Matriks. Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

Transkripsi

1 Mtriks Mtriks dlh dlh susunn sklr elemen-elemen dlm bentuk bris dn kolom. Mtriks A yng berukurn dri m bris dn n kolom (m n) dlh: mn m m n n A Mtriks bujursngkr dlh mtriks yng berukurn n n. Dlm prktek, kit lzim menuliskn mtriks dengn notsi ringks A = [ ij ]. Contoh. Di bwh ini dlh mtriks yng berukurn 3 4: A Mtriks simetri dlh mtriks yng ij = ji untuk setip i dn j. Contoh. Di bwh ini dlh contoh mtriks simetri

2 Mtriks zero-one (/) dlh mtriks yng setip elemenny hny bernili tu. Contoh 3. Di bwh ini dlh contoh mtriks /: Relsi Relsi biner R ntr himpunn A dn dlh himpunn bgin dri A. Notsi: R (A ). R b dlh notsi untuk (, b) R, yng rtiny dihubungnkn dengn b oleh R R b dlh notsi untuk (, b) R, yng rtiny tidk dihubungkn oleh b oleh relsi R. Himpunn A disebut derh sl (domin) dri R, dn himpunn disebut derh hsil (rnge) dri R.

3 3 Contoh 3. Mislkn A = {Amir, udi, Cecep}, = {IF, IF5, IF34, IF33} A = {(Amir, IF), (Amir, IF5), (Amir, IF34), (Amir, IF33), (udi, IF), (udi, IF5), (udi, IF34), (udi, IF33), (Cecep, IF), (Cecep, IF5), (Cecep, IF34), (Cecep, IF33) } Mislkn R dlh relsi yng menytkn mt kulih yng dimbil oleh mhsisw pd Semester Gnjil, yitu R = {(Amir, IF5), (Amir, IF33), (udi, IF), (udi, IF5), (Cecep, IF33) } - Dpt diliht bhw R (A ), - A dlh derh sl R, dn dlh derh hsil R. - (Amir, IF5) R tu Amir R IF5 - (Amir, IF34) R tu Amir R IF34. Contoh 4. Mislkn P = {, 3, 4} dn Q = {, 4, 8, 9, 5}. Jik kit definisikn relsi R dri P ke Q dengn (p, q) R jik p hbis membgi q mk kit peroleh R = {(, ), (, 4), (4, 4), (, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 5) } Relsi pd sebuh himpunn dlh relsi yng khusus Relsi pd himpunn A dlh relsi dri A A. Relsi pd himpunn A dlh himpunn bgin dri A A.

4 4 Contoh 5. Mislkn R dlh relsi pd A = {, 3, 4, 8, 9} yng didefinisikn oleh (x, y) R jik x dlh fktor prim dri y. Mk R = {(, ), (, 4), (, 8), (3, 3), (3, 9)} Representsi Relsi. Representsi Relsi dengn Digrm Pnh A Amir udi Cecep IF IF5 IF34 IF33 P 3 4 Q A A Representsi Relsi dengn Tbel Kolom pertm tbel menytkn derh sl, sedngkn kolom kedu menytkn derh hsil. Tbel Tbel Tbel 3 A P Q A A Amir IF5 Amir IF udi IF udi IF Cecep IF

5 5 3. Representsi Relsi dengn Mtriks Mislkn R dlh relsi dri A = {,,, m } dn = {b, b,, b n }. Relsi R dpt disjikn dengn mtriks M = [m ij ], b b b n M = mn m m n n m m m m m m m m m m yng dlm hl ini R b R b m j i j i ij ), (, ), (, Contoh 6. Relsi R pd Contoh 3 dpt dinytkn dengn mtriks dlm hl ini, = Amir, = udi, 3 = Cecep, dn b = IF, b = IF5, b 3 = IF34, dn b 4 = IF33. Relsi R pd Contoh 4 dpt dinytkn dengn mtriks yng dlm hl ini, =, = 3, 3 = 4, dn b =, b = 4, b 3 = 8, b 4 = 9, b 5 = 5.

