maka penjumlahan beruntun sepuluh bilangan asli pertama dapat disingkat sebagai berikut : = k=1 k Bilangan 1 disebut batas bawah Bilangan 10 disebut batas atas Untuk seratus bilangan asli yang pertama dapat ditulis Contoh 6 : = k=1 k Nyatakan deret berikut kedalam notasi sigma a b
9 a Dari deret , dapat diubah menjadi ((1) 1) + (() 1) + ((3) 1) + ((4) 1) + ((5) 1) + ((6) 1) + ((7) -1) atau ditulis (k 1) dengan mulai k = 1 sampai k = 7 Dalam notasi sigma Dalam notasi sigma disingkat = 7 k=1 (k 1) b Notasi sigma dari , dapat diubah menjadi (1) + () + (3) + (4) + (5 ) + (6) atau ditulis (k) dengan mu;ai k = 1 sampai k = 6 Dalam notasi sigma disingkat : = 6 k=1 (k) Contoh 7 Tuliskan bentuk notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan beruntun, dan kemudian hitunglah jumlahnya 6 a k=1 5k b 3 1 k=1 k+ c 3 k=1 k 6 a k=1 5k = b (5x1) + (5x) + (5x3) + (5x4) + (5x5) = = = k=1 k = = = d k=1 k = = = 14 b Sifat sifat notasi sigma Misalkan a k dan b k merupakan suku ke k dan C suatu konstanta n 1 Jika a k = C, maka k=1 C = nc n n k=1 C a k = C k=1 a k n n n 3 k=1 (a k + b k) = k=1 a k + k=1 b k 9
10 4 n k=1 (a k + b k ) = n k=1 (a k ) n + k=1 a k b k + n k=1 (b k ) n n 1 5 k=1 a k = k=1 a k + a n Contoh 8 : Dengan menggunakan penjumlahan beruntun, tunjukkan bahwa : 6 6 a k=1 (k + 3) = k=1 k b k=3 k = k=1 (k + ) 6 6 a k=1 (k + 3) = k=1 k k=1 (k + 3) = k=1 k + 18 {(1 + 3) + ( + 3) + (3 + 3) + (4 + 3) + (5 + 3) + (6 + 3)} = (1) = = b k=3 k = k=1 (k + ) 8 k=3 k = k=1 (k + ) = (1+)+(+)+(3+)+(4+)+(5+)+(6+) 33 = = 33 Latihan 4 ; 1 Tulislah jumlah berikut ini dengan satu notasi sigma 4 a k k k 1 k 3 b ( a 1) (a n a c ( k 1) k 1 15 k 1 1) (k 1) Tulislah jumlah-jumlah berikut ini sebagai jumlah monomial (suku satu) n a ( 4a k b k ) k 1 5 b (3k 7k) k 1 10
11 n c ( k k 1 k 4) 3 Tulislah jumlah berikut ini dengan satu notasi sigma n a ( k 5) k 1 n k 1 (4k 15) 13 b ( b 4) b 7 6 b 1 (b 4b 5) 5 c ( 4k k) k 1 10 k 6 (k ) 4 Tulislah jumlah berikut dengan batas bawah ini 16 a a a 5 10 b ( k ) k 4 10 n c n n 1 5 Buktikan n a ( k 1) 4 k 4 k 1 k 1 k 1 10 b ( 3k 1) 9 k 1 k 1 k 1 k n 10 c a a 10 a 6 a 1 a 1 7 n 10 a 175 k n k 40 11
12 KOMPETENSI DASAR 5 Menerapkan mkonsep barisan dan deret aritmatika INDIKATOR 51Mendidentifikasi antara barisan dengan deret aritmatika 5Menentukan nilai suku ke n dari barisan aritmatika dengan menggunakan rumus 53Menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika dengan menggunakan rumus 54Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika TUJUAN PEMBELAJARAN 1 Siswa mampu menjelaskan pengertian barisan aritmatika Siswa mampu menentukan rumus suku ke n barisan aritmatika 3 Siswa mampu menjelaskan deret aritmatika 4 Siswa mampu menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika 5 Siswa mampu menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika WAKTU 8 x 40 menit (4 x pertemuan) 1
13 B BARISAN DAN DERET ARITMATIKA 1 Pengertian barisan dan deret aritmatika Perhatikan beberapa barisan bilangan berikut ini a) 1, 3, 5, 7, b) 6,10,14,18, c) 11, 8, 5,, d) 0, 15, 10, 5, Pada setiap barisan di atas, tampak bahwa selisih dua suku berurutan selalu tetap Barisan bilangan yang mempunyai cirri seperti itu disebut Barisan Aritmatika, dan selisih dua suku berurutan itu disebut beda yang biasa dilambangkan dengan huruf b Misal : a) 1, 3, 5, 7,,b = 3 1 = 5 3 = 7 5 = b) 6,10,14,18,, b = 10 6 = = = 4 c) 11,8,5,,, b = 8 1 = 5 8 = 5 = -3 d) 0, 15, 10, 5,, b = 15 0 = = 5 10 = -5 Suku pertama dari barisan aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf a Secara umum barisan aritmatika didefinisikan sebagai berikut: U 1, U, U 3,,U n disebut barisan aritmatika untuk n bilangan asli dan n > 1 dan berlaku b = U n - U n 1 dengan U 1 = suku pertama U = suku kedua U 3 = suku ketiga U n = suku ke n Contoh 9 Tentukan suku pertama dan beda dari tiap barisan aritmatika berikut ini! a) 7, 8, 9, 10, b) 3, 8, 13, 18, c) 9, 6, 3, 0, 13
14 a) 7, 8, 9, 10, suku pertama : a = 7 dan beda : b = 8 7 = 9 8 = 10 9 = 1 b) 3, 8, 13, 18, Suku pertama : a = 3 dan beda : b = 8 3 = 13 8 = = 5 c) 9, 6, 3, 0, Suku pertama : a = 9 dan beda : b = 6 9 = 3 6 = 0 3 = - 3 Contoh 10 Tentukan 5 suku pertama barisan aritmatika berikut, jika diketahui : a) a = 3 dan b = -4 b) a = 8 dan b = 3 a) a = 3 dan b = -4 U 1 = a = 3 U = 3 + (-4) = - 1 U 3 = (-1) + (-4) = -5 U 4 = (-5) + (-4) = -9 U 5 = (-9) + (-4) = -13 Jadi lima suku pertama barisan itu adalah : 3, -1, -5, -9, -11 b) a = 8 dan b = 3 U 1 = a = 8 U = = 11 U 3 = = 14 U 4 = = 17 U 5 = = 0 Jadi lima suku pertama barisan itu adalah : 8, 11, 14, 17, 0 Latihan 5 1 Tentukan suku pertama dan beda dari barisan areitmatika di bawah ini a, 8, 14, 0, b 8, 11, 14, 17, 14
