PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transkripsi

1 METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Yudith Kase NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2012

2 ACTIVE SET METHODS TO SOLVE QUADRATIC PROGRAMMING PROBLEMS Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain The Sarjana Sains Degree in Mathematics By: Yudith Kase Student Number : MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2012 ii

3 PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iii

4 PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI iv

5 v

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Ketika hatiku merasa pahit dan buah pinggangku menusuk-nusuk rasanya, aku dungu dan tidak mengerti, seperti hewan aku di dekat-mu; tetapi aku tetap di dekat-mu; Engkau memegang tangan kananku. Dengan nasihat-mu Engku menuntun aku, dan kemudian Engkau mengangkat aku ke dalam kemuliaan. (Mazmur 73:21-24) Skripsi ini kupersembahkan kepada: Tuhan Yesus dan Bunda Maria, juru selamat dan pelindungku Almarhum Bapa yang selalu mendoakanku, Mama dan kedua saudaraku terkasih Engel dan Ewal My beloved sister Ima Teme beserta keluarga Universitas kebangganku Sanata Dharma vi

7 PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI vii

8 ABSTRAK Penentuan penyelesaian masalah pemrograman nonlinear, seperti masalah pemrograman kuadratik konveks berkendala tidak mudah dilakukan secara analitik. Namun, tidak berarti bahwa masalah tersebut tidak dapat diselesaikan. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya adalah Metode Himpunan Aktif. Metode himpunan aktif merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik konveks yang melibatkan kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan. Dalam metode himpunan aktif, yang diselesaikan adalah submasalah pemrograman kuadratik konveks, yakni dengan membangun sebuah himpunan kerja yang terdiri dari kendala-kendala pertidaksamaan aktif. Kendala-kendala pertidaksamaan aktif digunakan karena memiliki nilai nol pada penyelesaiannya sehingga dapat digantikan oleh kendala berupa persamaan, sedangkan kendala pertidaksamaan tidak aktif dapat dihilangkan dari himpunan kerja. Selanjutnya, dicari penyelesaian untuk arah layak. Jika arah layak sama dengan nol dan syarat Karush-Kuhn-Tucker dipenuhi maka akan diperoleh penyelesaian yang merupakan peminimum dari fungsi objektif pada masalah pemrograman kuadratik konveks. Jika tidak, maka perlu dibangun himpunan kerja yang lain dan diselesaikan submasalah baru tersebut. Kelebihan dari metode himpunan aktif, yaitu lebih sederhana perhitungannya karena tidak semua kendala digunakan. Tetapi jika pemilihan titik awal tidak tepat atau dengan kata lain titik awal menyebabkan tidak ditemukannya kendala aktif maka akan dibutuhkan banyak iterasi untuk mencapai hasilnya. Kata Kunci: himpunan aktif, Karush-Kuhn-Tucker, konveks, pengali Lagrange, arah layak. viii

9 ABSTRACT Determination of the solution of nonlinear programming problems, such as the convex quadratic programming problems that involve constraints is not easy done analitcally. However, it does not mean that the problem can not be completed. One of the methods that can be used to solve this problem is Active Set Methods. Active Set Method is a method to solve the problems of convex quadratic programming with involving constrains in the form of equalities and inequalities. In the Active Set Method, the convex quadratic programming subproblems are solved by first building a working set of active ineqaulity constraints. The active inequality constraints are used because it has zero value on the solution so that it can be replaced by equality constraints, whereas inactive inequality constraints can be removed from a working set. Next, looking for a solution for the feasible direction. If the feasible direction equal to zero and the condition of Karush Kuhn Tucker is satisfied, so it will be obtained a solution that is the minimizer of objective function in the convex quadratic programming problems. If not, it is necessary to build another working set and solved the new subprobems. The advantages of the Active Set Method that is simpler in its computation because not all constraints are used. But if the selection of starting point is not appropriate or in other words, the starting point causes not to find active constraints then it needs much iteration to achieve the results. Keywords: active set, Karush-Kuhn-Tucker, convex, Lagrange multiplier, feasible direction. ix

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas kasih dan penyertaan-nya sehingga skripsi berjudul METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK dapat penulis selesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai syarat kelulusan guna memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma. Dalam penyusunan skripsi ini, tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terimakasih kepada: 1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika yang telah meluangkan waktu serta penuh kesabaran membimbing dan menuntun penulis dalam penyusunan skripsi ini. 2. P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. 3. M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan dosen pembimbing Angkatan Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., M.Si., selaku dosen penguji. 5. Prof. Drs. R. Soemantri, Herry Pribawanto, S.Si., M.Si. dan A. Prasetyadi, S.Si., M.Si., yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini. x

11 6. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu baik yang berhubungan dengan akademik maupun non akademik. 7. Staf FST khususnya Pak Tukija, Ibu Linda dan Ibu Rina, Karyawan Perpustakaan USD serta Mas Susilo selaku Laboran. 8. Almarhum Bapak yang telah tenang di sisi Bapa, Mama dan kedua saudaraku Engel, Ewal serta Ka ima yang selalu mendukung penulis. 9. Teman-teman seperjuangan (Nooppy, Donat, Amel, Marcell, Fenny, Ethus, Moyo dan Widi). Friendship Never Be A Part guys. 10. Ina dan Adel, anak kos Aulia, Ao, Sende, Novi, Wiwi, Elvira, Tere, Tesa dan Asri, ka Merlin, Pipot serta teman KKN kelompok 31 angkatan XLII. 11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu yang telah mendukung penulis dalam penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih sangat jauh dari sempurna. Oleh karena itu kritik dan saran dari berbagai pihak akan penulis terima dengan senang hati. Semoga skripsi ini berguna bagi semua pihak. Yogyakarta, 29 Februari 2012 Penulis Yudith Kase xi

12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR TABEL... xvi xii

13 BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Pembatasan Masalah... 3 D. Tujuan penulisan... 3 E. Manfaat Penulisan... 4 F. Metode Penulisan... 4 G. Sistematika Penulisan... 4 BAB II RUANG VEKTOR DAN TEORI OPTIMASI... 6 A. Ruang Vektor... 6 B. Himpunan Konveks dan fungsi Konveks C. Teori Optimasi BAB III METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK A. Pemrograman Kuadratik B. Metode Himpunan Aktif BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran xiii

14 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiv

15 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Fungsi = Gambar 2.2 Himpunan Konveks dan yang bukan Himpunan Konveks Gambar 2.3 Fungsi Konveks dan Bukan Fungsi Konveks Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Himpunan Aktif xv

16 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Output Penyelesaian contoh 3.3 dengan Matlab Tabel 3.2 Tabel Perbandingan Nilai Awal Metode Himpunan Aktif xvi

