Penelitian Operasional II Programma Dinamik 9. S2 : Musim gugur S3 : Musim dingin S4 : Musim semi

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Penelitian Operasional II Programma Dinamik 9. S2 : Musim gugur S3 : Musim dingin S4 : Musim semi"

Yandi Salim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Penelitian Operasional II Programma Dinamik 9 Penyelesaian Tahapan : Musim S : Musim panas S : Musim gugur S3 : Musim dingin S4 : Musim semi Peubah keputusan : x n = Jumlah / level pekerja untuk tahapan ke-n (n=,,3,4) x 4 = 55 (nilai optimal) Misalkan r n = jumlah pekerja minimum yang dibutuhkan untuk tahapan ke-n Berarti : r n x n 55 Biaya untuk tahapan ke-n : C n = 00(x n x n- ) (x n r n ) State : Jumlah pekerja semusim yang lalu S n = x n-, untuk n = S = x 0 = x 4 = 55 Fungsi tujuan : Pilih x, x, x 3 (dengan x 4 = 55) sedemikian hingga 4 Min [00( xi xi ) + 000( xi ri )] i= n Kendala r i x i 55, i =,,3,4 n r n x n easibel S n = x n- Biaya 0 0 x 55 S = 55 00(x 55) (x 0) x 55 0 S 55 00(x x ) (x 40) x S (x 3 x ) (x 3 00) 4 55 x 4 = S (55 x 3 ) n (s n,x n ) = 00(x n s n ) (x n r n )+ 4 min ri xi 55 i= n [00( x i x ) i + 000( x i r )] i s n = x n- n (s n ) = min n (s n,x n ) r n x n 55 n (s n ) = min {00 (x n s n ) (x n r n ) + n+ (x n ) } r n x n 55

2 Programa Dinamik 0 Penelitian Operasional II Prosedur n = 4 x 4 4 (s 4 ) x 4 00 s (55-s 4 ) 55 n = 3 3 (s 3 ) = min {00 (x 3 s 3 ) (x 3 00) + 4 (x 3 ) } 00 x 3 55 = min {00 (x 3 s 3 ) (x 3 00) +00 (55 x 3 ) } 00 x 3 55 x x ( s3, x3) = 400 (x 3 s 3 ) (55 x 3 ) = 400 (x 3 s 3-50) = 0 3( s3, x3 ) = 800 > 0 ---! minimum x 3 = (s ) / 3 (s 3 ) = 3 (s 3, x 3 ) = 00 ((s ) / s 3 ) ((s ) / 00) + 00 (55 (s ) /) n = 3 s 3 3 (s 3 ) x 3 40 s (50-s 3 ) +50(60-s 3 ) +000(s 3 50) (s )/ n = (s, x ) = 00 (x s ) (x r ) + 3 (x ) = 00 (x s ) (x r ) +50(50-x ) + 50(60-x ) +000(x 50)

3 Penelitian Operasional II Programma Dinamik (s ) = min 55 x 40 x (s, x ) ( s, x ) = 400 (x s ) (50-x ) -00 (60-x ) = 00 (3 x s 40) = 0 ( s, x ) = 600> 0 ---! minimum x x = ( s + 40)/3 n = s (s ) x 0 s 40 00(40-s ) s 55 00/9[(50-s ) +(65-s ) +30(3s 575)] (s +40)/3 n = (s, x ) = 00 (x s ) (x r ) + (x ) (s, x ) 00( x s) + 000( x 0) + 00(40 x) + 5 = 00( x s) + 000( x 0) + 00/9[(50 - s ) + (65 - s ) + 30(3s - 575)] jika 0 x jika 40 x " 0 x 40 x s, x ) ( = 400(x s ) (40 x ) = 400( x s 35) Diketahui s = 55 ( s, x) = 800 ( x 45) < 0 untuk setiap x 40 x x = 40 untuk 0 x 40

4 Programa Dinamik Penelitian Operasional II " 40 x 55 x s, x ) ( = 400(x s ) /9[(50 x )+(65-x )-90] = 400/3 (4 x 3 s 5) = 0 x = (3 s + 5)/4 s = 55 di dapat x = 47,5 akan meminimumkan seluruh daerah 40 x 55 (55) = 00 ( ) + 000( ) + 00/9[( ) + ( ) + 30 ( )] = n = s (s ) x Hasil optimum : x = 47.5 x = ( ( 47.5)+40)/3 = 45 x 3 = ( )/ = 47.5 x 4 = 55.5 PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR DENGA PROGRAM DINAMIK Secara umum masalah dalam program linear dapat dituliskan dalam bentuk : Max Z = C X + C X + + C n X n Kendala a X + a X + + a n X n b a X + a X + + a n X n b... a m X + a m X + + a mn X n b m X, X,,X n 0 Formulasi sebagai model program dinamik : Tahapan : setiap aktiitas j (j =,,.., n) # Aktiitas level, X j ( 0) merupakan alternati pada tahapan ke-j # Karena X j kontinu, setiap tahapan memiliki jumlah alternati tak terbatas dalam ruang layak (easible) # Asumsikan a ij > 0