15 c 6, 3, 0, 3, d 1, 3, 3 1, 4, Tulis lima suku pertama dari masing masing barisan aritmatika berikut, jika diketahui : a a = 8 dan b = 3 b a = 7 dan b =,5 c a = 1 dan b = 3 Suku ke n barisan aritmatika Dari bentuk umum barisan aritmatika U 1, U, U 3,,U n U 1 = a U = U 1 + b = a + b U 3 = U + b = a + b + b = a + b U 4 = U 3 + b = a + b + b = a + 3b U n = a + (n 1)b Jadi pola bilangan barisan aritmatika adalah U 1, U, U 3, U 4, U n a, a + b, a + b, a + 3b,, a + (n 1)b Jadi rumus suku ke n dari barisan aritmatika adalah U n = a + (n 1)b Dengan : n = banyak suku, n bilangan asli a = suku pertama b = beda atau selisih U n = suku ke n Contoh 11 Tentukan rumus suku ke n dari barisan aritmatika berikut jika di diketahui : a) a = 3 dan b = -4 b) a = 8 dan b = 3 15
16 a) a = 3 dan b = -4 U n = a + (n 1)b U n = 3 + (n 1)(-4) U n = 3 + (-4n + 4) U n = 3 4n + 4 U n = 1 4n b) a = 8 dan b = 3 U n = a + (n 1)b U n = 8 + (n 1)3 U n = 8 + 3n 3 U n = 3n + 5 Contoh 1 Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke n dan suku ke 1 dari barisan aritmatika 10, 15, 0, 5, Suku pertama : a = 10 Beda : b = = 5 Rumus suku ke n : U n = a + (n 1)b = 10 + (n 1)5 = n 5 U n = 5n + 5 Suku ke 1 : U 1 = = = 65 Contoh 13 Suku pertama dari suatu barisan aritmatika sama dengan, sedangkan suku ke 10 sama dengan 9 a) Carilah beda dari barisan aritmatika itu b) Carilah suku ke 5 c) Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 101? 16
17 a) Beda dari barisan aritmatika itu a = dan U 10 = 9 U 10 = 9 a + 9b = 9 + 9b = 9 9b = 9 9b = 7 b = 7 9 b) Suku ke 5 b = 3 (beda =3) U n = a + (n 1)b U 5 = + (5 1)3 = + 43 = + 7 = 74 (suku ke 5 = 74) c) Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 101? U n = 101 Latihan 6: a + (n 1)b = (n 1)3 = n 3 = n = 101 3n = n = 10 n = 10 3 = 34 Jadi 101 adalah suku yang ke 34 1 Tentukan rumus suku ke n dari barisan aritmatika di bawah ini a, 8, 14, 0, b 8, 11, 14, 17, c 6, 3, 0, 3, d 1, 3, 3 1, 4, 17
18 Tentukan nilai n jika diketahui a a = 19, b = - 5 dan Un = - 41 b a = -, b = 7 dan Un = 138 c a = 6, b = 4 dan Un = 58 3 Jika suku ke 7 barisan aritmatika adalah 14 dan suku ke 13 adalah, tentukanlah tiga suku pertama barisan tersebut 4 Suku ke 6 dari barisan aritmatika sama dengan 50 dan suku ke 41 sama dengan 155 Tentukan suku ke 0 barisan tersebut 5 Diketahui barisan aritmatika dengan U3 = 9 dan jumlah suku ke 5 dan suku ke 7 adalah 48 Tentukan rumus suku ke n dan suku ke 10 barisan 3 Jumlah n suku pertama deret aritmatika Jika U 1 + U + U 3 + U U n adalah deret aritmatika Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan S n, ditentukan dengan rumus : maka S n dapat S n = n (a + U n) atau S n = n (a +(n 1)b) Dengan : n = banyak suku, n bilangan asli Contoh 14 a = suku pertama b = beda atau selisih U n = suku ke n S n = Jumlah n suku pertama deret aritmatika Hitunglah jumlah 0 suku pertama pada deret a = 9 b = 1 9 = 3 dan n = 0 S n = n (a +(n 1)b) S 0 = 0 (9 +(0 1)3) 18
19 = 10( ) = 10( ) = 10(75) = 750 Contoh 15 Hitunglah jumlah dari deret a = 5, b = 7 5 = dan U n = 61 U n = 61 a + (n 1)b = (n 1) = n = n = 61 n = 61 3 n = 58 n = 58 S n = n (a + U n) S 9 = 9 n = 9 (banyak suku = 9) (5 +61) = 9 (66) = 9 (33) S 9 = 957 Jadi jumlah deret itu adalah 957 Contoh 16 Hitunglah jumlah semua bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 Bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah a = 7, b = 14 7 = 7 dan U n = 98 U n = 98 19
20 a + (n 1)b = (n 1)7 = n 7 = 98 7n = 98 n = 98 7 = 14 (banyak bilangan yang habis dibagi 7 antara 5 dan 100 ada 14 buah) S n = n (a + U n) S 14 = 14 (7 +98) = 7(105) S 14 = 735 Jadi, jumlah bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah 735 Latihan 7 : 1 Hitunglah jumlah 0 suku pertama pada setiap deret aritmatika berikut : a b c Hitunglah jumlah setiap deret aritmatika berikut ini : a b c Hitunglah jumlah semua bilangan asli a Antara 10 dan 50 yang habis dibagi 3 b Antara 100 dan 500 yang habis dibagi 6 c Antara 10 dan 50 yang habis dibagi tetapi tidak habis dibagi 4 4 Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika berikut ini, jika diketahui a U3 = 7 dan U6 = 16 b U5 = 40 dan U8 = 5 0
21 4 Penerapan deret aritmatika Penerapan barisan dan deret aritmatika yang dapat digunakan dalam bidang keuangan, pertanian, dan lain sebagainya Contoh 17 Pada bulan Januari 001 Anto menabung Rp 10000,00 Jika setiap bulan berikutnya Anto menabung Rp 5000,00 lebihnya dari bulan sebelumnya Berapakah jumlah seluruh tabungan Anto sampai akhir tahun? Tabungan Anto dalam bentuk deret adalah a = 10000, b =5000 dan n = 1 S n = n (a +(n 1)b) S 1 = 1 ((10000) +(1 1)5000) = 6( (5000)) = 6( ) = 6(75000) S 1 = Jadi, jumlah seluruh tabungan Anto sampai akhir tahun adalah Rp ,00 Latihan 8 1 Harga pembelian sebuah sepeda motor baru adalah Rp ,00 Setelah digunakan selama 3 tahun, sepeda motor itu dijual dengan harga Rp ,00 Jika penyusutan harga sepeda motor tiap tahun besarnya sama maka tentukan harga jual sepeda motor tersebut setelah digunakan selama 5 tahun Untuk membuat kerajinan tangan, Jaka memerlukan 16 potong kawat yang tidak sama panjang Potongan kawat terpanjang 90 cm dan potongan kawat terpendek 15 cm Jika potongan potongan kawat dijajarkan dari yang terpanjang hingga terpendek maka perbedaan panjang dua potong kawat yang berdekatan harus sama Berapa panjang kawat yang diperlukan Jaka? Berapa perbedaan panjang kawat? 1