6 6 4. Representsi Relsi dengn Grf errh Relsi pd sebuh himpunn dpt direpresentsikn secr grfis dengn grf berrh (directed grph tu digrph) Grf berrh tidk didefinisikn untuk merepresentsikn relsi dri sutu himpunn ke himpunn lin. Tip elemen himpunn dinytkn dengn sebuh titik (disebut jug simpul tu vertex), dn tip psngn terurut dinytkn dengn busur (rc) Jik (, b) R, mk sebuh busur dibut dri simpul ke simpul b. Simpul disebut simpul sl (initil vertex) dn simpul b disebut simpul tujun (terminl vertex). Psngn terurut (, ) dinytkn dengn busur dri simpul ke simpul sendiri. usur semcm itu disebut gelng tu klng (loop). Contoh 7. Mislkn R = {(, ), (, b), (b, ), (b, c), (b, d), (c, ), (c, d), (d, b)} dlh relsi pd himpunn {, b, c, d}. R direpresentsikn dengn grf berrh sbb: b c d

7 7 Sift-sift Relsi iner Relsi biner yng didefinisikn pd sebuh himpunn mempunyi beberp sift.. Refleksif (reflexive) Relsi R pd himpunn A disebut refleksif jik (, ) R untuk setip A. Relsi R pd himpunn A tidk refleksif jik d A sedemikin sehingg (, ) R. Contoh 8. Mislkn A = {,, 3, 4}, dn relsi R di bwh ini didefinisikn pd himpunn A, mk () Relsi R = {(, ), (, 3), (, ), (, ), (3, 3), (4, ), (4, 3), (4, 4) } bersift refleksif kren terdpt elemen relsi yng berbentuk (, ), yitu (, ), (, ), (3, 3), dn (4, 4). (b) Relsi R = {(, ), (, ), (, 3), (4, ), (4, 3), (4, 4) } tidk bersift refleksif kren (3, 3) R. Contoh 9. Relsi hbis membgi pd himpunn bilngn bult positif bersift refleksif kren setip bilngn bult positif hbis dibgi dengn diriny sendiri, sehingg (, )R untuk setip A. Contoh. Tig buh relsi di bwh ini menytkn relsi pd himpunn bilngn bult positif N. R : x lebih besr dri y, S : x + y = 5, T : 3x + y = Tidk stupun dri ketig relsi di ts yng refleksif kren, mislkn (, ) bukn nggot R, S, mupun T.

8 8 Relsi yng bersift refleksif mempunyi mtriks yng elemen digonl utmny semu bernili, tu m ii =, untuk i =,,, n, Grf berrh dri relsi yng bersift refleksif dicirikn dny gelng pd setip simpulny.. Menghntr (trnsitive) Relsi R pd himpunn A disebut menghntr jik (, b) R dn (b, c) R, mk (, c) R, untuk, b, c A. Contoh. Mislkn A = {,, 3, 4}, dn relsi R di bwh ini didefinisikn pd himpunn A, mk () R = {(, ), (3, ), (3, ), (4, ), (4, ), (4, 3) } bersift menghntr. Liht tbel berikut: Psngn berbentuk (, b) (b, c) (, c) (3, ) (, ) (3, ) (4, ) (, ) (4, ) (4, 3) (3, ) (4, ) (4, 3) (3, ) (4, ) (b) R = {(, ), (, 3), (, 4), (4, ) } tidk mnghntr kren

9 9 (c) (, 4) dn (4, ) R, tetpi (, ) R, begitu jug (4, ) dn (, 3) R, tetpi (4, 3) R. (d) Relsi R = {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4) } jels menghntr (e) Relsi R = {(, ), (3, 4)} menghntr kren tidk d (, b) R dn (b, c) R sedemikin sehingg (, c) R. (f) Relsi yng hny berisi stu elemen seperti R = {(4, 5)} sellu menghntr. Contoh. Relsi hbis membgi pd himpunn bilngn bult positif bersift menghntr. Mislkn bhw hbis membgi b dn b hbis membgi c. Mk terdpt bilngn positif m dn n sedemikin sehingg b = m dn c = nb. Di sini c = nm, sehingg hbis membgi c. Jdi, relsi hbis membgi bersift menghntr. Contoh 3. Tig buh relsi di bwh ini menytkn relsi pd himpunn bilngn bult positif N. R : x lebih besr dri y, S : x + y = 6, T : 3x + y = - R dlh relsi menghntr kren jik x > y dn y > z mk x > z. - S tidk menghntr kren, mislkn (4, ) dn (, 4) dlh nggot S tetpi (4, 4) S. - T = {(, 7), (, 4), (3, )} menghntr. Relsi yng bersift menghntr tidk mempunyi ciri khusus pd mtriks representsiny Sift menghntr pd grf berrh ditunjukkn oleh: jik d busur dri ke b dn dri b ke c, mk jug terdpt busur berrh dri ke c.