17 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Optimasi merupakan pokok persoalan yang sering dijumpai dalam kehidupan. Optimasi menyangkut bagaimana menghadapi berbagai macam kemungkinan untuk mencapai hasil yang optimal, contohnya pengoptimalan dalam pemakaian lahan parkir. Dalam pengoptimalan pemakaian lahan parkir terdapat hal-hal yang berpengaruh, misalnya jenis kendaraan dan jumlah kendaraan. Permasalahan tersebut dapat dimodelkan secara matematis. Misalkan pengoptimalan pemakaian lahan parkir dinyatakan dengan fungsi f. Hal-hal yang mempengaruhi dinyatakan dengan variabel misalnya 1, 2,,. Variabel-variabel tersebut perlu diberi batasan yang disebut sebagai kendala sedangkan fungsi,,, disebut fungsi objektif. Fungsi objektif yang sering dijumpai adalah berbentuk linear. Namun dengan adanya perkembangan muncul faktor-faktor yang menyebabkan ketidaklinearan suatu fungsi sehingga memicu munculnya permasalahan nonlinear. Permasalahan nonlinear merupakan masalah untuk mengoptimumkan fungsi objektif terhadap himpunan variabel real, di mana salah satu atau keduanya dari fungsi objektif dan kendala berbentuk nonlinear. Dalam permasalahan nonlinear, fungsi objektif dioptimalkan dengan melibatkan

18 2 kendala. Namun, pada masalah-masalah lainnya fungsi objektif dapat pula dioptimalkan walaupun tidak melibatkan kendala. Pemrograman kuadratik merupakan salah satu dari masalah pemrograman nonlinear yang melibatkan kendala. Masalah pemrograman kuadratik merupakan masalah optimasi nonlinear dengan fungsi objektif berbentuk kuadratik dan kendalanya berbentuk linear. Jika fungsi objektif merupakan fungsi konveks maka dikatakan masalah pemrograman kuadratik konveks. Untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik, khususnya pemrograman kuadratik konveks dapat digunakan beberapa metode, antara lain Metode Titik Dalam, Metode Dual dan Metode Himpunan Aktif. Dalam penulisan ini akan dipaparkan tentang Metode Himpunan Aktif. Metode himpunan aktif adalah metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan kendala berupa persamaan yang dapat digeneralisasikan untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan kendala yang bersifat umum. Dengan kata lain metode himpunan aktif dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik yang melibatkan kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan. Secara intuitif dalam metode himpunan aktif, kendala pertidaksamaan yang tidak aktif tidak berperan dalam pencapaian penyelesaian, sehingga dapat dihilangkan. Dalam metode himpunan aktif, dibangun sebuah subhimpunan dari kendala berupa persamaan yang diberi indeks dengan suatu himpunan kerja. Salah satu syarat optimal untuk optimasi berkendala adalah syarat Karush-Kuhn-

19 3 Tucker. Jika penyelesaian dari submasalah pemrograman kuadratik dengan kendala persamaan dalam himpunan kerja adalah layak untuk masalah pemrograman kuadratik semula dan syarat Karush-Kuhn-Tucker dipenuhi maka akan diperoleh penyelesaiannya. Jika syarat Karush-Kuhn-Tucker tidak dipenuhi maka himpunan kerja tersebut dihilangkan dan diselesaikan submasalah baru. B. RUMUSAN MASALAH Pokok-pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1. Bagaimana menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik dengan metode himpunan aktif? 2. Bagaimana algoritma metode himpunan aktif dan implementasinya dalam MATLAB untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik? C. PEMBATASAN MASALAH Pembahasan metode himpunan aktif dalam tulisan ini hanya dibatasi pada masalah pemrograman kuadratik konveks dan pada masalah optimasi yang melibatkan kendala. D. TUJUAN PENULISAN Tujuan penulisan ini yaitu untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik yang melibatkan kendala dengan menggunakan metode himpunan aktif

20 4 dan untuk menyusun algoritma metode himpunan aktif dengan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB. E. MANFAAT PENULISAN Manfaat dari tulisan ini yaitu untuk memperoleh pengetahuan tentang metode himpunan aktif yang digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik yang melibatkan kendala serta dapat menggunakan bahasa pemrograman MATLAB untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik. F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan metode himpunan aktif untuk menyelesaikan masalah pemrograman kuadratik. G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan

21 5 G. Sistematika Penulisan BAB II RUANG VEKTOR DAN TEORI OPTIMASI A. Ruang Vektor B. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks C. Teori Optimasi BAB III METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK A. Pemrograman Kuadratik B. Metode Himpunan Aktif BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

22 BAB II RUANG VEKTOR DAN TEORI OPTIMASI Dalam Bab II ini akan dibahas tentang ruang vektor, matriks, himpunan dan fungsi konveks serta teori optimasi. Matriks yang akan dibahas, yaitu matriks Hesse dan matriks semidefinit positif. Untuk teori optimasi diawali dengan penjelasan optimasi berkendala dan optimasi tidak berkendala serta penjelasan-penjelasan lain yang berkaitan dengan teori optimasi. A. Ruang Vektor Definisi 2.1 Ruang R adalah himpunan dari semua kumpulan terurut,,,. Definisi 2.2 Misalkan himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi 1. Jumlah: untuk setiap,, Perkalian skalar: untuk setiap dan skalar R,. Himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor atas R jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: a. +=+, untuk setiap,. b. ++=++, untuk setiap,,.

23 7 c. Terdapat elemen sehingga +=, untuk setiap. d. Untuk setiap terdapat elemen sehingga + =0. e. +=+, untuk setiap skalar R dan untuk setiap,. f. (+=+, untuk setiap skalar, R dan untuk setiap. g. (=, untuk setiap skalar, R dan untuk setiap. h. 1=, untuk setiap. Contoh 2.1 Buktikan bahwa R =,,, R, R,, R adalah ruang vektor. Bukti Misalkan =,,, dan =,,,, maka += +, +,, + =,,, a. += +, +,, + = +, +,, + =+ b. ++= +, +,, + +,,,

24 8 =,,, +,,, +,,, =,,, +,,, +,,, =,,, +,,, +,,, =,,, + +, +,, + =++ c. +=,,, +0,0,,0 = +0, +0,, +0 =,,, = d. + =,,, +,,, = +, +,, + =0,0,,0 = e. += +, +,, + =,,, +,,, =,,, +,,, =+

25 9 f. + =+,,, =+,+,,+ = +, +,, + =,,, +,,, =,,, +,,, =+ g. =,,, =,,, =,,, =,,, = h. 1=1,,, =1,1,,1 =,,, = Karena R =,,, R, R,, R dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma-aksioma seperti pada Definisi 2.2 maka terbukti bahwa R membentuk ruang vektor.

