SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON

Transkripsi

1 TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTUKTUR LIMIT DAN TURUNAN Disusun oleh : RADITYA AMARA BOJA 1037 SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON 1

2 KULON PROGO OKTOBER 2015 Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan tugas matematika tentang limit dan turunan. Terlaksananya pembuatan tugas ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, untuk itu saya ucapkan terimakasih kepada : 1. Ibu Supartini S.pd selaku guru matematika 2. Orang tua yang telah membantu saya baik moril maupun materil Saya menyadari bahwa dalam pembuatan tugas ini masih banyak kekurangan-kekurangan, baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang saya miliki. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun akan sangat penulis harapkan demi penyempurnaan pembuatan tugas ini. Semoga materi ini bisa membantu menambah pengetahuan dan pemahaman para pembaca. Sekian yang dapat sayasampaikan, apabila terdapat banyak kesalahan saya mohon maaf. Terima kasih saya ucapkan atas perhatian dan waktunya untuk membaca laporan saya. Kulon Progo, Oktober 2015 Penyusun 2

3 Daftar Isi Halaman Judul...i Kata Pengantar...ii Daftar Isi...iii Limit Fungsi...1 Pengertian Limit...1 Limit Fungsi Aljabar...8 Limit Fungsi Trigonometri...12 Turunan...18 Pengertian turunan...18 Diferensial Fungsi Aljabar...24 Diferensial Fungsi Trigonometri...26 Aturan Rantai...27 Fungsi Naik dan Fungsi Turun...29 Soal dan pembahasan limit...31 Soal dan pembahasan turunan...50 Penutup...58 Daftar pustaka 3

4 4

5 LIMIT FUNGSI A. Pengertian Limit Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. Limit fungsi adalah salah satu materi yang cukup fundamental untuk mempelajari materi yang lebih tinggi, yaitu tentang kalkulus ( diferensial dan integral). 1. Pengertian limit secara intuitif Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut: - Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2? Penyelesaian Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut: X f(x ) Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan. 1

6 Apabila kita lukis, grafik fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x mendekati 2 tampak seperti gambar berikut. Y X Ternyata nilai f(x) terus menerus mendekati 5 jika x terus menerus mendekati 2. Di dalam matematika, pernyataan tersebut dapat ditulis dengan lim 1 x (2x + 1) = 5 - Tentukan nilai Penyelesaian lim 1 x 2 x x x 1 3 Fungsi f(x) = 2 x x x 1 3 terdefinisi untuk semua x bilangan real, kecuali x = 1. Kita tentukan fungsi f(x) mendekati 1 seperti pada tabel berikut: 2 x x x 1 3 untuk x x

7 2x 2 + x x x x Dari tabel di atas tampak bahwa jika x mendekati 1 dari kini, nilai f(x) mendekati 5 dari arah kiri. Demikian pula x mendekati 1 dari arah kanan, nilai f(x) mendekati 5 dari arah kanan. Untuk x = 1, nilai f(x) = 0 0 (tidak tentu, atau tidak terdefinisi). Oleh karena itu, dapat kita tulis lim 1 x 2 x x 3 x 1 = 5. Dari kedua contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian limit fungsi secara intuitif yaitu sebagai berikut: Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. Pernyataan lim x a f(x) = L Artinya untuk x mendekati a (tetapi x a), nilai f(x) mendekati L. 3

8 2. Pengertian Limit secara aljabar Selain pengertian secara intuitif, pengertian limit juga dapat dijelaskan secara aljabar. Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan real. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati a, ditulis lim x a f(x) = L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < x-a <δ maka f(x)-l <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum. 3. Pengertian limit fungsi di titik tak berhingga Misalkan jangkauan nilai x adalah x 1, x 2, x 3,..x n, dengan x 1 < x 2 < x 3, <..berlaku sebagai berikut; a. x dikatakan menjadi tak terhingga positif (x + ) jika nilai x selalu menjadi lebih besar daripada nilai x positif yang telah ditetapkan, betapapun besarnya. Misalnya, x + pada barisan 1,2,3 4