10 3. Setngkup (symmetric) dn tk-setngkup (ntisymmetric) Relsi R pd himpunn A disebut setngkup jik untuk semu, b A, jik (, b) R, mk (b, ) R. Relsi R pd himpunn A tidk setngkup jik (, b) R sedemikin sehingg (b, ) R. Relsi R pd himpunn A disebut tolk-setngkup jik untuk semu, b A, (, b) R dn (b, ) R hny jik = b. Relsi R pd himpunn A tidk tolk-setngkup jik d elemen berbed dn b sedemikin sehingg (, b) R dn (b, ) R. Perhtiknlh bhw istilh setngkup dn tolk-setngkup tidklh berlwnn, kren sutu relsi dpt memiliki kedu sift itu sekligus. Nmun, relsi tidk dpt memiliki kedu sift tersebut sekligus jik i mengndung beberp psngn terurut berbentuk (, b) yng mn b. Contoh 4. Mislkn A = {,, 3, 4}, dn relsi R di bwh ini didefinisikn pd himpunn A, mk () Relsi R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 4), (4, ), (4, 4) } bersift setngkup kren jik (, b) R mk (b, ) jug R. Di sini (, ) dn (, ) R, begitu jug (, 4) dn (4, ) R. (b) Relsi R = {(, ), (, 3), (, 4), (4, ) } tidk setngkup kren (, 3) R, tetpi (3, ) R. (c) Relsi R = {(, ), (, ), (3, 3) } tolk-setngkup kren = dn (, ) R, = dn (, ) R, dn 3 = 3 dn (3, 3) R. Perhtikn bhw R jug setngkup. (d) Relsi R = {(, ), (, ), (, ), (, 3) } tolk-setngkup kren (, ) R dn = dn, (, ) R dn = dn. Perhtikn bhw R tidk setngkup.

11 (e) Relsi R = {(, ), (, 4), (3, 3), (4, ) } tidk tolk-setngkup kren 4 tetpi (, 4) dn (4, ) nggot R. Relsi R pd () dn (b) di ts jug tidk tolk-setngkup. (f) Relsi R = {(, ), (, 3), (, 3) } setngkup dn jug tolksetngkup, dn R = {(, ), (, ), (, ), (3, 3)} tidk setngkup tetpi tolk-setngkup. (g) Relsi R = {(, ), (, ), (, 3), (3, ), (4, ), (4, 4)} tidk setngkup mupun tidk tolk-setngkup. R tidk setngkup kren (4, ) R tetpi (, 4) R. R tidk tolk-setngkup kren (, 3) R dn (3, ) R tetp 3. Contoh 5. Relsi hbis membgi pd himpunn bilngn bult positif tidk setngkup kren jik hbis membgi b, b tidk hbis membgi, keculi jik = b. Sebgi contoh, hbis membgi 4, tetpi 4 tidk hbis membgi. Kren itu, (, 4) R tetpi (4, ) R. Relsi hbis membgi tolk-setngkup kren jik hbis membgi b dn b hbis membgi mk = b. Sebgi contoh, 4 hbis membgi 4. Kren itu, (4, 4) R dn 4 = 4. Contoh 6. Tig buh relsi di bwh ini menytkn relsi pd himpunn bilngn bult positif N. R : x lebih besr dri y, S : x + y = 6, T : 3x + y = - R bukn relsi setngkup kren, mislkn 5 lebih besr dri 3 tetpi 3 tidk lebih besr dri 5. - S relsi setngkup kren (4, ) dn (, 4) dlh nggot S. - T tidk setngkup kren, mislkn (3, ) dlh nggot T tetpi (, 3) bukn nggot T. - S bukn relsi tolk-setngkup kren, mislkn (4, ) S dn (4, ) S tetpi 4. - Relsi R dn T keduny tolk-setngkup (tunjukkn!).

