DIKTAT KULIAH (3 sks) MX 211: Metode Numerik

Transkripsi

1 DIKTAT KULIAH (3 sks) MX : Metode Numerik (Revisi Terakhir: Juni 009 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

2 KATA PENGANTAR Naskah ini ditulis ketika penulis mengajar Metode Numerik (MX ) di Universitas Kristen Satya Wacana pada Semester tahun dan juga Trimester tahun di Soe, Nusa Tenggara Timur. Catatan ini membentuk naskah dasar untuk kuliah "Metode Numerik". Tujuan yang ingin dicapai dari mata kuliah Metode Numerik adalah memahami konsep dasar metode numeris, mengetahui kekurangan dan kelebihan dari setiap metode, dan juga mampu untuk mengaplikasikannya. Karena itu, naskah ini difokuskan pada pemahaman konsep matematis dasar dan penyelesaian masalah menggunakan metode numerik dengan bantuan program MatLab. Beberapa metode disajikan dengan algoritma dalam pseudocode sehingga pembaca atau pengguna bisa mengimplementasikan dalam bahasanya siri. Di sini, analisis (seperti untuk galat) tidak diberikan secara malam. Naskah ini memerlukan masukan dan saran dari pembaca demi perbaikan dan pengembangan secara terus menerus. Harapannya adalah bahwa naskah ini memberikan manfaat yang lebih dalam pengajaran Metode Numerik. Salatiga, Juli 009 Didit B. Nugroho i

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR i Pahuluan Galat 3. Pengertian Galat Penghitungan Galat Pencarian Akar 6 3. Akar-akar Persamaan Metode Bagi Dua Metode Posisi Palsu Metode Iterasi Titik Tetap Metode Newton-Raphson Metode Garis Potong Metode Iterasi 0 4. Iterasi Jacobi Iterasi Gauss-Seidel Iterasi SOR Interpolasi Polinomial 8 5. Interpolasi Linear Interpolasi Kuadratik Interpolasi Newton Interpolasi Lagrange Interpolasi Spline Spline Linear Spline Kuadratik Spline Kubik Regresi Kuadrat Terkecil Regresi Linear Regresi Polinomial Derajat Dua Linearisasi Fungsi Tak Linear ii

4 DAFTAR ISI iii 8 Diferensiasi Numerik Turunan Pertama Ekstrapolasi Richardson Turunan Kedua Persamaan Diferensial Biasa Metode Euler Metode Heun Metode Titik Tengah Metode Runge-Kutta Integrasi Numerik Aturan Trapesium Aturan-aturan Simpson

5 DAFTAR GAMBAR 3. Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode bagi dua Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode posisi palsu Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode iterasi titik tetap y = x, y = g (x) Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode Newton-Raphson Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode Secant Kurva polinomial Newton untuk Contoh Spline kuadratik untuk Contoh Spline kuadratik untuk Contoh Pekatan dengan polinomial spline kubik Spline kuadratik untuk Contoh Kurva linear dengan metode kuadrat terkecil untuk titik-titik data dalam Contoh Kurva polinomial derajat dua dengan metode kuadrat terkecil untuk titik-titik data dalam Contoh Ilustrasi dari penurunan metode Euler Ilustrasi dari penurunan metode Heun Ilustrasi penurunan metode titik tengah Ilustrasi dari aturan trapesium iv

6 DAFTAR TABEL 5. Tabel beda terbagi hingga untuk orde Linearisasi dari fungsi tak linear dengan transformasi data Tabel ekstrapolasi Richardson untuk beda maju sampai hampiran orde Tabel ekstrapolasi Richardson untuk beda pusat sampai hampiran orde Perbandingan hasil dari metode-metode penyelesaian untuk persamaan diferensial y 0 (t) = y (t) t +, 0 t, y (0) = 0: v

7 Bab Pahuluan Tujuan Pembelajaran: Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik. Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari. Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik. Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian aritmatika (hitungan). Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik:. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.. Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan. 3. Kita dapat membuat siri program komputer tanpa harus membeli paket programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. Sebagai contoh, terdapat program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi lipat dua, atau lipat tiga. Mau tidak mau, kita harus menulis siri programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode numerik. 4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika, karena metode numerik ditemukan dengan cara menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang masar. Langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik:. Identi kasi masalah.. Memodelkan masalah secara matematis. 3. Identi kasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

8 Bab. Pahuluan 4. Implementasi metode dalam komputer. 5. Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah. Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numerik dalam naskah ini:. Pencarian akar-akar persamaan tak linear.. Metode iteratif untuk penyelesaian sistem persamaan linear 3. Interpolasi linear, kuadrat, Newton, dan spline. 4. Regresi kuadrat terkecil. 5. Diferensiasi numerik. 6. Persamaan diferensial biasa. 7. Integrasi numerik.

9 Bab Galat Tujuan Pembelajaran: Mengetahui de nisi dan jenis-jenis galat. Mengetahui bagaimana menghitung galat.. Pengertian Galat Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan (hampiran) yang mekati nilai eksak (yang sebenarnya) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat galat terhadap nilai eksak. Ada tiga macam galat:. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum sik dari data yang diukur.. Galat pembulatan (round-o error), terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai contoh, dapat dibulatkan menjadi Galat pemotongan (truncation error), terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh, turunan pertama dari V (t) terhadap t dihitung dengan prosedur dv dt = V t = V (t i+) V (t i ) t i+ t i : Contoh lain yaitu pengambilan beberapa suku awal dari deret Taylor: f (x i+ ) = f (x i ) + f 0 (x i ) (x i+ x i ) + f 00 (x i )! dengan R n = f (n+) (c) (n + )! + f 000 (x i ) 3! (x i+ x i ) 3 + ::: + f (n) (x i ) n! (x i+ x i ) n+ dimana c [x i ; x i+ ]. (x i+ x i ) (x i+ x i ) n + R n 3

10 Bab. Galat 4 Dari deret Taylor di atas, dipunyai hampiran orde-0: hampiran orde-: hampiran orde-: f (x i+ ) f (x i ) ; f (x i+ ) f (x i ) + f 0 (x i ) (x i+ x i ) ; f (x i+ ) f (x i ) + f 0 (x i ) (x i+ x i ) + f 00 (x i )! (x i+ x i ) : Contoh. Diberikan fungsi f (x) = 0:x 4 0:5x 3 0:5x 0:5x + :: Turunan pertama dan kedua dari f (x) berturut-turut yaitu f 0 (x) = 0:4x 3 0:45x x 0:5; f 00 (x) = :x 0:9x ; Dimulai dari x = 0, diperoleh hampiran orde- untuk f (): dan hampiran orde- untuk f (): f () f (0) + f 0 (0) ( 0) = : 0:5 = 0:95; f () f (0) + f 0 (0) ( 0) + f 00 (0)!. Penghitungan Galat ( 0) = : 0:5 0:5 = 0:9: Untuk galat pembulatan dan pemotongan, hubungan antara hasil yang eksak dengan hampirannya dapat dirumuskan oleh nilai eksak = hampiran + galat. Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh E s = galat = nilai eksak - hampiran dimana subskrip s menunjukkan bahwa galat adalah galat sejati. Kelemahan dari de nisi di atas adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama sekali tidak diperhatikan. Sebagai contoh, galat satu sentimeter jauh lebih berarti jika yang diukur adalah paku ketimbang jembatan. Salah satu cara untuk memperhitungkan besarnya besaran yang sedang dievaluasi adalah dengan menormalkan galat terhadap nilai eksak, yaitu galat relatif = nilai eksak - hampiran. nilai eksak

11 Bab. Galat 5 Galat relatif dapat juga dikalikan dengan 00% agar dapat dinyatakan sebagai s = persen galat relatif = nilai eksak - hampiran nilai eksak 00%. Dicatat bahwa untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak. Jika tidak demikian, maka alternatifnya adalah menormalkan galat dengan menggunakan hampiran terbaik yang tersedia dari nilai eksak, yaitu terhadap hampiran itu siri, seperti yang dirumuskan oleh h = = galat hampiran 00% hampiran hampiran sekarang hampiran sebelumnya 00% hampiran sekarang dengan subskrip h menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai hampiran.

12 Bab 3 Pencarian Akar Tujuan Pembelajaran: Mengetahui metode-metode pencarian akar dari persamaan tak linear. Mengetahui keunggulan dan kelemahan dari setiap metode. Mengaplikasikan metode-metode pencarian akar untuk persamaan yang sama. 3. Akar-akar Persamaan Akar atau pembuat nol dari suatu fungsi adalah nilai-nilai dari variabel bebas yang membuat fungsi bernilai nol. Sebagai contoh, penyelesaian analitik untuk fungsi kuadratik f (x) = ax + bx + c = 0 diberikan oleh x = b p b 4ac : a Contoh lain, kita tidak mungkin mapatkan suatu penyelesaian analitik untuk fungsi f (x) = e x x = 0. Secara umum, terdapat dua kelompok metode untuk pencarian akar dari persamaan tak linear:. Metode Pengurung. Sesuai dengan namanya, tebakan akar dalam metode ini selalu berada "dalam kurung" atau berada pada kedua sisi dari nilai akar. Karena itu, di sini diperlukan dua tebakan awal untuk akar. Metode ini mempunyai suatu keunggulan yaitu konvergen (makin lama makin mekati nilai sebenarnya), dan mempunyai kelemahan yaitu konvergensinya relatif lambat. Contoh dari metode pengurung yaitu metode bagi dua (bisection) dan metode posisi palsu (false position).. Metode Terbuka. Dalam metode ini, pencarian dimulai dari suatu nilai tunggal variabel bebas, atau dua nilai yang tidak perlu mengurung akar. Metode ini mempunyai suatu kelemahan yaitu tidak selalu konvergen, tetapi mempunyai keunggulam yaitu jika konvergen maka konvergensinya lebih cepat daripada metode pengurung. Contoh dari metode terbuka yaitu metode iterasi titik tetap ( xed-point iteration), metode Newton-Raphson, dan metode garis potong (secant). 6

13 Bab 3. Pencarian Akar 7 Penggunaan metode pengurung didasarkan pada teorema berikut ini. Teorema 3. Diberikan f : [a; b]! R adalah kontinu, dimana a; b R dan a < b. Jika f (a) f (b) < 0, maka terdapat c (a; b) sedemikian sehingga f (c) = Metode Bagi Dua Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval [a ; b ], serta f (a ) dan f (b ) mempunyai tanda berlawanan, artinya f (a )f (b ) < 0. Karena itu terdapat minimal satu akar pada interval [a ; b ]. Idenya adalah interval selalu dibagi dua sama lebar. Jika fungsi berubah tanda sepanjang suatu subinterval, maka letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval. Proses ini diulangi untuk memperoleh hampiran yang diperhalus. (Lihat Gambar 3..) y a x x 3 x b x y = f(x) Gambar 3.: Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode bagi dua. Dicatat bahwa terdapat beberapa kriteria penghentian pencarian akar jika diberikan suatu toleransi keakuratan, yaitu s <, h <, atau n maks = N N: Proses untuk metode bagi dua diberikan seperti dalam Algoritma. Contoh 3. Selesaikan persamaan x metode bagi dua sampai lima iterasi. 3 = 0 dalam interval [; ] menggunakan Penyelesaian. Proses metode bagi dua adalah seperti berikut ini. Iterasi : a = =) f (a ) = ; b = ; x = a + b = + = :5 =) f (x ) = 0:75:

14 Bab 3. Pencarian Akar 8 Algorithm Algoritma Metode Bagi Dua Masukan: fungsi kontinu: f (x) interval yang mengurung akar: [a ; b ] maksimum iterasi: N N toleransi keakuratan: "; misalnya " = 0 5 Penghitungan Inti: Ketika n N dan h, Hitung: x n = a n + b n. Tentukan subinterval mana yang akan mengurung akar: a) Jika f (a n ) f (x n ) < 0, maka a n+ = a n, b n+ = x n. b) Jika f (a n ) f (x n ) > 0, maka a n+ = x n, b n+ = b n. c) Jika f (a n ) f (x n ) = 0, maka diperoleh akar sama dengan x n. Berhenti. Hitung: h = x n x n x n 00%, n Hasil akhir: akar x n sedemikian sehingga f (x n ) 0: Iterasi : Diamati bahwa f (a ) f (x ) > 0, maka a = x = :5 =) f (a ) = 0:75; b = b = ; x = a + b = :5 + = :75 =) f (x ) = 0:065; = x x x 00% = :75 :5 :75 00% = 4:9%: Iterasi 3: Diamati bahwa f (a ) f (x ) < 0, maka a 3 = a = :5 =) f (a 3 ) = 0:75; b 3 = x = :75; x 3 = a 3 + b 3 :5 + :75 = = :65 =) f (x 3 ) = 0:3594; 3 = x 3 x x 3 00% = :65 :75 :65 00% = 7:69%: Iterasi 4: Diamati bahwa f (a 3 ) f (x 3 ) > 0, maka a 4 = x 3 = :65 =) f (a 4 ) = 0:3594; b 4 = b 3 = :75; x 4 = a 4 + b 4 :65 + :75 = = :6875 =) f (x 4 ) = 0:53; 4 = x 4 x x 4 00% = :6875 :65 : % = 3:7%:

15 Bab 3. Pencarian Akar 9 Iterasi 5: Diamati bahwa f (a 4 ) f (x 4 ) > 0, maka a 5 = x 4 = :6875 =) f (a 5 ) = 0:53; b 5 = b 4 = :75; x 5 = a 5 + b 5 : :75 = = :787 =) f (x 5 ) = 0:0459; 5 = x 5 x 4 x 5 00% = :787 :6875 :787 00% = :8%: Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran x = :787. H Dalam MatLab, Algoritma untuk metode bagi dua diimplementasikan dalam fungsi bagidua() berikut ini. function [x,galat] = BagiDua(f,X,N,tol) % BagiDua Menyelesaikan persamaan f(x) = 0 menggunakan metode bagi dua. % % Input: f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline( ekspresi, x ) % X = [a b] = vektor titik-titik ujung interval dengan a < b % N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan % % Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 4, tol = e-3; %dinamakan BagiDua(f,X,N) if nargin < 3, N = 00; %dinamakan BagiDua(f,X) a = X(); % batas kiri interval b = X(); % batas kanan interval x = (a+b)/; % hampiran awal n = ; galat = ; % supaya iterasi pertama dapat dikerjakan while ( n <= N & galat > tol ) % kriteria penghentian if f(a)*f(x)<0 b = x; elseif f(a)*f(x)>0 a = x; else break xnew = (a+b)/; % titik tengah interval galat = abs((xnew - x)/xnew)*00; % galat relatif x = xnew; n = n+; Dimisalkan x s adalah akar sejati dari f (x) = 0. Dicatat bahwa kita dapat menurunkan batas galat untuk metode bagi dua seperti berikut ini. jx s x n+ j jb n+ a n+ j = jb n a n j = n = jb a j jb n a n j = :::

16 Bab 3. Pencarian Akar 0 Ini berarti bahwa telah ditunjukkan jx s x n+ j k jx s x n j, dengan k =. Lebih lanjut, ini dinamakan konvergensi linear dan k dinamakan konstanta galat asimtotik. Dalam contoh di atas, banyaknya langkah yang diperlukan untuk menjamin bahwa galat kurang dari 0 3 dihitung seperti berikut: n n j j 0 3 =) 0 3 =) n 0 3 =) n ln () 3 ln (0) =) n 0: 3.3 Metode Posisi Palsu Metode posisi palsu adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval yang mengurung akar. Metode ini merupakan salah satu alternatif untuk mempercepat konvergensi. y x 3 x x a b x y = f(x) Gambar 3.: Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode posisi palsu. Idenya adalah menghitung akar (yang merupakan titik ujung interval baru) yang merupakan absis untuk titik potong antara sumbu x dengan garis lurus yang melalui kedua titik yang absisnya adalah titik-titik ujung interval lama. (Lihat Gambar 3.) Rumus untuk mencari akar adalah sebagai berikut. Diasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval [a n ; b n ], dan f (a n ) f (b n ) < 0. Garis yang melalui titik (a n ; f (a n )) dan (b n ; f (b n )) mempunyai persamaan y f (a n ) = f (b n) f (a n ) b n a n (x a n ) : Garis memotong sumbu x jika y = 0, sehingga diperoleh titik absis sebagai hampiran akar yaitu x n = a n b n a n f (b n ) f (a n ) f (a n) : (3.) Proses untuk metode posisi palsu adalah seperti metode bagi dua tetapi penghitungan x n menggunakan rumus (3.).

17 Bab 3. Pencarian Akar Contoh 3.3 Selesaikan persamaan x metode posisi palsu sampai lima iterasi. 3 = 0 dalam interval [; ] menggunakan Penyelesaian. Berikut ini adalah tabel penyelesaian sampai lima iterasi. n a n b n x n f (x n ) n = xn x n x n % :6667 0: :66667 :773 0: : :777 :737 0: : :7370 :730 0: : :730 :73 0: : :7304 :73 0: : Jadi pada iterasi ke-6 diperoleh akar hampiran x = :730 dengan f (x) = 0: H 3.4 Metode Iterasi Titik Tetap Metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x sedemikian sehingga f (x) = 0 ekivalen dengan x = g(x). Selanjutnya p adalah suatu akar dari f (x) jika hanya jika p adalah suatu titik tetap dari g (x). Kita mencoba untuk menyelesaikan x = g (x) dengan menghitung x n = g (x n ) ; n = ; ; ::: dengan menggunakan tebakan awal x 0. Ilustrasi gra s untuk penyelesaian x n diberikan oleh Gambar 3.3 y y = x y = g(x) x x 4 x 0 x x 3 x Gambar 3.3: Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode iterasi titik tetap y = x, y = g (x). Proses untuk metode bagi dua diberikan seperti dalam Algoritma. Contoh 3.4 Gunakan metode iterasi titik tetap sampai lima iterasi untuk menyelesaikan x 3 = 0 dengan tebakan awal x 0 = :5.

18 Bab 3. Pencarian Akar Algorithm Algoritma Iterasi Titik Tetap Masukan: fungsi kontinu: f (x), g (x) tebakan awal: x 0 maksimum iterasi: N N toleransi keakuratan: "; misalnya " = 0 5 Penghitungan Inti: Ketika n N dan h, Hitung: x n = g (x n ). Hitung: h = x n x n x n 00% Hasil akhir: akar x n sedemikian sehingga f (x n ) 0: Penyelesaian. Persamaan dapat diubah ke beberapa bentuk: Kasus : x = 3 x = g (x) =) x n = 3 x n Kasus : x = x x 3 = g (x) =) x n = x n x n 3 Kasus 3: x = x Penyelesaian untuk Kasus 3: Iterasi : x 3 = g 3 (x) =) x n = x n x n 3 x 0 3 :5 3 x = x 0 = :5 = :875 :5 :875 00% = 0%: = :875; Iterasi : x 3 :875 3 x = x = :875 = :67; = :67 :875 :67 00% = 5:94%: Iterasi 3: x 3 :67 3 x 3 = x = :67 3 = :8095 :67 : % = 0:63%: = :8095; Iterasi 4: x 3 3 : x 4 = x 3 = : = :673 :8095 :673 00% = 8:0%: = :673;

19 Bab 3. Pencarian Akar 3 Iterasi 5: x 4 3 :673 3 x 5 = x 4 = :673 4 = :7740 :673 : % = 5:73%: = :7740; Berikut ini adalah penyelesaian sampai lima iterasi untuk ketiga kasus. n x n Kasus Kasus Kasus 3 0 :5 :5000 :5 :500 :875 :5 0:875 :67 3 3:53 : :5 3:7849 : :06 :7740 Terlihat bahwa Kasus dan Kasus adalah divergen, tetapi Kasus 3 adalah konvergen. H Berikut ini diberikan kriteria kekonvergenan dari metode iterasi titik tetap. Teorema 3.5 Diambil k = max axb jg0 (x)j. Metode iterasi titik tetap adalah konvergen jika hanya jika k <. Bukti. Dimisalkan x s adalah akar sejati dari f (x) = 0, maka jx s x n j = jg (x s ) g (x n )j = g 0 () (x s x n ) k jx s x n j berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata. Karena itu jx s x n j k jx s x n j k jx s x n j k n jx s x 0 j : Kita mencatat:. Telah ditunjukkan bahwa jx s x n j k jx s x n j, yang berarti metode iterasi titik tetap adalah konvergen secara linear.. Karena k jg 0 (x s )j, kita akan memilih fungsi iterasi g (x s ) sedemikian sehingga jg 0 (x s )j adalah kecil. Dari contoh sebelumnya dipunyai x s = p 3 = :7305, maka Kasus : g 0 (x) = 3 x =) g 0 (x s ) = : divergen; Kasus : g 0 (x) = x =) g 0 (x s ) = :464 : divergen; Kasus 3: g 0 (x) = x =) g 0 (x s ) = 0:7305 : konvergen:

20 Bab 3. Pencarian Akar 4 Dalam MatLab, Algoritma untuk metode iterasi titik tetap diimplementasikan dalam fungsi TitikTetap() berikut ini. function [x,galat] = TitikTetap(g,x0,N,tol) % TitikTetap Menyelesaikan persamaan x = g(x), ekivalen dengan f(x)=0, % menggunakan metode iterasi titik tetap. % % Input: g = fungsi dari x, gunakan fungsi inline( ekspresi, x ) % x0 = tebakan awal % N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan % % Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 4, tol = e-3; if nargin < 3, N = 00; n = ; galat = ; while ( n <= N & galat > tol ) x = g(x0); galat = abs((x - x0)/x)*00; x0 = x; n = n+; 3.5 Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah metode pekatan yang menggunakan satu titik awal dan mekatinya dengan memperhatikan kemiringan kurva pada titik tersebut. Penjelasan gra s mengenai metode ini adalah seperti dalam Gambar 3.4. y x 0 x x y = f(x)x Gambar 3.4: Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode Newton-Raphson. Diasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu. Idenya adalah menghitung akar yang merupakan titik potong antara sumbu x dengan garis singgung pada kurva di titik (x n ; f (x n )). Kemiringan kurva di titik tersebut adalah f 0 (x n ), sehingga garis singgung mempunyai persamaan y f (x n ) = f 0 (x n ) (x x n ) :

21 Bab 3. Pencarian Akar 5 Karena itu diperoleh akar hampiran dengan mengambil y = 0, yaitu x n = x n f (x n ) f 0 (x n ) : (3.) Algorithm 3 Algoritma Metode Newton-Raphson Masukan: fungsi kontinu: f (x), f 0 (x) tebakan awal: x 0 maksimum iterasi: N N toleransi keakuratan: "; misalnya " = 0 5 Penghitungan Inti: Ketika n N dan h, f (x n ) Hitung: x n = x n f 0 (x n ). Hitung: h = x n x n x n 00% Hasil akhir: akar x n sedemikian sehingga f (x n ) 0: 3 = 0 de- Contoh 3.6 Gunakan metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan x ngan tebakan awal x 0 = :5. Penyelesaian. Karena f (x) = x 3, f 0 (x) = x dan dibentuk rumus pencarian akar: x n = x n x n 3 x n ; n = ; ; ::: Iterasi : x 0 3 :5 3 x = x 0 = :5 x 0 :5 = :75; = :75 :5 :75 00% = 4:8574%: Iterasi : x 3 :75 3 x = x = :75 x :75 = :734; = :734 :75 :734 00% = :030978%: Iterasi 3: x 3 :734 3 x 3 = x = :734 x :734 = :7305; 3 = :7305 :734 : % = 0:005343%:

22 Bab 3. Pencarian Akar 6 Iterasi 4: x 3 3 : x 4 = x 3 = :7305 x 3 :7305 = :7305; 4 = :7305 :7305 : % = 0%: Jadi pada iterasi ke-4 diperoleh akar hampiran x = :7305. H Metode Newton-Raphson merupakan suatu contoh dari metode iterasi titik tetap, x n = g (x n ), dimana fungsi iterasinya adalah g (x) = x f (x) f 0 (x) : Dari sini diperoleh bahwa g 0 (x s ) = [f 0 (x s )] f (x s ) f 00 (x s ) [f 0 (x s )] = 0 dengan mengingat bahwa f (x s ) = 0 dan f 0 (x s ) 6= 0. Ini mengakibatkan bahwa metode Newton adalah konvergen lebih cepat daripada secara linear; pada kenyataannya dipunyai jx s x n j C jx s x n j yaitu konvergen kuadratik. Dalam MatLab, Algoritma 3 untuk metode Newton-Raphson diimplementasikan dalam fungsi NewRap() berikut ini. function [x,galat] = NewRap(f,f,x0,N,tol) % NewtonRaphson Menyelesaikan persamaan f(x) = 0 menggunakan metode Newton-Raphson. % % Input: f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline( ekspresi, x ) % f = turunan pertama dari f(x), cari dengan perintah diff(char(f)) % x0 = tebakan awal % N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan % % Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 5, tol = e-3; if nargin < 4, N = 00; n = ; galat = ; while ( n <= N & galat > tol ) x = x0-f(x0)/f(x0); % persamaan (3.) galat = abs((x - x0)/x)*00; x0 = x; n = n+;

23 Bab 3. Pencarian Akar Metode Garis Potong Masalah yang ada dalam metode Newton adalah terkadang sulit untuk mapatkan turunan pertama f 0 (x). Alternatifnya adalah turunan f 0 (x n ), kemiringan garis di (x n ; f (x n )), dihampiri oleh kemiringan garis potong yang melalui (x n ; f (x n )) dan (x n ; f (x n )): f 0 (x n ) f (x n ) f (x n ) : x n x n Jadi iterasi x n yaitu f (x n ) (x n x n ) x n = x n : (3.3) f (x n ) f (x n ) Penjelasan gra s mengenai metode ini adalah seperti dalam Gambar 3.5. y x 0 x x 3 x 4 x x x y = f(x) Gambar 3.5: Ilustrasi gra s untuk akar hampiran dalam metode Secant. Dicatat:. Persamaan di atas memerlukan dua tebakan awal x tetapi tidak memperhatikan perubahan tanda dari f (x).. Kemudian dapat ditunjukkan bahwa jx s x n j C jx s x n j :6 ; sehingga metode garis potong lebih cepat daripada metode iterasi titik tetap, tetapi lebih lambat daripada metode Newton-Raphson. Proses untuk metode garis potong diberikan seperti dalam Algoritma 4. Contoh 3.7 Gunakan metode garis potong untuk menyelesaikan x tebakan awal x = dan x 0 =. 3 = 0 dengan

24 Bab 3. Pencarian Akar 8 Algorithm 4 Algoritma Garis Potong Masukan: fungsi kontinu: f (x) dua tebakan awal: x, x 0 maksimum iterasi: N N toleransi keakuratan: "; misalnya " = 0 5 Penghitungan Inti: Ketika n N dan h, f (x n ) (x n x n ) Hitung: x n = x n. f (x n ) f (x n ) Hitung: h = x n x n x n 00% Hasil akhir: akar x n sedemikian sehingga f (x n ) 0: Penyelesaian. Dituliskan rumus untuk metode garis potong: Iterasi : x n = x n x n 3 (x n x n ) x n 3 x n 3 x n 3 (x n x n ) = x n x n x ; n = ; ; ::: n x 0 3 (x x 0 ) x = x 0 x x = 0 = :66667 : % = 0%: 3 ( ) = :66667; Iterasi : Iterasi 3: x 3 (x 0 x ) : ( :66667) x = x x 0 x = :66667 :66667 = :777; = :777 :66667 :777 00% = 3:50877%: x 3 (x x ) :777 3 (:66667 :777) x 3 = x x x = :777 :66667 :777 = :734; 3 = :734 :777 :734 00% = 0:86%: Iterasi 4: x 3 3 (x x 3 ) :734 3 (:777 :734) x 4 = x 3 x x = :734 3 :777 :734 = :7305; 4 = :7305 :734 : % = 0:0053%:

25 Bab 3. Pencarian Akar 9 Jadi pada iterasi ke-4 diperoleh akar hampiran x = :7305. H Dalam MatLab, Algoritma 4 untuk metode garis potong diimplementasikan dalam fungsi Secant() berikut ini. function [x,galat] = Secant(f,x_,x0,N,tol) % Secant Menyelesaikan persamaan f(x) = 0 menggunakan metode % garis potong (Secant). % % Input: f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline( ekspresi, x ) % x_ = tebakan awal pertama % x0 = tebakan awal kedua % N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan % % Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 4, tol = e-3; if nargin < 3, N = 00; n = ; galat = ; while ( n <= N & galat > tol ) x = x0-f(x0)*(x_-x0)/(f(x_)-f(x0)); % persamaan (3.3) galat = abs((x - x0)/x)*00; x_ = x0; x0 = x; n = n+;

26 Bab 4 Metode Iterasi Tujuan Pembelajaran: Mengetahui metode-metode penyelesaian sistem persamaan linear secara iterasi. Mengaplikasikan iterasi Jacobi, Gauss-Seidel, dan SOR. Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier Ax = b, dipunyai pilihan antara metode langsung atau metode iterasi. Contoh dari metode langsung yaitu metode invers, eliminasi Gauss, dan dekomposisi LU. Metode iterasi mempunyai kelebihan dalam hal kemurahan memori dan waktu CPU. Metode ini dimulai dari penentuan nilai awal vektor x 0 sebagai suatu penyelesaian awal untuk x. Terdapat beberapa metode iterasi seperti iterasi Jacobi, iterasi Gauss-Seidel, dan iterasi SOR. Suatu klas besar dari metode iterasi dapat dide nisikan sebagai berikut. Sistem Ax = b dituliskan menjadi Qx = (Q A) x + b untuk suatu matriks Q yang berorde sama dengan A. Selanjutnya dide nisikan suatu skema iterasi ke-k: Qx (k) = (Q A) x (k ) + b; k = ; ; :::; (4.) untuk x (0) adalah suatu tebakan awal. Diasumsikan bahwa Q adalah non-singular, sehingga skema iterasi menghasilkan suatu barisan tunggal vektor-vektor x (k). 4. Iterasi Jacobi Pertama kali dicatat bahwa matriks A dapat dituliskan sebagai A = L+D +U, dengan L adalah matriks segitiga bawah, D adalah matriks diagonal, dan U adalah matriks segitiga atas. Iterasi Jacobi memilih Q = D. Karena itu x (k) = D (D A) x (k ) + D b = D n b (A D) x (k )o ; k = ; ; :::; dengan asumsi bahwa masukan-masukan diagonal dari A tidak sama dengan nol (jika tidak maka dilakukan penukaran baris-baris dan kolom-kolom untuk mapatkan suatu sistem yang ekivalen). Untuk langkah ke-k, komponen-komponen x (k) i dinyatakan oleh 0 x (k) i = (k i a ij x A j ; i = ; ; :::; n (4.) a ii j=; j6=i 0

27 Bab 4. Metode Iterasi Contoh 4. Diketahui sistem persamaan linear: 0x x + x 3 = 6; x + x x 3 + 3x 4 = 5; x x + 0x 3 x 4 = ; 3x x 3 + 8x 4 = 5: Sistem persamaan tersebut diubah susunannya menjadi x = 0 (6 + x x 3 ) ; x = (5 + x + x 3 3x 4 ) ; x 3 = 0 ( x + x + x 4 ) ; x 4 = 8 (5 3x + x 3 ) : Kita bisa menyatakan bahwa nilai x, x, x 3, dan x 4 yang berada di ruas kiri sebagai x (baru). Sementara itu, nilai x, x, x 3, dan x 4 yang berada di ruas kanan sebagai x (lama). Secara umum, sistem persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi seperti x (k) = (k ) (k ) x x ; 0 x (k) = (k ) (k ) (k ) x + x 3 3x ; x (k) 3 = (k ) (k ) (k ) x + x + x 4 ; 0 x (k) 4 = (k ) (k ) 3x + x : 8 Dimisalkan bahwa nilai-nilai awal x (0) = 0. Pada langkah k =, diperoleh nilai-nilai untuk x () : x () = 6 0 ; x() = 5 ; x() 3 = 0 ; x() 4 = 5 8 : Setelah nilai-nilai x () diperoleh, penghitungan diulangi kembali dengan nilai k = untuk memperoleh nilai-nilai x () : x () = :0473; x () = :759; x () 3 = 0:805; x () 4 = 0:885: Proses diulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya. sampai langkah ke-4. Berikut ini diberikan suatu hasil k x (k) 0 0:6000 :0473 0:936 :05 x (k) 0 :77 :759 :0530 :9537 x (k) 3 0 :000 0:805 :0493 0:968 x (k) 4 0 :885 0:885 :309 0:9738

