PENGETAHUAN MATEMATIKA DASAR UNTUK ASURANSI UMUM

Transkripsi

1 PENGETAHUAN MATEMATIKA DASAR UNTUK ASURANSI UMUM Ringkasan. Dalam tulisan ini akan diuraikan beberapa topik matematika yang diperlukan untuk menguasai pengetahuan asuransi umum. Kemudian sejumlah hasil matematika dasar yang diperlukan dari waktu ke waktu dalam perkembangan teoritis bahan pengetahuan asuransi berikutnya: seperti halnya Notasi penjumlahan; Notasi faktorial dan kombinatorial; Notasi Pangkat; Diferensiasi untuk menemukan kemiringan kurva; Maximum dan minimum; Dan eksponensial fungsi logaritma alami. 1.1 Pengantar Judul dari buku ini adalah Pengantar statistika dengan aplikasi dalam asuransi umum. Ini adalah pengantar dalam artian bahwa ini menyajikan ide-ide fundamental statistik dan menjelaskan aplikasinya dalam asuransi umum. Buku ini tidak memberikan komentar terakhir pada topik manapun yang dibahas, tetapi membiarkannya kepada pembaca untuk mencari topik atau subjek yang menurutnya paling menarik melalui referensi-referensi yang diberikan di akhir dari setiap bagian. Bab-bab awal membentuk pengenalan umum untuk pembelajaran tentang probabilitas dan statistika. Sebuah bab tentang distribusi statistik yang berguna dalam asuransi umum, menekankan pada aplikasinya penarikan kesimpulan dari data asuransi umum; paparan dan estimasi dari tingkat frekuensi klaim; perhitungan premi risiko dan premi risiko untuk kelebihan dari kerugian reasuransi; experience rating dan kredibilitas; sistem diskon no-claim; simulasi dari permasalahan asuransi umum; metode untuk mengestimasi ketentuan klaim yang beredar; teori risiko dan aplikasinya pada tingkat retensi. Metode kuantitatif selalu melibatkan rumus matematik dan komputasi, dan tidak terkecuali juga untuk statistika. Meskipun demikian, apa yang luar biasa adalah sejauh mana luasnya permasalahan dalam suatu area rumit asuransi umum dapat dianalisa dan diselesaikan dengan hanya menggunakan matematika dasar tingkat sekolah. Pada sisa bab ini dikhususkan untuk mengulas topik matematika tertentu yang diperlukan dalam bab-bab selanjutnya. Tujuan utama buku ini adalah untuk me-refresh memori dari pembaca yang sudah terlalu lama tidak menyentuh pembelajaran matematika. Pembaca yang sudah mengerti dengan semua topik ini bisa langsung membaca bab Notasi Penjumlahan Dalam pengerjaan statistik, kita sering kali harus menghitung jumlah dari banyaknya suatu bilangin x 1, x 2,... x n.. Kita tentu bisa menulis jumlahnya dalam notasi panjang seperti x 1 + x 2 + x x n. (1.2.1) 1

2 Suatu notasi pendek standar telah dikembangkan, meski menggunakan huruf besar bahasa Yunani yaitu sigma (untuk jumlah): n xi i=1 (1.2.2) pada intinya, formula ini ada formula untuk menjumlahkan semua nilai xi dari i = 1 sampai i = n. Sehingga n xi = x 1 + x 2 + x x n. i=1 terkadang, selain dari i, suatu model alternatif akan digunakan. (1.2.3) contoh Hitung 5 i=1 i2. kita perlu menghitung semua nilai dari i 2 dari i = 1 sampai i = 5. dengan kata lain, 5 i=1 i2 = = 55. contoh Hitung 4 r=1 x2 r ketika x 1 = 1.2, x 2 = 1.3, x 3 = 1.5, x 4 = 1.8. Kita perlu menghitung semua nilai dari x 2 r dari r = 1 sampai r = 4. Dengan kata lain, 4 r=1 x2 r = (1.2) 2 + (1.3) 2 + (1.5) 2 + (1.8) 2 = Bacaan lebih lanjut: Johnson and Dhattacharya [14] 640-2; Stein and Barcellos [22] Notasi Faktorial n! Hasil dari bilangan natural pertama n sering kali dibutuhkan dalam pengerjaan matematik dan statistik. Maka dari itu suatu notasi pendek telah dirancang untuk pengerjaan seperti ini yang disebut sebagai faktorial n: n! = n. (1.3.1) Dengan syarat 0! ditetapkan sama dengan 1. Dengan jelas, n faktorial memenuhi persamaan perulangan. n! = n (n 1)! (1.3.2) 2

