Tekuk Torsi Lateral Balok I Kantilever Non Prismatis

Transkripsi

1

2

3

4 Tekk Torsi Lateral Balok I Kantilever on Prismatis Pals Karta Wijaya Universitas Katolik Parahyangan - Jrsan Teknik Sipil Jalan Cimbleit 9 Bandng, palsk@bdg.centrin.net.id ; 69 Palina Jacintha ) P.T. Recta Optima, Jl, Pratista Raya o 9, palina_jacintha@yahoo.com, 9 Abstrak Dalam makalah ini disajikan hasil dari sat stdi tentang tekk torsi lateral elastis balok kantilever dengan penampang I nonprismatis. Bentk ketidak prismatisan adalah ketinggian badan (web) bervariasi linier sedangkan lebar sayap konstan. Untk it dilakkan analisis tekk elastis sejmlah balok kantilever nonprismatis. Parameter yang ditinja adalah parameter tak berdimensi balok ntk tekk torsi lateral dan kemiringan sisi badan. Analisis dilakkan dengan menggnakan analisis tekk linier metode elemen hingga yang dibant program SAP versi. Formlasi metode elemen hingga berdasarkan teori bifrkasi. Teori ini menghasilkan sat persamaan nilai Eigen. Momen kritis adalah nilai Eigen terkecil dari penyelesaian masalah nilai Eigen tersebt. Beban yang ditinja adalah beban terpsat dijng bebas balok dan beban terbagi merata. Ditinja jga pengarh lokasi beban, yait beban bekerja pada psat geser, beban bekerja pada sayap atas (sisi atas badan balok) dan beban bekerja pada sayap bawah (sisi bawah badan balok). Dari stdi ini dapat disimplkan bahwa kemiringan sisi badan berpengarh kecil terhadap momen kritis balok bila beban bekerja pada psat geser, akan tetapi pengarh ketinggian letak beban terhadap psat geser sangat dipengarhi oleh kemiringan sisi badan. Selain it telah didapat persamaan-persamaan ntk memperkirakan besarnya momen kritis elastis balok kantilever nonprismatis melali analisis regresi terhadap data hasil metode elemen hingga. Kata-kata Knci: Tekk torsi lateral, Balok kantilever, Momen kritis elastis, Metode elemen hingga. Abstract This paper presents the reslts of a stdy abot elastic lateral torsional bckling of web tapered cantilever I beams. Elastic bckling analysis was carried ot on a nmber of web tapered cantilever I beam. Beam parameters are expressed in term of dimensionless parameter for lateral torsional bckling and the slope of the side of the tapered web. The analysis is performed sing finite element method and the SAP v program is sed to do the analysis. The finite element formlation is based on bifrcation theory. This theory leads to Eigen Vale Problem. Critical moment is the lowest Eigen vale. The load to be considered is point load at the free end of the beam and niformly distribted load. Three location of load are considered. The first is at shear center, the second is at top flange and the third is at the bottom flange.from this stdy, it can be conclded that the slope of the side of tapered web has little inflence on the critical moment. Bt the inflence of load height on critical moment is strongly inflenced by the slope of the side of the tapered web. Eqations for estimating the critical moment has been obtained by regression of the data reslts of the finite element method. Keywords: Lateral torsional bckling, Cantilever beam, Elastic critical moment, Finite element method.. Pendahlan Perancangan balok baja perl meninja tiga hal.kekatan, stabilitas dan kekakan. Untk stabilitas ada da hal yang hars ditinja. Pertama adalah tekk lokal dan keda adalah tekk torsi lateral. Tekk torsi lateral adalah sat gejala dimana pada saat balok mengalami momen lentr sampai pada besaran tertent, tiba tiba ia mengalami perpindahan lateral kelar bidang lentrnya disertai torsi. Besarnya momen lentr dimana balok mengalami tekk disebt momen kritis. Momen kritis merpakan salah sat limit state pada perancangan balok baja. Walapn telah banyak peneliti mempelajari tekk torsi lateral, namn sampai saat ini masih banyak yang melakkan penelitian tentang tekk torsi lateral. Penelitian penelitian yang mthakhir antara lain Denan (Denan et al, ) mempelajari tekk torsi lateral balok dengan badan (web) berbentk trapezoid. Kabir dan Seif (Kabir and Seif, ) mempelajari tekk torsi lateral balok I yang diperkat dengan FRP. Stdi mereka menggnakan metode energy dan menerapkan metode Rayleigh-Ritz.Flens dan perkatan FRP dianggap sebagai elemen hibrida sehingga Teori Laminasi Klasik dapat dignakan. Amir Javidinejad (Javidinejad, ) mempelajari tekk pada balok dan kolom akibat kombinasi beban aksial dan transversal dengan lokasi beban aksial yang bervariasi. Showkati (Showkati, ) mempelajari tekk torsi lateral balok kastela. Ia menggnakan metode elemen hingga ntk menghitng momen kritis balok kastela dan kemdian mencari rasio momen kritis balok