12 Relsi yng bersift setngkup mempunyi mtriks yng elemen-elemen di bwh digonl utm merupkn pencerminn dri elemen-elemen di ts digonl utm, tu m ij = m ji =, untuk i =,,, n : Sedngkn grf berrh dri relsi yng bersift setngkup dicirikn oleh: jik d busur dri ke b, mk jug d busur dri b ke. Mtriks dri relsi tolk-setngkup mempunyi sift yitu jik m ij = dengn i j, mk m ji =. Dengn kt lin, mtriks dri relsi tolk-setngkup dlh jik slh stu dri m ij = tu m ji = bil i j : Sedngkn grf berrh dri relsi yng bersift tolksetngkup dicirikn oleh: jik dn hny jik tidk pernh d du busur dlm rh berlwnn ntr du simpul berbed.

13 3 Relsi Inversi Mislkn R dlh relsi dri himpunn A ke himpunn. Invers dri relsi R, dilmbngkn dengn R, dlh relsi dri ke A yng didefinisikn oleh R = {(b, ) (, b) R } Contoh 7. Mislkn P = {, 3, 4} dn Q = {, 4, 8, 9, 5}. Jik kit definisikn relsi R dri P ke Q dengn (p, q) R jik p hbis membgi q mk kit peroleh R = {(, ), (, 4), (4, 4), (, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 5) } R dlh invers dri relsi R, yitu relsi dri Q ke P dengn (q, p) R jik q dlh keliptn dri p mk kit peroleh R = {(, ), (4, ), (4, 4), (8, ), (8, 4), (9, 3), (5, 3) } Jik M dlh mtriks yng merepresentsikn relsi R, M = mk mtriks yng merepresentsikn relsi R, mislkn N, diperoleh dengn melkukn trnspose terhdp mtriks M,

14 4 N = M T = Mengkombinsikn Relsi Kren relsi biner merupkn himpunn psngn terurut, mk opersi himpunn seperti irisn, gbungn, selisih, dn bed setngkup ntr du relsi tu lebih jug berlku. Jik R dn R msing-msing dlh relsi dri himpun A ke himpunn, mk R R, R R, R R, dn R R jug dlh relsi dri A ke. Contoh 8. Mislkn A = {, b, c} dn = {, b, c, d}. Relsi R = {(, ), (b, b), (c, c)} Relsi R = {(, ), (, b), (, c), (, d)} R R = {(, )} R R = {(, ), (b, b), (c, c), (, b), (, c), (, d)} R R = {(b, b), (c, c)} R R = {(, b), (, c), (, d)} R R = {(b, b), (c, c), (, b), (, c), (, d)}

15 5 Jik relsi R dn R msing-msing dinytkn dengn mtriks M R dn M R, mk mtriks yng menytkn gbungn dn irisn dri kedu relsi tersebut dlh M R R = M R M R dn M R R = M R M R Contoh 9. Mislkn bhw relsi R dn R pd himpunn A dinytkn oleh mtriks R = dn R = mk M R R = M R M R = M R R = M R M R = Komposisi Relsi Mislkn R dlh relsi dri himpunn A ke himpunn, dn S dlh relsi dri himpunn ke himpunn C. Komposisi R dn S, dinotsikn dengn S R, dlh relsi dri A ke C yng didefinisikn oleh S R = {(, c) A, c C, dn untuk beberp b, (, b) R dn (b, c) S }

16 6 Contoh. Mislkn R = {(, ), (, 6), (, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} dlh relsi dri himpunn {,, 3} ke himpunn {, 4, 6, 8} dn S = {(, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} dlh relsi dri himpunn {, 4, 6, 8} ke himpunn {s, t, u}. Mk komposisi relsi R dn S dlh S R = {(, u), (, t), (, s), (, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Komposisi relsi R dn S lebih jels jik dipergkn dengn digrm pnh: s t u Jik relsi R dn R msing-msing dinytkn dengn mtriks M R dn M R, mk mtriks yng menytkn komposisi dri kedu relsi tersebut dlh M R R = M R M R yng dlm hl ini opertor. sm seperti pd perklin mtriks bis, tetpi dengn menggnti tnd kli dengn dn tnd tmbh dengn.