3 Dengan menggunakan persamaan perulangan ini, dapat terlihat bahwa faktorialfaktorial dari 0, 1, 2, 3,4,5 dan 6 adalah, secara berurutan, 1, 1, 2, 6, 24, 120, dan 720. Bacaan lanjutan : Freund[6] 6; Stein dan Barcellos[22]S23. ( ) n 1.4 Notasi Kombinatorial r Suatu komite terdiri dari 5 orang. Berapakah banyak cara kita untuk memilih seorang sub-komite dari 2 orang? Mari kita nyatakan anggota-anggota komite dengan huruf A, B, C, D dan E. Kandidat-kandidat sub-komite adalah sebagai berikut: AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE. Ada sepuluh kemungkinan sub-komite yang berbeda. Umumnya, banyak ( cara ) yang berbeda untuk memilih r bilangan dari n n dilambangkan 1 dengan dan ( ) r n = r n! r!(n r)! = n(n 1)...(n r+1) r. (1.4.1) Dalam ( contoh ) numerik n = 5, r = 2, dan 5 = (2 1) (3 2 1) = = 10. Ada pun situasi di mana kita harus mentaksirkan ( ) [x(x 1)... (x r + 1)]/r! n untuk nilai non-integer x. Definisi dari dapat digeneralisasikan untuk mencakup semua nilai x yang mungkin (integer, non-integer, positif, atau r negatif) sebagai berikut: ( ) x = x(x 1)...(x r+1) r r (1.4.2) Namun, formula ini hanya akan mempunyai makna kombinatorial saat x adalah bilangan bulat non-negatif. 1 ( ) n Contoh Taksirkan untuk semua nilai r yang mungkin termasuk ( nilai ) n dari 0 sampai 7. Gunakan formula (1.4.1). r 0 = 0 0! 0!0! = = 1; 1 Beberapa buku melambangkan banyaknya cara yang berbeda untuk memilih r bilangan dari n dengan n C r. 3

4 ( ) 1 0 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 0 ) 2 ( 1 ) 2 2 ( ) 6 3 = 1! 0!1! = = 1; = 1! 1!0! = = 1; = 2! 0!2! = = 1; = 2! 2!1! = = 2; = 2! 2!0! = = 1; = 6! 3!3! = (3 2 1) (3 2 1) = 20. Jawaban lengkap dapat dilihat pada tabel dalam bentuk suatu segitiga paskal. Perlu dicatat bahwa setiap bilangan adalah sama dengan jumlah dari dua bilangan lain: bilangan atasnya, dan bilangan atas tetapi satu tempat lebih ke kiri. Table Segitiga paskal - tabel satu nilai dari n r ( n r ( ) 1.5 Contoh Taksirkan. 3 ( ) 1.5 = 1.5 (1.5 1) (1.5 2) = ( 0.5) = Bacaan lanjutan: Freund [6] 1-14; Stein and Barcellos [22] S22-S Notasi pangkat Pangkat keenam dari suatu bilangan x adalah x 6, dan ) x 6 = x x x x x x = (x x x x) (x x) = (x x) (x x) (x x) 4

5 = (x x x) (x x x). (1.5.1) Maka dari itu, dapat dilihat bahwa dan x 6 = x 4 x 2 = (x 2 ) 3 = (x 3 ) 2, (1.5.2) x 6 /x 4 = x 2. (1.5.3) Persamaan-persamaan ini tentunya merupakan contoh tertentu dari hubungan umum bilangan berpangkat sebagai berikut: x a x b = x a+b ; (1.5.4) x a /x b = x a b ; (1.5.5) (x a ) b = x ab = (x b ) a. (1.5.6) Jelas bahwa hubungan-hubungan ini berlaku saat a, b dan a b adalah bilangan bulat positif. Ini berlaku untuk semua bilangan a dan b, positif maupun negatif, bilangan bulat maupun pecahan, asalkan ketentuan-ketentuan sebagai berikut terpenuhi: x 0 = 1; (1.5.7) x a = 1/x a ; (1.5.8) x 1 a = ath root of x. (1.5.9) Kalkulator-kalkulator saku modern sering kali memiliki tombol x y yang memungkinkan perhitungan cepat bilangan berpangkat y manapun (positif, negatif ataupun nol; pecahan ataupun bilangan bulat) dari bilangan positif x. Jika tombol tersebut tidak ada, persamaan berikut dapat digunakan: 2 x y = e y ln x. Contoh Hitunglah (a) 2 3. (b) (c) (d) Fungsi eksponen e x dan fungsi logaritma natural ln x dijelaskan di bawah dalam bagian 1.9 dan 1.10 secara berurut. 5

