Intisari + Latihan Hitung Kalkulus Dan Fungsi Transeden (Tingkat Lanjut) Tanggal: 28 Maret Oleh: Tjandra Satria Gunawan

Transkripsi

1 Intisari + Latihan Hitung Kalkulus Dan Fungsi Transeden Tingkat Lanjut) Tanggal: 28 Maret 2010 Oleh: Tjandra Satria Gunawan

2 Materi kalkulus tingkat lanjut: Kalkulus merupakan salah satu bagian materi matematika yang mencangkup Limit, Turunan, dan Integral. Namun bagaimana dengan kalkulus fungsi exponen dan logaritma??? Apa dapat dihitung??? Tentu jawabannya adalah dapat setelah mengenal bilangan satu ini, yaitu bilangan e yang sesuai dengan nama penemunya, yaitu Euler Leonhard. Banyak definisi yang diturunkan untuk menemukan bilangan e yang merupakan suatu limit tak terhingga berikut ini:, menurut aturan binomial, limit tersebut dapat diekspansi menjadi berikut: Satu jika dipangkatkan berapapun adalah 1, sehingga: Menyederhanakan kombinasi dengan definisi faktorial: Sehingga didapat: Dengan memindahkan nilai n dari pembilang ke penyebut: Kemudian dikembalikan ke pembilang: Lalu disederhanakan dengan definisi pembagian bilangan berpangkat pangkat dikurangi 1): Lalu ditransformasi ke masing-masing pengali: Setelah itu disatukan menjadi: Lalu di pisah menjadi dua pecahan: Kemudian disederhanakan sehingga menjadi limit dalam bentuk:

3 Dengan memasukkan nilai limit n yang mendekati tak terhingga maka didapat: Karena berapapun jika dibagi tak terhingga adalah nol, maka: Sehingga didapat nilai e yang paling sederhana adalah: Kemudian karena 0! adalah1 persamaan tersebut dapat diubah dalam notasi sigma menjadi: Maka pada kesimpulannya nilai e adalah: Jika dihitung secara manual, nilai e adalah: Dalam bentuk desimal adalah: Setelah mengenal nilai e, mari kita telaah lebih dalam lagi, yaitu exponen x atau bisa ditulis dengan expx) atau e x. Nilai dari exponen tersebut adalah kaji ulang rumus diatas untuk mendapatkan nilai e x : ). Mari kita Tidak terlalu jauh berbeda dari yang tadi, namun ditambah satu variabel lagi, yaitu x. Karena e=, maka nilai e x adalah: ) ) maka didapat definisi baru, yaitu: e x =, menurut aturan binomial, limit tersebut dapat diekspansi menjadi berikut: Satu jika dipangkatkan berapapun adalah 1, sehingga: Menyederhanakan kombinasi dengan definisi faktorial: Sehingga didapat: Dengan memindahkan nilai n dari pembilang ke penyebut: Kemudian dikembalikan ke pembilang:

4 Lalu disederhanakan dengan definisi pembagian bilangan berpangkat pangkat dikurangi 1): Lalu ditransformasi ke masing-masing pengali: Setelah itu disatukan menjadi: Lalu di pisah menjadi dua pecahan: Kemudiang disederhanakan sehingga menjadi limit dalam bentuk: Dengan memasukkan nilai limit n yang mendekati tak terhingga maka didapat: Karena berapapun jika dibagi tak terhingga adalah nol, maka: Sehingga didapat nilai e x yang paling sederhana adalah: Kemudian karena 0! adalah1 persamaan tersebut dapat diubah dalam notasi sigma menjadi: Nah, sekarang, mari kita kaitkan dengan kalkulus, jika fx)=e x, berapakah nilai dari turunannya??? Perhatikan teknik berikut: Dengan menggunakan definisi turunan ax n ) berdasarkan x adalah nax n-1 ) maka persamaan setelah diturunkan menjadi:

5 Oleh karena itu, turunan dari e x adalah juga e x. Sekarang saya akan mengajak anda untuk mengenal turunan logaritma, masih ingatkah anda tentang logaritma dan sifat-sifatnya??? Jika belum, silahkan cari guru, atau beli buku logaritma di toko buku terdekat dan pelajari. Jika sudah, selamat! Saatnya mempelajari logaritma natural, apa beda logaritma natural dengan logaritma biasa??? Bedanya adalah pada bilangan pokoknya, karena logaritma natural adalah logaritma dengan bilangan pokok e. Dibeberapa kalkulator, terutama pada kalkulator scientific ada tombol bertulisan ln, nah apa itu ln??? Tidak lain adalah singkatan dari logaritma natural, jika anda mengetikkan suatu bilangan, sebut saja x pada kalkulator, lalu anda menekan tombol ln, itu berarti anda memasukkan perintah ln x pada kalkulator. Apa itu ln x, tidak lain adalah e log x. Biasanya 10 log x ditulis log x, namun ada lagi logaritma yang tidak biasa, yaitu e log x, yang ditulis ln x. Apakah turunan dari ln x??? Tentu anda akan dapat menghitungnya sendiri setelah mempelajari turunan logaritma. Dasar dari bentuk logaritma adalah m log n. Sekarang apabila fx)= p log x maka f x)-nya adalah berapa??? Untuk menghitungnya, mari kita telaah kembali definisi terdasar turunan yang berasal dari limit. Kita mengetahui bahwa: Kemudian kita masukkan nilai fx)= p log x ke dalam persamaan sehingga: Kemudian setelah disederhanakan didapat suatu limit yaitu: Kemudian karena x hanya berada dalam log, maka nilai limit dapat dipindah ke dalam log, sehingga persamaan menjadi: ) ) ) Jika dimisalkan adalah m, maka jika x mendekati nol, tentu nilai m juga mendekati nol, sehingga limit tersebut menjadi: ) Sekarang mari kita bandingkan dengan dengan limit bilangan e : ) Jika nilai n mendekati tak terhingga, maka nilai adalah mendekati nol sehingga jika dimisalkan =m, maka limit tersebut menjadi: Lalu kedua persamaan diatas yang dicetak tebal) disubtitusikan sehingga mendapat persamaan:

6 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Setelah mempelajari turunan logaritma, tentu anda akan dapat mencari turunan ln x, yaitu: Sehingga turunan dari ln x adalah Sekarang, karena kebalikan turunan adalah integral, maka integral dari adalah ln x. Jika kita mengintegralkan secara langsung menggunakan definisi ax n ): Kita tidak mendapat hasilnya karena tak terdefinisi. Sehingga dibutuhkan bilangan e untuk menyelesaikannya Seperti yang dijelaskan diatas). Jadi kesimpulannya adalah: Nah, saatnya untuk mempelajari kalkulus exsponen, pada pembahasat tadi, didapat turunan dari e x adalah e x juga. Sekarang, saatnya untuk mengembangkan rumus tersebut menjadi lebih kompleks. Bagaimana jika yang diturunkan adalah e 2x, e 4x, e 3x+7, e 2x-5??? Kini saatnya menggunakan aturan rantai, karena e 2x tersebut tidak diturunkan langsung berdasarkan pemangkatnya, yaitu 2x, tetapi diturunkan berdasarkan x, oleh karena itu, kita harus turunkan berdasarkan pemangkatnya, bagaimana caranya?? Gunakan aturan rantai. Contoh: tentukan turunan dari: e 2x-5 Secara aljabar, e fx) dengan fx) adalah suatu fungsi. Turunannya adalah: Jika teori diatas diterapkan untuk menurunkan e 2x-5 maka hasilnya akan sama. Dari soal tersebut, didapat fx)=2x-5, telah kita ketahui pula dengan menggunakan teorema turunan biasa bahwa turunan dari 2x-5 adalah 2 sehingga: Sama kan??? Catatan: adalah turunan dari fx) Ok, tadi adalah kalkulus exponen dengan bilangan e, namun bagaimana jika fungsi yang akan diturunkan adalah bilangan non- e seperti a x? Kunci dari menyelesaikannya adalah mengubahnya ke dalam bentuk e. Sekarang akan saya tunjukkan caranya: Contoh: jika fx)=a x ubahlah ke dalam bentuk e!

