BAB 2 LANDASAN TEORI. Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh karena itu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memetakan setiap elemen dari semesta dalam batas ruang yang diasumsikan sebagai unit interval. Definisi Anggap X ruang titik-titik, dengan setiap elemen X secara umum dinyatakan dengan x, sehingga X = x. Himpunan Fuzzy A dalam X dinyatakan dengan fungsi keanggotaan µã(x) yang menghubungkan setiap titik bilangan real pada [ 0,1 ], dengan nilai µã(x) pada x menyatakan derajat keanggotaan dari x dalam A. Nilai terdekat dari µã pada 1 adalah derajat keanggotaan terbesar x dalam A. Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut: à = { (x, µã) x X } 2.2 Notasi fuzzy Notasi yang berlaku untuk Himpunan Fuzzy ketika semesta pembicaraan X adalah diskrit dan terbatas, dinyatakan sebagai berikut :

2 6 à = { µ à (x 1) x 1 + µ à (x 2) x 2 + } = { µã(x i ) x i } à = { µ à (x 1) x 1, µ à (x 2) x 2, } Ketika semesta pembicaraan X adalah kontinu dan tidak terbatas, himpunan fuzzy dinyatakan dengan: à = µã(x) x 2.3 Normalisasi Suatu normalisasi fuzzy adalah suatu fungsi keanggotaan yang memiliki setidaknya 1 elemen x pada semesta X, dengan nilai keanggotaannya adalah 1 dinyatakan dengan : µ NORM (x) =µ A (x)/max(µ A (x)) x X 2.4 Intensifikasi Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas dengan meningkatkan nilai keanggotaan diatas 0,5 dan mengurangi keanggotaan elemen yang mempunyai keanggotaan dibawah 0, Operasi Himpunan Fuzzy Dinyatakan tiga buah himpunan Ã, B, C pada semesta, untuk setiap elemen x dari semesta. Operasi fungsi untuk himpunan operasi gabungan, irisan, complement dinyatakan untuk Ã, B, C pada X yaitu:

3 7 Union µã B(x) =µã(x) µ B(x) Intersection Complement µã B(x) =µã(x) µ B(x) µã =1-µÃ Sebarang himpunan fuzzy µã didefinisikan pada semesta X adalah subhimpunan dari semesta. Nilai keanggotaan dari sebarang element x pada himpunan null φ adalah 0 dan nilai keanggotaan dari sebarang elemen x pada himpunan X adalah 1, dinyatakan sebagai berikut: à X µã(x) µ X(x) Untuk semua x X, µ φ(x) =0 Untuk semua x X, µ X(x) =1 Hukum De Morgan untuk himpunan crisp juga berlaku untuk himpunan fuzzy: à B = à B à B = à B Hukum Excluded middle (A A = X) dan hukum kebalikan (A A = φ) tidak berlaku untuk himpunan fuzzy maka: à à X à à φ

4 8 2.6 Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy memiliki sifat yang sama seperti himpunan crisp (non fuzzy): Komutatif à B = B à à B = B à Assosiatif à ( B C) =(à B) C à ( B C) =(à B) C Distributif à ( B C) =(à B) (à C) à ( B C) =(à B) (à C) Idempotent à à = à dan à à = à Identitas à φ = à à φ = φ dan à X = à dan à X = X Transitif Jika à B C, maka à C Involution à = à 2.7 Relasi Fuzzy Relasi fuzzy R adalah suatu pemetaan ruang cartesian pada [ 0, 1 ], dengan hasil pemetaannya dinyatakan dengan µ R(x, y)

5 Operasi Pada Relasi fuzzy. Anggap suatu relasi fuzzy R dan S pada ruang cartesian X Y. Maka operasi berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan yang berbeda: Union Intersection Complement Containment µ R S (x, y) = max (µ R (x, y), µ S (x, y)) µ R S (x, y) =min(µ R (x, y), µ S (x, y)) µ R (x, y) =1-µ R(x, y) R S µ R(x, y) µ S(x, y) Sifat-Sifat Relasi Fuzzy. Pada relasi fuzzy memenuhi sifat komutatif, asosiatif, distributif, involusi, dan idempotent, demikian juga hukum De Morgan, relasi null 0 dan relasi kelengkapan E. Hukum yang tidak memenuhi pada relasi fuzzy adalah hukum excluded middle. Karena relasi fuzzy juga merupakan himpunan fuzzy, maka ada perbedaan antara relasi dan complementnya, yaitu: R R E R R O