6 (e) (f) (5 2 ) Penyelesaian : (a) a 3 = ( 1 2 )3 = 1 8 = (b) = 3 = (c) = ( 1 3 ) 1 2 = 1 3 = (d) (27) 2 3 = [(27) 1 3 ] 2 = 3 2 = 9. (e) (27) 2 3 = 1/(27) 2 3 = 1 9 = (f) (5 2 ) = = 5 0 = 1. Contoh Taksirkan ( ) Penaksiran dapat langsung dilakukan dengan menggunakan fitur x y dalam kalkulator. Jawabannya adalah Secara alternatif, kita dapat menggunakan (1.5.10): x = ; ln x = ; 0.45 ln x = ; ( ) 0.45 = e 0.45 ln x = Suatu kalkulator dengan fitur x y sebenarnya melakukan prosedur ini secara otomatis. Bacaan lanjutan: Gillet [7]13, 44-8, 52-4, , 154-6; Hughes-Hallett [9] 43; Stein dan Barcellos [22] S27-S Diferensiasi; kemiringan kurva Fig menunjukkan garis lurus yang naik seiring dengan bertambahnya nilai x. Saat x = 2, tinggi dari garis tersebut adalah 2.0 dan saat x = 4, tingginya adalah 3.0. Maka dari itu, saat kita bergerak secara horizontal sebanyak 2 unit, garis tersebut naik sebanyak 1 unit. Kita dapat menyimpulkan bahwa garis tersebut memiliki kemiringan 1 dalam 2 atau 0.5. Secara alternatif, kita dapat mencatat bahwa di antara x = 2 dan x = 5, garis naik sebanyak 1.5 unit dari 2 sampai 3.5. Kemiringannya, maka dari itu, 1.5 dalam 3 atau 0.5. Hasil akhir yang didapatkan sama dengan hasil akhir yang didapat dengan menggunakan cara sebelumnya, karena kemiringan dari suatu garis adalah konstan. Tidak bertambah curam; dan tidak pula bertambah datar. Suatu garis yang turun 1 unit di antara x = 2 dan x = 4 akan memiliki suatu kemiringan -1 dari 2 atau Fig menunjukkan suatu kurva yang pada awalnya cukup datar, namun bertambah miring secara progresif. Sebuah perkiraan dari suatu kemiringan kurva pada titik x, dapat didapatkan dengan cara berikut. 1. Catat tinggi f(x) dari kurva pada titik x. 2. Bergerak ke kanan sepanjang kurva dan catat tinggi f(x + H) pada titik 6

7 x + H. Kenaikan jarak horizontal H adalah f(x + H) f(x), dan dapat ditarik kesimpulan bahwa kemiringan pada titik x adalah kira-kira sekitar f(x + H) f(x) dalam H atau (1.6.1) f(x + H) f(x). H Fig Garis lurus. Fig Memperkirakan kemiringan suatu kurva. Namun, kurva naik semakin tajam, dan terlihat jelas bahwa jika kita menggunakan nilai besar untuk H, sebuah perkiraan buruk kemiringan pada titik x akan didapatkan. Perkiraan yang lebih baik akan didapatkan dengan menggunakan jarak horizontal h yang lebih kecil (fig ). Perkiraan terbaik didapatkan dengan membuat nilai h sekecil mungkin (e.g. mendekati nol) dan menghitung limitnya, dengan nilai h yang mendekati nol dari [f(x+h) f(x)/h. Kemiringan yang sudah didefinisikan dengan cara ini sering disebut sebagai turunan dari kurva f(x) pada titik x dan dilambangkan dengan df(x)/dx atau df/dx. Dapat dituliskan df dx = d dx f(x) = lim h 0 f(x+h) f(x) h. (1.6.2) Formula ini sangat umum. Mari kita perhatikan kasus spesial dan menunjukkan bagaimana formula ini dapat diaplikasikan. Mari kita bayangkan bahwa tinggi f(x) dari suatu kurva pada titik x sama dengan x 3. Pada titik x + h, tinggi kurva tersebut akan menjadi (x + h) 3. Saat kurva naik tinggi akan menjadi (x + h) 3 x 3 dalam jarak horizontal h. Kita catat bahwa (x + h) 3 = x 3 + 3hx 3 + 3h 2 + h 3. Diikuti dengan 1 h [f(x + h) f(x)] = 1 h [(x3 + 3hx 2 + 3h 2 x + h 3 ) x 3 ] = 1 h [3hx2 + 3h 2 x + h 3 ] = 3x 2 + 3hx + h 2. Dalam limit dengan h mendekati nol, dua bilangan terakhir menjadi nol, dan kita simpulkan bahwa kemiringan dari kurva f(x) = x 3 pada titik x diberikan oleh d dx x3 = 3x 2. (1.6.3) Berikut adalah contoh dari persamaan umum yang terkenal d dx xn = nx n 1, (1.6.4) Yang di mana berlaku untuk semua nilai dari bilangan n konstan (bilangan bu- 7