5 kastela dibanding momen kritis balok th. Pinarbasi (Pinarbasi, ) mempelajari tekk torsi lateral balok dengan penampang segiempat dengan menggnakan metode variasi iterasi (variational iteration method). Yones (Yones et al, 9) mempelajari efek pengelasan pada tekk torsi lateral balok I terssn (I shaped bild p steel beam). Untk balok diatas da tmpan peratran strktr baja Amerika Serikat (The American Institte of Steel Constrction Specification for Strctral Steel Bilding (ASI/AISC 6-) yang akan diadopsi ke dalam peratran strktr baja Indonesia), ntk selanjtnya disebt AISC, memberikan persamaan ntk memperkirakan besarnya momen kritis balok. Parameter yang menentkan besarnya momen kritis adalah besaran penampang, panjang bagian balok tak tertmp lateral, modls elastisitas dan modls geser. Untk daerah tekk elastis, persamaan ntk momen kritis dalam AISC mengadopsi penyelesaian oleh Timoshenko. Penyelesaian tersebt adalah ntk balok diatas da tmpan dengan kondisi jng rotasi pntir ditahan tetapi pilin (warping) bebas. Penyelesaian tersebt adalah ntk beban berpa momen lentr seragam. Untk momen lentr tidak seragam, AISC menggnakan faktor modifikasi ntk diagram momen lentr tidak seragam C b. Untk kass balok kantilever, AISC menyarankan menggnakan persamaan yang sama dengan nilai C b =. Penggnaan persamaan tersebt ntk balok kantilever sebenarnya tidak tepat, karena kondisi batasnya yang berbeda. Lagipla perilak tekk balok kantilever berbeda dengan balok diatas da tmpan. Pada balok diatas da tmpan, pada saat tekk, flens yang mengalami tegangan tekan mengalami perpindahan lateral lebih besar dari pada flens yang mengalami tegangan tarik. Sebaliknya, pada balok kantilever, flens yang mengalami tegangan tarik mengalami perpindahan lateral yang lebih besar dari pada flens yang mengalami tegangan tekan. Untk balok kantilever stdi tentang tekk torsi lateral dimlai oleh Timoshenko. Timoshenko (96) mempelajari tekk torsi lateral balok simetri ganda prismatic kantilever akibat beban terpsat pada jng bebas. Kemdian athercod (9) mempelajari tekk torsi lateral balok kantilever prismatis dengan stdi pengarh berbagai tmpan (restraint) pada jng bebas dan pengarh ketinggian beban yait beban bekerja pada flens atas. Dowswell () melakkan stdi tekk torsi lateral balok I kantilever dan mengslkan formla ntk menghitng momen kritis elastis balok kantilever. Andrade () melakkan stdi momen kritis elastis balok kantilever prismatis dengan penampang I simetri ganda mapn penampang I simetri tnggal. Trahair () membahas tekk torsi lateral inelastis balok baja kantilever dari sdt penerapan berbagai peratran. Krniawan () melakkan stdi tentang tekk torsi lateral balok kantilever yang dibat dari penampang LiteSteel. Balok jga prismatic.litesteel adalah penampang kanal dengan flens yang berlbang. Marqes () membahas tekk lentr dan tekk torsi lateral balok non prismatis (web tapered) tetapi tidak membahas balok kantilever.rsl () mempelajari tekk distorsi pada balok sayap lebar. Didalamnya ada sbbab tentang balok kantilever. Yan dan Chen () mempelajari tekk torsi lateral balok Tee non prismatis (web tapered). Untk balok non prismatis (web tapered) antara lain Raftoyanis () mempelajari tekk torsi lateral balok non prismatis web tapered dengan menggnakan pendekatan energi. Sampai sejah ini belm ditemkan pblikasi tentang persamaan praktis ntk memperkirakan momen kritis balok I kantilever tidak prismatis. Dalam bk Gide to Stability Design Criteria for Metal Strctres (Ziemian, ) disajikan sat metode ntk memperkirakan besarnya momen kritis elastis balok baja kantilever dengan penampang I. Momen kritis elastis ini dipandang penting, karena ntk momen kritis inelastis dapat diperoleh dengan memetakan momen kritis elastis menjadi momen kritis inelastis. Persamaan persamaan yang disajikan dalam bk ini ntk balok kantilever berdasarkan karya dari Dowswell (Dowswell, ). Persamaan persamaan tersebt adalah ntk balok kantilever prismatis. Dalam makalah ini disajikan hasil sat stdi momen kritis elastis balok kantilever tidak prismatis.balok tidak prismatis berpa balok I dengan ketinggian badan yang bervariasi linier, sedangkan lebar sayap tetap konstan sepanjang balok.. Tjan dan Metode Penelitian Tjan penelitian ini adalah ntk mendapatkan persamaan ntk menghitng momen kritis elastis balok I kantilever nonprismatis (web tapered). Beban yang ditinja adalah beban terpsat di jng bebas balok dan beban terbagi merata.untk it dilakkan serangkaian analisis balok kantilever nonprismatis dan hasilnya menjadi data dan persamaan dikembangkan dari hasil regresi data tersebt. Analisis dilakkan dengan menggnakan metode elemen hingga yang dilaksanakan dengan program SAP v... Parameter Tak Berdimensi Balok ntk Tekk Torsi Lateral Untk menentkan besaran tak berdimensi penampang, perhatikan persamaan momen kritis elastis balok diatas da tmpan yang telah diperoleh Timoshenko.