5 Penelitian Operasional II Programma Dinamik 3 State : jumlah sumber daya (resources) yang dialokasikan pada tahapan ke-n dan tahapan ke-n+ # Karena ada m sumber daya, berarti state-nya merupakan vektor berdimensi m. # Misalkan (B j, B j,, B mj ) adalah state dari sistem pada tahapan ke-j, yaitu, jumlah sumber daya,,,m yang dialokasikan ke tahapan j,j+,,m Dengan menggunakan rekursi mundur n (B n, B n,,b mn ) = max {C n X n } 0 a in X n B in i =,,,m j (B j, B j,,b mj ) = max {C j X j + j+ (B j a j X j,, B mj a mj X j )} 0 a ij X j B ij i =,,,m; j =,,,n- 0 B ij b i untuk setiap i,j adalah nilai optimum dari ungsi tujuan untuk tahapan-tahapan (aktiitas-aktiitas) j,j+,..,n jika diberikan states B j, B j,,b mj Contoh.6 Max Z = X + 5 X Kendala : X + X 430 X 460 Penyelesaian : Tahapan : j (j=,) State : Misalkan (v j,w j ) state pada tahapan j (j =,) (v,w ) = max {5 X } 0 X v 0 X w karena X min {v, w /} dan (X v,w ) = 5 X maka (v,w ) = max (X v,w ) X = 5 min (v, w /) X = (v, w /) (v,w ) = max { X + (v X, w )} 0 X v = max { X + 5 min (v -X, w /)} 0 X v merupakan tahapan terakhir dengan v = 430 dam w = 460 X v / = 5

6 Programa Dinamik 4 Penelitian Operasional II (X v,w ) = (X, 430, 460) = X + 5 min (430-X, 460/) 5(30) 0 X 00 = X + 5(430 X ) 00 X 5 X X 00 = 8X X 5 (v,w ) = (430,460) = max (X +50, -8X + 50) X = (00) + 50 = -8(00) + 50 = 350 X = 00 X = min (v, w /) v = v X = 30 = min (30, 460/) = 30 w = w 0 = 460 Diperoleh Z = 350, X = 00 dan X = 30.6 PROGRAM DINAMIK PROBABILISTIK Perbedaan antara program dinamik probabilistik dan deterministik terletak pada penentuan state pada tahapan berikutnya. Pada kasus probabilistik penentuan ini tidakah ditentukan berdasarkan state dan keputusan kebijakan pada tahapan pada saat itu, melainkan berdasarkan suatu distribusi probabilitas. Meskipun demikian, distribusi probabilitas ini tetap ditentukan berdasarkan state dan keputusan kebijakan pada tahapan pada saat itu (current stage) Tahapan ke n Probabilitas Tahapan ke-n+ C n+ () Keputusan S n x n State : P C n+ () P n (s n, x n ) P s C s Kontribusi dari tahapan ke-n s n+ (s)

7 Penelitian Operasional II Programma Dinamik 5 n ( s n, x n ) = pi[ C s i= n+ (i) = min x n+ i + n+ n+ (i, x n+ ) ( i)] s : jumlah state yang mungkin pada tahapan ke n+ Contoh.8 Sebuah perusahaan mendapat pesanan untuk menyuplai suatu item tipe tertentu. Pelanggan menginginkan kualitas yang tinggi, karena itu perusahaan tersebut harus memproduksi lebih dari satu item untuk memperoleh item yang dapat diterima. Perusahaan ini memperkirakan bahwa setiap item yang diproduksinya itu akan diterima dengan probabilitas ½. Dengan demikian, maka banyaknya item yang dapat diterima dari suatu lot yang berukuran L akan mempunyai distribusi binomial. Ongkos produksi marginal untuk produk ini ditaksir sebesar $00/item (walaupun rusak), kelebihannya dianggap tak berharga. Jika perlu set-up biayanya $300. Jika seluruh lot rusak proses produksi harus di- set-up. Waktu produksi tidak boleh lebih dari 3 siklus. Jika item yang dapat diterima tidak dapat diperoleh pada akhir siklus produksi yang ke-3, kerugian yang ditanggung oleh perusahaan adalah $600. Tentukan ukuran lot pada siklus produksi yang diperlukan sehingga diperoleh ekspektasi biaya pembuatan yang minimum. Penyelesaian " Tahapan : siklus produksi " State : banyaknya item yang dapat diterima ( nol atau satu) s = pada tahapan " Peubah keputusan : ukuran lot produksi pada tahapan ke-n (x n, n =,,3) " Fungsi tujuan : n ( s n, x n ) : ekspektasi biaya total minimum untuk tahapan ke-n ke depan n ( s) = min n ( s n, x n ) Xn=0,,... n ( 0) = 0 Dengan menggunakan $00 sebagai satuan uang, maka kontribusi terhadap biaya dari tahapan n adalah (k + x n ), dimana 0 xn = 0 k = 3 xn > 0 Untuk s=, maka n (, x n ) = k + x n + (/) Xn n+ () + [ - (/) Xn ] n+ (0) = k + x n + (/) Xn n+ ()

8 Programa Dinamik 6 Penelitian Operasional II Dengan 4 () = 6, yaitu biaya terminal jika tidak dihasilkan item yang dapat diterima : Hubungan Rekursi : n () = min {K + x n + (/) Xn n+() }, n =,,3 Xn =0,,... Prosedur : n=3 x 3 3 (, x 3 ) = k + x 3 + 6(/) x3 3 (s) x 3 s ,4 n= n= x (, x ) = k + x + (/) x3 3 () (s) x s ,3 (, x ) = k + x + (/) x () (s) x s / 6 3/4 6 7/8 7/6 6 ¾ x Kebijakan optimum : Produksi item pada siklus produksi I, jika rusak Produksi atau 3 item pada siklus produksi II, jika rusak Produksi 3 atau 4 item pada siklus produksi III Ekspektasi ongkos total untuk kebijakan ini adalah $ 675.

dokumen-dokumen yang mirip

Penelitian Operasional II Programa Dinamik 1 1. PROGRAM DINAMIK

Penelitian Operasional II Programa Dinamik. PROGRAM DINAMIK. PENDAHULUAN Definisi.: Program dinamik adalah suatu teknik matematik untuk menentukan serangkaian keputusan yang saling terkait, serta memberikan