9 b. x dikatakan menjadi tak terhingga (x - ) jika nilai x selalu menjadi lebih kecil daripada nilai x negatif yang telah ditetapkan, betapapun kecilnya. Misalnya x - pada barisan -1, -2, -3, c. x dikatakan menjadi tak terhingga (x ) jika x d. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga positif jika lim x a f(x) = + e. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga negatif jika lim x a f(x) = - f. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga jika lim x a f(x) = contoh: Tentukan 1 lim x 3 x 3 Penyelesaian: Misalkan nilai-nilai x yang mendekati 3 (x 3) adalah 2,85, 2,89, 2,95, 2,99 atau 3,001, 3,01, 3,1 Dengan demikian, makin besar nilai x, nilai 1 x 3 makin besar. Makin kecil nilai x, nilai 1 x 3 makin kecil. Jadi 1 lim x 3 x 3 = 4. Sifat-sifat limit fungsi Limit fungsi mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 5

10 Limit fungsi f(x) untuk x => a, a tidak 0. Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x =>a, a tidak nol, dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu substitusi langsung, pemfaktoran, dan rasionalisasi bentuk akar. Jika dengan cara substitusi langsung dihasilkan dalam bentuk tentu, maka itu hasilnya, tetapi jika dengan cara substitusi dihasilkan bentuk tak tentu yaitu 0/0, maka perhitungan limit dilakukan dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk akar. 6

11 Soal dan pembahasan limit fungsi no 1 dan no 2 adalah soal yang menggunakan substitusi langsung, dan bisa di ketahui nilainya dan untuk soal no 3 di bawah ini tidak bisa diselesaikan dengan substitusi langsung, berikut contoh soal limit fungsi yang tidak bisa diselesaikan dengan substitusi langsung. Pembahasan soal limit fungsi lengkap. lakukan substitusi, hasilnya sebagai berikut : Setelah dilakukan substitusi hasilnya adalah limit dengan hasil bentuk tak tentu (0/0), maka soal diatas tidak dapat diselesaikan dengan cara substitusi. Karena limit fungsi tidak dapat diselesaikan dengan substitusi langsung, makaa langkah selanjutnya adalah dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut, sebagai berikut : Sifat-sifat Limit 7

12 Rumus-rumus besar limit Rumus-rumus Limit Fungsi Trigonometri Cara menentukan Limit 8

13 Limit Fungsi Aljabar Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit Lpada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x)menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila fditerapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Pengertian limit fungsi aljabar merupakan pengertian dasar hitung differensial dan hitung integral. Lebih jelasnya pada contoh berikut ini. 1. Pengertian Limit 2. Pengertian Limit secara Matematis 9

14 3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar B. Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar Setelah kita mempelajari definisi limit suatu fungsi, kita dapat menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi limit secara umum maupun secara intuitif seperti di atas. Akan tetapi, ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk menentukan limit, antara lain: 10

15 a. Substitusi; b. Memfaktorkan c. Merasionalkan penyebut Menentukan limit dengan substitusi Nilai suatu fungsi f untuk x mendekati a, dengan a bilangan real, dapat ditentukan dengan substitusi, yaitu mengganti nilai x dengan a. namun apabila hasilnya 0 0, atau ( - ), cara ini tidak dapat diterpakan secara langsung. Fungsi yang diambil limitnya itu perlu disederhanakan lebih dahulu. Perhatikan contoh berikut. Hitunglah nilai limit fungsi berikut: lim 2 x 3 x 8 x 2 Penyelesaian lim 2 x 3 x 8 x 2 = Menentukan limit dengan memfaktorkan Misalkan terdapat bentuk f ( x) lim x a g ( x ). Seperti yang telah disinggung sebelumnya, apabila x = a disubstitusikan pada fungsi yang diambil 11

16 limitnya tersebut mengakibatkan f ( a) 0 g( a) 0 (tak tentu), cara substitusi tidak dapat diterapkan secara langsung. Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu disederhanakan lebih dahulu dengan memfaktorkan f(x) dan g(x) sehingga keduanya mempunyai faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga diperoleh bentuk yang lebih sederhana seperti berikut: f ( x) ( x a) P( x) P( x) P( a) lim lim lim x a g( x) x a ( x a) Q( x) x a Q( x) Q( a) dengan Q (a) 0. Contoh: 2 x 2 x x( x 2) x 2 1 lim lim lim x 2 2 x 4 x 2 ( x 2)( x 2) x 2 x Menentukan limit dengan merasionalkan penyebut Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limitnya sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak rasional, kita perlu merasionalkan penyebutnya lebih dahulu. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah kita pelajari di kelas 1, antara lain: a. Pecahan berbentuk a b dikalikan dengan b b sehingga diperoleh a a b a b a x b b b b b b b. Pecahan berbentuk c a b dikalikan dengan a a b b sehingga diperoleh 12