6 ECw M cr EIy GJ L L Dengan L adalah panjang balok, E adalah modls elastisitas, G adalah modls geser, J adalah konstanta torsi, C w is konstanta pilin (warping constant), I y adalah momen inersia terhadap smb lemah. Persamaan dapat ditlis dalam bentk, EC M w cr EIy GJ L GJ L Maka dengan menggnakan notasi, EC W w L GJ Persamaan dapat ditlis sebagai berikt, Mcr EIy GJ W L W adalah parameter tak berdimensi balok ntk tekk torsi lateral balok tersebt. Terlihat pada Persamaan bahwa W melibatkan tidak hanya besaran penampang, tetapi jga besaran elastis dan panjang balok. Parameter W ini dignakan dalam Gide to Stability Design Criteria for Metal Strctres (Xiemian ).. Momen Kritis Balok Kantilever Prismatis Persamaan momen kritis ntk balok kantilever prismatis yang disajikan dalam Gide to Stability Design Criteria for Metal Strctres menggnakan bentk yang mirip dengan Persamaan. Persamaan tersebt meninja da macam distribsi momen yait distribsi momen akibat beban terpsat dijng balok dan distribsi momen akibat beban terbagi merata. Selain it persamaan tersebt memperhitngkan posisi beban, yait beban bekerja pada psat geser penampang balok, tepi atas badan balok dan jga kondisi tmpan lateralnya. Persamaan tersebt adalah sebagai berikt (Xiemian, ), EIyGJ Mcr CLCB L Persamaan persamaan ntk C L, C H dan C B, merpakan fngsi dari W, dapat dilihat pada Gide to Stability Design Criteria for Metal Strctres (Xiemian,). Dalam stdi ini, dipayakan mencari persamaan ntk menghitng momen kritis balok kantilever non prismatis. Persamaan mempnyai bentk yang sama dengan Persamaan, tetapi stdi dibatasi hanya ntk balok kantilever tanpa tmpan lateral, maka Persamaan menjadi, EIyGJ Mcr CL 6 L Upaya dilakkan ntk mendapatkan persamaan ntk CL dan ntk balok kantilever non prismatis.. Analisis Tekk Balok Kantilever on Prismatis Untk mendapatkan nilai CL dan ntk balok kantilever nonprismatis, dilakkan serangkaian analisis tekk pada sejmlah balok nonprismatis. Balok nonprismatis berpa variasi ketinggian badan seperti diilstrasikan pada Gambar.

7 b f b f d R d L θ L Gambar. Bentk balok I nonprismatis yang dianalisis Karena parameter balok akan dinyatakan dalam bentk parameter tak berdimensi W, maka ckp dilakkan analisis ntk membangkitkan sejmlah W. ilai W dihitng adalah nilai W ntk penampang pada jng kiri (jng dengan tinggi badan terbesar). Besaran koefisien C L dan C H akan merpakan fngsi dari parameter tak berdimensi W dan kemiringan tepi badan tg. Kondisi batas jng kiri balok (penampang dengan tinggi penampang terbesar) adalah jepit, dimana rotasi pntir dan pilin (warping) ditahan. Kondisi batas jng kanan adalah bebas baik ntk lentr, rotasi pntir dan pilin (warping). Untk membangkitkan data, dilakkan analisis pada balok dengan lebar sayap b f mm, ketinggian penampang terbesar (jng kiri) d L adalah 6 mm. Ketinggian penampang pada jng kanan divariasikan dari mm sampai dengan 6 mm. Selain it panjang balok jga divariasikan, dari panjang balok mm sampai mm dengan interval mm. Setiap panjang tertent akan menghasilkan sat besaran tak berdimensi W. Beban berpa beban terpsat dijng bebas balok, dan beban terbagi merata. Ditinja tiga lokasi beban, yait beban pada psat geser, beban pada sayap atas (tepi atas badan) dan beban pada sayap bawah (tepi bawah badan). Selain parameter tak berdimensi W sebagaimana dirmskan dalam Persamaan, parameter yang lain adalah kemiringan tepi badan yang dinyatakan dalam tangen sdt θ yait (lihat Gambar ), dl dr tan L Mla mla analisis dilakkan ntk beban pada psat geser. Dalam hal ini nilai C H =. Untk setiap nilai W dan θ, dengan metode elemen hingga didapat momen kritis M cr dan nilai C L diperoleh seteleh sbstitsi M cr kedalam Persamaan 6 sehingga didapat, Mcr CL EIyGJ L Kemdian analisis elemen hingga dilakkan ntk beban pada flens atas, didapat M cr dan nilai C H dapat dihitng dengan persamaan, Mcr 9 Mcr Setelah it analisis dengan metode elemen hingga dilakkan ntk beban pada flens bawah dan C H ntk beban pada flens bawah dapat dihitng dengan Persamaan 9 pla. 6. Analisis Tekk dengan Metode Elemen Hingga Analisis tekk diformlasikan dengan teori bifrkasi. Dengan teori it didapat persamaan yang mempnyai bentk sebagai berikt (Cook, ), K D K cr G ref Dimana K adalah matriks kekakan strktr. KG adalah matriks kekakan geometri (geometrical stiffness matrix) ata matriks kekakan tegangan (stress stiffness matrix) strktr yang merpakan fngsi dari tegangan dan geometri strktr. D adalah perbahan vektor perpindahan nodal saat bifrkasi. Persamaan merpakan persamaan dari masalah nilai Eigen cr. adalah nilai Eigen terkecil dan D merpakan vektor Eigen.