22 KOMPETENSI DASAR 53 Menerapkan mkonsep barisan dan deret geometri INDIKATOR 531Mengidentifikasi antara barisan dengan deret geometri 53Menentukan nilai suku ke n dari barisan geometri dengan menggunakan rumus 533Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri dengan menggunakan rumus 534Menyelesaikan deret geometri yang mempunyai suku tak hingga 535Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri TUJUAN PEMBELAJARAN 1 Siswa mampu menjelaskan pengertian barisan geometri Siswa mampu menentukan suku pertama dari barisan geometri yang diberikan 3 Siswa mampu menentukan rasio dari barisan geometri yang diberikan 4 Siswa mampu menentukan rumus suku ke n barisan geometri 5 Siswa mampu menjelaskan deret geometri 6 Siswa mampu menentukan jumlah n suku pertama deret geometri 7 Siswa mampu menghitung deret geometri tak hingga 8 Siswa mampu menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri WAKTU 10 x 40 menit (5 x pertemuan)
23 C BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1 Pengertian barisan dan deret geometri Pada setiap barisan di atas, tampak bahwa perbandingan dua suku berurutan selalu tetap Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut Barisan Geometri, dan perbandingan dua suku berurutan itu disebut rasio yang biasa dilambangkan dengan huruf r Misal : a) 1, 4, 16,, r = 4 1 = 16 4 = 4 b) 16, 8, 4,,r = 8 16 = 4 8 = 1 Suku pertama dari barisan geometri biasanya dilambangkan dengan huruf a Contoh 18 Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri berikut : 1 1,, 4, 8,, 6, 18, 54, 3 3, -6, 1, -4, 1 1,, 4, 8, suku pertama : a = 1 dan rasio : r = = 1, 6, 18, 54, suku pertama : a = dan rasio : r = 6 = 3 3 3, -6, 1, -4, Latihan 9 suku pertama : a = 3 dan rasio ; r = 6 3 = - Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri berikut 1 3, 6, 1, 4, 1, 3, 9, 7, 3 7, 9, 3, 1, 4 1, 1, 1, 1, 5, 4, 8, 16, 3
24 Suku ke n barisan geometri Secara umum barisan geometri didefinisikan sebagai berikut: U 1, U, U 3,,U n disebut barisan geometri untuk n bilangan asli dan n > 1 dan berlaku : U 1 = suku pertama U = suku kedua U 3 = suku ketiga U n = suku ke - n r = U n U n 1 dengan Dari bentuk umum barisan geometri U 1, U, U 3,,U n U 1 = a U = U 1 r = ar U 3 = U r = arr = ar U 4 = U 3 r = ar r = ar 3 U n = ar n 1 Jadi pola bilangan barisan aritmatika adalah U 1, U, U 3, U 4, U n a, ar, ar, ar 3, ar n 1 Jadi rumus suku ke n dari barisan geometri adalah U n = ar n 1 Dengan : n = banyak suku, n bilangan asli a = suku pertama r = rasio atau perbendingan U n = suku ke n 4
25 Contoh 19 Tentukan rumus suku ke n dan suku ke 7 pada barisan geometri : 1,, 4, 8, a = 1 dan r = Rumus suku ke n : U n = ar n 1 = 1 n 1 U n = n 1 Suku ke 7 : U 7 = 7 1 U 7 = 6 U 7 = 64 Contoh 0 Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 18, sedangkan suku ke 4 sama dengan 16, a) Carilah rasio barisan geometri tersebut b) Carilah suku ke 6 c) Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 1? a) Rasio barisan geometri tersebut a = 18 U 4 = 16 = ar 3 (i) (ii) Persamaan (ii) dibagi persamaan (i) diperoleh b) Suku ke 6 U 4 a = ar3 a = r 3 = 1 8 = (1 )3 r = 1 (rasio = 1 ) U 6 = ar 5 = 18 ( 1 )5 = = 4 (suku ke- 6 adalah 4) c) Suku yang nilainya sama dengan 1? U n = 1 ar n 1 = 1 18 ( 1 )n 1 = 1 5
26 ( 1 )n 1 = 1 18 ( 1 )n 1 = ( 1 )7 n 1 = 7 n = 8 Jadi, 1 adalah suku ke 8 Contoh 1 Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan U 7 = 64 Tentukan suku ke 10 barisan itu U 7 = ar6 = 64 a a 1 r 6 = 64 r 6 = (±) 6 r = ± Suku ke 10 = U 10 = ar 9 Untuk r = U 10 = 1() 9 = 51 Untuk r = - U 10 = 1( ) 9 = - 51 Latihan 10 : 1 Tentukan rumus suku ke n dan suku ke 7 dari barisan aritmatika di bawah ini a 3, 6, 1, 4, b 1, 3, 9, 7, c 7, 9, 3, 1, d 1, 1, 1, 1, e, 4, 8, 16, Tulislah empat suku pertama dari barisan geometri yang ditentukan oleh rumus berikut : a U n = n+1 b U n = 3 n 1 c U n = ( 1 3 )n 1 6
27 3 Tentukan suku pertama, rasio dan Un, jika a U3 = 18 dan U5 = 16 b U4 = dan U6 = 1 4 Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ke 6 sama dengan 160 a Carilah rasio b Carilah suku ke 8 c Suku keberapakah yang nilainya sama dengan ( 640)? 3 Jumlah n suku pertama deret geometri Jika U 1 + U + U 3 + U U n adalah deret geometri Jika jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan S n, maka S n dapat ditentukan dengan rumus : S n = a(rn 1) r 1, untuk r > 1 atau S n = a(1 rn ) 1 r, untuk r < Dengan : n = banyak suku, n bilangan asli a = suku pertama r = rasio atau perbandingan S n = Jumlah n suku pertama deret geometri Contoh Hitunglah jumlah 7 suku pertama pada deret geometri berikut ini a) b) a a = 1 dan r = 3 b a = 16 dan r = 8 = 1 16 Oleh karena r > 1 maka rumus yang Oleh karena r < 1, maka rumus digunakan adalah yang digunakan adalah : 7