17 c c a b c( a b) x a b a b a b a b Contoh: lim x x x lim x x 3 2 x 3 2 x x 1 2 x lim x 1 2 ( x 1)( x 3 2) x lim x 1 2 ( x 1)( x 3 2) x 2 1 lim x 1 2 ( x 1)( x 3 2) ( x 1)( x 1) lim x 1 2 x 3 2 x = 2 Limit Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri diperoleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan limit. Ada dua hal yang harus dipahami dalam turunan fungsi trigonometri. Pertama, perlu dihafalkan bagaimana turunan dari masing-masing fungsi trigonometri, yaitu turunan dari sin, 13

18 cos, tan, cot, cosec, dan sec. kedua, perlu dipahami turunan dari fungsi trigonometri yang merupakan sebuah fungsi dan turunan dari fungsi trigonometri yang dipangkatkan. Berikut ini cara mendapatkan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan dan bagaimana turunan dari bentuk-bentuk fungsi trigonometri. Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian. Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya. dimana maka Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus : maka maka maka maka contoh: maka maka 14

19 Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this. jawab tentukan f (x)! jawab: tentukan f (x)! Turunan ke-n diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f (x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f (x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f (x) dst. jawab. tentukan turunan kedua dari f(x)! *kita cari turunan pertama dulu ya.. 15

20 *perhatikan untuk mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f (x) adalah a dan b dimana f (x) = a b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f (x) = a b mari kita cari turunan masing-masing suku *ambil suku pertama dari f (x) kita misalkan *ambil suku kedua dari f (x) kita misalkan *nah, kembali ke selesai,deh..coba yang lain yuk! jawab: tentukan turunan ke-empat dari f(x)! mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f (x) = a + b cari turunan masing-masing suku dulu ya maka 16

21 mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f (x) = c d maka mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka sehingga mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka sehingga waaaaah..selesai!!!! begitu seterusnya hingga turunan ke-n..coba sendiri dengan soal yang lain yah!! ada yang bertanya soal seperti ini: 3. Jika diketahui buktikan bahwa turunan ke-n yaitu! jawab: *ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran 17

22 dst Dst dst sehingg a terbukti Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar. 1.Turunan fungsi konstan f(x) = k f (x) = 0 Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan: 18

23 a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f (x) = 0 b. Turunan dari f(x) = - 6 adalah f (x) = 0 2.Turunan fungsi identitas f(x) = x f (x) = 1 3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n Contoh: Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini c. [Penyelesaian] d. 19

24 [penyelesaian] 4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi, a. [Penyelesaian] b. [Penyelesaian] Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka, 5.Turunan fungsi aljabar hasil kali 20

25 Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali, Carilah turunan dari, [Penyelesaian] Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh, Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu: 6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi Dengan v(x) 0 Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi: Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, [Penyelesaian] Turunan fungsi aljabar aturan rantai Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real 21

26 Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional, ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu: Contoh: Carilah turunan dari fungsi berikut ini, [Penyelesaian] Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus Rumus khusus : Turunan 22

27 Pengertian turunan Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. adalah simbol untuk turunan pertama. adalah simbol untuk turunan kedua. adalah simbol untuk turunan ketiga. simbol lainnya selain dan adalah dan TURUNAN PERTAMA Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut: Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu : 1. Jika diketahui dimana C dan n konstanta real, maka Perhatikan contoh berikut : 23

28 2. Jika diketahui y=c dan Perhatikan contoh berikut : 3. Untuk y=f(x)+g(x) maka Perhatikan contoh berikut : 4. Untuk y=f(x).g(x) maka atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u v+uv contoh : 24

29 5. 6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini. 25

30 TURUNAN KEDUA Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut : Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk : a. Menentukan gradien garis singgung kurva 26

31 Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4)! Penyelesaian : Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5 b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun kurva y =f(x) naik jika f (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f (x) > 0 atau f (x) <0? kita gunakan garis bilangan dari f (x). Perhatikan contoh berikut : Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x! Jawab : y=f(x)=x³+3x²-24x f (x)=3x²+6-24=3(x²+2-8)=3(x+4)(x-2) Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas : f (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik. F (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun. c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum 27

32 Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24-7! Jawab : y =3x²-6-24 nilai ekstrim diperoleh dari y =o maka 3x²-6-24 = 0 (x²-2-8)=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4 ; x2=-2 Berdasarkan garis bilangan diatas : Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu : f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7 f(-2)=21 Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu : f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7 f(4)=-87 Pengertian Turuanan. Laju perubahan nilai fungsi f : x => f(x) pada x = a dapat di tulis : Limit ini disebut turunan atau diferensial dari fungsi f(x) pada x = a. 28