8 Dalam analisis tekk, analysis dilakkan da kali. Mla mla strktr diberi beban yang pola dan distribsinya seperti yang dikehendaki (yait misalnya apakah beban terpsat ata beban terbagi) tetapi besarnya beban boleh sebarang. Beban tersebt disebt beban rjkan (reference load). Kemdian dilakkan analisis strktr akibat beban rjkan dan didapatkan tegangan yang terjadi yang disebt tegangan rjkan. Kemdian K G dihitng berdasarkan tegangan rjkan tersebt. [K G] ref adalah matriks kekakan geometri yang dihitng berdasarkan tegangan yang timbl akibat beban rjkan tersebt. Kemdian analisis nilai Eigen dilakkan ntk menyelesaikan persamaan dan didapatkan nilai Eigen terkecil cr. Beban tekk adalah beban rjkan dikalikan cr. Bila analisis tekk dilakkan ntk besar beban rjkan yang berbeda tetapi pola dan distribsinya sama, maka akan didapat cr yang berbeda. Akan tetapi hasil kali beban dan cr akan tetap sama yait beban tekk ntk pola beban yang dimaksd. Elemen yang dignakan adalah elemen cangkang tipis (thin shell element) dengan empat titik nodal. Elemen cangkang mempnyai enam kebebasan gerak pada tiap titik nodalnya, tiga translasi dan tiga rotasi. Ilstrasi diberikan dalam Gambar. Smb xyz adalah smb lokal. Smb x dan smb y terletak pada bidang elemen dan smb z tegak lrs bidang elemen. Elemen ini merpakan penggabngan elemen tegangan bidang qadrilateral dengan elemen lentr pelat (Gambar ). y z v w y x z z z w y w v v x v x y x Gambar. Elemen cangkang empat titik nodal dan perpindahan nodalnya v z z v v z y z x v a b Gambar a. Elemen tegangan bidang qadrilateral dan perpindahan nodalnya (termask drilling d.o.f.) b. Elemen pelat lentr qadrilateral dan perpindahan nodalnya Untk elemen cangkang, empat titik nodal tersebt bisa tidak terletak dalam sat bidang. Bila empat titik nodal tidak sebidang diperlkan langkah tambahan. Tetapi disini disajikan bila empat titik nodal tersebt sebidang. Untk mendapatkan enam derajat kebebasan tiap titik nodal, elemen tegangan bidang qadrilateral yang biasanya mempnyai da derajat kebebasan tiap titik nodal, ditambahkan sat kebebasan gerak berpa rotasi yang vektornya searah smb z (Gambar.a). Rotasi nodal tersebt disebt drilling d.o.f (Cook,, Wilson, ). Hal ini diilstrasikan pada Gambar.a. Berikt ini dijabarkan perhitngan matriks kekakan dan matriks kekakan tegangan yang didasarkan pada raian dari Wilson (Wilson, ). Bertrt trt dijabarkan matriks kekakan elemen tegangan bidang qadrilateral dengan drilling d.o.f, matriks kekakan elemen pelat qadrilateral dan matrik kekakan tegangan. 6. Matriks kekakan elemen tegangan bidang Langkah langkah pembentkan matriks kekakan elemen tegangan bidang dengan drilling d.o.f diilstrasikan pada Gambar. Pertama, hbngan perpindahan dan perpindahan nodal diformlasikan dari elemen qadrilateral delapan nodal (Gambar.a). Keda, perpindahan relative nodal ntk tengah sisi diraikan kearah normal dan tangensial sisi dan komponen perpindahan tangensial diambil nol (Gambar.b). Ketiga, perpindahan relative normal sisi dianggap terdistribsi secara parabolic dan perpindahan relative nodal ditengah sisi dibah menjadi rotasi relatif di nodal sdt (Gambar.c). Keempat, rotasi relative nodal sdt dibah menjadi rotasi total dan fngsi bentk dimodifikasi agar melewati patch test (Gambar.d). w x y w y x x w y w x y

9 6 Hbngan vector perpindahan dan vector perpindahan nodal adalah sebagai berikt, d v Dimana, adalah matriks fngsi bentk, 6 6 Adappn fngsi bentk sampai dengan adalah fngsi bentk standar ntk elemen kwadratik kadrilateral, dapat dilihat pada bk bk teks elemen hingga (Cook,, Wilson, ). Gambar. Langkah langkah pembentkan matriks kekakan Vektor d adalah vektor perpindahan titik nodal sebagai berikt, T 6 6 v v v v v v v v d i dan v i dengan i = sampai dengan adalah perpindahan total nodal sampai dengan empat. i dan v i dengan i = sampai dengan adalah perpindahan relative, yait perpindahan yang dikr dari garis lrs yang menghbngkan nodal sdt dalam konfigrasi terdeformasi. Selanjtnya perpindahan relative nodal nomor sampai dengan diambil perpindahan relative normal saja (tegak lrs sisi elemen) sedangkan perpindahan relative tangensial dianggap nol sehingga perpindahan relative arah x dan y merpakan pengraian perpindahan relative normal ini. Kemdian perpindahan normal relative nodal sampai dinyatakan dalam rotasi relatif nodal sdt dengan menganggap deformasi sisi elemen terdistribsi secara parabolik (Gambar ). Gambar. Sisi sat elemen dan deformasi relatifnya j i s j i m m 6 (a) (b) (c) (d) 6