17 7 Contoh. Mislkn bhw relsi R dn R pd himpunn A dinytkn oleh mtriks R = dn R = mk mtriks yng menytkn R R dlh M R R = M R. M R = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Relsi n-ry Relsi biner hny menghubungkn ntr du buh himpunn. Relsi yng lebih umum menghubungkn lebih dri du buh himpunn. Relsi tersebut dinmkn relsi n-ry (bc: ener). Jik n =, mk relsiny dinmkn relsi biner (bi = ). Relsi n-ry mempunyi terpn penting di dlm bsisdt. Mislkn A, A,, A n dlh himpunn. Relsi n-ry R pd himpunn-himpunn tersebut dlh himpunn bgin dri A A A n, tu dengn notsi R A A A n. Himpunn A, A,, A n disebut derh sl relsi dn n disebut derjt.

18 8 Contoh. Mislkn NIM = {3598, 35984, 35985, 35989, 3598, 35985} Nm = {Amir, Snti, Irwn, Ahmd, Cecep, Hmdn} MtKul = {Mtemtik Diskrit, Algoritm, Struktur Dt, Arsitektur Komputer} Nili = {A,, C, D, E} Relsi MHS terdiri dri 5-tupel (NIM, Nm, MtKul, Nili): MHS NIM Nm MtKul Nili Stu contoh relsi yng bernm MHS dlh MHS = {(3598, Amir, Mtemtik Diskrit, A), (3598, Amir, Arsitektur Komputer, ), (35984, Snti, Arsitektur Komputer, D), (35985, Irwn, Algoritm, C), (35985, Irwn, Struktur Dt C), (35985, Irwn, Arsitektur Komputer, ), (35989, Ahmd, Algoritm, E), (3598, Cecep, Algoritm, A), (3598, Cecep, Arsitektur Komputer, ), (35985, Hmdn, Mtemtik Diskrit, ), (35985, Hmdn, Algoritm, A, ), (35985, Hmdn, Struktur Dt, C), (35985, Hmdn, Ars. Komputer, ) }

19 9 Relsi MHS di ts jug dpt ditulis dlm bentuk Tbel: NIM Nm MtKul Nili Amir Amir Snti Irwn Irwn Irwn Ahmd Cecep Cecep Hmdn Hmdn Hmdn Hmdn Mtemtik Diskrit Arsitektur Komputer Algoritm Algoritm Struktur Dt Arsitektur Komputer Algoritm Algoritm Arsitektur Komputer Mtemtik Diskrit Algoritm Struktur Dt Arsitektur Komputer A D C C E A C sisdt (dtbse) dlh kumpuln tbel. Slh stu model bsisdt dlh model bsisdt relsionl (reltionl dtbse). Model bsisdt ini didsrkn pd konsep relsi n-ry. Pd bsisdt relsionl, stu tbel menytkn stu relsi. Setip kolom pd tbel disebut tribut. Derh sl dri tribut dlh himpunn tempt semu nggot tribut tersebut berd. Setip tbel pd bsisdt diimplementsikn secr fisik sebgi sebuh file. Stu bris dt pd tbel menytkn sebuh record, dn setip tribut menytkn sebuh field.

20 Secr fisik bsisdt dlh kumpuln file, sedngkn file dlh kumpuln record, setip record terdiri ts sejumlh field. Atribut khusus pd tbel yng mengidentifiksikn secr unik elemen relsi disebut kunci (key). Opersi yng dilkukn terhdp bsisdt dilkukn dengn perinth pertnyn yng disebut query. Contoh query: tmpilkn semu mhsisw yng mengmbil mt kulih Mtemtik Diskrit tmpilkn dftr nili mhsisw dengn NIM = tmpilkn dftr mhsisw yng terdiri ts NIM dn mt kulih yng dimbil Query terhdp bsisdt relsionl dpt dinytkn secr bstrk dengn opersi pd relsi n-ry. Ad beberp opersi yng dpt digunkn, dintrny dlh seleksi, proyeksi, dn join. Seleksi Opersi seleksi memilih bris tertentu dri sutu tbel yng memenuhi persyrtn tertentu. Opertor: Contoh 3. Mislkn untuk relsi MHS kit ingin menmpilkn dftr mhsisw yng mengmbil mt kulih Mtemtik Diskrit. Opersi seleksiny dlh Mtkul= Mtemtik Diskrit (MHS) Hsil: (3598, Amir, Mtemtik Diskrit, A) dn (35985, Hmdn, Mtemtik Diskrit, )