7 Untuk mengubahnya, mari kaji ulang aturan log berikut: e x =m, maka e log m =x atau ln m= x. Maka jika nilai x= ln m ini disubtitusukan kembali ke persamaan e x =m maka persamaan menjadi: e ln m =m. Oleh karena itu, jika m adalah suatu fungsi, sebut saja fx), maka fx)= e ln fx). Sekarang, mari kita terapkan pada soal, karena fx) adalah a x maka jika diubah dalam bentuk e menjadi: Sehingga bentuk e dari a x adalah e x.ln a. Catatan: ingat, aturan dalam logaritma natural sama dengan aturan log biasa, sehingga ln a x =x.ln a. Sekarang saatnya untuk mencari turunan dari fungsi a x. Perhatikan ilustrasi berikut ini: Langkah 1: ubah exponen menjadi bentuk e Langkah 2: gunakan aturan rantai pada turunan: Langkah 3: karena turunan bilangan e berpangkat oleh pangkat itu sendiri adalah kembali ke bilangan itu sendiri. Segingga. maka persamaan menjadi: Langkah 4: untuk mencari turunan x.ln a, gunakan turunan biasa, karena ln a tidak mengandung x maka ln a tidak ikut diturunkan sehingga: Langkah 5: kembalikan fungsi dari bentuk e kembali ke dalam bentuk exsponen jika memungkinkan) sehingga: Maka turunan dari a x adalah a x.ln a. Ok, Saatnya memasuki exsponen dengan tingkatan yang lebih kompleks, bagaimana turunan ax 2 +bx+c) px+q) atau 2x 2 +4x+3) 6x+8??? Jika dibahas satu per satu dengan menggunakan aturan rantai akan panjang dan memakan waktu agak lama, oleh karena itu, kita akan membuat rumus untuk menyelesaikan persamaan diatas: Masalah diatas merupakan suatu fungsi yang dipangkatkan dengan fungsi, sehingga kita ubah ke bentuk yang lebih sederhana miaslkan fx) gx). Maka turunan dari fungsi tersebut adalah: Karena pada aturan turunan perkalian: Misalkan hx)= ln fx), maka: Kemudian kedua persamaan diatas yang dicetak tebal) disubtitusikan, sehingga didapat:

8 ) Dengan mengubah kembali bentuk e menjadi non- e maka: ) ) Kemudian menggunakan aturan rantai untuk menurunkan ln fx) menjadi: ) Oleh karena turunan ln x oleh x adalah 1 per x, maka turunan ln fx) oleh fx) adalah 1 per fx), sehingga: ) Maka dapat disimpulkan bahwa turunan fx) gx) adalah: ) ) Sekarang untuk menyelesaikan soal-soal exponen yang rumit dan kompleks, dapat digunakan rumus berikut: ) Rumus ini juga berlaku untuk exponen sederhana seperti contoh a x tadi, perhatikan jika mencari turunan a x dengan menggunakan rumus diatas: Dari soal: a x =fx) gx), didapat fx)=a dan gx)=x, sehingga, dengan menggunakan aturan turunan biasa: turunan fx)=0 dan turunan gx)=1, sehingga: f x)=0 dan g x)=1. Karena fx);gx);f x);g x) telah diketahui, kita subtitusikan ke dalam rumus ini, sehingga didapat: Sama kan??? Catatan: Memang lebih efisien jika mengetahui rumus umumnya, namun akan jauh lebih baik jika mengetahui proses pembentukan rumusnya. Karena kita akan dapat mengembangkan rumus tersebut menjadi rumus baru yang lebih bermanfaat. Nah, gimana? Jika anda telah menguasai semua materi diatas, selanjutnya akan lebih mudah, karena kali ini saya hanya akan membahas integral dalam logaritma natural, dan materi selesai. Lanjut ke integral, sesungguhnya pada hitung kalkulus integral exponen, hanya merupakan sedikit modifikasi dan pengembangan dari turunan exponen. Misal: tentukan integral dari a x! telah kita ketahui, bahwa turunan dari a x adalah a x ln a, sehingga Pada soal, diminta Bentuk ini dapat diubah menjadi: Oleh karena ln a tidak menganding unsur x, maka ln a tidak ikut di integralkan, sehingga: Karena maka:

9 Untuk soal integral lainnya tidak jauh dari apa yang kita bahas baru ini. Untuk menyelesaikan integral exponen, yang perlu diingat hanyalah: integral e x adalah tetap e x dan integral a x adalah, teknik subtitusi dan integral adalah balikan dari turunan. Nah, akhirnya cukup sekian materi yang perlu kuberikan, sisanya mari kita bahas beberapa soal-soal kalkulus tingkat tinggi berikut ini: Penyederhanaan Limit Fungsi e : Contoh: Ubahlah ke dalam exponen bilangan e : Penyelesaian: ) ) ) Misalkan =n, maka persamaan menjadi: ) ) ) Karena e= maka: ) ) ) Sehingga jawaban dari soal tersebut adalah e 5. Contoh soal lainnya jawab sendiri & pake latihan): 1. Ubahlah ke dalam exponen bilangan e : 2. Ubahlah ke dalam exponen bilangan e : Turunan Berbasis Fungsi e : Contoh: Tentukan turunan dari: Penyelesaian:

10 Dengan menggunakan aturan rantai: Sehingga jawaban dari soal tersebut adalah:. Contoh soal lainnya jawab sendiri & pake latihan): 1. Tentukan turunan dari: fx)=e 2x fx)=x.e x fx)=ax+b).e px 2. Tentukan turunan pecahan beikut tips: kalikan dulu bentuk sekawan lalu sederhanakan dengan kreatif) Contoh: Tentukan integral dari: Penyelesaian: Integral Berbasis Fungsi e : Langkah pertama adalah cari turunan dari pangkatnya: Kemudian pada soal: Kemudian subtitusi nilai 2 dx menjadi: Oleh karena e 2x+3 di integralkan berdasarkan 2x+3, maka hasil integralnya adalah sama deangan sebelum diintegral, yaitu: e 2x+3 sehingga: Maka integral dari fungsi diatas adalah. Contoh soal lainnya jawab sendiri & pake latihan): Tentukan Integral dari: Integral Tidak Tentu natural): Contoh:

11 Tentukan integral dari: Penyelesaian: Langkah pertama adalah cari turunan penyebutnya: Kemudian pada soal: Kemudian subtitusi nilai 3x 2 +2) dx menjadi: Oleh karena 2 tidak mengandung unsur x, maka 2 dapat dikeluarkan dari integral, sehingga: Pada pembahasan materi tadi, kita mengetahui bahwa = ln x, maka jika nilai x diganti Menjadi x 2 +2x-3, maka hasil pengintegralannya adalah lnx 3 +2x-3). Sehingga: Maka integral dari fungsi diatas adalah: 2.lnx 3 +2x-3). Contoh soal lainnya jawab sendiri & pake latihan): Tentukan Integral dari: Turunan Fungsi Logaritma: Contoh: Tentukan turunan dari: Penyelesaian: Dengan menggunakan aturan rantai: Karena pada pambahasan materi tadi didapatkan rumus turunan dari p log x adalah maka: Maka turunan dari fungsi diatas adalah: Contoh soal lainnya jawab sendiri & pake latihan):

12 1. Tentukan turunan dari: fx)= 3 log 2x fx)=ln3x+5) fx)=2.ln2x+3) fx)=lnx 2-3x+2) fx)=lnx 3-3x 2 +6) fx)=x 2 ln4-x) Pembuktian Oprasi Hitung Turunan tingkat dasar): Sekarang kita mulai masuk ke permasalahan pembuktian rumus-rumus, segala rumus matematika pasti ada bukti secara nyata dan logis, karena matematika adalah ilmu eksak dan pasti, pada pembuktian ini saya akan mencoba membuktikan rumus pengoprasian turunan pembagian, berikut ini Permasalahannya: Buktikan: ) Untuk membuktikan kasus seperti ini, kita harus mengenal definisi dasar dari turunan, yaitu: Kemudian kita ubah dan sesuaikan bentuk limit turunan diatas sesuat dengan permasalahan, yaitu bentuk oprasi pembagian fungsi: sehingga bentuk limit diatas menjadi: ) Kemudian, untuk mengurangi dalam bentuk pecahan, samakan penyebutnya, didapat: Karena penyebut sudah sama bentuk tersebut dapat disederhanakan menjadi: ) Kemudian nilai dimasukkan dan kurung dibuka, menjadi: Sehingga didapat bentuk limit pembagian yang paling sederhana adalah: Apa permasalahan selesai??? Belum, karena limit diatas belum membuktikan hasil yang diminta. Nah, mulai dari tahap ini diperlukan kreatifitas yang tinggi, jika anda berpikir limit tersebut sudah dalam bentuk bentuk paling sederhana, bagaimana cara menyederhanakan lagi??? Setelah