8 lat, pecahan, positif atau negatif). Selain itu, turunan dari kebanyakan fungsi matematika standar cukup umum dan tidak perlu diturunkan dari prinsip pertama setiap fungsi itu dibutuhkan. Tiga hasil lainnya yang sudah dibuktikan patut dicatat (A adalah nilai konstan tetap dari x): d dx A = 0; (1.6.5) d dx Af(x) = A d dxf(x); (1.6.6) d d dx [f(x) + g(x)] = dx f(x) + d dxg(x). (1.6.7) Terkadang kemiringan d(df/dx)/dx dari kemiringan kurva df/dx dibutuhkan. Turunan kedua ini biasanya dilambangkan dengan d 2 f/dx 2. Turunan ketiga dan selanjutnya dapat juga ditemui. Contoh Apa fungsi F (x) yang saat diturunkan sama dengan 3x 2? Kita mungkin cenderung (dalam pandangan (1.6.3)) untuk menjawab: x 3 tanpa berpikir bapnjang. Ini memang benar bahwa turunan dari x 3 adalah 3x2, tapi begitu juga turunan dari x dan turunan dari x3 + A, untuk nilai A konstan, karena turunan dari nilai konstan A adalah nol (persamaan (1.6.5)) dan turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan (persamaan (1.6.7)). Fungsi F (x) saat diturunkan menghasilkan 3x 2 adalah F (x) = x 3 + A (1.6.8) dan nilai konstan A tidak bisa ditentukan tanpa informasi lebih lanjut. Ini mungkin tampak mengejutkan di awal. Tetapi sebenarnya tidak saat kita amati bahwa dengan mengetahui kemiringan dari suatu garis di semua titiknya, kita dapat mencari tahu tinggi relatif dari beberapa titik garisnya, tetapi kita tidak dapat menentukan tinggi absolut dari titik manapun tanpa mengetahui titik absolut dari beberapa titik awal garis itu. Tiga kurva dalam fig mempunyai kemiringan yang sama antara satu sama lain, tetapi mereka berada di ketinggian yang berbeda. Fig Tiga kurva dengan kemiringan yang sama. Contoh Cari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f(x) = x 5 pada titik x = 2. Berdasarkan (1.6.4) turunan pertama atau kemiringan dari kurva f(x) = x 5 pada titik x adalah df dx = 5x4. Maka dari itu, pada titik x = 2, turunan pertama atau kemiringannya adalah 8

9 5 2 4 = 80. Dengan menggunakan (1.6.4) lagi dan juga (1.6.6), kita dapat melihat bahwa turunan kedua, atau kemiringan dari kurva kemiringan pada titik x adalah d 2 f dx 2 = d dx (5x4 ) = 20x 3. Maka dari itu, pada titik x = 2, turunan kedua adalah = 160. Dengan cara yang sama, turunan ketiga, atau kemiringan dari kemiringan dari kurva kemiringan f(x) pada titik x adalah d 3 f dx 3 = d dx (20x3 ) = 60x 2. Maka dari itu, pada titik x = 2, turunan ketiga adalah = 240. Bacaan lanjutan: Hughes-Hallett [9] , 129, 143-4, 155; Salas dan Hille [21] 10-11, 103-8; Stein dan Barcellos [22] 104-6, , S12-S Maksimum dan minimum Fig menggambarkan kurvaf(x) yang naik sampai titik maksimum kemudian jatuh. Kemiringan kurva adalah positif sebelum titik maksimum dan negatif sesudahnya. Saat mencapai titik Maksimum, kemiringannya nol. dengan kata lain, df dx = 0 (1.7.1) saat mencapai titik maksimum pada kurva f(x). kemiringan kurva cukup curam sebelum titik maksimum namun menjadi datar dan rata saat hampir mencapai titik maksimum. Setelah mencapai titik maksimum, kemiringannya menjadi curam. Maka dari itu, secara matematis kita dapat melihat bahwa turunan df/dx berubah dari positif sebelum mencapai titik maksimum menjadi negatif setelah maksimum (fig ). Kemiringan dari kurva kemiringan pada titik maksimum f(x) haruslah negatif. Dalam kata lain yaitu turunan kedua (bagian 1.6). d 2 dx 2 < 0 (1.7.2) saat mencapai titik maksimum pada kurva. Jenis penalaran yang sama menuntun kita untuk menyimpulkan bahwa di titik minimum pada kurva f(x), = 0; (1.7.3) df dx 9