10 Dengan anggapan parabolik tersebt demikian perpindahan nodal m ditengah sisi elemen tersebt dinyatakan dalam rotasi relative jng sisi elemen adalah, L m j i Dengan i dan j adalah rotasi nodal i dan rotasi nodal j. L adalah panjang sisi elemen. Dengan anggapan ini maka perpindahan nodal sampai dengan nodal dapat di bah menjadi perpindahan rotasi pada nodal sdt (nodal sampai dengan nodal ). Matriks fngsi bentk dan vektor perpindahan nodal berbah menjadi, Mx Mx Mx Mx My My My My d v v v v T 6 Dengan M x sampai dengan M x dan M y sampai dengan M y adalah fngsi bentk yang berkaitan dengan rotasi normal relative sampai dengan. Melali diferensiasi vektor perpindahan dan dengan Persamaan, vektor regangan dapat dinyatakan dalam vektor perpindahan nodal, x ε y B B Δθ xy Dengan x B B B y y x Untk dapat memenhi constant stress patch test, maka B perl dibah menjadi (Wilson, ), B B BdA 9 A Dan matriks kekakan elemen dihitng dengan persamaan, T k B E B dv Dimana E adalah matriks elastisitas ntk tegangan bidang. Karena matriks kekakan berdasarkan Persamaan mengandng kebebasan gerak rotasi relative terhadap rotasi elemen sebagai benda tegar maka matriks kekakan tersebt perl ditransformasikan agar rotasi nodal menjadi rotasi absolt. Rotasi benda tegar pada titik psat elemen dapat dihitng dengan persamaan, v o y x Dengan mensbstitsikan dan v dari Persamaan dengan matriks dari Persamaan dan koordinat di psat elemen ( = = ) dimana dan adalah koordinat natral maka Persamaan menjadi, o b o d

11 Dengan d seperti pada Persamaan 6, maka matriks b o berkran x. Selisih antara rotasi absolt dan rotasi relative pada psat element adalah, d o M i (,) i b o d i Kemdian dengan menggnakan sat kekakan k o, dihitng sat matriks kekakan k o sebagai berikt, T T k o bo kobo dv ko Vol bo bo Vol adalah volme elemen. Menrt Wilson () nilai k o dapat diambil sama dengan,g dengan G adalah modls geser. Setelah matriks k ditambahkan matriks k o menjadi matriks kekakan k maka rotasi relative nodal berbah menjadi rotasi total. Kemdian matriks kekakan elemen k tersebt dirakitkan kedalam matriks kekakan strktr sesai dengan nomor kebebasan geraknya. 6. Elemen lentr pelat. Dalam program SAP, elemen pelat tipis diformlasikan berdasarkan teori pelat Mindlin. Anggapan yang dignakan adalah sebagai berikt (Wilson, ). Pertama, sat garis lrs yang tegak lrs garis netral, sebelm pembebanan tetap lrs sesdah pembebanan. amn garis lrs tersebt tidak hars tetap tegak lrs garis netral. Dengan anggapan ini, deformasi geser diperhitngkan. Keda, tegangan normal diarah tegak lrs bidang pelat (diarah ketebalan) dianggap kecil dibanding tegangan lentr dan karenanya diabaikan. Maka kondisi tegangan bersifat tegangan bidang (plane stress). Anggapan ini dignakan ntk pelat dengan ketebalan menengah (moderat thick plate). Teori pelat ini tetap dapat dignakan ntk pelat tipis dimana berlak Teori Kirchoff, mdah diformlasikan secara elemen hingga dan tetap akrat (Wilson, ). Formlasi elemen hingga pelat qadrilateral (empat titik nodal) berikt ini didasarkan raian dari Wilson (Wilson, ). Langkah langkah pembentkan matriks kekakan elemen diilstrasikan pada Gambar 6. Mla mla elemen segi empat diformlasikan dengan delapan titik nodal (Gambar 6.a). Elemen diformlasikan menggnakan rotasi sebagai kebebasan gerak. Masing masing node mempnyai da rotasi sehingga elemen tersebt mempnyai 6 rotasi nodal (enam belas derajat kebebasan). Kemdian rotasi pada node di tengah sisi elemen diraikan kearah normal dan tangensial sisi tersebt. Selanjtnya komponen rotasi tangensial diambil nol (Gambar 6.b). Dengan demikian elemen tersebt mempnyai rotasi nodal. Selanjtnya perpindahan translasi nodal ntk nodal sdt dimaskkan (Gambar 6.c). Untk it translasi w (translasi arah smb z) pada sisi elemen dianggap terdistribsi dalam fngsi polinom derajat tiga. Setelah didapat matriks kekakan elemen, dilakkan kondensasi statik ntk mengeliminasi rotasi nodal ditengah sisi elemen (Gambar 6.d). Mla mla rotasi dinyatakan dalam rotasi nodal dengan persamaan, θ x d θ y Dengan matriks fngsi bentk sama dengan Persamaan, dan vektor perpindahan nodal adalah d x y x y x y x y x y x6 y6 x y x y 6