13 dipikir dengan matang, permasalahan yang akan dibuktikan memiliki elemen f x) dan g x) yang juga merupakan suatu limit, yaitu: Lalu apa yang akan dilakukan pada bentuk limit tersederhana yang didapat tadi, yaitu: Bukan disederhanakan lagi, namun dikembangkan/diekspansi menjadi 2 bentuk limit diatas, yaitu f x) dan g x), caranya??? Perhatikan limit diatas, di sebelah kiri, terdapat pasangan fx+ x).gx) jika dibayangkan pasangan tersebut mendekati limit yang dimiliki f x) sehingga untuk mengubahnya menjadi ada bentuk fx+ x) fx) itu mungkin, karena mengandung unsur gx) maka setelah berubah akan menjadi gx). [fx+ x) fx)] yang diekspansi menjadi fx+ x).gx) fx).gx). Sehingga persamaan dikiri harus dikurangi fx).gx), lalu perhatikan juga persamaan dikanan, yaitu terdapat pasangan fx).gx+ x) jika dibayangkan pasangan tersebut mendekati limit yang dimiliki g x), sehingga untuk mengubahnya menjadi ada bentuk gx+ x) gx) itu mungkin, karena mengandung unsur fx) ingat tanda negatif maka setelah berubah akan menjadi fx). [gx+ x) - gx)] yang diekspansi menjadi fx).gx+ x) + fx).gx). Sehingga persamaan dikiri harus ditambah fx).gx), hal itu mungkin karena jika persamaan tersebut yang kiri dikurang fx).gx), sedangkan yang dikanan ditambah fx).gx) maka jika dijumlahkan adalah nol, atau netral) sehingga mungkin memberikan tambahan fx).gx) pada persamaan. Untuk jelasnya perhatikan langkah berikut: Kemudian nol tersebut diganti dengan fx).gx) fx).gx) sesuai dengan yang direncanakan tadi, sehingga: Kemudian sesuai dengan yang direncanakan, fx).gx) yang negatif pindah kekiri, sedangkan fx).gx) yang positif tetap dikanan, sehingga: Kemudian masing-masing diberi tanda kurung, hati-hati dengan perubahan tanda diruas kanan karena tanda kurung) sehingga limit tersebut menjadi: ) ) Kemudian nilai gx) pada bagian kiri dan nilai fx) di bagian kanan dikeluarkan dari tanda kurung, sehingga: ) )

14 Kemudian nilai x pada penyebut dipindah keatas, sehingga: ) ) Kemudian, dengan sedikit modifikasi, limit tersebut menjadi: ) ) Kemudian menurut aturan aljabar, limit tersebut dapat digandakan menjadi: ) ) fx) dan gx) dapat dikeluarkan dari limit karena limit tersebut hanya berdasarkan x, sedangkan fx) dan gx) tidak mengandung x, Catatan: x berbeda dengan x) sehingga: ) ) Kemudian, menurut definisi dasar dari turunan yang tadi kita bahas, telah didapat: Dengan mensubtitusi kedua persamaan tersebut, didapat: Kemudian, sudah saatnya nilai limit x mendekati nol dimasukkan ke persamaan, sehingga: Kemudian persamaan disederhanakan menjadi: Sehingga terbuktilah bahwa: ) ) Nah, sekarang saya kasi 1permasalahan lagi, yaitu membuktikan turunan perkalian. Silahkan coba diselesaikan, cara membuktiannya tidak jauh beda dengan cara yang diatas. Buktikan: Catatan: Berfikirlah secara kreatif untuk membuktikan permasalahan ini dan jangan terlalu terikat dengan rumus yang sudah ada, namun mengertilah konsep yang banyak, maka anda akan dapat membuktikan, bahkan menciptakan rumus baru dalam ilmu matematika.