10 d 2 f dx 2 > 0. (1.7.4) Titik maksimum dan minimum sering kali disebut sebagai titik stasioner, karena tingkat perubahan (atau kemiringan) adalah nol. Fig sebuah kurva dengan titik maksimum Fig kemiringan kurva dari kurva pada Fig Contoh Cari titik-titik stasioner dari fungsi f(x) = 2x 3 9x x + 7. Apa saja nilai dari f(x) pada titik-titik ini? Pada titik stasioner, kemiringannya haruslah nol. Dalam kata lain, df dx = 6x2 18x + 12 = 0, atau x 2 3x + 2 = 0. Terdapat dua kemungkinan solusi untuk persamaan kuadrat ini: x = 1 dan x = 2. Maka dari itu, kurva f(x) memiliki dua titik stasioner. Satu akan menjadi titik maksimum dan satu lagi menjadi titik minimum. Untuk menentukan jenis titik keduanya, kita perlu memeriksa kemiringan dari kurva kemiringan atau turunan keduanya d 2 f dx 2 = d dx (6x2 18x + 12) = 12x 18. Saat x = 1, turunan keduanya adalah negatif ( 6), dan kita simpulkan bahwa x = 1 adalah titik maksimum. Saat x = 2, turunan keduanya adalah positif (+6), mengindikasikan bahwa x = 2 adalah titik maksimum. Hasil akhir dapat disimpulkan sebagai berikut: titik maksimum : x = 1, f(x) = 12; titik minimum : x = 2, f(x) = 11. Bacaan lanjutan: Gillet[7] 156, 184-8, ; Hughes-Hallett [9] , 293; Salas dan Hille [21] ; Stein dan Barcelloss [22] 177, Fungsi lebih dari satu variabel; maksimum dan minimum Kemiringan dari fungsi f(x) dalam satu dimensi adalah tingkat kenaikan dari fungsi tersebut seiring x meningkat. Suatu fungsi dengan dua variabel x dan 10

11 y dapat disamakan dengan sebuah bukit. Dengan nilai x dianalogikan sebagai garis lintang dan nilai y sebagai garis bujur dan tinggi pada titik tertentu (x, y) dengan nilai fungsi f(x, y). Jika kita mulai berjalan di kaki bukit itu dan langsung menuju puncaknya, kita mungkin akan berpikir bahwa mendakinya akan menjadi cukup sulit karena kemiringannya cukup curam. Demgan cara lain, kita dapat men-zig-zag ke atas bukit melewati jalan yang tidak terlalu curam. Dengan jelas, kemiringan pada titik tertentu (x, y) tergantung pada arah yang kita tuju. Dalam konteks matematik, ada dua arah yang penting: arah dari y konstan dan x yang bertambah (garis bujur konstan dan garis lintang yang bertambah besar) dan arah dari x konstan dan y yang bertambah (garis lintang konstan dan garis bujur yang bertambah). Kemiringan dalam arah dari y konstan dan x yang bertambah disebut sebagai turunan parsial dari f(x, y) terhadap x dan dilambangkan sebagai f/ x. Ini didapatkan dengan memperlakukan y sebagai nilai konstan dan menurunkan f(x, y) terhadap x seperti biasanya. Demikian juga kemiringan pada arah dari x konstan dan y yang bertambah disebut sebagai turunan parsial dari f(x, y) terhadap y dan dilambangkan sebagai f/ y. Ini didapatkan dengan memperlakukan x sebagai nilai konstan dan menurunkan f(x, y) terhadap y. Pada puncak bukit, kemiringan pada arah mana pun adalah nol, termasuk arah (y konstan, x bertambah) dan arah (x konstan, y bertambah). Pada titik maksimum dari fungsi f(x, y) atau titik minimum, f/ x dan f/ y keduanya adalah nol. Hasil-hasil ini digeneralisasikan menjadi fungsi tiga variabel atau lebih (contoh 1.8.2). Contoh Cari nilai minimum dari f(x, y) = x 2 + y 2 x + y + xy 3. Menggunakan definisi-definisi dari turunan parsial dari f(x, y) terhadap x dan y, dan (1.6.4), kita dapat melihat bahwa dalam kasus ini turunan parsialnya adalah secara berurutan, f x = 2x 1 + y; f y = 2y x. Pada titik minimum, dua turunan (atau kemiringan) ini haruslah bernilai nol, menjadi, 2x 1 + y = 0 ; 2y x = 0. 11