33 Turunan fungsi f(x) untuk setiap nilai x ditentukan dengan rumus : dengan f'(x) dibaca ( f aksen x ) disebut turunan dari f(x) terhadap x. Notasi turunan dari f(x) dapat dinyatakan dengan : atau bisa juga dinotasikan dalam bentuk lain, yaitu dengan salah satu lambang berikut ini : Lambang df(x)/dx atau dy/dx untuk turunan diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). Turunan Fungsi Aljabar Materi Turunan (derivatif) mencakup materi turunan fungsi aljabar,turunan fungsi trigonometri, gradien garis singgung dan persamaan garis singgung pada suatu kurva tertentu, titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun. Lumayan banyak juga,yah kita coba mulai dari fungsi aljabar dulu. Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut : Turunan fungsi f (x) didefinisikan sebagai : 29

34 f (x)=limh 0f(x+h) f(x)h Rumus-rumus Turunan : untuk a = konstanta f(x)=axn maka f (x)=an.xn 1 f(x)=a maka f (x)=0 f(x)=x maka f (x)=1 jika U=u(x)danV=v(x) adalah suatu fungsi f(x)=u+v maka f (x)=u +V f(x)=u V maka f (x)=u V f(x)=u V maka f (x)=u.v+v.u f(x)=uv maka f (x)=u.v V.UV2 f(x)=un maka f (x)=n.un 1.U dinamakan aturan rantai Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let s cekidot Contoh dan pembahasan turunan fungsi: 1. Tentukan turunan pertama dari : f(x)=2x5 Jawab : f (x)==2.5.x5 110x4 2. f(x)=3x Jawab : 30

35 nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x)=3.x 1 maka : f (x)===3.( 1).x 1 1( 3).x 2 3x2 3. f(x)=7x Jawab : nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x)=7.x12 maka : f (x)=====7.12.x x x 7 2x.x x 7x 2x 4. f(x)=3x 2x+1 Jawab : kita misalkan U=3x 2V=x+1makamakaU =3V =1 maka : f (x)====u.v V.UV2(3)(x+1) (1)(3x 2) (x+1)23x+3 3x+2(x+1)25(x+1)2 5. f(x)=(3x2 5)4 Jawab : kita misalkan U=3x2 5 maka : U =6x dan n=4 lalu kita pakai f (x)=n.un 1.U ( aturan rantai ) 31

36 f (x)==4.(3x2 5)4 1.6x24x(3x2 5)3 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri : Perhatikan contoh berikut : Jawab : Aturan Rantai untuk Mencari Turunan Fungsi 32

37 Pada postingan sebelumnya sudah di bahas cara menghitung turunan fungsi yang sederhana yaitu turunan fungsi yang berbentuk y = u n. Misalnya untuk mencari turunan dari y = (4x 6) 2, lebih dahulu harus menjabarkan (4x 6) 2 menjadi 14x 2 48x+36 kemudian menurunkannya satu persatu dengan menggunakan cara menegerjakan turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v. Mencari turunan dari y = (4x 6) 2 dapat dikerjakan dengan menggunakan cara menegerjakan turunan fungsi yang berbentuk y = u n. Tetapi kamu belum bisa mencari turunan fungsi yang berbentuk y = (2 + x 2 ) atau y = (3x + 7) 99/4 dengan cara menjabarkannya terlebih dahulu. Misalkan ada contoh soal seperti ini carilah dy/dz dari persamaan y = (4x 6) 2 dan x = z Bagaimana cara mengerjakan soal seperti itu? Untuk mengerjakan soal mencari dy/dz perlu dikembangkan teknik yang erat hubungannya dengan fungsi-fungsi majemuk yang telah kita pelajari sebelumnya. Jadi, anda harus memahami konsep-konsep sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah uraian berikut. Jika y = f g sedemikian hingga y = f(g(x)) di mana f dan g adalah fungsifungsi yang mempunyai turunan, maka y juga mempunyai turunan sehingga: Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut. Misalnya: z = g(x), è g'(x) = dz/dx dan f. (g(x)) = f (z) = dy/dz sehingga y' = f (g(x)) g'(x) dy/dx = dy/dz dz/dx Jadi: 33