21 Proyeksi Opersi proyeksi memilih kolom tertentu dri sutu tbel. Jik d beberp bris yng sm niliny, mk hny dimbil stu kli. Opertor: Contoh 4. Opersi proyeksi Nm, MtKul, Nili (MHS) menghsilkn Tbel 3.5. Sedngkn opersi proyeksi NIM, Nm (MHS) menghsilkn Tbel 3.6. Tbel 3.5 Tbel 3.6 Nm MtKul Nili NIM Nm Amir Amir Snti Irwn Irwn Irwn Ahmd Cecep Cecep Hmdn Hmdn Hmdn Hmdn A D C C E A C Mtemtik Diskrit Arsitektur Komputer Algoritm Algoritm Struktur Dt Arsitektur Komputer Algoritm Algoritm Arsitektur Komputer Mtemtik Diskrit Algoritm Struktur Dt Arsitektur Komputer Amir Snti Irwn Ahmd Cecep Hmdn

22 Join Opersi join menggbungkn du buh tbel menjdi stu bil kedu tbel mempunyi tribut yng sm. Opertor: Contoh 5. Mislkn relsi MHS dinytkn dengn Tbel 3.7 dn relsi MHS dinytkn dengn Tbel 3.8. Opersi join NIM, Nm (MHS, MHS) menghsilkn Tbel 3.9. Tbel 3.7 Tbel 3.8 NIM Nm JK NIM Nm MtKul Nili 3598 Hnnto L 3598 Hnnto Algoritm A 3598 Guntur L 3598 Hnnto sisdt Heidi W Heidi Klkulus I Hrmn L Hrmn Teori hs C Krim L Hrmn Agm A Junidi Sttisitik 3598 Frizk Otomt C Tbel 3.9 NIM Nm JK MtKul Nili 3598 Hnnto L Algoritm A 3598 Hnnto L sisdt Heidi W Klkulus I Hrmn L Teori hs C Hrmn L Agm A

23 3 Fungsi Mislkn A dn himpunn. Relsi biner f dri A ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm A dihubungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri A ke kit menuliskn f : A yng rtiny f memetkn A ke. A disebut derh sl (domin) dri f dn disebut derh hsil (codomin) dri f. Nm lin untuk fungsi dlh pemetn tu trnsformsi. Kit menuliskn f() = b jik elemen di dlm A dihubungkn dengn elemen b di dlm. Jik f() = b, mk b dinmkn byngn (imge) dri dn dinmkn pr-byngn (pre-imge) dri b. Himpunn yng berisi semu nili pemetn f disebut jeljh (rnge) dri f. Perhtikn bhw jeljh dri f dlh himpunn bgin (mungkin proper subset) dri. A f b

24 4 Fungsi dlh relsi yng khusus:. Tip elemen di dlm himpunn A hrus digunkn oleh prosedur tu kidh yng mendefinisikn f.. Frs dihubungkn dengn tept stu elemen di dlm berrti bhw jik (, b) f dn (, c) f, mk b = c. Fungsi dpt dispesifiksikn dlm berbgi bentuk, dintrny:. Himpunn psngn terurut. Seperti pd relsi.. Formul pengisin nili (ssignment). Contoh: f(x) = x +, f(x) = x, dn f(x) = /x. 3. Kt-kt Contoh: f dlh fungsi yng memetkn jumlh bit di dlm sutu string biner. 4. Kode progrm (source code) Contoh: Fungsi menghitung x function bs(x:integer):integer; begin if x < then bs:=-x else bs:=x; end;

25 5 Contoh 6. Relsi f = {(, u), (, v), (3, w)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} dlh fungsi dri A ke. Di sini f() = u, f() = v, dn f(3) = w. Derh sl dri f dlh A dn derh hsil dlh. Jeljh dri f dlh {u, v, w}, yng dlm hl ini sm dengn himpunn. Contoh 7. Relsi f = {(, u), (, u), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} dlh fungsi dri A ke, meskipun u merupkn byngn dri du elemen A. Derh sl fungsi dlh A, derh hsilny dlh, dn jeljh fungsi dlh {u, v}. Contoh 8. Relsi f = {(, u), (, v), (3, w)} dri A = {,, 3, 4} ke = {u, v, w} bukn fungsi, kren tidk semu elemen A dipetkn ke. Contoh 9. Relsi f = {(, u), (, v), (, v), (3, w)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} bukn fungsi, kren dipetkn ke du buh elemen, yitu u dn v. Contoh 3. Mislkn f : Z Z didefinisikn oleh f(x) = x. Derh sl dn derh hsil dri f dlh himpunn bilngn bult, dn jeljh dri f dlh himpunn bilngn bult tidk-negtif.