12 Kita menyelesaikan dua persamaan ini dengan hasil yang tidak diketahui dan menemukan bahwa minimum adalah - 4 pada titik (1, - 1) e.g. saat x = 1 dan y = 1. Titik stasioner ini adalah titik minimum, karena f bertambah seiring bergeraknya x dan y dari titik x = 1 y = 1. Contoh Cari nilai minimum dari f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 + (x + y + z 3) 2. Dengan menjabarkan 3 f, kita akan mendapat f(x, y, z) = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2yz + 2zx 6x 6y 6z + 9. Turunan parsial terhadap x, y dan z adalah sebagai berikut: f x = 4x + 2y + 2z 6 ; f y = 4y + 2x + 2z 6 ; f z = 4z + 2y + 2z 6. Untuk mendapatkan titik minimum dari f(x, y, z), kita menyamakan tiga turunan parsial ini menjadi sama dengan kosong. Kita dapatkan 4x + 2y + 2z = 6 ; 2x + 4y + 2z = 6 ; 2x + 2y + 4z = 6. Solusi dari tiga persamaan dengan hasil yang tidak diketahui ternyata adalah x = y = z = 3 4. Maka dari itu nilai minimum dari f(x, y, z) adalah, f ( 3 4, 3 4, 3 4) = ( 3 4) 2 + ( 3 4) 2 + ( 3 4) 2 + ( ) 2 = Bacaan lanjutan: Pollard [18] 5; Stein dan Barcellos [22] Fungsi eksponensial e x Fungsi eksponensial e x menduduki posisi penting dalam teori matematis dan statistik, dan kita menggunakannya cukup banyak dalam buku ini. Fungsi ini 3 Pembaca yang akrab dengan aturan fungsi dari suatu fungsi untuk diferensiasi dapat menuliskan derivatif parsial secara langsung tanpa menjabarkan f. 12

13 dapat didefinisikan dalam istilah tak hingga e x = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3!... (1.9.1) Terkadang eksponensial (x) ditulis dengan e x sebagai gantinya. Kalkulator modern sekarang biasanya memiliki tombol e x yang memungkinkan untuk menghitung nilai dari e x secara cepat (hampir seketika) dengan rumus ini. Fungsi eksponensial e x nyatanya adalah pangkat ke x dari sebuah bilangan e = Berdasarkan (1.9.1) bahwa jika kita masukkan x = 1 dalam (1.9.1) kita akan mendapat ; jika kita masukkan x = 1/2, kita akan mendapat akar dari ( ) = ; dan jika kita masukkan x = 2, kita akan mendapat ( ) 2 = Hasil-hasil ini dikonfirmasi dalam contoh dan Grafik dari e x terdapat pada fig Kita perlu mengetahui kemiringan dari fungsi eksponensial e kx, di mana k adalah nilai konstan. Kemiringannya adalah d dx ekx = ke kx. (1.9.2) Pembuktian terdapat pada contoh Berdasarkan (1.9.2) bahwa jika saat fungsi diturunkan menghasilkan e kx, harus menjadi (e kx /k) + C, di mana C adalah nilai konstan bebas. Fig Grafik dari fungsi eksponensial e x. Contoh Gunakan seri (1.9.1) untuk menghitung bilangan eksponensial e dengan bilangan 5 angka di belakang koma secara tepat. Kita masukkan x = 1 dalam (1.9.1) dan mengingat faktorial-faktorial pada bagian 1.3. Bilangan aritmetiknya dapat ditulis sebagai berikut: *table* Maka dari itu, bilangan e adalah Dalam praktek, tentunya suatu individu tidak perlu mengevaluasi fungsi eksponensial dengan cara ini. Kita menggunakan fitur eksponensial dalam kalkulator atau dengan menggunakan suatu tabel. Contoh Gunakan rumus (1.9.1) untuk menghitung e 0.5 dan e 2, dan pastikan jawabanya adalah, secara berurutan, akar kuadrat dan hasil kuadrat dari bilangan e =