28 S n = a(rn 1) r 1 S 7 = 1(37 1) 3 1 S 7 = 1(187 1) S 7 = 1(186) S 7 = 186 S 7 = 1093 Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri itu adalah 1093 S n = a(1 rn ) 1 r S 7 = 16(1 (1 )7 ) 1 1 S 7 = 16( ) 1 S 7 = 3( ) S 7 = 17 4 S 7 = Jadi, jumlah 7 suku pertama deret itu Contoh 3 Hitunglah jumlah deret geometri a = 3, r = 6 3 = dan U n = 19 U n = 19 a r n 1 = 19 3 n 1 = 19 n 1 = 19 3 n 1 = 6 n 1 = 6 n = n = 7 S n = a(rn 1) r 1 S 7 = 3(7 1) 1 S 7 = 3(18 1) 1 S 7 = 3(17) S 7 = 381 Jadi, jumlah deret geometri itu adalah 381 Contoh 4 Jumlah deret geometri n = 510 Carilah nilai n a =, r = = dan S n = 510 a(r n 1) r 1 ( n 1) 1 = 510 = 510 8
29 ( n 1) 1 = 510 ( n - 1) = 510 n - 1 = 510 n - 1 = 55 n = n = 56 n = 8 n = 8 Jadi, nilai n = 8 Latihan 11 1 Hitunglah jumlah 8 suku pertama pada setiap deret geometri berikut ini : a b c Hitunglah jumlah setiap deret geometri berikut ini: a b Carilah nilai n jika : a n = 10 b = n 18 4 Suku ke lima dari suatu deret geometri sama dengan 8, sedangkan suku kesepuluh sama dengan 56 Tentukan : a Suku pertama dan rasio deret geometri itu b Jumlah sepuluh suku pertama 4 Deret geometri tak hingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang mempunyai suku suku yang tak hingga banyaknya Perhatikan contoh deret geometri berikut ini a) b)
30 Pada contoh a), niliai r > 1 dan bilangannya makin lama makin besar (U n ) Jika n menuju bilangan yang cukup besar (n ) maka deret geometri yang seprti itu disebut deret geometri naik tak terhingga Pada contoh b) nilai r < 1dan bilangannya makin lama makin kecil (U n 0) Jika n menuju bilangan yang cukup besar (n ) maka deret yang seperti itu disebut deret geometri turun tak berhingga Jika jumlah deret geometri tak hingga dilambangkan dengan S n, maka S n dapat ditentukan dengan rumus : S = a 1 r, -1 < r < 1 Dengan : S n = Jumlah n suku pertama deret geometri a = suku pertama r = rasio atau perbandingan Contoh 5 Hitunglah jumlah dari setiap deret geometri tak hingga berikut ini a) b) c) a) a = 1 dan r = 1 berarti berada pada interval -1 < r < 1 S = a 1 r S = 1 = = b) a = 5 dan r = 1 berarti berada pada interval -1 < r < 1 S = a 1 r 30
31 S = 5 = = 10 c) a = 4 dan r = - 1 berarti berada pada interval -1 < r < 1 S = 4 1 r S = 4 1 ( 1 ) = 4 3 = 8 3 = 3 Contoh 6 Suatu deret geometri tak hingga dengan S = 10 dan a = 5 Tentukanlah : a) Rasio b) Jumlah 4 suku pertama deret geometri tersebut a Rasio S = a 1 r 10 = 5 1 r 10(1-r) = r = 5-10r = r = -5 r = 5 10 = 1 Jadi, rasionya adalah 1 b Jumlah 4 suku pertama deret geometri tersebut S n = a(1 rn ) 1 r S 4 = 5(1 (1 )4 ) 1 1 S 4 = 5( ) 1 S 4 = 10( ) = = 75 8 = 93 8 Jadi, jumlah 4 suku pertama deret tersebut adalah
32 Latihan 1 1 Hitunglah jumlah dari setiap deret geometri tak hingga berikut ini : a b c Dari deret geometri tak hingga diketahui a = 3 dan S = 9 Tentukan lima suku pertama deret tersebut 5 Penerapan deret geometri Penerapan barisan dan deret geometri yang dapat digunakan dalam bidang keuangan, pertanian, dan lain sebagainya Contoh 7 Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat dengan ketinggian 4 meter Setiap kali setelah bola itu memantul akan mencapai 3 4 dari tinggi yang dicapai sebelumnya Hitunglah panjang lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti Bola jatuh : a = 4 dan r = 3 4 Bola memantul : a = = 3 dan r = 3 4 Panjang lintasan bola jatuh adalah : S = a 1 r S = S = = 16 meter (panjang lintasan bola jatuh) Panjang linatasan bola memantul (naik) adalah : S = 3 1 r S = S = = 1 meter (panjang lintasan bola memantul) 3
33 Jadi, panjang lintasan seluruhnya yang ditempuh bola adalah panjang lintasan bola jatuh + panjang lintasan bola memantul = = 8 meter Latihan 13 1 Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat dengan ketinggian 1 meter Setiap kali setelah bola itu memantul akan mencapai 3 dari tinggi yang dicapai sebelumnya Hitunglah panjang lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti Sebuah bank swasta memberikan bunga sebesar,5% per bulan untuk tabungan nasabahnya Seorang nasabah menabung sebesar Rp ,00 Tentukan total tabungan nasabah tersebut setelah 6 bulan tanpa pengambilan Alat / Bahan / Sumber 1 Buku Matematika tingkat 1 bidang keahlian Bisnis dan Manajemen, penerbit Armico Bandung, halaman Buku Matematika SMK non teknik tingkat, penerbit PT Galaxy Puspa Mega Jakarta, halaman Buku Matematika untuk SMK dan MAK kelas XI, penerbit Erlangga Jakarta, halaman Buku Matematika untuk SMK Kelas XI, penerbit Grafindo Medi Pratama, halaman
Bahan Ajar Matematika. Kelas X SMA Semester 1 Barisan dan Deret Waktu : 15 x 45 Menit (5 x Pertemuan) Kelompok :..