26 10 Definisi 2.3 Misalkan = banyaknya baris pada matriks dan = banyaknya kolom pada matriks maka matriks dikatakan bujur sangkar jika =. Definisi 2.4 Suatu matriks bujur sangkar dikatakan simetrik jika = dengan adalah transpose dari. Definisi 2.5 Misalkan R adalah matriks simetrik. dikatakan definit positif jika > 0, R,. dikatakan semidefinit positif jika 0, R. dikatakan semidefinit negatif jika 0, R, 0. dikatakan indefinit jika tidak semidefinit positif atau semidefinit negatif. Contoh 2.2 Diberikan sebuah matriks simetrik berikut: = Untuk mengkaji bahwa matriks bersifat definit positif, maka: =

27 11 = = = = Persamaan (2.1) adalah penjumlahan kuadrat dan oleh karena itu hasilnya tidak negatif. Persamaan (2.1) akan bernilai nol jika dan hanya jika 2 =0 dan =0, yang secara tidak langsung menyatakan pula bahwa =0. Hal ini membuktikan bahwa >0 untuk semua 0. Jadi, dapat disimpulkan bahwa matriks bersifat definit positif. Contoh 2.3 Diberikan sebuah matriks simetrik berikut: = Untuk mengkaji bahwa matriks bersifat semidefinit positif, maka: = = 2 2 = Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa matriks bersifat semidefinit positif karena R jumlahan kuadrat di atas 0.

28 12 Contoh 2.4 Diberikan sebuah matriks simetrik berikut: = Untuk mengkaji bahwa matriks bersifat semidefinit positif, maka: = = = = = = Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa matriks bersifat semidefinit positif karena R jumlahan kuadrat di atas 0. Definisi 2.6 Diberikan titik R dan >0. Kitar titik dengan radius yang diberi notasi didefinisikan dengan = R <

29 13 Definisi 2.7 Barisan di R dikatakan konvergen ke R, atau dikatakan titik limit dari, jika untuk setiap >0 ada bilangan asli sehingga untuk semua, barisan memenuhi <. Definisi 2.8 Jika barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan divergen. Definisi 2.9 Misalkan R dan R. Titik dinamakan titik interior dari jika terdapat >0 sehingga. Definisi 2.10 Himpunan dikatakan terbuka dalam R jika setiap titik dari adalah titik interior. Definisi 2.11 Himpunan R adalah tertutup jika dan hanya jika komplemennya adalah terbuka.

30 14 Definisi 2.12 Misalkan R dan misalkan :R R merupakan fungsi bernilai real yang mempunyai turunan parsial orde ke-2 dalam himpunan terbuka yang memuat. Matriks Hesse dari adalah matriks turunan parsial ke-2 yang dievaluasi pada : = ) ( n n n n n x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f H L M O M M L L x Definisi 2.13 Himpunan vektor,, di ruang vektor V disebut bebas linear jika persamaan + + = Hanya dipenuhi oleh bilangan = = =0. Contoh 2.5 Diketahui =1,0,1, =2, 3,4 dan =3,5,2. Buktikan bahwa,, bebas linear. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

31 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 Bukti Untuk membuktikan bahwa kumpulan tersebut bebas linear maka dibentuk persamaan berikut + + = = = =0 Selanjutnya, akan digunakan operasi baris elementer untuk mencari nilai dari, dan Tambahkan -1 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh Tambahkan 2 kali baris kedua ke 3 dikali baris ketiga untuk memperoleh =0 = =0 3 =0 = =0

32 16 =0 Kerana = = =0 maka dapat disimpulkan bahwa kumpulan vektor,, bebas linear. Definisi 2.14 Hasil kali dalam (inner product) R adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real, dengan sepasang vektor dan di R sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor, dan di R dan semua bilangan skalar R. 1., =, ; (Aksioma Kesimetrian) 2. +, =, +, ; (Aksioma Penjumlahan) 3., =, ; (Aksioma Homogenitas) 4., 0; (Aksioma Positivitas), =0 jika dan hanya jika =0; Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real (Real Inner Product Space). Definisi 2.15 Hasil kali dalam baku untuk R adalah hasil kali skalar, =

33 17 Definisi 2.16 Norma (norm) atau panjang sebuah vektor di R, dinotasikan dengan, didefinisikan sebagai =, = = Definisi 2.17 Dua vektor dan pada R dikatakan ortogonal jika, =0. Teorema 2.18 (Teorema Pythagoras) Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam R, maka + = + Bukti + = +,+ =, +, +, +, =, +, +, +, = +2, + = +

34 18 Definisi 2.19 Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam ruang hasil kali dalam di R dan, maka proyeksi skalar dari pada diberikan oleh =, 2.2 dan proyeksi vektor dari pada diberikan oleh = 1 =,, 2.3 Teorema 2.20 Jika, dan adalah proyeksi vektor dari pada, maka 1. dan adalah ortogonal. 2. = jika dan hanya jika adalah sebuah perkalian skalar dari. Bukti 1. Karena dan, = α, α = α, =α

35 19, =,, = Hal ini mengakibatkan, =,, = =0 2. Jika =, maka proyeksi vektor dari pada diberikan oleh =,, =,, = = Sebaliknya, jika =, menurut persamaan (2.3) maka = = = Teorema 2.21 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam R ) Jika dan adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam R, maka,

36 20 Bukti Jika =, maka, =0= Jika, maka misalkan sebagai proyeksi vektor dari pada. Karena ortogonal pada, maka menurut Teorema Pythagoras + = Jadi,, = = dan dari sini diperoleh, = Dengan mengambil akar diperoleh, Teorema 2.22 (Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz) Misalkan, R. Maka 2.4

37 21 Bukti Pertidaksamaan (2.4) akan bersifat trivial jika dan hanya jika = atau =. Oleh karena itu, misalkan dan tak nol. Misalkan adalah sebarang bilangan real. Maka 0 + = + = +2 + = +2 + Misalkan =, =, dan =, sehingga pertidaksamaan di atas menjadi untuk semua R. Hal ini dapat terjadi jika dan hanya jika diskriminan atau =2 4=4 4<0. Karena itu, <. Dengan mensubstitusikan nilai, dan, maka diperoleh Selanjutnya dengan mengambil akar diperoleh

38 22 Definisi 2.23 Pemetaan disebut norm jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut: 1. 0, R. 2. =0 jika dan hanya jika =0. 3. =, R, R ,, R. Contoh 2.6 Akan dibuktikan bahwa = adalah norm. Bukti Untuk membuktikan bahwa = adalah norm, maka harus ditunjuk- kan bahwa = memenuhi masing-masing sifat dari Definisi Misalkan dan adalah sebarang vektor di R, dan adalah sebarang bilangan real, maka 1. Akan ditunjukkan bahwa 0. Untuk 0, maka = 0 2. Akan ditunjukkan bahwa = Jika =0 maka =0,. =0 jika dan hanya jika =0.

39 23 Oleh karena itu, =0 dan =0. Sebaliknya, jika =0 maka =0. Karena 0, dengan demikian =0 hanya dipenuhi jika =0 sehingga =0. 3. Akan ditunjukkan bahwa =, R, R. = = = 4. Akan ditunjukkan bahwa + +,, R. + = + + = + (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jadi, + + Contoh 2.7 Akan dibuktikan bahwa = adalah norm.