38 Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1 Tentukan turunan pertama dari y = (4x 3 + 5x 2 x+4) 12 Penyelesaian: Misal: z = 4x 3 + 5x 2 x+4 dz/dx = 12x x - 1 y = z 12 dy/dz = 12z 11 y' = (dy/dz).(dz/dx) y' = 12z 11 (12x x - 1) y' = 12(4x 3 + 5x 2 x+4) 11 (12x x - 1) y' = 12(12x x - 1)( 4x 3 + 5x 2 x+4) 11 Fungsi Naik dan Turun Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut. Definisi Fungsi Naik dan Turun Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x 1 danx 2 dalam selang tersebut, x 1 < x 2 mengakibatkan f(x 1 ) < f(x 2 ). Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x 1 danx 2 dalam selang tersebut, x 1 < x 2 mengakibatkan f(x 1 ) > f(x 2 ). 34

39 Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut. Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b). 1. Jika f (x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b]. 2. Jika f (x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b]. 3. Jika f (x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b] Pembuktian 35

40 Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f (x) > 0 untuk semua xdalam selang (a, b) dan misalkan x 1 < x 2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x 1 < c < x 2, dan Karena f (c) > 0 dan x 2 x 1 > 0, maka f(x 2 ) f(x 1 ) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x 1 ) <f(x 2 ). Jadi, f naik pada selang tersebut. Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1. Kasus 3: Misalkan f (x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x 1 < x 2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x 1 < c < x 2, dan Karena f (c) = 0 maka f(x 1 ) f(x 2 ) = 0, yang berakibat f(x 1 ) = f(x 2 ). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut. 36

41 Soal dan pembahasan limit yang bisa diselesaikan dengan substitusi langsung Soal No. 1 Tentukan hasil dari: Pembahasan Limit bentuk diperoleh Soal No. 2 Pembahasan Limit aljabar bentuk Substitusikan saja nilai x, Berikutnya dilanjutkan dengan tipe metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu dimana jika disubstitusikan langsung mendapatkan hasil yang tak tentu. Soal No. 3 Tentukan nilai dari Pembahasan 37

42 Jika angka 2 kita substitusikan ke x, maka akan diperoleh hasil 0/0 (termasuk bentuk tak tentu), sehingga selesaikan dengan metode turunan saja. Soal No. 4 Tentukan nilai dari Pembahasan Masih menggunakan turunan Soal No. 5 Nilai A. 1/4 B. 1/2 C. 1 D. 2 E. 4 Pembahasan Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya 38

43 Soal No. 6 Nilai dari A. 16 B. 8 C. 4 D. -4 E. -8 Pembahasan Bentuk 0/0 juga, dengan turunan: atau dengan cara pemfaktoran: Soal No. 7 Nilai A. 2/9 B. 1/8 C. 2/3 D. 1 E. 2 39

44 Pembahasan Dengan substitusi langsung akan diperoleh bentuk 0/0. Cara Pertama Perkalian dengan sekawan dan pemfaktoran: Cara Kedua dengan turunan: 40

45 Catatan Cara menurunkan Ubah dulu bentuk akar jadi bentuk pangkat, kl akar pangkat dua itu sama saja dengan pangkat setengah, jadinya Turunan dari 3 adalah nol, ga usah ditulis, lanjut turunan dari dicari pakai turunan berantai namanya, prakteknya begini: Pangkatnya taruh depan, terus pangkatnya dikurangi satu, terus dikali dengan turunan dari fungsi yang ada dalam kurung. x 2 7 kalo diturunkan jadinya 2x 0 atau 2x saja. Jadinya: Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada tiga nomor berikutnya: Soal No. 8 Tentukan nilai dari Pembahasan Limit x menuju dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n 41

46 Soal No. 9 Tentukan nilai dari Pembahasan Limit x menuju dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n Soal No. 10 Tentukan nilai dari Pembahasan Limit x menuju dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n Contoh berikutnya tipe soal limit yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat". Ini rumus yang nanti digunakan: Kita terapkan pada soal berikut Soal No. 11 Nilai dari adalah... A. 3/4 B. 4/5 C. 6/5 D. 5/4 E. 4/3 42

47 Pembahasan Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana a = p dengan b = 3 dan q = 5 sehingga tengok rumus di atas Soal No. 12 Nilai dari adalah... A. 39/10 B. 9/10 C. 21/10 D. 39/10 E. Pembahasan Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya. Soal No. 13 Nilai dari adalah... A. B. 8 C. 5/4 D. 1/2 E. 0 Pembahasan Ubah ke bentuk selisih akar seperti ini: 43