Bahan Ajar Matematika Kelas X SMA Semester 1 Barisan dan Deret Waktu : 15 x 45 Menit (5 x Pertemuan) Nama Nis Kelas : : : Kelompok : 1 PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR 1 Bacalah Setiap masalah yang diberikan
Lebih terperinciCONTOH SOAL UAN BARIS DAN DERET
CONTOH SOAL UAN BARIS DAN DERET 1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah. a. 840 b. 660 c. 640
Lebih terperinciBarisan dan Deret Aritmetika. U 1, U 2, U 3,...,U n-1, U n. 1. Barisan Bilangan
Barisan dan Deret Aritmetika 1 Barisan Bilangan Untuk memahami pengertian suatu barisan bilangan, perhatikan contoh urutan bilangan berikut ini :, 4, 6, 8, 10, Urutan bilangan di atas mempunyai aturan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Matematika Dasar
BARISAN DAN DERET 8.1 BARISAN BILANGAN A. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap
Lebih terperinciNAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 1. Beda Barisan Aritmatika. b =.. RUMUS SUKU KE N: King s Learning Be Smart Without Limits
NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 1 A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah kelompok bilangan yang tersusun menurut aturan (pola) tertentu. Deret bilangan adalah penjumlahan
Lebih terperinci1) Perhatikan bentuk di bawah: U 1 U 2 U 3 U 4 U n 2, 5, 8, 11, dengan: U 3 = suku
NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 1 A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah kelompok bilangan yang tersusun menurut aturan (pola) tertentu. Deret bilangan adalah penjumlahan
Lebih terperincitanya-tanya.com Barisan dan Deret Aritmetika Barisan dan Deret Geometri
Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Berlaku: Un - Un - 1 = b atau Un = Un - 1 +
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG
BARISAN DAN DERET AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG . Pola Bilangan Adalah: susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu Contoh:,,,4,5 mempunyai pola bilangan ditambah satu dari
Lebih terperinciBAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN Peta Konsep Barisan dan Deret Bilangan mempelajari Pola bilangan Barisan bilangan Deret bilangan jenis jenis Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri mempelajari Sifat Rumus
Lebih terperinci21. BARISAN DAN DERET
2. BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U, U 2, U 3,,U n adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. U t = 2 1 (a + U 2k 1 ), U n = ar n 1 U t = a Un
BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U 1, U 2, U 3,,U n adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k
Lebih terperinciKARTU SOAL PILIHAN GANDA
4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri Barisan dan deret aritmatika Siswa dapat menentukan nilai
Lebih terperinciAntiremed Kelas 09 Matematika
Antiremed Kelas 09 Matematika Deret Bilangan - Latihan Soal Doc. Name: AR09MAT0613 Version: 2013-10 halaman 1 01a Berapakah nilai deret aritmatika di bawah (A) 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 01b Berapakah nilai
Lebih terperinciSOAL MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL BARISAN DAN DERET
SOAL MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 2014 2013 BARISAN DAN DERET 1. UN 2014 Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang potongan-potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang
Lebih terperinciPiramida Besar Khufu
Sumber: Mesir Kuno Piramida Besar Khufu Peradaban bangsa Mesir telah menghasilkan satu peninggalan bersejarah yang diakui dunia sebagai salah satu dari tujuh keajaiban dunia, yaitu piramida. Konstruksi
Lebih terperinciCONTOH SOAL CONTOH SOAL CONTOH SOAL TENTUKAN JUMLAH DERET GEOMETRI TAK HINGGA BERIKUT
CONTOH SOAL CONTOH SOAL CONTOH SOAL TENTUKAN JUMLAH DERET GEOMETRI TAK HINGGA BERIKUT Contoh Soal 3.17 Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut. 2 2 2 + + +... 3 9 Jawab: 1 Berdasarkan deret
Lebih terperinciMatematika Dasar : BARISAN DAN DERET
Matematika Dasar : BARISAN DAN DERET. Suku ke-n pada barisan, 6, 0, 4, bisa dinyatakan dengan (A) Un = n (B) Un = 6n 4 (C) Un = 4n + (D) Un = 4n (E) Un = n + 4. Suku ke-5 pada barisan, 0, 7, 4,.. (A) 65
Lebih terperinciBY : DRS. ABD. SALAM, MM
BY : DRS. ABD. SALAM, MM Page 1 of 26 KOMPETENSI DASAR Pola Barisan dan Deret Bilangan a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan
Lebih terperinciPembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA
Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA 1. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun?
Lebih terperinci2. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a -4 dan a x. Jika suku kedelapan adalah a 52, maka berapa nilai x?
1. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U 1 = x 1/3 dan U 2 = x 1/2, maka suku ke lima dari deret tersebut adalah r = U 2/U 1 = x 1/2 : x 1/3 = x (1/2-1/3) = x 1/6 U 5 = a. (r)4 U 5 = x 1/3.
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten,
Lebih terperinci18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA
8. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA UN00.Nilai (n 6). n A. 88 B. 00 C. 00 D. 97 E. 060 n (n 6) (. 6) + (. 6) + (. 6)+ + (. 6) + 9 + +...+ 99 a b 9 9 n n(akhir) (n(awal)-) (-)
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Peta konsep berikut untuk lebih mudah mempelajari materi Barisan dan Deret :
BARISAN DAN DERET Peta konsep berikut untuk lebih mudah mempelajari materi Barisan dan Deret : Pengertian Aritmetika dan Geometri Suku ke-n Barisan Jumlah n Suku pada Deret Barisan dan Deret Menuliskan
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 2 LATIHAN 1. Jawab: Jawab:
NAMA : KELAS : C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1. BARISAN GEOMETRI (B.G) Barisan Geometri adalah suatu barisan dengan rasio antara dua suku yang berurutan selalu tetap dan sama. 1) Perhatikan bentuk di bawah:
Lebih terperinciB. POLA BILANGAN 1. Pengertian pola bilangan Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan.
A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET 1. Pengertian barisan bilangan Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Contoh barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8,... 2. Pengertian
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan
BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Romli Shodikin, M.Pd. Prepared By : LANJUT
BARISAN DAN DERET Prepared By : Romli Shodikin, M.Pd www.fskromli.blogspot.com fskromli@yahoo.com LANJUT Standar Kompetensi : Menggunakan konsep notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Lebih terperinciKARTU SOAL URAIAN. KOMPETENSI DASAR (KD): 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri
. Siswa dapat menentukan suku pertama, beda/rasio, rumus suku ke-n dan suku ke-n, jika diberikan barisan bilangannya NO. SOAL: 31 Tentukan suku pertama, beda atau rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10
Lebih terperinciDiusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : Kelas/Semester: C/1
Diusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : 1384202092 Kelas/Semester: C/1 BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan
Lebih terperinciPOLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN SERTA BUNGA. VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.Pd.
POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN SERTA BUNGA VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.Pd. POLA BILANGAN PENGERTIAN Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan Contoh : 1, 3, 6, 10,...
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Bab. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu:. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab,
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET Jenis-jenis barisan dan deret yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :
BARISAN DAN DERET Jenis-jenis barisan dan deret yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Barisan dan deret aritmatika 2. Barisan dan deret geometri 3. Sisipan SOAL DAN PEMBAHASAN 14.1 Soal dan
Lebih terperinciSri Purwaningsih. Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS. Program Studi Manajemen dan Akuntansi.
Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS MATEMATIKA BISNIS Sesi 2 ini akan membahasteori Deret Hiutung dan Deret Ukur pada Matematika Bisnis sehingga Mahasiswa mempunyai dasar yang kuat untuk melakukan pengukuran
Lebih terperinciTujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Majemuk Anuitas, Matematika 4:00 PM Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Matematika dapat dikatakan sebagai bahasa simbol. Hal ini. A. Barisan dan Deret Aritmetika B. Barisan dan Deret Geometri
Bab 3 Sumber: www.jakarta.go.id Barisan dan Deret Matematika dapat dikatakan sebagai bahasa simbol. Hal ini dikarenakan matematika banyak menggunakan simbol-simbol. Dengan menggunakan simbol-simbol tersebut,
Lebih terperinciMAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA. Diajukan Untuk Memenuhi Tugas. Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU :
MAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU : AMALIA ITSNA YUNITA, S.Si, M.Pd. Disusun Oleh:. Siti Khumaidatuz Zahro (7046309).
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELEJARAN ( RPP )
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELEJARAN ( RPP ) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas / Semester : SMA CITRA NEGARA : MATEMATIKA : XI / I Alokasi Waktu : 2 JP ( 2 x 45 menit ) A. Standar Kompetensi : 1. Menghayati
Lebih terperinciBAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret
BAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret Amy Arimbi PENDAHULUAN Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya
Lebih terperinci4 + 3 = 13 + = 4. , maka nilai 2x + y. 3. Jika x dan y adalah penyelesaian dari sistem persamaan A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 E. 7
1. Sebuah laptop dengan harga Rp10.000.000,00 setelah dipakai selama 1 tahun dijual dengan harga Rp7.500.000,00, maka presentase kerugian dari penjualan laptop adalah A. 5% B. 10% C. 25% D. 50% E. 75%
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinciUji Komptensi. 2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5
Uji Komptensi Barisan dan Deret "Aljabar Linear Elementer". Diketahui barisan 84,80,77,... Suku ke-n akan menjadi 0 bila n =... Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 00 dan 00 yang habis
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib Baris dan Deret Aritmatika - Latihan Soal Ulangan Doc. Name: RK13AR11MATWJB0603 Version : 2016-11 halaman 1 01. Suku ke-20 pada barisan 3, 9, 15, 21,. Adalah
Lebih terperinciPAKET 4. Paket : 4. No Soal Jawaban 1 Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini adalah. A. 120 cm 2 B. 216 cm 2 C. 324 cm 2 D. 336 cm 2 E.
PAKET 4 Jumlah Soal : 0 soal Kompetensi :. Bangun Datar. Trigonometri. Bangun Ruang 4. Barisan dan Deret Compile By : Syaiful Hamzah Nasution No Soal Jawaban Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini
Lebih terperinciMateri 2 : Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal
MATEMATIKA EKONOMI (2-SKS) Drs. Win Konadi, M.Si Materi 2 : Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal Barisan Geometri Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu,
Lebih terperinciMatematika Bahan Ajar & LKS
Matematika Bahan Ajar & LKS Pola Bilangan, Barisan & Deret = + ( 1) Un = ar^(n-1) Nama : NIS : Kelas : Sekolah : Pengantar Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018-1. Nilai dari 16 + ( 21) : 7 {9 + [56 : ( 8)]}adalah.... (a) 5 14 (b) 10 (c) 2 (d) -10 2. Bentuk sederhana
Lebih terperinciBARISAN & DERET GEOMETRI
BARISAN & DERET GEOMETRI TJAN PEMBELAJARAN Siswa dapat menjelaskan pengertian barisan dan deret geometri Siswa dapat menjelaskan syarat suatu barisan geometri Siswa dapat menentukan rumus suku ke-n suatu
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2. MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n. Oleh : Novi Diah Wayuni ( ) Riswoto ( )
MATEMATIKA SEKOLAH 2 MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n Oleh : Novi Diah Wayuni ( 1001060083) Riswoto ( 1001060085 ) A. Menentukan Pola barisan bilangan Sederhana B. Menentukan suku ke-n barisan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET 1. A. Barisan dan Deret Aritmatika 11/13/2015. Peta Konsep. A. Barisan dan Deret Aritmatika
Jurnal Peta Konsep Daftar Hadir MateriA SoalLatihan Materi Umum BARISAN DAN DERET 1 Kelas X, Semester A. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Soal Aplikasi dalam
Lebih terperinciPada barisan bilangan 2, 7, 12, 17,., b = 7 2 = 12 7 = = 5. Pada barisan bilangan 3, 7, 11, 15,., b = 7 3 = 11 7 = = 4
Materi : Barisan Bilangan Perhatikan urutan bilangan-bilangan berikut ini a. 1, 5, 9, 13,. b. 15, 1, 9, 6,. c., 6, 18, 54,. d. 3, 16, 8, 4,. Tiap-tiap urutan di atas mempunyai aturan/pola tertentu, misalnya
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2
MATEMATIKA SEKOLAH 2 Menentukan pola barisan bilangan sederhana Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri Disusun oleh : Novi Diah Wahyuni 1001060083 Riswoto 1001060085 PROGRAM STUDI
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Bab 3
Bab 3 Barisan dan Deret Sumber: i74.photobucket.com Pada bab ini, Anda diajak menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan,
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII Semester : Genap
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII Semester : Genap Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
Lebih terperinciBARIS. tttt. (Winston Chucill)
BARIS tttt (Winston Chucill) 1 Tujuan Pembelajaran Dengan mempelajari materi barisan dan deret diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret. Menemukan konsep barisan aritmatika
Lebih terperinciMateri W6b BARISAN DAN DERET. Kelas X, Semester 2. B. Barisan dan Deret Aritmatika.
Materi W6b BARISAN DAN DERET Kelas X, Semester 2 B. Barisan dan Deret Aritmatika www.yudarwi.com B. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan adalah kumpulan objek-objek yang disusun menurut pola tertentu U
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciSTRATEGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA SMA SESUAI KURIKULUM 2004 disampaikan pada
STRATEGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA SMA SESUAI KURIKULUM 004 disampaikan pada 6 Agustus s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Yogyakarta DISAJIKAN OLEH DRA. PUJI IRYANTI, M.Sc. Ed DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
Lebih terperinciStatistika. Daftar Isi
Daftar Isi Halaman Kata Pengantar.i Daftar Isi ii Peta Kompetensi, Peta Bahan Ajar dan Informasi..iv Skenario Pembelajaran..v Bab I. Pendahuluan.... Latar Belakang.... Tujuan.... 3. Ruang Lingkup.......