12 9 Gambar 6. Proses pembentkan matriks kekakan elemen pelat empat nodal Dengan adalah rotasi dan adalah rotasi relative. Sbscript mennjkkan arah dan nomor titik nodal. Dengan menganggap rotasi tangensial pada sisi elemen adalah nol, maka matriks fngsi bentk menjadi y y y y x x x x M M M M M M M M Dimana M xi dan M yi adalah fngsi bentk yang terkait dengan rotasi normal relative nodal di tengah sisi elemen. Fngsi bentk tersebt dapat dilihat pada rjkan (Wilson, ). Vektor perpindahan nodal menjadi, T 6 y x y x y x y x d Dengan anggapan bahwa garis lrs tetap lrs setelah deformasi, maka perpindahan sat titik dalam elemen pelat sejarak z dari garis netral dapat dinyatakan sebagai berikt, ), ( z y x 9 ), ( z x y dan adalah koordinat natral. Hbngan regangan x, y, xy dan perpindahan dinyatakan sebagai berikt, x ), ( z x y x y ), ( z y v x y x ), ( y ), ( z x v y x y xy xz dan yz dinyatakan dalam perpindahan w dan rotasi. Penrnannya dapat dilihat pada rjkan (Wilson, ). Sebagai hasil akhir hbngan regangan-perpindahan nodal dapat ditlis sebagai berikt, a b d c 6 6 6

13 x z y xy xz yz z z b (, ) d a(z) b(, ) d Matriks a(z) adalah bagian dari Persamaan yang mengandng variable z. Secara ringkas Persamaan ditlis sebagai berikt. B d Dengan B = a(z) b (, ). Maka matriks kekakan elemen dapat dihitng dengan persamaan, T T k B E B dv b D b da 6 E adalah matriks elastisitas dan D = a T (z) Ea(z)dz.. Agar matriks kekakan elemen dari Persamaan 6 dapat memenhi patch test ntk momen konstan, maka matriks b perl dimodifikasi. Matriks kekakan elemen k dari persamaan berdimensi 6 x 6, mengandng rotasi relative nodal di tengah sisi elemen. Dengan menggnakan kondensasi statik rotasi ini dieliminasi sehingga didapat matriks kekakan elemen empat titik nodal dengan da belas derajat kebebasan. Kemdian matriks kekakan elemen tersebt dirakitkan kedalam matriks kekakan strktr sesai dengan nomor kebebasan geraknya. 6. Matriks kekakan geometri Matriks kekakan geometri (geometric stiffness matrix) ata disebt jga matriks kekakan tegangan (stress stiffness matrix) dignakan ntk memperhitngkan pengarh tegangan aksial ata tegangan membrane (ntk cangkang ata pelat) terhadap matriks kekakan. Dalam hal tegangan tekan maka kekakan lentr berkrang. Pada saat beban mencapai beban kritis, matriks kekakan menjadi singlar. Matriks kekakan geometri dibentk dari enersi regangan tambahan akibat perbahan kofigrasi strktr. Untk menjabarkan persamaannya, tinja strktr dengan perpindahan, v dan w dimana vector perpindahan dinyatakan dalam perpindahan nodal, v d w Enersi regangan sk orde tinggi dapat dinyatakan dalam persamaan (Cook, ), s T U δ s δ dv s dimana, δ, x, y, z v, x v, y v, z w, x w, y w, z T 9 Dengan adalah matriks nol dan s adalah matriks tegangan akibat beban rjkan xo xyo xzo s xyo yo yzo xzo yzo zo Dengan sbstitsi Persamaan ke dalam Persamaan 9 didapat, G d Sbstitsi Persamaan ke dalam Persamaan didapat,

14 T U d k G d Dengan, s T k G G s G dv s k G adalah matriks kekakan geometri elemen yang kemdian dirakit kedalam matriks kekakan geometri strktr K G Untk mengji akrasi dan konvergensi elemen cangkang tipis ntk analisis tekk, terlebih dahl dilakkan analisis tekk ntk balok prismatis dengan beban momen seragam, beban terpsat dan beban merata.balok prismatis terbat dari WF6xxx panjang meter dengan tmpan sendi dan rol.hasilnya ditampilkan dalam Tabel.Selisih momen kritis hasil metode elemen hingga dan persamaan AISC ckp kecil. Ini berarti bahwa model elemen hingga dengan elemen cangkang tipis empat titik nodal telah dapat mencapai konvergensi dan akrat. Tabel. Momen kritis balok prismatic WF6xxx hasil analisis dengan metode elemen hingga dan persamaan AISC akibat beban momen seragam, beban terpsat ditengah bentang dan beban merata Beban Mcr MEH [-m] Mcr pers.[-m] Selisih (%) Momen 66, 6,, seragam terpsat 96, 99, -,69 merata 9,, -,. Hasil Analisis dan Disksi Hasil analisis disajikan dalam Gambar sampai dengan Gambar. Gambar dan Gambar menyajikan grafik koefisien C L ntk berbagai nilai W sebagai fngsi dari tg masing masing ntk beban terpsat dan beban merata. Dari Gambar dan Gambar, dapat disimplkan bahwa ntk beban terpsat mapn beban terbagi merata, nilai C L relatif konstan terhadap kemiringan web balok non prismatis. Ada perbahan tetapi kecil, berkisar antara % sampai dengan 6%.Ini berarti momen kritis balok kantilever akibat beban terpsat ata beban merata hanya terpengarh sedikit oleh ketidakprismatisan balok. Gejala ini dapat dijelaskan sebagai berikt.momen lentr akibat beban merata dan beban terpsat di jng bebas terdistribsi dari nol dijng bebas dan mencapai maksimm di jng jepit.maka tegangan jga terdistribsi dari nol dijng bebas dan maksimm dijng jepit.pada daerah jng bebas, karena tegangannya kecil, maka pengrangan material didaerah tersebt tidak mengrangi ketahanan terhadap stabilitas balok. Gambar 9 dan Gambar menyajikan grafik nilai C H yait faktor posisi beban ntk beban pada flens atas. ilai C H lebih kecil dari sat. Dari Gambar 9 dan Gambar dapat disimplkan bahwa semakin besar nilai kemiringan tepi badan, semakin besar nilai C H. Artinya semakin kecil pengrangan momen kritis akibat posisi beban diatas psat geser. CL W=,9 W=, W=, W=,66 W=, W=,. W=, W=, ϴ [radian] Gambar. Koefisien CLntk beban terpsat sebagai fngsi dari tgθ ntk berbagai nilai W