40 24 Bukti Untuk membuktikan bahwa = adalah norm, maka harus di- tunjukkan bahwa = memenuhi masing-masing sifat dari Definisi Misalkan dan adalah sebarang vektor di R, dan adalah sebarang bilangan real, maka 1. Akan ditunjukkan bahwa 0. Karena 0 untuk sebarang bilangan real, maka = 2. Akan ditunjukkan bahwa = =0 jika dan hanya jika =0. Jika =0 maka =0,. Oleh karena itu, =0 dan =0. Sebaliknya, jika =0 maka =0. 0 Karena 0, dengan demikian =0 hanya dipenuhi jika =0 sehingga =0. 3. Akan ditunjukkan bahwa =, R, R. =

41 25 = = = 4. Akan ditunjukkan bahwa + +,, R. + = + = (Sifat Nilai Mutlak) +2 + (Teorema 2.22) = + Dengan mengambil akar maka diperoleh + + Teorema 2.24 Misalkan,, adalah sebarang vektor di R, dengan maka berlaku =

42 =0 jika dan hanya jika = =. Bukti 1. Akan dibuktikan bahwa 0. = Karena 0 untuk sebarang bilangan real dan maka diperoleh Akan dibuktikan bahwa =0 jika dan hanya jika =. Jika = maka =,. Oleh karena itu =0 dan =0. Sebaliknya, jika =0, maka =0. Karena 0, dengan demikian =0 hanya dipenuhi jika =0, sehingga =. 3. Akan dibuktikan bahwa +. = + = +, + =, +, +, +,

43 27 = +, +, + = +2, = + Dengan mengambil akar maka diperoleh Akan dibuktikan bahwa =. = 1 = 1 = Jadi, terbukti bahwa =. Teorema 2.25 (Hukum Paralelogram) Untuk semua, R, + + =2 + Bukti: + + = +,+ +, =,+ +,+ +,, =, +, +, +, +,,, +,

44 28 =, +, +, +, =2, +2, =2 +2 =2 + Definisi 2.26 Barisan R disebut barisan Cauchy jika lim, =0 Dengan kata lain untuk setiap >0, terdapat sebuah bilangan bulat sehingga < untuk semua,>. Definisi 2.27 Misalkan adalah sebuah relasi pada himpunan, maka disebut relasi urutan parsial jika memenuhi tiga sifat berikut: 1. Refleksif adalah fefleksif jika dan hanya jika untuk setiap. 2. Antisimetris adalah antisimetris jika dan hanya jika dan, maka = untuk setiap,. 3. Transitif

45 29 adalah transitif jika dan hanya jika dan, maka untuk setiap,,. Relasi urutan parsial biasanya dinotasikan dengan ; dan dibaca mendahului. Relasi, yaitu melampaui, juga sebuah urutan parsial dari, disebut urutan dual. Definisi 2.28 Himpunan bersama-sama dengan suatu relasi urutan parsial pada disebut himpunan terurut parsial (partially ordered set). Contoh 2.8 Perhatikan bilangan bulat positif N. Dikatakan membagi ditulis, jika terdapat N sedemikian sehingga =. Contoh 2 4, 3 12, 7 21 dan seterusnya. Tunjukkan bahwa pembagian adalah sebuah pengurutan parsial dari N, yaitu, tunjukkan bahwa a.. b. Jika dan maka =. c. Jika dan maka. Penyelesaian a. Karena 1 =, maka. (Refleksif).

46 30 b. Anggap dan, misal = dan =. Maka = sehingga = 1. Karena dan adalah bilangan bulat positif maka = 1 dan = 1. Dengan demikian =. (Antisimetris). c. Anggap dan, misal = dan =. Maka = sehingga. (Transitif). Definisi 2.29 Misalkan adalah subhimpunan dari sebuah himpunan yang terurut secara parsial. Definisikan: a. Batas atas dan supremum dari. Elemen dalam disebut batas atas dari jika melampaui ( ) setiap elemen dari, yaitu adalah batas atas dari jika,. Jika suatu batas atas dari mendahului ( ) setiap batas atas lain dari maka disebut batas atas terkecil atau supremum dari dan dinyatakan dengan: sup() b. Batas bawah dan infimum dari. Elemen dalam disebut batas bawah dari jika mendahului ( ) setiap elemen dari, yaitu adalah batas bawah dari jika,. Jika suatu batas atas dari melampaui ( ) setiap batas bawah lain dari maka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari dan dinyatakan dengan: inf()

47 31 Definisi 2.30 Misalkan merupakan subhimpunan tak kosong dari R. a. Himpunan dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan R sedemikian sehingga untuk semua. Setiap bilangan dikatakan batas atas dari. b. Himpunan dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan R sedemikian sehingga untuk semua. Setiap bilangan dikatakan batas bawah dari. Lemma 2.31 Batas bawah dari himpunan tak kosong di R adalah infimum dari jika dan hanya jika > 0 terdapat sedemikian sehingga + >. Bukti ( ) Diketahui = inf dan > 0. Akan ditunjukkan terdapat sedemikian sehingga + >. Jika batas bawah maka. Karena + > maka + bukan batas bawah. Karena + bukan batas bawah maka harus ada sehingga + >.

48 32 ( ) Jika suatu batas bawah, dan > 0 terdapat sedemikian sehingga + >. Akan dibuktikan = inf. Misalkan bahwa suatu batas bawah. Karena dan suatu batas bawah maka. Karena + > maka + >. Jadi > 0 berlaku + >. Andaikan > maka jika diambil = akan diperoleh + = sehingga > + > dan > + > yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa batas bawah. Jadi, jika batas bawah haruslah sehingga merupakan batas bawah terbesar atau = inf. Definisi 2.32 Misalkan = merupakan barisan bilangan real. Barisan dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan Jika barisan merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan barisan monoton.

49 33 Teorema 2.33 Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen. Bukti: Diberikan turun dan terbatas ke bawah. Karena : N maka terdapat R dan = inf : N. Jadi, untuk setiap N berlaku (2.5) Karena = inf : N, maka untuk > 0 yang diberikan terdapat N dan > (2.6) Karena turun, maka mengingat (2.5) dan (2.6), untuk setiap berlaku > > + (2.7) Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap > 0 terdapat N sedemikian sehingga untuk setiap N dan, maka <. Jadi, konvergen dan lim ==inf : N. B. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks Definisi 2.34 Sebuah Fungsi : R R dikatakan kontinu pada R jika untuk setiap > 0 yang diberikan, terdapat > 0 sedemikian sehingga jika < maka <.