48 Soal No. 14 Nilai dari adalah... Pembahasan Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya. Soal No. 15 Nilai dari Pembahasan Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut: Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0 Soal No

49 Nilai dari Pembahasan Limit selisih akar dengan a > c, sehingga hasilnya = Model berikutnya: Soal No. 17 Nilai dari l A. 0 B. 1/3 3 C. 3 D. 2 3 E. Pembahasan Modifikasikan hingga jika disubstitusikan tidak menjadi bentuk tak tentu, 2x jika diubah bentuk akar akan menjadi 4x 2 : Substitusi x dengan ingat bilangan dibagi tak hingga hasilnya (mendekati) NOL. 45

50 Soal dan pembahasan limit trigonometri Rumus berikut untuk menyelesaikan soal-soal limit trigonometri Soal No. 1 Tentukan hasil dari soal limit berikut Pembahasan Cara pertama dengan rumus yang ada diatas, sehingga langsung didapatkan atau dengan cara kedua yang lebih panjang, memakai turunan, 3x turunkan jadi 3 dan sin 4x turunkan jadi 4 cos 4x, kemudian ganti x dengan nol Soal No. 2 Tentukan hasil dari soal limit berikut Pembahasan Seperti nomor 1 Soal No. 3 Tentukan hasil dari soal limit berikut 46

51 Pembahasan Seperti nomor 1 juga Soal No. 4 Tentukan nilai dari: Pembahasan Perhatikan rumus limit berikut: Diperoleh Soal No. 5 Tentukan hasil dari soal limit berikut Pembahasan Identitas trigonometri berikut diperlukan Setelah diubah bentuknya gunakan rumus dasar di atas Soal No. 6 47

52 Tentukan hasil dari soal limit berikut Pembahasan Ubah dulu 1 cos 4x menjadi 2 sin 2 2x. Soal No. 7 Tentukan hasil dari soal limit berikut Pembahasan Ubah dulu 1 cos 6x menjadi 2 sin 2 3x. Soal No. 8 Tentukan hasil dari soal limit berikut A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/12 E. 1/18 Pembahasan Tinggal di susun ulang, didapat hasil Soal No. 9 48

53 Nilai A. 4 B. 2 C. 1 D. 2 E. 4 Pembahasan Jika 1 cos 4x menjadi 2 sin 2 2x, tentunya cos 4x 1 menjadi 2 sin 2 2x, sehingga Soal No. 10 Nilai A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2 Pembahasan Ubah 1 cos 2x menjadi 2 sin 2 x Soal No. 11 Nilai dari: A. 2π B. π C. 0 D. 1 / π E. 1 / 2π Pembahasan Misakan: 49

54 x 2 = y Soal No. 12 Nilai dari: A. 0 B. 1 / 2 C. 2 D. 1 / 2 2 E. 1 Pembahasan Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk 0/0, dengan strategi pemfaktoran, Ingat bentuk: a 2 b 2 = (a b)(a + b) dimana a = sin 2x dan b = cos 2x, setelah difaktorkan coret yang sama, kemudian substitusikan nilai x yang diminta: Soal No. 13 Tentukan nilai dari 50

55 Pembahasan Substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0. Ubah cos 2x menjadi bentuk lain yaitu cos 2 x sin 2 x kemudian faktorkan dengan mengingat bentuk a 2 b 2 = (a b)(a + b) Setelah itu coret dengan bagian bawah, hingga diperoleh angka 1. Rumus untuk cos 2x (dalam soal ini dipakai rumus yang pertama) Sehingga: Soal No. 14 Nilai dari A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 E. 0 51

56 Pembahasan Faktorkan x 2 1 dengan mengingat bentuk a 2 b 2 = (a b)(a + b). Kemudian uraikan sin 2 (x 1) menjadi sin (x 1) sin (x 1) dan tan (2x 2) menjadi tan 2(x 1). Coret seperlunya. Contoh soal dan pembahasan turunan fungsi aljabar Soal No. 1 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 3x 4 + 2x 2 5x b) f(x) = 2x 3 + 7x Pembahasan Rumus turunan fungsi aljabar bentuk ax n Sehingga: a) f(x) = 3x 4 + 2x 2 5x f '(x) = 4 3x x 2 1 5x 1-1 f '(x) = 12x 3 + 4x 1 5x 0 f '(x) = 12x 3 + 4x 5 b) f(x) = 2x 3 + 7x f '(x) = 6x Soal No. 2 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 10x b) f(x) = 8 c) f(x) = 12 52