28 Bab 4. Metode Iterasi Untuk kriteria penghentian iterasi, kita bisa menggunakan suatu norma dari vektor: l = kxk = maks in jx ij : Sebagai contoh, vektor x = (3; ; 8; 5) memiliki norma l = kxk = maks fj3j ; j j ; j8j ; j5jg = 8: in Sekarang kita ambil kriteria penghentian dalam metode iterasi: l = x (k) x (k ) = maks x (k) : in (k ) i x i Berdasarkan kriteria tersebut, metode iterasi Jacobi dapat dinyatakan seperti dalam Algoritma 5, sedangkan implementasi dalam MatLab diberikan oleh fungsi jacobi(). Algorithm 5 Algoritma Iterasi Jacobi Masukan: matriks koe sien sistem: A R nn vektor konstanta sistem: b R n vektor penyelesaian awal: x (0) R n maksimum iterasi: N N toleransi keakuratan: "; misalnya " = 0 6 Penghitungan Inti: Dibentuk matriks: P = D (D A) dan Q = D b. Ketika k N dan norm ", Hitung: x n = Q P x (n ) norm = maks in jx i j Hasil akhir: vektor x sedemikian sehingga Ax b: function X = jacobi(a,b,x0,n,tol) % jacobi Menyelesaikan SPL AX = b menggunakan iterasi Jacobi. % % Input: A = matriks koefisien dari sistem % b = vektor konstan dari sistem % X0 = penyelesaian awal % N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan % % Output: X = penyelesaian sistem if nargin < 5, tol = e-6; if nargin < 4, N = 000; if nargin < 3, X0 = zeros(size(b)); n = size(a,); X = X0; P = zeros(n,n); for i = :n for j = :n if j ~= i

29 Bab 4. Metode Iterasi 3 P(i,j) = A(i,j)/A(i,i); % elemen dari matriks inv(d)*(d-a) Q(i) = b(i)/a(i,i); % elemen dari matriks inv(d)*b while k <= N & norma > tol X = Q - P*X; % persamaan (4.) norma = max(abs(x-x0)); X0 = X; 4. Iterasi Gauss-Seidel Dari persamaan (4.) dicatat bahwa komponen-komponen dari x (k) diketahui, tetapi tidak digunakan, ketika penghitungan komponen-komponen sisanya. Metode Gauss- Seidel merupakan suatu modi kasi dari metode Jacobi, yaitu semua komponen-komponen terakhir yang dihitung dipergunakan. Prosedur dalam metode Gauss-Seidel diperoleh dengan memilih Q = D + L. Karena itu, dari (4.) didapatkan bentuk matriks (D + L) x (k) = (D + L A) x (k ) + b Dx (k) = Lx (k) Ux (k ) + b x (k) = D b Lx (k) Ux (k ) ; k = ; ; :::: Jadi, skemanya adalah 0 x (k) i = a ii i i j= a ij x (k) j j=i+ a ij x (k ) j A ; i = ; ; :::; n (4.3) dengan asumsi bahwa untuk langkah k, komponen-komponen x (k) j, j i, sudah diketahui. Contoh 4. Diperhatikan kembali sistem persamaan linear pada contoh sebelumnya. Sistem persamaan diubah susunannya menjadi x (k) = (k ) (k ) x x ; 0 x (k) = x (k) (k ) (k ) + x 3 3x ; x (k) 3 = x (k) + x (k) (k ) + x 4 ; 0 x (k) 4 = 3x (k) + x (k) : 8 Pada langkah k =, diperoleh nilai-nilai untuk x () : x () = 0:6000; x () = :37; x () 3 = 0:9873; x () 4 = 0:8789: Setelah nilai-nilai x () diperoleh, penghitungan diulangi kembali dengan nilai k =

30 Bab 4. Metode Iterasi 4 untuk memperoleh nilai-nilai x () : x () = :0300; x () = :0369; x () 3 = :045; x () 4 = 0:9843: Proses diulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya. sampai langkah ke-4. Berikut ini diberikan suatu hasil k x (k) 0 0:6000 :0300 :0066 :0009 x (k) 0 :37 :0369 :0036 :0003 x (k) 3 0 0; 9873 :045 :005 :0003 x (k) 4 0 0:8789 0:9843 0:9984 0:9998 Untuk keperluan komputasi, iterasi (4.3) dinyatakan secara khusus untuk i = dan i = n berturut-turut: 0 0 x (k) (k ) a j x A j ; x (k) n n a nj x (k) A j : (4.4) a nn j= Sekarang kita bisa menyatakan skema untuk iterasi Gauss-Seidel seperti dalam Algoritma 6 dan implementasi dalam MatLab diberikan oleh fungsi gauseid(). j= Algorithm 6 Algoritma Iterasi Gauss-Seidel Masukan: matriks koe sien sistem: A R nn vektor konstanta sistem: b R n vektor penyelesaian awal: x (0) R n maksimum iterasi: N N toleransi keakuratan: "; misalnya " = 0 6 Penghitungan Inti: Ketika k N dan norm ", Hitung: x (k) menggunakan (4.4) untuk i = : : n Hitung: x (k) i menggunakan (4.3) x (k) n menggunakan (4.4) Hitung: norm = maks in jx i j Hasil akhir: vektor x sedemikian sehingga Ax b: function X = gauseid(a,b,x0,n,tol) % gauseid Menyelesaikan SPL AX = b menggunakan iterasi Gauss-Seidel. % % Input: A = matriks koefisien dari sistem % b = vektor kolom untuk nilai konstanta dari sistem % X0 = penyelesaian awal % N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan % % Output: X = penyelesaian sistem

31 Bab 4. Metode Iterasi 5 if nargin < 5, tol = e-6; if nargin < 4, N = 000; if nargin < 3, X0 = zeros(size(b),); n = size(a,); X = X0; k = ; norma = ; while k <= N & norma > tol X() = (b()-a(,:n)*x(:n))/a(,); % persamaan (4.4) for i = :n- tmp = b(i,:)-a(i,:i-)*x(:i-)-a(i,i+:n)*x(i+:n); X(i) = tmp/a(i,i); % persamaan (4.3) X(n) = (b(n,:)-a(n,:n-)*x(:n-))/a(n,n); % persamaan (4.4) norma = max(abs(x-x0)); X0 = X; 4.3 Iterasi SOR Berikutnya diperhatikan suatu metode untuk mempercepat konvergensi dari metode iterasi. Dipilih Q =! D + L dengan! adalah suatu faktor skala, maka iterasi (4.) menjadi! D + L x (k) =! D + L A x (k ) + b! D + L x (k) = D U x (k ) + b!! Dx(k) = Lx (k) + D U x (k ) + b! x (k) =!D Lx (k) +!!D U x (k ) +!D b x (k) = x (k )!D Lx (k) + Dx (k ) + Ux (k ) b untuk k = ; ; :::. Secara jelas, ini diproses dengan cara: 0 x (k) (k )! i = X i a ji x (k) (k ) i + a ii x i + X (k ) a ji x i a ii i<j i>j 0 (k ) = (!) x i +! i a ij x (k) j a ij x j a ii j= j=i+ (k ) b i A A (4.5) untuk i = ; ; :::; n, dan diasumsikan bahwa untuk langkah ke-k, komponen-komponen x (k) j, j i, sudah diketahui. Untuk! =, iterasi (4.5) memberikan metode Gauss-Seidel. Untuk 0 <! <, prosedurnya dinamakan metode under-relaxation dan dapat digunakan untuk memperoleh konvergensi dari beberapa sistem yang tidak konvergen oleh metode Gauss-Seidel. Untuk! >, prosedurnya dinamakan metode overrelaxation, yang digunakan un-

32 Bab 4. Metode Iterasi 6 tuk mempercepat konvergensi bagi sistem yang konvergen oleh teknik Gauss-Seidel. Metode-metode tersebut disingkat SOR untuk Successive Overrelaxation dan digunakan untuk penyelesaian sistem linier yang muncul dalam penyelesaian numeris dari persamaan diferensial parsial tertentu. Contoh 4.3 Diketahui sistem persamaan linear: 4x + 3x = 4; 3x + 4x x 3 = 30; x + 4x 3 = 4: Persamaan untuk metode relaksasi dengan! = :5: (k ) = ( :5) x + :5 (k ) 4 3x 4 (k ) (k ) = 0:5x 0:9375x + 7:5; (k ) = ( :5) x + :5 30 3x (k) (k ) + x 3 4 = 0:9375x (k) (k ) (k ) 0:5x + 0:35x 3 + 9:375; (k ) 3 = ( :5) x 3 + :5 4 + x (k) 4 = 0:35x (k) (k ) 0:5x 3 7:5: x (k) x (k) x (k) Tabel berikut ini menampilkan hasil penghitungan sampai langkah ke-4 menggunakan penyelesaian awal x (0) = 0. k x (k) 7:5000 3:477 3:3987 3:044 x (k) :3438 3:4607 3:8465 3:9606 x (k) 3 6:7676 4:766 5:63 4:983 Skema iterasi (4.5) diimplementasikan dengan fungsi MatLab SOR() berikut ini. function X = SOR(A,b,X0,N,tol,w) % SOR Menyelesaikan SPL Ax = b menggunakan iterasi SOR % % Input: A = matriks koefisien dari sistem % b = vektor kolom untuk nilai konstanta dari sistem % X0 = penyelesaian awal % w = faktor skala % tol = toleransi keakuratan % % Output: X = penyelesaian sistem if nargin < 6, w =.5; if nargin < 5, tol = e-6; if nargin < 4, N = 000; if nargin < 3, X0 = zeros(size(b)); n = size(a,); X = X0; for k = :N

33 Bab 4. Metode Iterasi 7 X() = (-w)*x()+w*(b()-a(,:n)*x(:n,:))/a(,); for i = :n- tmp = b(i,:)-a(i,:i-)*x(:i-,:)-a(i,i+:n)*x(i+:n,:); X(i) = (-w)*x(i)+w*tmp/a(i,i); X(n) = (-w)*x(n)+w*(b(n,:)-a(n,:n-)*x(:n-,:))/a(n,n); galat = max(abs(x-x0)); if galat < tol, break; X0 = X;