15 .. W=, W=,66 W=, CL. W=,. W=,6 W=,9. W=, W=,..... tgθ Gambar. Koefisien CL ntk beban merata sebagai fngsi dari tgθ ntk berbagai nilai W Perilak ini dapat dijelaskan sebagai berikt.untk posisi beban pada flens atas, pada wakt terjadi tekk akan timbl perpindahan rotasi ϕ dan timbl momen pntir tambahan sebesar PΔ dimana Δ perpindahan lateral titik tangkap beban (lihat Gambar ). Arah momen pntir tambahan ini adalah searah dengan arah ptaran akibat tekk sehingga membat balok semakin tidak stabil. Maka momen kritis ntk posisi beban pada flens atas lebih kecil dibanding posisi beban pada psat geser, sehingga nilai C H lebih kecil sat. Besarnya Δ adalah, d sin.. W=,6.6 W=, W=,66. W=,. W=, W=, W=,9 W=,..... tg Gambar 9. Koefisien ntk beban terpsat sebagai fngsi dari tg ntk berbagai nilai W W=,6 W=, W=, W=, W=, W=,9 W=,66 W=,.... tg Gambar. Koefisien ntk beban merata sebagai fngsi dari tg ntk berbagai nilai W

16 Δ d φ Gambar. Pengarh posisi beban Pada balok non prismatis, besarnya d pada lokasi mendekati jng bebas semakin mengecil, sehingga Δ jga mengecil dan pengarhnya mengecil. Semakin besar, semakin kecil d sehingga semakin kecil jga pengarh P. Hal ini membat factor C H membesar. Gambar dan menyajikan factor posisi beban ntk beban pada flens bawah C H. Untk posisi beban pada flens bawah, nilai C H lebih besar sat.kebalikan dari pada posisi beban diatas, ntk posisi beban dibawah, nilai C H mengecil bila kemiringan web membesar. Penjelasan ntk ini sama dengan penjelasan ntk C H. Posisi pada flens bawah, momen pnter P mempnyai arah kebalikan dari pada arah ptaran akibat tekk ϕ sehingga meningkatkan momen kritis.hal ini menyebabkan nilai C H lebih besar sat.untk balok nonprismatis, bila membesar maka tinggi penampang d mengecil dan Δ jga mengecil sehingga pengarh PΔ jga mengecil. Hal ini menyebabkan nilai C H jga mengecil. b W=,6 W=, W=,66 W=, W=,9 W=, W=, W=,.... tg Gambar. Koefisien ntk beban terpsat sebagai fngsi dari tg ntk berbagai nilai W

17 W=, W=,6 W=,.... tg W=,9 W=, W=, W=,66 W=, Gambar. Koefisien ntk beban terpsat sebagai fngsi dari tg ntk berbagai nilai W. Persamaan ntk C L dan C H Data data nilai C L dan C H dan ntk berbagai nilai W dan masing masing diregresikan ntk mendapatkan persamaan yang dapat dignakan ntk memprediksikan besarnya C L dan C H dan menghasilkan persamaan sebagaimana di bawah ini. Persamaan ntk C L ntk beban terpsat di psat geser jng balok adalah sebagai berikt, C L, W,696,9 Persamaan ini diperoleh melali regresi dengan R =,9. Persamaan ntk C L, ntk beban merata yang bekerja di psat geser balok adalah, C L 6,99 W,96, dengan nilai R sebesar,9. Persamaan ntk C H ntk beban terpsat di flens atas jng balok ada da persamaan. Untk W, 6,W,6,6 Dengan nilai R sebesar,. Untk,6 W,W 6,66,9 dengan R sebesar,99. Persamaan ntk C H, ntk beban merata di flens atas. Untk W,,,96W,,6 nilai R sebesar,99 Untk,6 W,96W,6, nilai R sebesar,96. Persamaan ntk C Hntk beban terpsat di flens bawah. Untk W, 9