14 kita mulai mencatat bahwa istilah berurut dalam seri (1.9.1) mudah dihitung secara rekursif. Sebagai contoh, dalam rumus untuk e 0.5, kita membutuhkan (0.5) 3 /3! Dan (0.5) 4 /4!, (0.5) 4 /4! Dapat didapatkan dengan mengalikan (0.5) 3 /3! dan membaginya dengan 4. Maka dari itu, perhitungan dari e 0.5 dapat dituliskan sebagia berikut: *table* Maka dari itu, nilai dari e 0.5 adalah , dan adalah akar kuadrat dari Perhitungan untuk e 2 adalah sebagai berikut: *table* Maka dari itu, nilai dari e 2 adalah , dan adalah hasil kuadrat dari Perlu diperhatikan bagi pembaca bahwa pendekatan rekursif untuk perhitungan dalam seri ini dapat juga digunakan pada contoh Contoh x adalah ke kx. Buktikan bahwa turunan (kemiringan) dari e kx pada titik Berdasarkan (1.9.1) e kx = 1 + kx + k2 x 2 2! + k3 x 3 3! +... Dari bagian 1.6 kita mengetahui turunan-turunan dari 1, x, x 2, x 3, adalah secara berurutan, 0, 1, 2x, 3x 2,... Maka dari itu, turunan dari e kx adalah, d dx ekx = 0 + k(1) + k2 (2x) 2! + k3 (3x 2 ) 3! +... = k + k2 x 1! + k3 x 2 2! +... ( ) = k 1 + kx 1! + k2 x 2 2! +... = ke kx Contoh Kemiringan dari fungsi F (x) pada titik x adalah 0.5 e 0.5x, dan nilai dari fungsi F (x) pada titik x =0 adalah nol. Cari rumus untuk F (x), dan nilainya pada titik x = 2. 14

15 Berdasarkan (1.9.2) dan teks di bawahnya, fungsi F (x) saat diturunkan menghasilkan 0.5 e 0.5x adalah C e 0.5x, dimana C adalah konstanta yang belum ditentukan. x = 0, F (x) = 0. dengan kata lain, Namun kita tahu saat C e 0 = 0 Tetapi e 0 = 1, jadi C = 1. Kita simpulkan bahwa F (x) = 1 e 0.5x. when x = 2, F (x) = 1 e 1.0 = Bacaan lanjutan: Gillet [7] 341; Hughes-Hallett [9] 31-2, 36, 235-7, 626-7, 637; Salas dan Hille [21] 647; Stein dan Barcellos [22]

16 1.10 Fungsi logaritma natural ln x Logaritma bilangan denari dari bilangan x, dilambangkan dengan log 10 x, adalah pangkat di mana 10 perlu dinaikkan untuk mendapatkan bilangan yang diinginkan. Dengan kata lain, 10 log 10 x = x (1.10.1) Maka dari itu, log 10 1 = 0, log = 1, log = 2, log = 3, etc., Bilangan denari sangat cocok untuk persoalan aritmetik. Namun tidak menjadi basis yang paling berguna untuk persoalan matematis dan statistik. Basis e menjadi basis yang lebih cocok. Logaritma untuk basis e atau logaritma natural dari bilangan x, dilambangkan dengan ln x, adalah pangkat di mana e = harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan yang diinginkan. Dalam kata lain, e ln x = x. (1.10.2) Sebagai contoh, ln 1 = 0; ln e = ln = 1; ln e 2 = ln = 2; ln e 3 = ln = 3; ln e = ln = 0.5. (1.10.3) Kalkulator modern umumnya memiliki tombol ln x, yang dengan menggunakan fitur ln x ini dalam kalkulator, kita tidak akan kesulitan dalam mendapatkan logaritma natural dari bilangan positif manapun. Penggunaan tabel pun tersedia bagi mereka yang tidak menggunakan kalkulator. Dalam kasus di mana tidak adanya fitur ln x dalam kalkulator dan tabel ln x, logaritma natural dari suatu bilangan x dapat didapatkan dari logaritmanya berbasis 10 yang diubah ke bilangan dengan teorema perubahan basis: ln x = (ln 10) log 10 x = log 10 x. (1.10.4) Fig menunjukkan grafik dari ln x untuk nilai-nilai positif dari x. Perhatikan bahwa kurva mendekati seiring dengan menurunnya x menuju nol, dan menuju + seiring dengan bertambahnya x. Berdasarkan definisi ln x dalam (1.10.2), maka ln xz = ln x + ln z ; (1.10.5) 16