6 Fuzzy Cartesian Product dan Composisi. Secara umum relasi fuzzy merupakan himpunan fuzzy, sehingga cartesian product merupakan relasi antara dua atau lebih himpunan fuzzy. Anggap à suatu himpunan fuzzy pada semesta X dan B menjadi suatu himpunan fuzzy pada semesta Y, maka Cartesian Product antara himpunan à dan B adalah relasi fuzzy R yang berada dalam ruang cartesian product, yaitu: à B = R X Y dengan fungsi keanggotaan dari relasi R, yaitu: µ R(x, y) =µã B(x, y) = min(µã(x), µ B(y)) Cartesian Product à B dapat dinyatakan dengan bentuk yang sama seperti perkalian 2 vektor. Maka setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai suatu vektor yang terdiri dari nilai keanggotaan yang merupakan elemen dari himpunan tersebut. Anggap R adalah relasi fuzzy pada ruang cartesian X Y, S adalah relasi fuzzy pada Y Z, dan T adalah relasi fuzzy pada X Z, maka komposisi max - min fuzzynya dinyatakan sebagai berikut: T = R S dengan fungsi keanggotaanya dinyatakan sebagai berikut: µ T (x, z) = max( min( µ R (x, y),µ S (y,z) ))

7 Vektor Fuzzy Suatu vektor ã =(a 1,a 2,,a n ) dikatakan suatu vektor fuzzy jika untuk sebarang elemen 0 a i 1,untuk i = 1, 2,, n. Dengan cara yang sama transpose vektor fuzzy ã yang dinotasikan dengan ã t adalah suatu vektor kolom jika ã adalah suatu vektor baris, yaitu : ã t = a 1 a 2. a n 2.9 Model Peramalan Terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu : 1. Model Time Series (Deret Berkala) Pada model ini pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai data masa lalu. Tujuan metode ini adalah menemukan pola dalam deret data historis dan memanfaatkan pola deret tersebut untuk peramalan masa depan, keuntungan dari model ini adalah dapat meramalkan dengan cara yang lebih singkat dibandingkan model regresi. 2. Model Regresi (Kausal) Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dari model ini adalah memiliki keberhasilan yang lebih besar untuk pengambilan keputusan yang bijaksana.

8 Fuzzy Time Series Definisi Diasumsikan Y(t) R(garis real), t =, 0, 1, 2, menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t =, 0, 1, 2, didefinisikan sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat itu F(t) dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untuk fi(t), i = 1, 2, adalah nilai linguistik dari F(t) Variabel Linguistik Variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam bentuk kata atau kalimat, dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang dibuat-buat, sebagai contoh: Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah linguistik daripada numerik, misalnya: young, not young, very young, quite young, old, not very old, and not very young daripada 20,21,...,yang merupakan nilai umur sebenarnya Relasi Fuzzy Logic Definisi Jika ada relasi fuzzy R(t,t-1) sehingga F(t) = F(t-1) R(t, t-1) dengan simbol adalah suatu operator maka F (t) disebabkan oleh F (t 1). Relasi yang ada antara F (t) dan F (t 1) dinotasikan dengan F (t 1) F (t).

9 Grup Relasi Fuzzy Logic Definisi Relasi fuzzy logic dengan sisi kanan yang sama, menjadi suatu grup yang sama yaitu relasi grup fuzzy logic. Contoh: Untuk sisi kanan A i yang sama, grupnya dinyatakan sbb: A i A j1 A i A j2 } A i A j1,a j Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time Series Definisi Jika F (t) disebabkan oleh F (t 1) dinotasikan dengan F (t 1) F (t) maka relasinya dinyatakan dengan F (t) =F (t 1) R(t, t 1) simbol merupakan Max-Min operator komposisi, R(t, t 1) disebut sebagai model orde pertama dari F (t) Time Invariant Fuzzy Time Series Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode peramalan yang relasinya tidak bergantung pada waktu t, dengan memanfaatkan himpunan data fuzzy yang berbentuk diskrit sebagai data historisnya. Definisi Anggap F (t) merupakan suatu fuzzy time series dan anggap R(t, t 1) menjadi model pertama dari F (t). Jika R(t, t 1) = R(t 1,t 2) untuk sebarang waktu t maka F (t) dinyatakan sebagai Time Invariant Fuzzy Time Series.

10 Defuzzifikasi Defuzzifikasi adalah cara untuk memperoleh nilai tegas (crisp) dari himpunan fuzzy, adapun prosesnya yaitu: 1. Jika nilai keanggotaan outputnya adalah 0, maka z = 0 2. Jika nilai keanggotaan outputnya memiliki 1 maximum, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z. 3. Jika nilai keanggotaan dari outputnya memiliki lebih dari 2 maximum yang berurutan, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z. Contoh: Jika u 1 =[0,20],u 2 = [ 20, 40 ], u 3 = [ 40, 60 ] dan misalkan outputnya adalah [ 1 1 0,5 ]. Penyelesaian: Karena nilai maximumnya adalah 1 dan berada pada interval u 1 = [ 0, 20 ] dan u 2 = [ 20, 40 ],maka: sehingga z =0+y =20 y = =20 4. Jika outputnya selain dari hal diatas maka digunakan Metode Centroid, yaitu : z = ˆxA A, dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat ˆx