Lebih terperinciBARISAN ARITMETIKA DAN DERET ARITMETIKA
BARISAN ARITMETIKA DAN DERET ARITMETIKA BARISAN DAN DERET BILANGAN Penyusun: Atmini Dhoruri, MS Kode: Jenjang: SMP T/P: 1/2 A. Kompetensi yang diharapkan 1. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan
Lebih terperinci9. BARISAN DAN DERET
9. BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U, U, U,,U n adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan Ciri utama Rumus suku ke n Suku tengah Sisipan k bilangan
Lebih terperinciMatematika Bahan Ajar & LKS
Matematika Bahan Ajar & LKS Pola Bilangan, Barisan & Deret = + ( 1) Un = ar^(n-1) Nama : NIS : Kelas : Sekolah : Pengantar Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda
Lebih terperinciPola dan Barisan Bilangan
Pola dan Barisan Bilangan Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu Misalnya pada kalender terdapat
Lebih terperinciHikmah Agustin, SP.,MM
Hikmah Agustin, SP.,MM Barisan : Susunan bilangan terurut menggunakan pola tertentu (rumus tertentu) Deret : Penjumlahan suku-suku barisan Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih
Lebih terperinciKHAIRUL MUKMIN LUBIS
Barisan dan Deret Eni Sumarminingsih, SSi, MM Elizal A. Barisan Aritmetika Definisi Barisan aritmetik adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Deret. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 02 Pusat Matematika Ekonomi Deret Bahan Ajar dan E-learning BANJAR / BARISAN Banjar ialah suatu fungsi yang wilayahnya ialah set bilangan alam. Banjar ialah suatu set bilangan bernomor satu,
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA
BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH 1 Kalkulus Lanjut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2010 BARISAN DAN
Lebih terperinciMODUL BARISAN DAN DERET
SMK Negeri 5 Malang MGMPS Bidang Studi Matematika MODUL BARISAN DAN DERET Disusun Oleh Syaiful Hamzah Nasution, S.Si, M.Pd. Explore. Your Potency From Now. 2012 Pengertian Barisan dan Deret Barisan dan
Lebih terperinciMateri Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR
Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Caturiyati M.Si. Jurdik Matematika FMIPA NY wcaturiyati@yahoo.com Operasi Dasar (penjumlahan pengurangan perkalian pembagian) Hal-hal yang perlu diperhatikan
Lebih terperincimuhammadamien.wordpress.com
1. 2. Gradien garis singgung di setiap titik dapat dinyatakan sebagai 34 maka nilai minimumnya 1 3 5 7 9. Jika nilai maksimum 3. Jika maka 4. 5. 1 3 4 5 6 1 6. 7. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
Lebih terperinciUJI COBA UJIAN NASIONAL SMK. Tahun Pelajaran 2014 / 2015 PAKET 04 MATEMATIKA NON TEKNIK KELOMPOK AKUNTANSI DAN PENJUALAN (UTAMA)
UJI COBA UJIAN NASIONAL SMK Tahun Pelajaran 04 / 05 MATEMATIKA NON TEKNIK KELOMPOK AKUNTANSI DAN PENJUALAN (UTAMA) A Mata Pelajaran Kelompok : MATEMATIKA : Akuntansi dan Penjualan MATA PELAJARAN PELAKSANAAN
Lebih terperinciSILABUS. 5. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Sekolah : SILABUS Kelas Mata Pelajaran Semester : IX : Matematika : II(dua) Standar Kompetensi : BILANGAN 5. Memahami sifat-sifat berpangkat dan bentuk serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Lebih terperinciBILANGAN BERPANGKAT. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka a n adalah
BILANGAN BERPANGKAT Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka a n adalah perkalian a sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat atau eksponen.
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 017/018-1. Nilai dari 16 + ( 1) : 7 {9 + [56 : ( 8)]}adalah.... (a) 5 14 (b) 10 (c) (d) -10 16 + ( 1) : 7 {9 + [56
Lebih terperinciSOAL PENJAJAKAN UN MATEMATIKA 2012 PROVINSI DIY
SOAL PENJAJAKAN UN MATEMATIKA 0 PROVINSI DIY. Suatu proyek akan selesai dalam waktu 0 hari oleh 0 orang pekerja. Tambahan pekerja yang dibutuhkan agar proyek tersebut selesai dalam waktu 90 hari adalah.
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK Muhammadiyah 1 Surakarta Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X / 1 Alokasi Waktu : 2 x pertemuan (6 x 30 menit) Standar Kompetensi :
Lebih terperinciJohann Karl Friedrich Gauss ( ) adalah seorang Matematikawan Jerman yang lahir pada tanggal 30 April. Bakat Matematika
Tahukah anda?? Johann Karl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang Matematikawan Jerman yang lahir pada tanggal 30 April. Bakat Matematika beliau sudah diperlihatkan semasa muda. Guru sekolah dasarnya
Lebih terperinciUN SMK AKP 2014 Matematika
UN SMK AKP 204 Matematika Soal Doc. Name: UNSMKAKP204MAT999 Doc. Version : 206-03 halaman 0. Seorang pedagang menjual salah satu jenis mesin cuci seharga Rp637.500,00. Jika harga beli mesin cuci itu Rp750.000,00,
Lebih terperinciUSMSTAN 2013 TPA 03 - Pola Barisan
USMSTAN 20 TPA 0 - Pola Barisan Doc. Name: USMSTAN20TPA997 Version : 208-05 halaman 6. Dari suatu sekolah lulusannya diterima di 4 jurusan bisnis, lulusannya diterima di jurusan hukum dan lulusannya diterima
Lebih terperinciSMK MGMP MATEMATIKA SMK NEGERI / SWASTA NEGERI DAN SWASTA MATEMATIKA KELOMPOK BISNIS MANAGEMEN PAKET I A KOTA SURABAYA
LATIHAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 009-010 SMK NEGERI DAN SWASTA KOTA SURABAYA MATEMATIKA KELOMPOK BISNIS MANAGEMEN PAKET I A MGMP MATEMATIKA SMK NEGERI / SWASTA KOTA SURABAYA 1 M A T E M A T I K A
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN KEDIRI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 1 KANDANGAN JL. Hayam Wuruk No. 96 telp Kandangan
Pilihlah satu jawaban yang tepat.. (x x 4 ) dx.. ULANGAN AKHIR SEMESTER TAHUN PELAJARAN 007/008 Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII / Ilmu Alam Hari, Tanggal : Waktu : 90 menit ( ) ` a. x
Lebih terperinciSelamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website. Pada materi Barisan dan deret geometri
Selamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website Pada materi Barisan dan deret geometri L O A D I N G... Created : Novialdi Bengkalis, 12 November 1993 B. Barisan Geometri Apa anda sudah mengetahui
Lebih terperinciMatematika SMA/MA IPA. No. Peserta : Bentuk sederhana dari 1 A. 36 B. 6 C. 1 D Bentuk sederhana dari (2 2 6)( )
Nama : Ximple Education No. Peserta : 08-6600-747. Bentuk sederhana dari 6 6 3 3 5 64 7 000 3 A. 36 B. 6 C. D. 6 E. 36 =.. Bentuk sederhana dari ( 6)(6 +3 6) 3 4 A. 3 ( 3 + 4) B. 3 ( 3 + 4) C. ( 3 + 4)
Lebih terperinciDosen prmbimbing. Bintang Wicaksono M.Pd. BAHAN AJAR DERET BILANGAN. Oleh : Junainah ( ) Siti Zumanah ( )
Dosen prmbimbing. Bintang Wicaksono M.Pd. BAHAN AJAR DERET BILANGAN Oleh : Junainah (13144100156) Siti Zumanah (13144100138) Ayo belajar matematika a DERET BILANGAN SK 6. Memahami barisan dan deret bilangan
Lebih terperinciBarisan adalah su,sunan bilangan bilangan atau angka angka yang ditulis dengan dipisahkan tanda koma dengan mempunyai pola tersendiri.