50 34 Definisi 2.35 Limit () untuk mendekati adalah, ditulis lim f ( x) = L x c jika dan hanya jika untuk setiap > 0 yang diberikan, terdapat > 0 sedemikian sehingga bila 0 < < berlaku <. Teorema 2.36 Misalkan adalah konstanta, dan adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di. Maka 1. lim k = k ; x c 2. limkf ( x) = k lim f ( x) ; x c x c 3. [ f ( x) + g( x) ] = lim f ( x) + lim g( x) = K + L lim ; x c x c x c 4. [ f ( x) g( x) ] = lim f ( x) lim g( x) = K L lim ; x c x c x c Bukti: 1. Misalkan didefinisikan = maka harus dibuktikan lim f ( x) = k. Misalkan >0, harus ditunjukkan bahwa dapat dicari >0 sedemikian sehingga < bila 0< < x c

51 35 Ambil sebarang >0 maka untuk 0< < berlaku = =0< Jadi terbukti bahwa lim k = k x c 2. Jika = 0 maka () = 0, maka lim x c [ 0 f ( x) ] lim0 = 0 = 0 f ( x) = x c Limit di atas adalah kasus khusus dari rumus 1, dengan = 0. Oleh karena itu, rumus 1 adalah benar untuk = 0. Asumsikan bahwa 0. Misalkan > 0, x c lim f ( x) = K maka melalui definisi limit ada 1 > 0 sedemikian sehingga bila 0 < < berlaku < Pilih = 1 dan harus ditunjukkan bahwa bila 0< < berlaku < Misalkan 0< <, maka = < = Jadi, terbukti bahwa limkf ( x) = k lim f ( x) x c x c

52 36 3. Misalkan > 0, lim f ( x) = K dan lim g( x) = L maka ada 1 > 0 dan 2 > 0 x c x c sedemikian sehingga < bila 0< < 2 dan < bila 0< < 2 Pilih =min,. Harus ditunjukkan bahwa bila 0< < berlaku + + Misalkan bahwa 0< <, maka + + = + + < = Jadi terbukti bahwa [ f ( x) + g( x) ] = lim f ( x) + lim g( x) = K + L lim x c x c x c 4. Untuk membuktikan rumus 4, akan digunakan informasi dari rumus-rumus sebelumnya. lim x c [ f ( x) g( x) ] = lim[ f ( x) + ( 1) g( x) ] x c = lim f ( x) + lim( 1) g( x) x c = lim f ( x) + ( 1)lim g( x) x c = lim f ( x) lim g( x) x c = K L x c x c x c (melalui rumus 3) (melalui rumus 3) (melalui rumus 2)

53 37 Teorema 2.37 Diberikan himpunan, fungsi dan yang didefinisikan pada ke dalam dan R. Jika dan kontinu di [, ], maka kontinu di [, ]. Bukti: Misalkan sebarang titik di [, ]. Akan dibuktikan lim[ f ( x) g( x) ] = f ( c) g( c) x c Karena dan kontinu di, maka lim f ( x) = f ( c) dan lim g( x) = g( c). x c Menurut teorema tentang limit fungsi diperoleh: lim x c [ f ( x) g( x) ] = f ( c) g( c) Karena adalah sebarang titik di [, ] maka kontinu di setiap titik pada x c = lim f ( x) lim g( x) x c x c interval [, ]. Definisi 2.38 Andaikan daerah asal dari, yang memuat titik maka 1. () adalah nilai maksimum pada jika () () untuk semua. 2. () adalah nilai minimum pada jika () () untuk semua. 3. () adalah nilai ekstrim pada jika merupakan nilai maksimum atau nilai minimum.

54 38 Teorema 2.39 (Teorema Titik Kritis) Andaikan terdefinisikan pada selang yang memuat titik. Jika () adalah nilai ekstrim, maka haruslah berupa suatu titik kritis; yakni berupa salah satu: 1. Titik ujung dari ; atau 2. Titik stasioner dari yakni titik sedemikian sehingga () = 0; atau 3. Titik singular dari yakni titik sedemikian sehingga () tidak ada; Bukti: Misalkan () berupa nilai maksimum pada dan misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Harus diperlihatkan bahwa adalah titik stasioner. Karena () adalah nilai maksimum, maka () () untuk semua dalam, yaitu () () 0 Jadi, jika <, sehingga < 0, maka sedangkan jika >, maka () () () () 0 (2.8) 0 (2.9) Karena bukan titik singular maka () ada. Akibatnya, untuk maka () () lim = () 0

55 39 dan untuk maka () () lim = () 0 Jadi, dapat disimpulkan bahwa () = 0 atau merupakan titik stasioner. Teorema 2.40 (Teorema Nilai Rata-rata) Jika kontinu pada selang tertutup [, ] dan terdiferensial dalam interval (, ) maka terdapat paling sedikit satu bilangan dalam (, ) dimana atau ekuivalen dengan () = () () () () = ()( ) Bukti: Pembuktian Teorema Nilai Rata-rata ini didasarkan pada analisis dari fungsi () = () (), yang akan diperlihatkan pada Gambar 2.1

56 40 Gambar 2.1 Persamaan = () pada Gambar 2.1 adalah persamaan garis yang melalui (, ()) dan (, ( ()). Karena garis ini mempunyai kemiringan dan melalui (, ()) maka bentuk kemiringan persamaannya adalah () () = Selanjutnya dihasilkan rumus () () () () ( ) () = () () = () () () () Perhatikan bahwa () = () = 0 dan untuk dalam (, ) () = () () () ( )

57 41 Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan dalam (, ) yang memenuhi () = 0 maka bukti selesai. Hal ini didasarkan pada persamaan terakhir bahwa 0 = () () () Karena dan kontinu maka kontinu di [, ]. Oleh karena itu () ada untuk suatu dalam (, ) Berdasarkan sifat bahwa jika kontinu pada interval tertutup [, ], maka mencapai nilai maksimum dan minimum. Jadi harus mencapai nilai maksimum ataupun nilai minimum pada [, ]. Jika kedua nilai ini kebetulan nol, maka () secara identik adalah nol pada [, ], akibatnya () = 0 untuk semua dalam (, ). Jika salah satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan nol, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam, karena () = () = 0. Karena mempunyai turunan di setiap titik dari (, ), sehingga dengan Teorema Titik Kritis () = 0. Definisi 2.41 Sebuah fungsi : R R dikatakan terdiferensial secara kontinu pada R, jika () ada dan kontinu, = 1. Gradien dari pada didefinisikan sebagai () = (),, ()

58 42 Jika terdiferensial secara kontinu pada setiap titik dari sebuah himpunan terbuka R, maka dikatakan terdiferensial secara kontinu pada dan dinotasikan dengan (). Definisi 2.42 Sebuah fungsi : R R yang terdiferensial secara kontinu dikatakan terdiferensial dua kali secara kontinu pada R, jika () ada dan kontinu, = 1. Matriks Hesse dari pada didefinisikan sebagai matriks simetri yang elemennya [ ()] = (), 1, Jika terdiferensial dua kali secara kontinu pada setiap titik dari sebuah himpunan terbuka R, maka dikatakan terdiferensial dua kali secara kontinu pada dan dinotasikan dengan () (). Definisi 2.43 Himpunan R adalah konveks jika untuk setiap,, segmen garis yang menghubungkan dan juga terletak di. Segmen garis yang menghubungkan dan didefinisikan dengan: + (1 ), [0,1] (2.10)

59 43 Jadi, subhimpunan dari R adalah konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di dan setiap dengan 0 1, vektor + (1 ) juga di. Berikut diberikan beberapa gambar yang mendeskripsikan himpunan konveks dan yang bukan himpunan konveks. Gambar 2.2 Definisi 2.44 Misalkan R merupakan himpunan konveks tak kosong. Misalkan : R R. Jika untuk setiap, dan semua (0,1), ( + (1 ) ) ( ) + (1 )( ) (2.11) maka dikatakan konveks pada.