57 Pembahasan a) f(x) = 10x f(x) = 10x 1 f '(x) = 10x 1 1 f '(x) = 10x 0 f '(x) = 10 b) f(x) = 8 f(x) = 8x 0 f '(x) = 0 8x 0 1 f '(x) = 0 c) f(x) = 12 f '(x) = 0 Soal No. 3 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 5(2x 2 + 4x) b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Pembahasan Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a) f(x) = 5(2x 2 + 4x) f(x) = 10x x f ' (x) = 20x + 20 b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4) Urai terlebih dahulu hingga menjadi f (x) = 10x 2 + 8x + 15x + 12 f (x) = 10x x

58 Sehingga f ' (x) = 20x + 13 Soal No. 4 Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut a) b) c) Pembahasan a) b) c) Soal No. 5 Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar a) b) c) Pembahasan 54

59 a) b) c) Soal No. 6 Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini Tentukan turunan untuk f(x) = (x 2 + 2x + 3)(4x + 5) Pembahasan Misal : u = (x 2 + 2x + 3) v = (4x + 5) maka u ' = 2x + 2 v ' = 4 sehingga penerapan rumus di atas menjadi 55

60 Soal No. 7 Diketahui Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =... A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 E. 3 Pembahasan Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi Misal: u = x > u' = 2x v = 2x + 1 -> v' = 2 Sehingga 56

61 Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini Sehingga f(0) + 2f' (0) = 3 + 2( 6) = 9 Soal dan pembahasan fungsi turunan beserta jawaban 1.Diketahui f(x) = 2x 3 + 3x 4.Tentukan turunannya... Penyelesaian : f(x) = 2x 3 +3x-4 f (x) = 2. 3x x f (x) = 6x Diketahui f (x) adalah turunan dari f(x) = 5x 3 + 2x 2 + 6x + 12,tentukan nilai f (x) adalah... Penyelesaian : f(x) = 5x 3 +2x 2 + 6x + 12 f (x) = 15x 2 + 4x +6 f (3) = = = Diketahui fungsi f(x) = 3x 4 + 2x 3 - x + 2 dan f (x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f (1) adalah... Penyelesaian : f (x) = 3x 4 + 2x 3 x + 2 f (x) = 12x 3 + 6x

62 f (1) = = 18 2 =16 4.Diketahui fungsi f(x) = x 5 +10x 4 +5x 2-3x-10 dan f adalah turunan pertama dari f. Nilai f (1) adalah... Penyelesaian : f(x) = x 5 +10x 4 +5x 2-3x-10 f (x) = 5x x x-3-10 f (1)= = = 42 5.Turunan pertama fungsi f(x) =(3x 2-5) 4 adalah f (x) =... Penyelesaian : f(x) =(3x 2-5) 4 f (x) = (6x 5 ) 4 6.Diketahui f(x) = x x 4 +2x 2 6x + 8.Dan f (x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f (1) adalah... Penyelesaian: f(x) = x x 4 +2x 2 6x + 8 f (x)= 6x x f (1)= = = 56 58

63 7.Turunan pertama dari f(x) = 2x 3 + 3x 2 x + 2 adalah f (x).nilai f (1) adalah... Penyelesaian: f(x) = 2x 3 + 3x 2 x + 2 f (x) = 6x 2 + 6x f (1)= = = 13 8.Diketahui f(x) = 6x 4 2x 3 + 3x 2 x 3 dan f (x) adalah turunan pertama dari f(x).nilai f (1) adalah Penyelesaian: f(x) = 6x 4 2x 3 + 3x 2 x 3 f (x) = 24x 3 6x 2 + 6x 1 3 f (1)= = = 20 9.Diketahui y = 3x 4-2x 5 1/2x Tentukan turunannya Penyelesaian : y =12x x 5-1 1/2.6x x = 12x 3-10x 4-3x Diketahui f(x) = (x 2)2.Tentukan turunanya Penyelesaian : f(x) = (x 2)2 = x2 4x + 4 f(x) = x2 4x