Pengertian barisan B A R I S A N Barisan adalah su,sunan bilangan bilangan atau angka angka yang ditulis dengan dipisahkan tanda koma dengan mempunyai pola tersendiri. Berikut ini contoh beberapa barisan
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Bab. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten,
Lebih terperinciKONSEP DASAR BARISAN DAN DERET SERTA PENERAPAN
KONSEP DASAR BARISAN DAN DERET SERTA PENERAPAN Diskripsi Mata Kuliah Tujuan : Memberikan gambaran dan dasardasar pengertian serta pola pikir yang logis. Barisan dan deret : Bilangan yang tersusun secara
Lebih terperinciUJI COBA UJIAN NASIONAL SMK. Tahun Pelajaran 2014 / 2015 PAKET 01 MATEMATIKA NON TEKNIK KELOMPOK AKUNTANSI DAN PENJUALAN (UTAMA)
UJI COBA UJIAN NASIONAL SMK Tahun Pelajaran 04 / 0 PAKET 0 MATEMATIKA NON TEKNIK KELOMPOK AKUNTANSI DAN PENJUALAN (UTAMA) A Mata Pelajaran Kelompok : MATEMATIKA : Akuntansi dan Penjualan MATA PELAJARAN
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Puji Syukur atas kehadirat Allah S.W.T, karena atas karunia-nya kami
KATA PENGANTAR Puji Syukur atas kehadirat Allah S.W.T, karena atas karunia-nya kami dapat menyelesaikan buku ajar matematika yang juga merupakan tugas kelompok mata kuliah program komputer. Buku ajar ini
Lebih terperinciSOAL UN BARISAN DAN DERET
SOAL UN BARISAN DAN DERET UN 2013 Kode Soal 212 1. Suku ke-48 dari barisan bilangan 3, 10, 17, 24, 31, adalah A. 147 C. 332 B. 151 D. 336 2. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan, 1, 2, 4, 8, adalah A.
Lebih terperinciBARIS. tttt. (Winston Chucill)
BARIS tttt (Winston Chucill) 1 Tujuan Pembelajaran Dengan mempelajari materi barisan dan deret diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret 2. Menemukan konsep barisan aritmatika
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK Negeri 1 Surabaya Program Keahlian : Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : Standar Kompetensi : Menerapkan konsep barisan dan deret dalam
Lebih terperinciBab II Pola, Barisan, dan Deret
Bab II Pola, Barisan, dan Deret K ata Kunci Pola Bilangan Genap Pola Bilangan Segitiga Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Pola Bilangan Segitiga Pascal K D ompetensi asar 1.1 Menghargai
Lebih terperinciSTRATEGI PENALARAN DAN KOMUNIKASI. Barisan dan Deret bilangan
Strategi Penalaran dan Komunikasi 0 STRATEGI PENALARAN DAN KOMUNIKASI Topik: Barisan dan Deret Bilangan SOAL. Perhatikan bujur sangkar seperti gambar di samping, jika panjang sisi pada persegi terbesar
Lebih terperinci1. Gula dibeli dengan harga Rp per 50 kg, kemudian dijual dengan harga Rp tiap ½ kg. Persentase keuntungan dari harga pembelian adalah.
1. Gula dibeli dengan harga Rp 168.000 per 50 kg, kemudian dijual dengan harga Rp 2.100 tiap ½ kg. Persentase keuntungan dari harga pembelian adalah. a. 10% b. 15% c. 25% d. 30% e. 35% 2. Panjang dua potong
Lebih terperinciSMP kelas 9 - MATEMATIKA BAB 8. PELUANGLATIHAN SOAL
1. Suku ke 11 dari barisan 1,3,6,10,... adalah... SMP kelas 9 - MATEMATIKA BAB 8. PELUANGLATIHAN SOAL 55 66 78 91 Kunci Jawaban : B Perhatikan barisan berikut! http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rightarrow
Lebih terperinciBANK SOAL UN SMK KELOMPOK TEKNOLOGI Jika maka adalah... A. B. C. D. E.
1 1. Jika maka 2. Jika maka 3. Jika maka 4. Bentuk sederhana dari 5. Bentuk sederhana dari 6. Bentuk sederhana dari 2 7. Bentuk sederhana dari 8. Bentuk sederhana dari ( ) ( ) ( ) ( ) 9. Bentuk sederhana
Lebih terperinciPembahasan Matematika SMP IX
Pembahasan Matematika SMP IX Matematika SMP Kelas IX Bab Pembahasan dan Kunci Jawaban Ulangan Harian Pokok Bahasan : Kesebangunan Kelas/Semester : IX/ A. Pembahasan soal pilihan ganda. Bangun yang tidak
Lebih terperinciDINAS PENDIDIKAN KABUPATEN MALANG MGMP MATEMATIKA SMPN SATAP TRYOUT UN menit
DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN MALANG MGMP MATEMATIKA SMPN SATAP P.04 TRYOUT UN 01 Mata Pelajaran Matematika Hari/Tanggal Waktu 10 menit 1. Hasil dari -15 + (-1 : ) adalah... a -19 b -11 c -9 d 9. Hasil dari
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. Model Perkembangan Usaha (Kaidah-Kaidah Deret Hitung) Sitti Rakhman, SP., MM. Modul ke: Fakultas FEB. Program Studi Manajemen
Modul ke: MATEMATIKA BISNIS Model Perkembangan Usaha (Kaidah-Kaidah Deret Hitung) Fakultas FEB Sitti Rakhman, SP., MM. Program Studi Manajemen www.mercubuana.ac.id PENDAHULUAN Matematika salah satu ilmu
Lebih terperinci