34 Bab 5 Interpolasi Polinomial Tujuan Pembelajaran: Mengetahui metode penentuan suatu polinomial yang melewati semua titik data yang diberikan. Mengaplikasikan interpolasi polinomial untuk menaksir nilai antara titik-titik data. Interpolasi menghubungkan titik-titik data diskret dalam suatu cara yang masuk akal sehingga dapat diperoleh taksiran layak dari titik-titik data di antara titik-titik yang diketahui. Dicatat bahwa kurva interpolasi melalui semua titik data. 5. Interpolasi Linear Interpolasi linear merupakan interpolasi paling sederhana dengan mengasumsikan bahwa hubungan titik-titik antara dua titik data adalah linear. Karena itu digunakan pekatan fungsi linear antara dua titik data, misalnya (x 0 ; y 0 ) dan (x ; y ). Persamaan yang menghubungkan kedua titik tersebut yaitu y = y 0 + y y 0 x x 0 (x x 0 ) : Contoh 5. Hitung taksiran y untuk x = dengan menggunakan interpolasi linear untuk data: (; 0) dan (4; :38694). Penyelesaian. Taksiran y untuk x = yaitu y = y 0 + y y 0 ( x 0 ) = 0 + : ( ) x x 0 4 = 0:46098: 5. Interpolasi Kuadratik Interpolasi kuadratik menentukan titik-titik antara tiga titik data dengan menggunakan pekatan fungsi kuadrat. Dibentuk persamaan kuadrat yang melalui tiga titik data, misalnya (x 0 ; y 0 ), (x ; y ), dan (x ; y ), yaitu y = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) (x x ) : 8

35 Bab 5. Interpolasi Polinomial 9 Kita akan menentukan a 0, a, a sedemikian sehingga persamaan di atas melalui ketiga titik data yang diberikan. x = x 0 ; y = y 0 =) a 0 = y 0 ; x = x ; y = y =) y 0 + a (x x 0 ) = y =) a = y y 0 x x 0 ; x = x ; y = y =) y 0 + y y 0 (x x x 0 x 0 ) + a (x x 0 ) (x x ) = y =) y y 0 y y 0 a = (x x 0 ) (x x ) (x x 0 ) (x x ) =) y y a = (x x 0 ) (x x ) + y y 0 y y 0 (x x 0 ) (x x ) (x x 0 ) (x x ) =) y y y y 0 a = (x x 0 ) (x x ) (x x 0 ) (x x 0 ) y y =) y y 0 x a = x x x 0 : x x 0 Contoh 5. Hitung taksiran y untuk x = dengan menggunakan interpolasi kuadratik untuk data: (; 0), (4; :38694), (6; :79759). Penyelesaian. Koe sien-koe sien dari persamaan interpolasi kuadratik: a 0 = ; a = : = 0:46098; 4 a = :79759 : : = 0:05873; sehingga interpolasi kuadratik untuk data yang diberikan yaitu y = + 0:46098 (x ) 0:05873 (x ) (x 4) : Karena itu, nilai y untuk x = yaitu y = + 0:46098 ( ) 0:05873 ( ) ( 4) = 0: : 5.3 Interpolasi Newton Secara umum, n + titik data, misalnya (x 0 ; y 0 ), (x ; y ), :::, (x n ; y n ) dapat dicocokkan dengan suatu polinomial berderajat n yang mempunyai bentuk y = f n (x) = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) (x x ) + +a n (x x 0 ) (x x ) (x x n ) : (5.)

36 Bab 5. Interpolasi Polinomial 30 Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koe sien-koe sien yaitu a 0 = y 0 ; a = y y 0 x x 0 = y [x ; x 0 ] ; a = y y x x y y 0 x x 0 x x 0 = y [x ; x ] y [x ; x 0 ] x x 0 = y [x ; x ; x 0 ] ;. a n = y [x n; x n ; :::; x ; x ] y [x n ; x n ; :::; x ; x 0 ] x n x 0 = y [x n ; x n ; :::; x ; x 0 ] : Nilai fungsi berkurung siku dinamakan beda terbagi hingga dan dide nisikan sebagai y [x i ; x i ] = y i y i x i x i (beda terbagi hingga pertama), y [x i ; x i ; x i ] = y [x i ; x i ] y [x i ; x i ] x i x i (beda terbagi hingga kedua), y [x n ; x n ; :::; x ; x 0 ] = y [x n; :::; x ] y [x n ; :::; x 0 ] (beda terbagi hingga ke-n). (5.) x n x 0 Persamaan-persamaan di atas adalah rekursif, yaitu beda orde lebih tinggi dihitung dengan mengambil beda dari orde lebih rah. Sebagai contoh, penghitungan koe sien-koe sien dalam polinomial berderajat tiga dapat diperoleh secara berturut-turut mulai dari baris kedua dalam Tabel 5.. Tabel 5.: Tabel beda terbagi hingga untuk orde 3. n x n y n pertama kedua ketiga 0 x 0 a 0 = y 0 a = y y 0 x x 0 a = a a x x 0 a 3 = a a x 3 x 0 x y a = y y x x a = a a x 3 x x y a = y 3 x 3 y x 3 x 3 y 3 Contoh 5.3 Hitung taksiran y untuk x = dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton untuk empat titik data: (; 0) ; (4; :38694) ; (5; :609438) ; dan (6; :79759) : Penyelesaian. Disusun tabel beda terbagi hingga: n x n y n pertama kedua ketiga 0 a 0 = 0 a = 0:46 a = 0:0598 a 3 = 0: :38694 a = 0:3 a = 0:003 5 : a = 0: :79759

37 Bab 5. Interpolasi Polinomial 3 Diperoleh polinomial Newton orde ketiga: y = 0:46 (x ) 0:0598 (x ) (x 4) + 0:0079 (x ) (x 4) (x 5) : (5.3) Karena itu, nilai y untuk x = yaitu y = 0 + 0:46 ( ) 0:0598 ( ) ( 4) + 0:0079 ( ) ( 4) ( 5) = 0:689: Dicatat bahwa e siensi komputasi yang lebih baik untuk menuliskan polinomial Newton (5.) adalah dalam bentuk perkalian bersarang seperti y = (( (a n (x x n ) + a n ) (x x n ) + ) + a ) (x x 0 ) + a 0 ; (5.4) untuk mapatkan koe sien-koe sien dari suku-suku x n, x n,..., x, x, dan x 0. Dalam MatLab ini dapat dilakukan dengan X; % X = [x_0 x_ x_... x_n] a; % a = [a_0 a_ a_... a_n] K = koef(n+); % koefisien dari x^n for i = n:-: % koefisien dari x^n,..., x^0 K = [K a(i)] - [0 K*X(i)]; % a(i)*(x - x_(i - ))+a_(i - ) Fungsi MatLab polinewton() menyusun Tabel Beda Terbagi Hingga seperti Tabel 5., mengkonstruksi polinomial Newton dan selanjutnya menghitung nilai y untuk suatu nilai x yang diberikan. Fungsi ini juga menampilkan plot titik-titik data dan kurva polinomial Newton. Di sini dicatat bahwa koe sien-koe sien dari polinomial dinyatakan sebagai vektor yang disusun dalam derajat yang menurun. function [T,K,yi]=poliNewton(X,Y,xi) % polinewton Menyusun Tabel Beda Terbagi Hingga untuk interpolasi polinomial Newton % dan menghitung nilai fungsi interpolasi untuk suatu nilai x = xi. % % Input: X = data x % Y = data y yang berkorespondensi dengan x % xi = suatu nilai di antara titik-titik data x % % Output: T = Tabel Beda Terbagi Hingga mulai pertama % K = vektor yang memuat koefisien dari x^n, x^(n-),..., x, x^0 % yi = f(xi) % % ---PENGHITUNGAN INTI: N = length(x)-; % banyaknya pasangan data % konstruksi tabel beda terbagi hasil = zeros(n+,n+3); hasil(:,) = [0:N] ; % iterasi hasil(:,) = X ; % nilai x hasil(:,3) = Y ; % nilai y

38 Bab 5. Interpolasi Polinomial 3 for j=4:n+3 for :N+3-(j-) % beda terbagi orde,,..., n- hasil(i,j) = (hasil(i+,j-)-hasil(i,j-))/(hasil(j+i-3,)-hasil(i,)); Tabel = hasil; % ---OUTPUT: % tabel beda terbagi hingga: T = Tabel(:,4:); a = hasil(,3:); % a = [a_0 a_ a_... a_n] % koef x^n,..., x^0: K = a(n+); % koefisien dari x^n for i = N:-: K = [K a(i)] - [0 K*X(i)]; %a(i)*(x - x_(i - ))+a_(i - ) % nilai y untuk suatu nilai xi: yi = sum(k.*xi.^([n:-:0] )); % plot titik-titik data dan kurva polinomial xsim = X():0.:X(); for k=:length(xsim) ysim(k) = sum(k.*xsim(k).^([n:-:0] )); plot(x,y, bo,xsim,ysim, r- ) Sebagai contoh, dengan menjalankan fungsi MatLab polinewton untuk data dalam 5.3 akan diperoleh fungsi polinomial Newton orde tiga yaitu y = 0:0079x 3 0:386x + 0:9894x 0:8587 yang adalah sama dengan hasil (5.3). Gambar 5.. Kurva dari fungsi tersebut diberikan dalam 5.4 Interpolasi Lagrange Interpolasi polinomial Lagrange hanyalah perumusan ulang dari polinomial Newton yang menghindari penghitungan beda terbagi hingga. Berikut ini adalah penurunan bentuk Lagrange secara langsung dari interpolasi polinomial Newton. Untuk kasus orde pertama dipunyai Beda terbagi hingga pertama dapat dirumuskan ulang sebagai f (x) = y 0 + (x x 0 ) y [x ; x 0 ] : (5.5) y [x ; x 0 ] = y y 0 x x 0 y [x ; x 0 ] = y x x 0 + y 0 x 0 x : (5.6)

39 Bab 5. Interpolasi Polinomial 33 Gambar 5.: Kurva polinomial Newton untuk Contoh 5.3. Karena itu, dengan mensubstitusikan (5.6) ke (5.5) akan dihasilkan f (x) = y 0 + x x 0 x x 0 y + x x 0 x 0 x y 0 : Selanjutnya dengan pengelompokkan suku-suku yang serupa dan penyederhanaan akan diperoleh bentuk Lagrange: f (x) = x x x 0 x y 0 + x x 0 x x 0 y : Dengan cara yang serupa, yaitu beda-beda terbagi hingga dirumuskan ulang, akan dihasilkan polinomial Lagrange derajat n untuk n + titik data, misalnya (x 0 ; y 0 ), (x ; y ), :::, (x n ; y n ): y = f n (x) = L i (x) y i (5.7) dengan L i (x) = ny i=0 j=0;j6=i x x j : (5.8) x i x j Dalam hal ini, L i (x) dinamakan sebagai polinomial koe sien Lagrange dan mempunyai sifat: 0 ; i 6= k L i (x k ) = ; i = k : Sebagai contoh, dari rumus di atas, versi orde kedua untuk polinomial Lagrange mem-