60 44 Gambar 2.3 Gambar 2.3 merupakan contoh dari fungsi konveks dan bukan konveks. Interpretasi geometri fungsi konveks menyatakan bahwa nilai fungsi di bawah tali busur yang bersesuaian yaitu nilai fungsi konveks di titik pada segmen garis + (1 ) kurang dari atau sama dengan tinggi dari tali busur yang menghubungkan titik-titik (, ( ) dan (, ( ). Contoh 2.9 : R R didefinisikan oleh =, untuk R. Buktikan bahwa fungsi tersebut adalah fungsi konveks. Penyelesaian: Melalui Definisi 2.44 akan dibuktikan bahwa ( + (1 )) () + (1 )() Ambil, R dan semua [0,1] maka () = dan () =. ( + (1 )) = ( + (1 ))

61 45 = + 2(1 ) + (1 ) = + 2( ) + (1 2 + ) = + 2( ) + ( 2 + ) Karena [0,1] maka <, sehingga ( + (1 )) < + 2( ) + ( 2 + ) = + 2(0) + ( ) = + ( ) = + (1 ) = () + (1 )() Karena ( + (1 )) () + (1 )(), maka dapat disimpulkan bahwa = adalah fungsi konveks untuk sebarang [0,1]. Contoh 2.10 Diberikan = untuk R. Akan ditunjukkan bahwa adalah fungsi konveks. Penyelesaian: adalah fungsi konveks bila memenuhi ( + (1 )) () + (1 )() Ambil, R 2 di mana = ( 1, 2 ), = 1, 2 dan semua [0,1] maka

62 46 + (1 ) = + (1 ) = + sehingga, ( + (1 )) = ( ) + ( ) + = (( ) + ) + (( ) + ) 2(( ) + ) 5(( ) + ) = ( ) 2 + 2( ) ( ) 2 + 2( ) ( + ) 5( + ) = ( ) = ( ) = ( ) Karena [0,1] maka 2 <, sehingga

63 47 ( + (1 )) < ( ) = = = = ( ) = ( ) + (1 )( ) + = () + (1 )() Karena ( + (1 )) () + (1 )() maka dapat disimpulkan bahwa = adalah fungsi konveks untuk sebarang [0,1].

64 48 Definisi 2.45 (Turunan Berarah) Misalkan : R R terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka R. Maka untuk dan R, turunan berarah dari pada dalam arah didefinisikan sebagai ( + ) () (; ) lim = () (2.12) dimana () adalah gradien dari pada, merupakan vektor 1. Untuk semua,, diperoleh atau () = () + + ( ) ( ), (0,1) () = () + () ( ) + ( ). Definisi 2.46 Misalkan (). Untuk sebarang, R, turunan berarah kedua dari pada dalam arah d didefinisikan dengan ( + ; ) (; ) (; ) lim = () (2.13) dimana () merupakan matriks Hesse dari pada. Untuk sebarang, +, ada (, + ) sedemikian sehingga ( + ) = () + () () atau

65 49 ( + ) = () + () () + ( ) Teorema 2.47 Misalkan R adalah himpunan konveks terbuka tak kosong dan misalkan : R R adalah fungsi yang terdiferensial. Maka adalah konveks jika dan hanya jika () () + () ( ),, (2.14) Bukti: Syarat Perlu: Misalkan () adalah fungsi konveks, maka untuk semua dengan 0 < < 1 dan, R. ( + (1 )) () + (1 )() ( + ) () + () () + ( ) () () + () + ( ) () () () Oleh karena itu, + ( ) () () () Tetapkan 0 maka diperoleh () ( ) () () () () () ( )

66 50 () () + () ( ) Syarat Cukup: Asumsikan bahwa (2.14) berlaku. Ambil sebarang, dan tetapkan = + (1 ), 0 < < 1. Maka ( ) () + () ( ) ( ) () + () ( ) Oleh karena itu, ( ) + (1 )( ) () + () ( ) + (1 )() + () ( ) = () + () ( ) + (1 )() + (1 ) () ( ) = () + () ( ) + () α() + () ( ) () ( ) = () + () ( + + ) = () + () ( + (1 α) ) = () + () ( ) = () + 0 = ( + (1 ) ) yang berarti bahwa () adalah fungsi konveks.

67 51 Teorema 2.48 Misalkan R adalah himpunan konveks terbuka tak kosong, dan misalkan : R R terdiferensial dua kali secara kontinu. Maka adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik dalam. Bukti: Syarat cukup: Misalkan bahwa matriks Hesse () adalah semidefinit positif pada setiap titik. Akan dibuktikan bahwa adalah konveks. Pertimbangkan,. Melalui Teorema Nilai Rata-rata diperoleh, () = () + () ( ) ( ) ()( ) dimana = + ( ), (0,1). Perhatikan bahwa. Karena () adalah semidefinit positif maka ( ) ()( ) 0 Akibatnya, () () + () ( ) Oleh karena itu melalui Teorema 2.47, adalah fungsi konveks. Syarat perlu: Misalkan bahwa adalah fungsi konveks dan misalkan. Akan dibuktikan bahwa () 0, R.

68 52 Karena adalah himpunan terbuka, maka ada > 0 sedemikian sehingga ketika <,+. Melalui Teorema (2.15) Karena terdiferensial dua kali pada, maka += Dengan mensubstitusikan persamaan (2.16) ke pertidaksamaan (2.15) maka Jadi, setelah disubstitusikan diperoleh Bagi dengan dan tetapkan 0, maka 0 Jadi, dapat disimpulkan bahwa Matriks Hesse adalah semidefinit positif. Teorema 2.49 (Teorema Proyeksi) Misalkan R merupakan himpunan konveks tertutup tak kosong dan, maka ada titik tunggal dengan jarak minimal dari yaitu

69 53 = inf (2.17) Selanjutnya, adalah titik minimal dari persamaan (2.17) jika dan hanya jika, 0, (2.18) atau dapat dikatakan bahwa adalah proyeksi () dari pada jika dan hanya jika (2.18) berlaku. Bukti Misalkan inf =>0 (2.19) Karena adalah batas bawah terbesar maka,. Misalkan terdapat sebuah titik 1 dan. Kemudian, dibuat ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y. Selanjutnya, dari titik 1 dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 1 dan berada pada garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y, diperoleh titik 2. Kemudian, dari titik 2 dibuat kitar dengan radius 1 2. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 2 dan berada pada garis yang menghubungkan titik 2 dan titik y, diperoleh titik 3. Demikian seterusnya, hingga diperoleh titik 1. Kemudian dari titik 1 dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 1 tersebut dan terletak pada ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y diperoleh titik. Dengan demikian akan ada barisan.