15 Pembuktian limit bilangan e : Inilah dia klimaks dari kalkulus yang akan dibahas, yaitu adalah pembuktian oprasi limit bilangan e dan logaritma natural, selain membutuhkan kombinasi rumus yang banyak, hampir semua definisi yang diberikan pada materi ini, akan digunakan untuk pembuktian rumus-rumus, sering digunakan dalam metoda penelitian. Ok, saya akan mencoba memberikan satu masalah untuk dibuktikan dan dibahas langsung dalam materi ini, kemudian saya berikan 3 masalah lagi untuk dibuktikan sendiri. Yap, kita mulai saja, saya berikan satu masalah sebagai berikut: Buktikan: Pada kasus ini dibutuhkan daya kreatifitas yang tinggi. Sehingga langkah pertama adalah dengan mengubah bentuk p x menjadi bentuk e sehingga limit tersebut menjadi: Kemudian disubtitusikan nilai e dalam bentuk limit ke dalam persamaan tersebut, namun limit yang dimasukkan adalah sejenis sehingga karena limit diatas atas adalah mendekati nol, sedangkan limit bilangan e yang umum adalah tak hingga, kita akali agar limit tersebut menjadi mendekati nol. Karena hubungan nol dengan tak hingga adalah:, maka modifikasilah limit bilangan e menjadi: ) Setelah limmit menjadi sejenis, misalkan maka limit tersebut menjadi: ) Sehingga kesimpulannya: Sekarang karena kedua persamaan diatas yang bercetak tebal) sama sama mempunyai nilai limit x mendekati nol ) maka kedua persamaan tersebut dapat disubtitusikan. Dengan mengganti nilai e, maka didapat limit baru sebagai berikut: ) Kemudian menurut aturan binomial, limit tersebut dapat diekspansi menjadi berikut: ) Lalu karena 1 dipangkatkan berapa saja tetap 1, dan pengali 1 tak ditulis, maka bilangan 1 berpangkat sebagai pengali dalam limit tersebut dapat dihilangkan, sehingga: Kemudian kombinasi diubah ke dalam bentuk faktorial, sehingga menjadi:

16 Dan disederhanakan menjadi: ) ) Karena x pangkat 1 tidak ditulis; 0 dan 1 faktorial adalah 1, dan x pangkat nol x 0 ) adalah 1 maka limit dapat disederhanakan lagi menjadi: ) Kemudian, tanda kurung dibuka, maka: hati-hati dan ingat dengan perpindahan -1 ) Setelah tanda kurung pada -1 dibuka lagi: 1 dan 1 Dikurangkan: Penjumlahan dengan nol tak ditulis: Nilai x pada penyebut dikeluarkan dan disederhanakan: ) Setelah disederhanakan limit tersebut menjadi: ) Kemudian tanda kurung dibuka dan nilai x dikeluarkan lagi, sehingga: ) Setelah mendapat fungsi limit yang paling sederhana, masukkan nilai x -nya sehingga limit tersebut menjadi: ) Karena nol dikali berapapun adalah nol, maka: Sehingga terbuktilah bahwa

17 Itulah tujuan utama dalam menguasai logaritma natural, bilangan e, kalkulus, dll. Agar kita dapat membuktikan dan menemukan sesuatu rumus baru. Ok, sekarang saya akan memberikan lagi 3 permasalahan untuk dibuktikan: Permasalahan 1: Buktikan: Permasalahan 2: Buktikan: Permasalahan 3: Buktikan: Pada pembuktian rumus, anda harus membuat rumusan yang logis, pasti, dan berlaku untuk semua nilai, tidak boleh nebak-nebak. Karena pembuktian adalah sesuatu bagian matematika yang terrumit no 2, setelah penciptaan rumus. Tidak mesti harus panjang yang seperti saya contohkan tadi, namun harus nyata dan masuk akal, ada banyak jalan/cara dalam membuktikan suatu permasalahan matematika. Atasilah Permasalahan tersebut dengan kreativitas dan akal/jalan pikiran anda masing-masing. Ok, sekian dulu materi dan latihan yang kuberikan, semoga bermanfaat bagi kalian semua... ~Tjandra Satria Gunawan~