40 Bab 5. Interpolasi Polinomial 34 punyai bentuk yaitu f (x) = (x x ) (x x ) (x 0 x ) (x 0 x ) y 0 + (x x 0) (x x ) (x x 0 ) (x x ) y + (x x 0) (x x ) (x x 0 ) (x x ) y : Contoh 5.4 Diperhatikan kembali data dalam Contoh 5.3. Polinomial-polinomial koe- sien Lagrange: L 0 (x) = = L (x) = (x x ) (x x ) (x x 3 ) (x 4) (x 5) (x 6) = (x 0 x ) (x 0 x ) (x 0 x 3 ) ( 4) ( 5) ( 6) (x 4) (x 5) (x 6) ; 60 (x x 0 ) (x x ) (x x 3 ) (x ) (x 5) (x 6) = (x x 0 ) (x x ) (x x 3 ) (4 ) (4 5) (4 6) = (x ) (x 5) (x 6) ; 6 (x x 0 ) (x x ) (x x 3 ) L (x) = (x x 0 ) (x x ) (x x 3 ) = (x ) (x 4) (x 6) ; 4 L 3 (x) = = (x ) (x 4) (x 6) (5 ) (5 4) (5 6) (x x 0 ) (x x ) (x x ) (x ) (x 4) (x 5) = (x 3 x 0 ) (x 3 x ) (x 3 x ) (6 ) (6 4) (6 5) = (x ) (x 4) (x 5) : 0 Jadi, polinomial Lagrange yang sesuai dengan 4 titik data yang diberikan: y = 60 (x 4) (x 5) (x 6) 0 + (x ) (x 5) (x 6) : (x ) (x 4) (x 6) : (x ) (x 4) (x 5) : = 0:3049 (x ) (x 5) (x 6) 0: (x ) (x 4) (x 6) +0:79759 (x ) (x 4) (x 5) : Koe sien-koe sien dari suku-suku x n, x n,..., x, x 0 dalam polinomial Lagrange orde n dapat dibentuk melalui perkalian dua polinomial: dengan (b n x n + + b x + b 0 ) (c n x n + + c x + c 0 ) = d n x n + d x + d 0 d k = min(k;n) X m=maks(0;k n) b k m c m, untuk k = n; n ; :::; ; 0: Operasi ini dapat dilakukan dengan menggunakan perintah conv() yang sudah diberikan oleh MatLab seperti diilustrasikan berikut ini.

41 Bab 5. Interpolasi Polinomial 35 >> a = [ -]; b = [ ]; >> d = conv(a,b) d = % artinya bahwa (x-)*(x^+x+)=x^3+0*x^+0*x- Fungsi MatLab polilagrange() mencari koe sien-koe sien dari polinomial Lagrange (5.7) bersama-sama dengan setiap polinomial koe sien Lagrange (5.8). Fungsi ini juga menampilkan plot titik-titik data dan kurva polinomial Lagrange. Di sini dicatat bahwa koe sien-koe sien dari polinomial dinyatakan sebagai vektor yang disusun dalam derajat yang menurun. function [K,L,yi]=poliLagrange(X,Y,xi) % polilagrange Mencari koefisien dari polinomial Lagrange dan menghitung % nilai fungsi interpolasi untuk suatu nilai x = xi. % % Input: X = data x % Y = data y yang berkorespondensi dengan x % xi = suatu nilai di antara titik-titik data x % % Output: K = vektor yang memuat koefisien dari x^n, x^(n-),..., x, x^0 % L = vektor yang memuat polinomial koefisien Lagrange % yi = f(xi) % % ---PENGHITUNGAN INTI: N = length(x)-; % banyaknya pasangan data L = zeros(n+,n+); % membentuk polinomial koefisien Lagrange for :N+ P = ; for j=:n+ if i~=j P = conv(p,[ -X(j)])/(X(i)-X(j)); L(i,:) = P; % menentukan koefisien dari polinomial Lagrange K = Y*L; % menghitung nilai y = f(xi): yi = sum(k.*xi.^([n:-:0] )); % plot titik-titik data dan kurva polinomial xsim = X():0.:X(); for k=:length(xsim) ysim(k) = sum(k.*xsim(k).^([n:-:0] )); plot(x,y, bo,xsim,ysim, r- )

42 Bab 6 Interpolasi Spline Tujuan Pembelajaran: Mengetahui interpolasi spline untuk mapatkan kurva mulus di antara dua titik data. Mengaplikasikan interpolasi spline untuk sekumpulan data. Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai interpolasi titik-titik data (x 0 ; y 0 ) sampai (x n ; y n ) menggunakan suatu polinomial berderajat n. Namun terdapat kasus dimana fungsi-fungsi ini memberikan hasil yang salah. Pekatan alternatifnya adalah menerapkan polinomial-polinomial berderajat lebih rah pada sebagian titik data. Polinomial penghubung tersebut dinamakan fungsi-fungsi spline. De nisi 6. Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika. Domain dari S adalah suatu interval [a; b].. S; S 0 ; :::; S (k ) kontinu pada [a; b]. 3. Terdapat titik-titik x i sedemikian sehingga a = x 0 < x < ::: < x n = b dan juga S adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [x i ; x i+ ]. Dengan kata lain, spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunanturunan memenuhi kala-kala kekontinuan tertentu. Ketika k =, spline dinamakan spline linear. Ketika k =, spline dinamakan spline kuadratik. Ketika k = 3, spline dinamakan spline kubik. 6. Spline Linear Kita mencoba mencari suatu fungsi spline linear S (x) sedemikian sehingga S (x i ) = y i untuk 0 i n. Diambil 8 S 0 (x) ; x 0 x x >< S (x) ; x x x S (x) =.. >: S n (x) ; x n x x n dimana setiap S i (x) adalah linear. 36

43 Bab 6. Interpolasi Spline 37 Diperhatikan fungsi linear S i (x). Garis ini melalui titik (x i ; y i ) dan (x i+ ; y i+ ), sehingga kemiringan dari S i (x) yaitu y i m i = y i+ : x i+ x i Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i ; y i ) dan (x; S (x)) untuk sembarang x [x i ; x i+ ], sehingga yang memberikan m i = S i (x) y i ; x x i S i (x) = y i + m i (x x i ) = y i + y i+ y i x i+ x i (x x i ) (6.) Contoh 6. Konstruksi spline kuadratik untuk data berikut: Penyelesaian. x 0:0 0: 0:4 0:5 0:75 :0 y :3 4:5 :0 : 5:0 3:0 4:5 :3 [0:0; 0:] : S 0 (x) = :3 + (x 0) = :3 + 3x; 0: 0 :0 4:5 6 5 [0:; 0:4] : S (x) = 4:5 + (x 0:) = 0:4 0: 3 3 x; : :0 [0:4; 0:5] : S (x) = :0 + (x 0:4) = :6 + x; 0:5 0:4 5:0 : [0:5; 0:75] : S 3 (x) = : + (x 0:5) = 3:7 + :6x; 0:75 0:5 3:0 5:0 [0:75; :0] : S 4 (x) = 5:0 + (x 0:75) = 8x: :0 0:75 Jadi spline adalah potongan linear, yaitu linear di antara setiap titik data. Persamaan (6.) dapat dituliskan kembali sebagai dengan S i (x) = a i x + b i ; i = 0; ; :::; n (6.) y i a i = y i+ dan b i = y i a i x i : x i+ x i Fungsi MatLab spline() mengkonstruksi spline linear dengan menghitung koe sienkoe sien spline linear (6.) untuk koordinat-koordinat (x; y) dari titik-titik data. Fungsi ini juga menghitung taksiran nilai y untuk suatu nilai x di antara titik-titik data. Selain itu, kurva spline linear akan ditampilkan oleh fungsi tersebut.

44 Bab 6. Interpolasi Spline 38 function [S,yi] = spline(x,y,xi) % spline Mengkonstruksi fungsi spline linear untuk titk-titik data (x,y). % % Input: X = [x0,x,...,xn] % Y = [y0,y,...,yn] % xi = suatu nilai di antara x0 dan xn % % Output: S = [ai,bi], koefisien-koefisien spline linear y = ai*x + bi % yi = taksiran nilai pada x = xi % % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 3, xi = X(); n = length(x); S = []; % koefisien-koefisien spline linear for :n- a = (Y(i+)-Y(i))/(X(i+)-X(i)); b = Y(i)-a*X(i); if xi>x(i) & xi<x(i+) yi = a*xi+bi; % nilai y untuk suatu x = xi S = [S; a b]; % derajat turun % plot kurva-kurva spline plot(x,y, bo ) for :n- hold on y(i) = S(i,)*X(i)+S(i,); y(i+) = S(i,)*X(i+)+S(i,); plot(x(i:i+),y(i:i+), r- ) hold off Gambar 6.: Spline kuadratik untuk Contoh 6..