64 f (x) = 2x2-1 4x f (x) = 2x 4 11.Jika f(x) = sin 2 (2x + π/6), maka nilai f (0) = f(x) = sin 2 (2x + π/6) Pembahasan: f (x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f (0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) = Turunan pertama dari f(x) = sin 3 (3x 2 2) adalah f (x) = Penyelesaian: f(x) = sin 3 (3x 2 2) f (x) = sin (3-1) (3x 2 2).3.6x.cos (3x 2 2) = 18x sin 2 (3x 2 2) cos (3x 2 2) 13. Turunan dari f(x) = adalah f (x) = PEMBAHASAN : f(x) = (cos 2 (3x 2 + 5x)) 1/3 = cos 2/3 (3x 2 + 5x) f (x) = 2/3 cos -1/3 (3x 2 + 5x).(-sin(3x 2 + 5x)).(6x + 5) = -2/3 (6x + 5) cos -1/3 (3x 2 + 5x) sin(3x 2 + 5x) 60

65 14. Turunan pertama f(x) = cos 3 x adalah PEMBAHASAN : f(x) = cos 3 x f (x) = 3 cos 2 x (-sin x) = -3 cos 2 x sin x = -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x 15. Persamaan garis singgung kurva y = di titik dengan absis 3 adalah PEMBAHASAN : y = = (5 + x) 1/3 m = y = 1/3 (5 + x) -2/3 (1) y (3) = 1/3 (5 + 3) -2/3 (1) = 1/3 ((8) 2/3 ) -1 = 1/3 (4) -1 = 1/ Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x /x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah PEMBAHASAN : Biaya proyek dalam 1 hari : 4x /x Biaya proyek dalam x hari : (4x /x)x 61

66 f(x) = 4x 2 160x Agar biaya minimum : f (x) = 0 f (x) = 8x = 8x 160 8x = 160 x = 20 hari Jadi biaya minimum per hari adalah = (4x /x) ribu rupiah = (4(20) /20) ribu rupiah = ( ) ribu rupiah = 20 ribu rupiah = Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x /x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu jam. PEMBAHASAN : Biaya proyek dalam 1 hari : 4x /x Biaya proyek dalam x hari : (4x /x)x f(x) = 4x 2 800x Agar biaya minimum : f (x) = 0 f (x) = 8x

67 0 = 8x 800 8x = 800 x = 100 jam 18. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah m/det. PEMBAHASAN : s = f(t) = = (3t + 1) 1/2 v = = f (t) = 1/2 (3t + 1) -1/2 (3) f (8) = 3/2 (3(8) + 1) -1/2 = 3/2 (24 + 1) -1/2 = 3/2 (25 1/2 ) -1 = 3/2 (5) -1 = 3/ Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x x 2 ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah PEMBAHASAN : Keuntungan setiap barang : 225x x 2 Keuntungan x barang : (225x x 2 )x f(x) = 225x 2 x 3 f (x) = 450x 3x 2 0 = 450x 3x 2 0 = x(450 3x) x = 0 atau x =

68 jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang. 20. y =(akar)2x^5 JAWAB: y = (2x^5 ) = 2x^(5/2) y = 5/2 2 x^(3/2) y = -2/x^4 = -2x^-4 y = 8 x^-5 = 8/x^5 y = -8/x^10 = -8 x^-10 y = 80 x^-11 = 80/x^11 y = 2/3x^6 y = 4x^5 y = 3/x^3-1/x^4 = 3x^-3 x^-4 y = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5 y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 2/3 y = (-2/3) x^-2 = -2/ (3x^2) 21. 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4 JAWAB: 4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=0 4xy.dx +(2x^2-12y^2)dy=0 dy/dx=4xy/(12y^2-2x^2) d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2-2x^2)-(24y.dy/dx -4x) (4xy)}/(12y^2-2x^2)^2 Penutup Kesimpulan Pada dasarnya pembuatan tugas ini perlu karena disamping menambah pengetahuan juga bisa untuk pembelajaran. Dengan diberinya tugas ini saya bisa mendapatkan pengalaman yang sangat berguna sekali. Sehingga saya dapat melaksanakan dan menyelesaikan tugas makalah ini. Saya mengucapkan terima kasih atas terselesainya tugas ini kepada orang tua yang telah membantu dalam pembuatan tugas ini dan semoga semua isinya dapat berguna khususnya bagi saya pribadi dan umumnya bagi para pembaca. 64

69 Apabila dalam hasil tugas ini ada kesalahan atau kekurangan saya mohon maaf yang sebesar-besarnya. Saran Saran saya untuk teman-teman adalah lebih giat lagi dalam mengerjakan tugas dari guru agar tugas tersebut tidak menumpuk. Daftar Pustaka

70 66