26 6 Fungsi f diktkn stu-ke-stu (one-to-one) tu injektif (injective) jik tidk d du elemen himpunn A yng memiliki byngn sm. A b c 3 d 4 5 Contoh 3. Relsi f = {(, w), (, u), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w, x} dlh fungsi stu-ke-stu, Tetpi relsi f = {(, u), (, u), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} bukn fungsi stu-ke-stu, kren f() = f() = u. Contoh 3. Mislkn f : Z Z. Tentukn pkh f(x) = x + dn f(x) = x merupkn fungsi stu-ke-stu? Penyelesin: (i) f(x) = x + bukn fungsi stu-ke-stu, kren untuk du x yng bernili mutlk sm tetpi tndny berbed nili fungsiny sm, mislny f() = f(-) = 5 pdhl. (ii) f(x) = x dlh fungsi stu-ke-stu kren untuk b, b. Mislny untuk x =, f() = dn untuk x = -, f(-) = -3.

27 7 Fungsi f diktkn dipetkn pd (onto) tu surjektif (surjective) jik setip elemen himpunn merupkn byngn dri stu tu lebih elemen himpunn A. Dengn kt lin seluruh elemen merupkn jeljh dri f. Fungsi f disebut fungsi pd himpunn. A b c 3 d Contoh 33. Relsi f = {(, u), (, u), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} bukn fungsi pd kren w tidk termsuk jeljh dri f. Relsi f = {(, w), (, u), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} merupkn fungsi pd kren semu nggot merupkn jeljh dri f. Contoh 34. Mislkn f : Z Z. Tentukn pkh f(x) = x + dn f(x) = x merupkn fungsi pd? Penyelesin: (i) f(x) = x + bukn fungsi pd, kren tidk semu nili bilngn bult merupkn jeljh dri f.

28 8 (ii) f(x) = x dlh fungsi pd kren untuk setip bilngn bult y, sellu d nili x yng memenuhi, yitu y = x kn dipenuhi untuk x = y +. Fungsi f diktkn berkoresponden stu-ke-stu tu bijeksi (bijection) jik i fungsi stu-ke-stu dn jug fungsi pd. Contoh 35. Relsi f = {(, u), (, w), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} dlh fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, kren f dlh fungsi stu-ke-stu mupun fungsi pd. Contoh 36. Fungsi f(x) = x merupkn fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, kren f dlh fungsi stu-ke-stu mupun fungsi pd. Fungsi stu-ke-stu, bukn pd Fungsi pd, bukn stu-ke-stu A A b c 3 4 b c d c 3 uk fungsi stu-ke-stu mupun pd b c A d c 4 3 b c A ukn fungsi d c 4 3

29 9 Jik f dlh fungsi berkoresponden stu-ke-stu dri A ke, mk kit dpt menemukn blikn (invers) dri f. likn fungsi dilmbngkn dengn f. Mislkn dlh nggot himpunn A dn b dlh nggot himpunn, mk f - (b) = jik f() = b. Fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu sering dinmkn jug fungsi yng invertible (dpt diblikkn), kren kit dpt mendefinisikn fungsi bliknny. Sebuh fungsi diktkn not invertible (tidk dpt diblikkn) jik i bukn fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, kren fungsi bliknny tidk d. Contoh 37. Relsi f = {(, u), (, w), (3, v)} dri A = {,, 3} ke = {u, v, w} dlh fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu. likn fungsi f dlh f - = {(u, ), (w, ), (v, 3)} Jdi, f dlh fungsi invertible. Contoh 38. Tentukn blikn fungsi f(x) = x. Penyelesin: Fungsi f(x) = x dlh fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, jdi blikn fungsi tersebut d. Mislkn f(x) = y, sehingg y = x, mk x = y +. Jdi, blikn fungsi bliknny dlh f - (y) = y +.