70 54 Akan ditunjukkan bahwa. Karena =inf maka berdasarkan Lemma 2.31, untuk setiap = >0 terdapat dengan sedemikian sehingga + >. Dengan demikian, terbentuk barisan yang terbatas dan turun. Berdasarkan Teorema 2.33, maka akan konvergen dan lim = = inf. Berikut ini akan dibuktikan adalah barisan Cauchy dan oleh karena itu ada limit. Melalui Teorema Parallelogram diketahui bahwa = Misalkan ambil, di mana diganti dengan dan diganti dengan. Dengan mensubstitusikan dan ke Hukum Parallelogram di atas maka diperoleh = = Karena maka ( + ) 2 = = (2.20)

71 55 Dari definisi diketahui bahwa inf = sehingga =,. Dengan mengganti =, diperoleh γ 2 2 (2.21) Jadi, dengan menggunakan persamaan (2.20) dan (2.21) diperoleh Ambil k dan m cukup besar sehingga dan. Dengan demikian dipenuhi = 0 atau 0 yang menunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy dengan limit. Karena tertutup maka. Hal ini menunjukkan bahwa ada sehingga =. Jadi, barisan adalah barisan Cauchy. Akan dibuktikan bahwa adalah tunggal. Andaikan tidak tunggal, artinya ada dan dengan =. Melalui Hukum Parallelogram, misalkan diganti dengan dan diganti dengan, maka diperoleh =

72 56 2 = Karena + 2 Akibatnya, = = = , maka menurut (2.21), = 0 Jadi, 0, padahal > 0. Jadi, ada kontradiksi. Terbukti =. Akan dibuktikan bahwa jika, 0,, maka adalah titik minimum dari = inf. Ambil x sebarang di S dan misalkan, 0, dipenuhi, sehingga 2 = + 2 = + + 2, = + + 2( ) ( ) Karena 2 0 dan ( ) ( ) 0, maka 2 2 dan adalah titik minimum dari

73 57 = inf. Akan dibuktikan bahwa jika adalah titik minimum dari = inf, maka, 0,. Misalkan 2 2,. Karena + ( ) dengan (0,1), maka diperoleh ( + ( )) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Bagi dengan dan misalkan 0, maka diperoleh, 0,. Teorema 2.50 Misalkan R merupakan himpunan konveks tertutup tak kosong dan. Maka terdapat vektor tak nol dan bilangan real sehingga > dan α, (2.22) dengan kata lain

74 58 > sup, (2.23) yang mengatakan bahwa terdapat hiperbidang = =α yang secara tegas membagi dan. Bukti: Karena adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan, maka melalui Teorema Proyeksi terdapat titik tunggal sehingga 0, Karena 0 maka = 0 Diberikan = 0, maka 0 = + = + = + = + = + Karena itu +,

75 59 Tetapkan =sup sehingga + =α+ Jadi benar bahwa terdapat vektor tak nol dan bilangan real sehingga α+ Lemma 2.51 (Lemma Farkas ) Misalkan R dan R. Maka tepat satu dari sistem berikut mempunyai penyelesaian: Sistem 1 0, > 0 (2.24) Sistem 2 =, 0 (2.25) Bukti: Misalkan bahwa terdapat penyelesaian untuk Sistem 2 yaitu terdapat 0 sedemikian sehingga =. Akan dibuktikan bahwa Sistem 1 tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan memenuhi 0 Karena 0 maka = ( ) = 0 yang menunjukkan bahwa Sistem 1 tidak mempunyai penyelesaian.

76 60 Sekarang misalkan bahwa Sistem 2 tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan = =, 0 yang adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan. Akan dibuktikan bahwa Sistem 1 mempunyai penyelesaian. Melalui Teorema (2.50) terdapat R dan R sehingga > dan,. Karena 0, 0=0. Maka >0. Perhatikan pula bahwa = = =, 0 Karena 0 maka 0. Jadi ada vektor R yang merupakan penyelesaian dari Sistem 1. C. Teori Optimasi Teori optimasi merupakan salah satu bidang dalam matematika terapan dan riset operasi yang dapat diaplikasikan dalam bidang sains, teknik, manejemen bisnis dan militer. Melalui teori optimasi ini masalah-masalah yang dihadapi akan didefinisikan secara matematis dan diselesaikan dengan menggunakan alat bantu matematika sehingga diperoleh penyelesaian dari masalah tersebut. Adapun bentuk umum dari masalah optimasi adalah sebagai berikut :

77 61 min () (2.26) dengan x adalah vektor di R, () adalah fungsi objektif, R adalah himpunan kendala atau daerah layak. Masalah optimasi ini juga terbagi menjadi dua bagian, yaitu masalah optimasi berkendala dan masalah optimasi tanpa kendala. Jika himpunan kendala = R maka (2.26) merupakan masalah optimasi tanpa kendala dengan bentuk umum: R () (2.27) Untuk masalah optimasi berkendala memiliki bentuk umum sebagai berikut: min R () (2.28) () = 0, = 1,, (2.29) () 0, = + 1,, (2.30) dengan E dan I masing-masing adalah himpunan indeks dari kendala berupa persamaan dan kendala berupa pertidaksamaan, (), ( = 1,, ) merupakan fungsi kendala. = 1,, dan = + 1,, dimana dan adalah bilangan bulat tak negatif dengan 0. Dilihat dari bentuk fungsi objektif dan fungsi kendala, masalah optimasi ini dapat dibagi pula menjadi dua bagian. Jika fungsi objektif maupun fungsi kendala berbentuk linear maka merupakan masalah optimasi linear. Jika fungsi

78 62 objektifnya tidak linear maka merupakan masalah optimasi nonlinear. Sebuah fungsi dikatakan fungsi linear jika memenuhi syarat-syarat berikut: 1. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar hanya berderajat satu. 2. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya atau dua atau lebih derivatif. 3. Tidak memuat fungsi transendental. Fungsi yang tidak linear merupakan fungsi nonlinear. Definisi 2.52 Titik R dikatakan sebagai titik layak atau disebut juga penyelesaian layak jika dan hanya jika memenuhi semua kendala pada persamaan dan pertidaksamaan (2.29)-(2.30). Himpunan semua titik layak dikatakan himpunan layak atau daerah layak. Definisi 2.53 Penyelesaian optimum merupakan penyelesaian layak yang memiliki nilai terkecil untuk fungsi tujuan minimum.