45 Bab 6. Interpolasi Spline 39 Dari contoh di atas telah ditunjukkan bahwa kekurangan utama spline-spline linear adalah ketidakmulusannya. Artinya, pada titik-titik data di mana dua spline bertemu, kemiringannya berubah secara madak. Secara formal ini berarti bahwa turunan pertama dari fungsi tidak kontinu pada titik-titik tersebut. Kelemahan ini diatasi oleh penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi. 6. Spline Kuadratik Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak dide nisikan sepenuhnya oleh nilainilai di x i. Berikut ini kita perhatikan alasannya. Spline kuadratik dide nisikan oleh S i (x) = a i x + b i x + c i : Jadi terdapat 3n parameter untuk me nisikan S (x). Diperhatikan titik-titik data: x 0 x x x n y 0 y y y n Syarat-syarat untuk menentukan 3n parameter dijelaskan seperti berikut ini.. Setiap subinterval [x i ; x i+ ], untuk i = 0; ; ; :::; n, memberikan dua persamaan berkaitan dengan S i (x), yaitu Jadi dari sini dipunyai n persamaan. S i (x i ) = y i dan S i (x i+ ) = y i+ :. Syarat pada kontinuitas dari S 0 (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap titik dalam x i, i = ; ; :::; n, yaitu S 0 i (x i ) = S 0 i (x i ) : Jadi dari sini dipunyai n persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3n persamaan, tetapi karena terdapat 3n parameter yang tidak diketahui maka sistem mempunyai kekurangan ketentuan. 3. Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu S 0 (x 0 ) = 0 atau S 00 (x 0 ) = 0: Sekarang dimisalkan z i = S 0 i (x i). Karena S i (x i ) = y i, S 0 i (x i) = z i, dan S 0 i (x i+) = z i+, maka kita dapat me nisikan S i (x) = z i+ z i (x i+ x i ) (x x i) + z i (x x i ) + y i : (6.3)

46 Bab 6. Interpolasi Spline 40 Selanjutnya, dengan pengambilan x = x i+ diperoleh y i+ = S i (x i+ ) = z i+ z i (x i+ x i ) (x i+ x i ) + z i (x i+ x i ) + y i y i+ y i = z i+ z i y i+ y i = z i+ + z i (x i+ x i ) + z i (x i+ x i ) (x i+ x i ) : Jadi, kita dapat menentukan z i+ dari z i : y i z i+ = y i+ z i : (6.4) x i+ x i Contoh 6.3 Konstruksi spline kuadratik untuk data berikut: dengan penetapan z 0 = 0. x 0:0 0: 0:4 0:5 y :3 4:5 :0 : Penyelesaian. Pertama kali dihitung nilai-nilai z i : Jadi, fungsi spline kuadratik S (x): S 0 (x) = z = y y 0 4:5 :3 z 0 = 0 = 64; x x 0 0: 0:0 z = y y :0 4:5 z = 64 = 4 x x 0:4 0: 3 ; z 3 = y 3 y : :0 z = x 3 x 0:5 0: = 48 3 ; z z 0 (x x 0 ) (x x 0) + z 0 (x x 0 ) + y 0 = 30x + :3 = 30x + :3; untuk 0:0 x 0: S (x) = z z (x x ) (x x ) + z (x x ) + y = 70 (x 9 0:) + 64 (x 0:) + 4:5 70 = 9 x x 94 ; untuk 0: x 0:4 45 z 3 z S (x) = (x 3 x ) (x x ) + z (x x ) + y = 450 (x 0:4) 4 (x 3 3 0:4) + = x 3 x ; 30 untuk 0:4 x 0:5 Persamaan (6.3) dapat dituliskan kembali sebagai S i (x) = a i x + b i x + c i ; i = 0; ; :::; n (6.5)

47 Bab 6. Interpolasi Spline 4 dengan a i = z i+ z i (x i+ x i ) ; b i = z i a i x i ; c i = a i x i z i x i + y i : Fungsi MatLab spline() mengkonstruksi (6.5) untuk koordinat-koordinat titik data (x; y) dengan suatu syarat batas S 0 (x 0 ) = 0. Fungsi ini juga menghitung taksiran nilai y untuk suatu nilai x di antara titik-titik data. Selain itu, kurva dari spline kuadratik untuk titik-titik data yang diberikan juga akan ditampilkan. Gambar 6.: Spline kuadratik untuk Contoh 6.3. function [S,yi] = spline(x,y,xi) % spline Mengkonstruksi fungsi spline kuadrat untuk titik-titik data (x,y). % % Input: X = [x0,x,...,xn] % Y = [y0,y,...,yn] % xi = suatu nilai di antara x0 dan xn % % Output: S = [ai,bi,ci], koefisien-koefisien spline kuadrat y = ai*x^+bi*x+ci % yi = taksiran nilai pada x = xi % % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 3, xi = X(); z0 = 0; n = length(x); S = []; z_lama = z0; % koefisien-koefisien spline linear: for :n- z_baru = *(Y(i+)-Y(i))/(X(i+)-X(i))-z_lama; a = 0.5*(z_baru-z_lama)/(X(i+)-X(i)); b = z_baru-*a*x(i+); c = a*x(i)^-z_lama*x(i)+y(i); S = [S; a b c]; z_lama = z_baru;

48 Bab 6. Interpolasi Spline 4 % nilai potongan fungsi f(xi): for :n- if xi>x(i) & xi<x(i+) yi = S(i,)*xi^+S(i,)*xi+S(i,3); % plot kurva-kurva spline: for :n- dx(i)=(x(i+)-x(i)); dx = min(dx); dx = dx/00; % lebar domain x plot(x,y, bo ) for :n- hold on xx = X(i):dx:X(i+); yy = S(i,)*xx.^+S(i,)*xx+S(i,3); plot(xx,yy, r- ) hold off 6.3 Spline Kubik S(x) S n S S i S i+ S n S 0 i( xi+ ) = f ( xi+ ) = Si+ ( xi+ ) i ( xi+ = Si + ( xi+ ) ( x ) = S ( x ) S S Si i+ i+ i+ x 0 x x x i x i+ x i+ x n x n x n x Gambar 6.3: Pekatan dengan polinomial spline kubik. Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki sejumlah titik data a = x 0 < x < x < ::: < x n = b. Interpolasi spline kubik S (x) adalah suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang bersebelahan, lihat Gambar 6.3, dengan ketentuan, untuk i = 0; ; :::; n : (S0) Potongan fungsi pada subinterval [x i ; x i+ ], i = 0; ; :::; n : S i (x) = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) + c i (x x i ) + d i :

49 Bab 6. Interpolasi Spline 43 (S) Pada setiap titik data x = x i, i = 0; ; :::; n: S (x i ) = f (x i ) : (S) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam: S i (x i+ ) = S i+ (x i+ ) ; i = 0; ; :::; n : (S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama: S 0 i (x i+ ) = S 0 i+ (x i+ ) ; i = 0; ; :::; n : (S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama: S 00 i (x i+ ) = S 00 i+ (x i+ ) ; i = 0; ; :::; n : (S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x 0 dan x n berikut ini harus dipenuhi: S 00 (x 0 ) = S 00 (x n ) = 0 (disebut batas alamiah/ natural boundary) S 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) dan S 0 (x n ) = f 0 (x n ) (disebut batas apitan/ clamped boundary) Berikut ini akan dijelaskan bagaimana mencari polinomial spline kubik S. Langkah (Kala S0): Polinomial spline kubik S untuk suatu fungsi f dide nisikan oleh S i (x) = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) + c i (x x i ) + d i (6.6) dengan i = 0; ; :::; n. Langkah (Kala S): Ketika x = x i maka dipunyai S i (x i ) = a i (x i x i ) 3 + b i (x i x i ) + c i (x i x i ) + d i = d i = f (x i ) : (6.7) Ini berarti bahwa d i selalu menjadi pasangan titik data dari x i. Dengan pola ini maka pasangan titik data x i+ adalah a i+, konsekuensinya S (x i+ ) = d i+. Langkah 3 (Kala S): Ketika x = x i+ disubstitusikan ke persamaan (S3) maka diperoleh S i (x i+ ) = S i+ (x i+ ) a i (x i+ x i ) 3 + b i (x i+ x i ) + c i (x i+ x i ) + d i = d i+ dengan i = 0; ; :::; n. Sekarang dimisalkan h i = x i+ x i, sehingga persamaan di atas bisa dituliskan kembali menjadi d i+ = a i h 3 i + b i h i + c i h i + d i : (6.8)

50 Bab 6. Interpolasi Spline 44 Langkah 4 (Kala S3): Turunan pertama dari (6.6) yaitu Ketika x = x i dipunyai dan ketika x = x i+ dipunyai S 0 i (x) = 3a i (x x i ) + b i (x x i ) + c i : S 0 i (x i ) = 3a i (x i x i ) + b i (x i x i ) + c i = c i ; S 0 i (x i+ ) = S 0 i+ (x i+ ) 3a i (x i+ x i ) + b i (x i+ x i ) + c i = c i+ 3a i h i + b i h i + c i = c i+ : (6.9) Langkah 5 (Kala S4): Turunan kedua dari (6.6) yaitu S 00 i (x) = 6a i (x x i ) + b i : (6.0) Dengan ketentuan tambahan S00 (x), persamaan di atas dimodi kasi menjadi Ketika x = x i dipunyai dan ketika x = x i+ dipunyai Dari sini bisa dinyatakan S 00 i (x) = 3a i (x x i ) + b i : S 00 i (x i ) = 3a i (x i x i ) + b i = b i ; S 00 i (x i+ ) = S 00 i+ (x i+ ) 3a i (x i+ x i ) + b i = b i+ 3a i h i + b i = b i+ : a i = 3h i (b i+ b i ) : (6.) Karena itu, persamaan (6.8) dapat dituliskan kembali menjadi d i+ = 3h i (b i+ b i ) h 3 i + b i h i + c i h i + d i sedangkan persamaan (6.9) menjadi atau dinyatakan menjadi = h i 3 (b i + b i+ ) + c i h i + d i ; (6.) c i+ = h i (b i+ b i ) + b i h i + c i = h i (b i + b i+ ) + c i c i = h i (b i + b i ) + c i : (6.3)

51 Bab 6. Interpolasi Spline 45 Dari persamaan (6.) diperoleh c i = h i (d i+ d i ) h i 3 (b i + b i+ ) (6.4) dan untuk c i dinyatakan c i = h i (d i d i ) h i 3 (b i + b i ) : (6.5) Disubstitusikan c i dan c i ke persamaan (6.3) untuk memperoleh h i b i + (h i + h i ) b i + h i b i+ = 3 h i (d i+ d i ) 3 h i (d i d i ) (6.6) dengan i = ; ; :::; n. Dalam sistem persamaan ini, nilai fh i g n i=0 dan nilai fd i g n i=0 sudah diketahui, sedangkan nilai fb ig n i=0 belum diketahui dan memang nilai inilah yang akan dihitung dari persamaan tersebut. Langkah 6 (Kala S5): () Batas alamiah. Ketika S 00 (x 0 ) = S 00 (x n ) = 0, dari persamaan (6.0) diperoleh S 00 (x 0 ) = 6a 0 (x 0 x 0 ) + b 0 = 0 =) b 0 = 0; S 00 (x n ) = 6a n (x n x n ) + b n = 0 =) b n = 0: Sistem persamaan (6.6) dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Az = B dimana h 0 (h 0 + h ) h 0 0 A = 0 h (h + h ) h ; 7 4 h n (h n + h n ) h n b b h (d d ) h 0 (d d 0 ) z = ; B = 6. : b h n n (d n d n ) h n (d n d n ) 5 0 () Batas apitan. Dari persamaan (6.4), dengan i = 0, dimana f 0 (x 0 ) = S 0 (x 0 ) = c 0 diperoleh f 0 (x 0 ) = h 0 (d d 0 ) h 0 3 (b 0 + b ) ; dan konsekuensinya h 0 b 0 + h 0 b = 3 h 0 (d d 0 ) 3c 0 : (6.7) Sementara itu, pada x = x n dan dengan menggunakan persamaan (6.3)

52 Bab 6. Interpolasi Spline 46 diperoleh f 0 (x n ) = c n = c n + h n (b n + b n ) dengan c n bisa diperoleh dari persamaan (6.5), dengan i = n, c n = h n (d n d n ) h n 3 (b n + b n ) : Jadi f 0 (x n ) = = h n (d n d n ) (b n h n 3 + b n ) + h n (b n + b n ) (d n d n ) + h n (b n h n 3 + b n ) dan akhirnya diperoleh h n b n + h n b n = 3c n 3 h n (d n d n ) (6.8) Persamaan (6.7) dan (6.8) ditambah persamaan (6.6) membentuk perkalian matriks Az = B dimana h 0 h h 0 (h 0 + h ) h 0 0 A = 0 h (h + h ) h h n (h n + h n ) h n 0 0 h n h n 3 3 h b 0 0 (d d 0 ) c 0 b h z = ; B = 3 (d d ) h 0 (d d 0 ). : 6 4 b h n (d n d n ) h n (d n d n ) 7 5 n c n h n (d n d n ) 3 ; 7 5 Langkah 7: Setelah sistem persamaan diselesaikan untuk b 0, b,..., b n, kita mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke kala (S), (6.4), (6.) untuk mapatkan koe sien-koe sien lain dari spline kubik: d i (S) = y i ; c i (6:4) = d i+ d i h i h i 3 (b i + b i+ ) ; a i (6:4) = 3h i (b i+ b i ) : (6.9) Contoh 6.4 Konstruksikan spline kubik untuk 4 titik data berikut: x 0 3 y terhadap syarat batas: S 0 (x 0 ) = S 0 (0) = c 0 = dan S 0 (x n ) = S 0 (3) = c n =.