17 Fig Grafik dari fungsi logaritma natural ln x ln(x/z) = ln x ln z ; (1.10.6) ln x a = a ln x. (1.10.7) *graphic* Dalam formulae ini, x dan z haruslah bernilai positif; di pihak lain, a boleh bernilai positif atau negatif. Hasil serupa juga benar untuk bilangan logaritma berbasis 10. Seri-seri berikutnya untuk ln(1 + y) berlaku untuk semua nilai y lebih besar dari 1 dan kurang dari +1, dan seringkali berguna untuk: ln(1 + y) = y 1 2 y y3... (1.10.8) Seri-seri ini dapat digunakan dalam perhitungan logaritma natural dari bilangan positif manapun (contoh dan ), dan fitur ln x dalam kalkulator memanfaatkan penggunaan seri ini. Hasil akhir yang perlu kita perhatikan adalah turunan (atau kemiringan) dari ln x, yang kita turunkan dalam contoh : d dx ln x = 1 x. (1.10.9) Contoh Gunakan rumus (1.10.8) untuk menghitung logaritma natural dari 1.2 dengan 5 angka di belakang koma yang tepat. Konfirmasi bahwa jawaban anda memenuhi persyaratan (1.10.2). Perhitungan dari ln 1.2 dapat dituliskan sebagai berikut: *table* Maka dari itu logaritma natural dari 1.2 adalah Jawaban ini dapat dikonfirmasi dengan menggunakan fitur ln x pada kalkulator. Kita ditanyakan untuk mengonfirmasi bahwa jawaban kita memenuhi persyaratan (1.10.2). Maka dari itu mari kita substitusi ke dalam seri eksponensial (1.9.1). Aritmetikanya dapat ditulis sebagai berikut: *table* Dengan demikian, e = dengan 5 angkat penting di belakang koma. jawaban kita memenuhi persamaan (1.10.2). Dalam praktek, tentunya kita tidak perlu mengevaluasi logaritma-logaritma natural dan eksponen menggunakan seri tak hingga (1.10.8) dan (1.9.1). Kita hanya perlu menekan tombol ln x atau e x pada kalkulator kita, atau melihat tabel. 17

18 * Contoh Dalam rumus (1.10.8) nilai dari y harus terdapat di antara -1 dan 1. Maka dari itu, rumus ini tidak dapat digunakan langsung untuk menghitung logaritma dari suatu bilangan yang bernilai lebih dari 2. Gunakan fakta bahwa 1.5 dibagi dengan 0.5 adalah 3.0, dan bahwa logaritma dari perbandingan suatu dua bilangan adalah sama dengan selisih di antara logaritma dua bilangan itu, untuk mendapatkan logaritma natural dari 3, dengan 5 angka penting di belakang koma. menggunakan (1.10.8). Rumus (1.10.8) dapat digunakan langsung untuk mengevaluasi ln 1.5 dan ln 0.5. Perhitungan dituliskan dalam tabel Kita temui bahwa ln 1.5 = dan ln 0.5 = Dengan demikian ln 3 = ln ( ) = ln 1.5 ln 0.5 = = Maka dari itu, logaritma natural dari 3 adalah *Contoh Cari logaritma natural dari dengan lima angka penting di belakang koma. Satu pendekatan untuk solusi permasalahan ini adalah untuk mencari tahu y sehingga 1+y 1 y = dan melanjutkan dengan cara ini dari contoh Namun, nilai dari y yang dibutuhkan adalah , dan seri-seri logaritma akan ditemukan dengan sangat lambat (jauh lebih lambat bahkan jika dibandingkan dengan tabel ). Pendekatan lain pun digunakan. Membagi secara berulang dengan e = , kita temukan bahwa = e 3. Logaritma natural dari kemudian langsung diperoleh melalui seriseri logaritma (1.10.8) (sudah dihitung pada contoh ), dan logaritma natural dari e 3 adalah 3. Berdasarkan (1.10.5) kita simpulkan bahwa ln , 64 = ln ln e 3 18

19 = = Tabel Perhitungan dari ln 1.5 dan ln 0.5 dari contoh *Table* *Contoh Tunjukkan bahwa kemiringan dari kurva y = ln x pada titik x adalah 1/x. Menurut bagian 1.6, kemiringan dari kurva y = ln x adalah batasnya saat h menjadi sangat kecil 1 h [ln(x + h) ln x] ( ) = 1 h ln (x+h) x using (1.10.6) = 1 h ln ( ) 1 + h x [ = 1 h h x ( 1 h ) 2 ( 2 x + 1 h ) 3 ] 3 x... according to (1.10.8) = 1 x 1 2 h x + 1 h x 3... Dalam batasnya saat h mendekati nol, semua persyaratan-dengan pengecualian untuk yang pertama-dihiraukan dan dapat kita simpulkan bahwa kemiringannya adalah 1/x. Bacaan lanjutan: Gillett [7] 324-6, 471-7, 533-7; Salas dan Hille [21] 648; Stein dan Barcellos [22] 337,