79 63 Definisi 2.54 Misalkan nilai optimal dari masalah optimasi dinotasikan dengan yang merupakan nilai minimum dari fungsi objektif dalam daerah layak, yakni = min(): () = 0, = 1,,, () 0, = + 1, Masalah optimasi dikatakan tidak layak jika daerah layaknya kosong dan bernilai +. Masalah optimasi dikatakan tidak terbatas ke bawah jika ada titik layak sedemikian sehingga () atau bernilai. Secara umum metode optimasi adalah metode iterasi yang bertujuan untuk mencari peminimum dari sebuah masalah optimasi. Metode iterasi mengacu pada berbagai teknik yang menggunakan aproksimasi pada setiap langkahnya untuk mendapatkan penyelesaian yang lebih akurat dari masalah-masalah optimasi baik masalah optimasi linear maupun nonlinear. Metode ini diawali dengan memberikan nilai awal R. Kemudian dibangun barisan iterasi melalui beberapa aturan iterasi sehingga ketika barisan adalah berhingga maka titik akhirnya adalah penyelesaian optimum dari masalah optimasi. Jika barisan adalah tak hingga maka barisan tersebut memiliki titik limit yang adalah penyelesaian optimum dari masalah optimasi.

80 64 Definisi 2.55 Titik dikatakan peminimum lokal jika ada > 0 sedemikian sehingga ( ) () untuk semua R memenuhi <. Titik dikatakan peminimum lokal tegas jika ada > 0 sedemikian sehingga ( ) < () untuk semua R dengan dan <. Definisi 2.56 Titik dikatakan peminimum global jika ( ) () untuk semua R. Titik dikatakan peminimum global tegas jika ( ) < () untuk semua R dengan. Definisi 2.57 Misalkan : R R terdiferensialkan pada R. Jika terdapat vektor R sehingga: (), < 0 maka disebut arah turun dari fungsi di. Definisi 2.58 Titik R dikatakan titik stasioner (atau kritis) untuk yang terdiferensial jika ( ) = 0.

81 65 Algoritma dari metode optimasi dapat diterima apabila iterasi bergerak terus menerus ke arah peminimum lokal dan dengan cepat konvergen ke titik. Jika aturan konvergensi yang diberikan telah dipenuhi maka iterasi dapat dihentikan. Iterasi dihentikan berdasarkan kriteria penghentian berikut: ( ) (2.31) dimana adalah toleransi yang ditentukan. Jika (2.31) dipenuhi maka vektor gradien ( ) cenderung menuju nol dan barisan iterasi konvergen ke titik stasioner. Misalkan merupakan iterasi ke-, arah ke-, panjang langkah ke-, maka iterasi ke- + 1 yaitu: = + (2.32) Berdasarkan persamaan (2.32) dapat dilihat bahwa adanya perbedaan panjang langkah dan perbedaan arah membentuk metode yang berbeda. Kebanyakan metode iterasi disebut metode turun (descent methods) yang berarti memenuhi setiap iterasi ( ) = ( + ) < ( ) (2.33) dimana adalah arah turun seperti pada Definisi Definisi 2.59 Misalkan dengan adalah daerah layak dan R. Jika ada barisan ( = 1,2, ) dan > 0, ( = 1,2, ) sehingga

82 66 +, dan, 0, maka arah batas disebut arah layak sekuensial dari di. Himpunan semua arah layak sekuensial dari di adalah (, ) = +,, 0 Berdasarkan definisi di atas, jika himpunan = + maka adalah barisan titik layak yang memenuhi 1., 2. lim = 3. untuk semua yang cukup besar. Jika =, maka = yang berarti bahwa = + adalah barisan titik layak dengan arah layak. Definisi 2.60 Misalkan dan R. Jika c ( ) = 0, c ( ) 0, ( ) Maka dikatakan arah layak linear dari di. Himpunan semua arah layak linear dari di adalah

83 67 (, ) c = ( ) = 0, c ( ) 0, ( ) Skema dasar dari metode optimasi mengikuti algoritma berikut: Algoritma 2.61 Langkah 0. (Langkah Awal) Diberikan titik awal R dan toleransi < 0 Langkah 1. (Kriteria Penghentian) Jika ( ), berhenti Langkah 2. (Pencarian Arah) Menurut beberapa skema iteratif, cari yang adalah arah turun. Langkah 3. Menentukan ukuran langkah sehingga nilai fungsi objektif menurun yaitu ( + ) < ( ) Langkah 4. (Pengulangan) Tetapkan = +, = + 1, dan ulang ke langkah 1. Efisiensi dari metode optimasi dapat diukur dari kecepatan konvergensinya. Ada beberapa jenis kecepatan konvergensi, diantaranya kecepatan konvergensi hasil bagi (Q-konvergensi) dan kecepatan konvergensi akar (R-konvergensi). Misalkan barisan iterasi dibangun oleh sebuah algoritma yang konvergen ke dalam suatu norm, yaitu:

84 68 lim = 0 (2.34) Jika ada bilangan real 1 dan konstanta positif yang adalah independen dari jumlah k iterasi sehingga lim = (2.35) maka mempunyai orde- dari kecepatan Q-konvergensi. Secara khusus: 1. Ketika = 1 dan (0,1), barisan dikatakan konvergen ke Q-linear. 2. Ketika = 1 dan = 0, atau 1 < < 2 dan > 0, barisan dikatakan konvergen ke Q-superlinear. 3. Ketika = 2, dapat dikatakan bahwa barisan mempunyai kecepatan konvergensi Q-kuadratik. Kecepatan konvergensi ini bergantung pada dan. Andaikan bahwa ada dua barisan dan dan orde-q dan faktor-q secara berturut-turut, dan,. Jika > maka barisan dengan orde Q- lebih cepat konvergen dibandingkan dengan orde Q-. Sebagai contoh, barisan konvergen kuadratik akan lebih cepat konvergen jika dibandingkan dengan barisan konvergen linear dan superlinear. Ketika = maka orde-q dari kecepatan konvergensinya adalah sama, jika < maka barisan lebih cepat konvergen daripada.

85 69 Teorema 2.62 (Teorema Taylor) Misalkan : R R terdiferensial secara kontinu dan bahwa R, maka ( + ) = () + ( + ) (2.36) untuk suatu (0,1). Bukti: Akan dibuktikan terdiferensial secara kontinu. Misalkan : R R terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka R, maka untuk dan R turunan berarah dari pada dengan arah, didefinisikan dengan ( + ) () (; ) = lim = () (2.37) Pandang untuk norm fungsi () =. Dari definisi persamaan (2.37) diperoleh bahwa + + ( ; ) = lim = lim Jika >0 diperoleh + = + untuk semua yang cukup kecil. Jika <0, diperoleh + = = 1 =. Jika =0, + = 0+ =. Selanjutnya diperoleh + ;= lim