30 3 Contoh 39. Tentukn blikn fungsi f(x) = x +. Penyelesin: Dri Contoh 3.4 dn 3.44 kit sudh menyimpulkn bhw f(x) = x bukn fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, sehingg fungsi bliknny tidk d. Jdi, f(x) = x + dlh funsgi yng not invertible. Komposisi dri du buh fungsi. Mislkn g dlh fungsi dri himpunn A ke himpunn, dn f dlh fungsi dri himpunn ke himpunn C. Komposisi f dn g, dinotsikn dengn f g, dlh fungsi dri A ke C yng didefinisikn oleh (f g)() = f(g()) Contoh 4. Diberikn fungsi g = {(, u), (, u), (3, v)} yng memetkn A = {,, 3} ke = {u, v, w}, dn fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yng memetkn = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dri A ke C dlh f g = {(, y), (, y), (3, x) } Contoh 4. Diberikn fungsi f(x) = x dn g(x) = x +. Tentukn f g dn g f. Penyelesin: (i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + ) = x + = x. (ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) + = x - x +.

31 3 eberp Fungsi Khusus. Fungsi Floor dn Ceiling Mislkn x dlh bilngn riil, berrti x berd di ntr du bilngn bult. Fungsi floor dri x: x menytkn nili bilngn bult terbesr yng lebih kecil tu sm dengn x Fungsi ceiling dri x: x menytkn bilngn bult terkecil yng lebih besr tu sm dengn x Dengn kt lin, fungsi floor membultkn x ke bwh, sedngkn fungsi ceiling membultkn x ke ts. Contoh 4. eberp contoh nili fungsi floor dn ceiling: 3.5 = = 4.5 =.5 = 4.8 = = 5.5 =.5 = 3.5 = = 3 Contoh 4. Di dlm komputer, dt dikodekn dlm untin byte, stu byte terdiri ts 8 bit. Jik pnjng dt 5 bit, mk jumlh byte yng diperlukn untuk merepresentsikn dt dlh 5/8 = 6 byte. Perhtiknlh bhw 6 8 = 8 bit, sehingg untuk byte yng terkhir perlu ditmbhkn 3 bit ekstr gr stu byte tetp 8 bit (bit ekstr yng ditmbhkn untuk menggenpi 8 bit disebut pdding bits).

32 3. Fungsi modulo Mislkn dlh sembrng bilngn bult dn m dlh bilngn bult positif. mod m memberikn sis pembgin bilngn bult bil dibgi dengn m mod m = r sedemikin sehingg = mq + r, dengn r < m. Contoh 43. eberp contoh fungsi modulo 5 mod 7 = 4 5 mod 4 = 36 mod 45 = mod 5 = 5 5 mod 7 = 3 (sebb 5 = 7 ( 4) + 3 ) 3. Fungsi Fktoril n!. ( n ) n, n, n 4. Fungsi Eksponensil n n, n, n Untuk ksus perpngktn negtif, n n

33 33 5. Fungsi Logritmik Fungsi logritmik berbentuk y log x x = y Fungsi Rekursif Fungsi f diktkn fungsi rekursif jik definisi fungsiny mengcu pd diriny sendiri. Contoh: n! = (n ) n = (n )! n. n! n ( n )!, n, n Fungsi rekursif disusun oleh du bgin: () sis gin yng berisi nili wl yng tidk mengcu pd diriny sendiri. gin ini jug sekligus menghentikn definisi rekursif. (b) Rekurens gin ini mendefinisikn rgumen fungsi dlm terminologi diriny sendiri. Setip kli fungsi mengcu pd diriny sendiri, rgumen dri fungsi hrus lebih dekt ke nili wl (bsis). Contoh definisi rekursif dri fktoril: () bsis: n! =, jik n = (b) rekurens: n! = n (n -)!, jik n >

34 34 5! dihitung dengn lngkh berikut: Jdi, 5! =. () 5! = 5 4! (rekurens) () 4! = 4 3! (3) 3! = 3! (4)! =! (5)! =! (6)! = (6 )! = (5 )! =! = = (4 )! =! = = (3 ) 3! = 3! = 3 = 6 ( ) 4! = 4 3! = 4 6 = 4 ( ) 5! = 5 4! = 5 4 = Contoh 44. Di bwh ini dlh contoh-contoh fungsi rekursif linny:. F x) F( x ) x (, x, x. Fungsi Chebysev T ( n, x) x xt( n, x) T( n, x), n, n, n 3. Fungsi fiboncci: f ( n) f ( n ) f ( n ), n, n, n