53 Bab 6. Interpolasi Spline 47 Penyelesaian. Lebar subinterval pada sumbu x: h 0 = h = h = h 3 = dan beda terbagi pertama, dengan mengingat bahwa d i = f (x i ) = y i, yaitu d d 0 h 0 = ; d d h = 3; d 3 d h = : Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai b b b 5 = b = ; yang mempunyai penyelesaian b 0 = 3; b = 3; b = 3, dan b 3 = 3. Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan (6.9) untuk memperoleh koe sienkoe sien lain dari spline kubik: d 0 = 0; d = ; d = 4; c 0 = 3 (3 + ( 3)) = ; c = 3 a 0 = 3 ( 3) = ; a = ( 3 + (3)) = ; c = = ; a = 3 ( 3) 3 = : Terakhir, kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti (3 + ( 3)) = ; 3 S 0 (x) = x 3 3x + x, untuk x [0; ] ; S (x) = (x ) (x ) + (x ) +, untuk x [; ] ; S (x) = (x ) 3 3 (x ) + (x ) + 4, untuk x [; 3]. Fungsi MatLab splinekubik() mengkonstruksi persamaan matriks Ax = b, menyelesaikannya menggunakan iterasi SOR untuk mapatkan koe sien-koe sien spline kubik untuk koordinat-koordinat x, y dari titik-titik data yang dilengkapi syarat batas apitan. function [S,yi] = splinekubik(x,y,dy0,dyn,xi) % splinekubik Mengkonstruksi polinomial spline kubik untuk titik-titik data (x,y). % % Input: X = [x0,x,...,xn] % Y = [y0,y,...,yn] % dy0 = S (x0) = c0: turunan awal % dyn = S (xn) = cn: turunan akhir % xi = suatu nilai di antara x0 dan xn % % Output: S = [ai,bi,ci,di], koefisien-koefisien spline kubik

54 Bab 6. Interpolasi Spline 48 Gambar 6.4: Spline kuadratik untuk Contoh 6.4. % Si(x)= ai*(x-xi)^3+bi*(x-xi)^+ci(x-xi)+di % yi = taksiran nilai pada x = xi % % ---PENGHITUNGAN INTI: if nargin < 5, xi = X(); if nargin < 4, dyn = 0; if nargin < 3, dy0 = 0; n = length(x); for i = :n- % lebar subinterval h(i) = X(i+) - X(i); % mengkonstruksi matriks A dan B: A = zeros(n,n); B = zeros(n,); A(,) = *h(); A(,) = h(); A(,) = h(); A(n,n) = *h(n-); A(n-,n) = h(n-); A(n,n-) = h(n-); for i = :n- for j = :n- if j==i, A(i,j) = *(h(i-)+h(i)); elseif j==i+, A(i,j) = h(i); elseif j==i-, A(i,j) = h(i); else A(i,j) = 0; B() = (Y()-Y())/h() - dy0; B(n) = dyn - (Y(n)-Y(n-))/h(n-); for i = :n- B(i) = (Y(i+)-Y(i))/h(i) - (Y(i)-Y(i-))/h(i-); B = 3*B; % koefisien-koefisien spline kubik: z = iterasisor(a,b);

55 Bab 6. Interpolasi Spline 49 bi = z(:3); di = Y(:3) ; for i = : n- ci(i) = (Y(i+)-Y(i))/h(i) - h(i)/3*(*z(i)+z(i+)); ai(i) = (z(i+)-z(i))/(3*h(i)); S = [ai bi ci di]; % orde menurun % nilai potongan fungsi f(xi): for :n- if xi>x(i) & xi<x(i+) yi = S(i,)*(xi-X(i))^3+S(i,)*(xi-X(i))^+S(i,3)*(xi-X(i))+S(i,4); % plot kurva-kurva spline: for :n- dx(i)=(x(i+)-x(i)); dx = min(dx); dx = dx/00; % lebar domain x plot(x,y, bo ) for :n- hold on xx = X(i):dx:X(i+); yy = S(i,)*(xx-X(i)).^3+S(i,)*(xx-X(i)).^+S(i,3)*(xx-X(i))+S(i,4); plot(xx,yy, r- ) hold off

56 Bab 7 Regresi Kuadrat Terkecil Tujuan Pembelajaran: Mengetahui teknik pencocokan kurva yang merepresentasikan tr data. Mengaplikasikan regresi kuadrat terkecil untuk menentukan fungsi hampiran. Jika terdapat banyak galat yang berhubungan dengan data, khususnya data eksperimental, maka interpolasi tidak sesuai dan mungkin memberikan hasil-hasil yang tidak memuaskan jika dipakai untuk meramalkan nilai-nilai antara. Untuk kasus yang demikian, suatu strategi yang sesuai adalah dengan pencocokan kurva. Pencocokan kurva adalah pencarian suatu kurva yang bisa menunjukkan kecerungan (tr) dari himpunan data. Kurva ini tidak harus melalui titik-titik data. Suatu kriteria yang dipakai untuk mengukur kecukupan dari kecocokan yaitu regresi kuadrat terkecil. 7. Regresi Linear Regresi linier digunakan untuk menentukan fungsi linier yang paling sesuai dengan kumpulan titik data f(x k ; y k ) : k = ; :::; ng yang diketahui. Pernyataan matematis untuk fungsi linear tersebut yaitu y = a 0 + a x + e dengan e dinamakan galat atau sisa. Sisa adalah selisih antara pengamatan dengan garis: e = y a 0 + a x: Suatu kriteria untuk pencocokan yang terbaik adalah hampiran kuadrat terkecil yang meminimalkan jumlahan kuadrat dari sisa: S r = e i = (y i;observasi y i;data ) = (y i a 0 + a x i ) : Kriteria ini menghasilkan suatu garis tunggal untuk himpunan data yang diberikan. Untuk menentukan nilai-nilai a 0 dan a, diturunkan S r terhadap setiap koe sien dan 50

57 Bab 7. Regresi Kuadrat Terkecil 5 selanjutnya disamakan = (y i a 0 a x i ) = 0; (y i a 0 a x i ) x i = 0: Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan kembali menjadi y i x i y i a 0 a 0 x i a x i = 0; a x i = 0; atau ekivalen dengan a 0 na 0 + a x i = x i + a x i = y i ; y i x i : Selanjutnya diselesaikan kedua persamaan untuk memperoleh a = n x i y i n x i x i y i! dan a 0 = x i n y i a n x i : Contoh 7. Berikut ini akan dicari persamaan kurva linear jika diberikan tujuh data untuk x dan y: x i y i 0:5 :5 :0 4:0 3:5 6:0 5:5 Berdasarkan data diperoleh: n = 7; 7X x i y i = 9:5; 7X x i = 8; 7X y i = 4; 7X x i = 40: Karena itu a = 7 9: (8) = 0:839857; a 0 = 4 7 0: = 0:074857;

58 Bab 7. Regresi Kuadrat Terkecil 5 sehingga persamaan kurva linear: y = 0: :839857x: Fungsi MatLab reglin() menjalankan skema kuadrat terkecil untuk mencari koe sien dari suatu persamaan kurva linear yang cocok dengan sekumpulan titik data. Fungsi ini juga menampilkan plot titik-titik data dan kurva regresi linear. function Koef = reglin(x,y) % reglin Mencari koefisien dari persamaan kurva linear untuk sekumpulan % titik data menggunakan kriteria kuadrat terkecil. % % Input: X = data x % Y = data y yang berkorespondensi dengan x % % Output: koefisien dari x^0 dan x^ secara berturutan % % ---PENGHITUNGAN INTI: n = length(x); sigmaxy = sum(x.*y); sigmax = sum(x); sigmay = sum(y); sigmaxx = sum(x.^); koefx = (n*sigmaxy-sigmax*sigmay)/(n*sigmaxx-sigmax^); % koefisien dari x^ koefx0 = (sigmay-koefx*sigmax)/n; % koefisien dari x^0 % ---OUTPUT: Koef = [koefx0,koefx]; % orde naik % plot titik-titik data dan kurva linear xreg = X():0.0:X(); yreg = Koef()+Koef()*xreg; plot(x,y, bo,xreg,yreg, r- ); 7. Regresi Polinomial Derajat Dua Diberikan kumpulan titik data f(x k ; y k ) : k = ; :::; ng. Fungsi pekatan untuk fungsi polinomial berderajat dua: y = a 0 + a x + a x : Jumlahan kuadrat dari sisa yaitu S r = y i a 0 a x i a x i :

59 Bab 7. Regresi Kuadrat Terkecil 53 Gambar 7.: Kurva linear dengan metode kuadrat terkecil untuk titik-titik data dalam Contoh 7.. Diturunkan S r terhadap semua parameter dan selanjutnya disamakan dengan 0 = y i a 0 a x i a x i = 0; y i a 0 a x i a x i xi = 0; y i a 0 a x i a x i x i = 0 Persamaan-persamaan disusun kembali menjadi a 0 a 0 na 0 + a x i + a x i = x i + a x i + a x i + a x 3 i + a x 3 i = x 4 i = y i ; x i y i ; x i y i ; atau dalam bentuk perkalian matriks: n x i x i x i 6 4 x i x 3 i x i x 3 i x 4 i a 0 a a 3 5 = 6 4 y i x i y i x i y i 3 : 7 5