18 ,W 6,69,6 Untk,6 W,6W 6,9, dengan R sebesar,9. Persamaan ntk C H ntk beban merata di flens bawah. Untk W,,W,, dengan nilai R sebesar,9. Untk,6 W,6W 6,6, dengan nilai R sebesar,99 Persamaan sampai dengan Persamaan digambarkan beserta datanya disajikan pada Gambar 9 sampai dengan Gambar. Untk memperlihatkan posisi data dengan jelas, persamaan digambarkan secara da dimensi ntk setiap data W sehingga krva merpakan fngsi dari θ. Krva dengan garis tebal adalah krva hasil regresi. CL tg W =,9 W=,6 W =, W =, Gambar. Krva regresi CL ntk beban terpsat dibanding data ntk W =,6 CL W=, 6. W=,. W=, tg W=, Gambar. Krva regresi CL ntk beban terpsat dibanding data ntk W =,

19 ..9.. W=,9.6 W=,. W=,. W=, tg Gambar 6. Krva regresi ntk beban terpsat di flens atas ntk W =,6..9. W=,..6.. W=,. W=,66.. W=,..... tg Gambar. Krva regresi ntk beban terpsat di flens atas ntk W =,.. W=,. W=,9.. W=,6.9 W=, tg Gambar. Krva regresi ntk beban terpsat di flens bawah ntk W =, W=,66 W=,. W=,. W=, tg Gambar 9. Krva regresi ntk beban terpsat di flens bawah ntk W =, 6

20 CL. W=,9.... W=,6. W=, 9. W=, tg Gambar. Krva regresi CL ntk beban merata dibanding data ntk W =,6 CL W=, W=, W=, W=, tg Gambar. Krva regresi CL ntk beban merata dibanding data ntk W =,.. W=,6...6 W=,9.6. W=,. W=, Gambar. Krva regresi ntk beban merata di flens atas ntk W =, W=,. W=,66.. W=, W=,..... tg Gambar. Krva regresi ntk beban merata di flens atas ntk W =,

21 .6. W=,9. W=,.. W=,6. W=, tg Gambar. Krva regresi ntk beban merata di flens bawah ntk W =,6.. W=,66.6 W=,.... W=,. W=,..... tg Gambar. Krva regresi ntk beban merata di flens bawah ntk W =, 9. Kontrol Tegangan Analisis yang dilakkan dalam stdi ini adalah dengan anggapan material masih elastis. Berikt ini disajikan hasil pemeriksaan tegangan pada kondisi bifrkasi ntk memperlihatkan bahwa persamaan persamaan yang didapatkan masih berlak. Untk it ditinja balok yang paling pendek yait balok dengan nilai W =,. Misalnya balok yang ditinja mempnyai penampamg IWFxxx dan tegangan leleh MPa. Dengan Persamaan dapat dihitng panjang balok yang sedang ditinja yait. Untk W=, momen kritis terbesar adalah bila = dan beban pada flens bawah. C L dihitng dengan persamaan dan C H dihitng dengan Persamaan. Dengan menggnakan persamaan 6 dapat dihitng momen kritis. Dan tegangan dapat dihitng. Hasil hitngan disajikan dalam Tabel. Dalam Tabel tersebt, angka,f y adalah ntk memperhitngkan tegangan sisa sebesar, F y. Dari hasil hitngan tersebt, dapat disimplkan bahwa balok masih dalam kondisi elastis karena tegangan terbesar yang terjadi pada saat momen kritis tercapai lebih kecil dari pada,f y. Tabel. Hasil pemeriksaan tegangan Parameter tak berdimensi W, Panjang balok (dari pers ) 69 mm CL,9,6 Mcr -mm Sx 6 mm Tegangan f = Mcr/Sx MPa Tegangan leleh Fy MPa, Fy MPa Kesimplan Masih elastik

22 MPa MPa Gambar. Distribsi tegangan pada penampang balok IWFxxx pada saat bifrkasi Sdah barang tent ntk sat nilai W tidak sema penampang memenhi syarat elastik, tetapi selal ada penampang yang dapat memenhi syarat elastik.. Kesimplan Telah dipelajari perilak tekk torsi lateral balok kantilever nonprismatis dan didapat kesimplan sebagai berikt.. Bila beban bekerja pada psat geser, maka besarnya momen kritis balok nonprismatis tidak berbeda jah dari balok kantilever prismatis. Perbedaan terletak antara sampai dengan 6%.. Bila beban bekerja pada sayap atas (tepi atas badan), pengarh destabilisasi dari lokasi beban berkrang dengan bertambahnya kemiringan badan.artinya rasio momen kritis akibat beban diflens atas dibanding momen kritis akibat beban pada psat geser semakin bertambah dengan bertambahnya kemiringan badan.. Bila beban bekerja pada sayap bawah (tepi bawah badan), rasio momen kritis akibat beban yang bekerja di sayap bawah terhadap momen kritis yang bekerja di psat geser semakin berkrang dengan bertambahnya kemiringan badan.. Telah didapatkan persamaan persamaan ntk memperkirakan besarnya koefisien C L dan C H. Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih disampaikan kepada Universitas Katolik Parahyangan yang telah mengijinkan penlis menggnakan lisensi program SAP v. Daftar Pstaka American Institte of Steel Constrction,, Specification for Strctral Steel Bildings, American Institte of Steel Constrction, Illinois. Andrade, A., Camotim, D., Costa, P.P.,, On The Evalation of Elastic Critical Moment in Dobly and Singly Symetric I Section Cantilevers, Jornal of Constrctional Steel Research, 6, pp.9-9. Cook, R.D., Malks, D.S.,Plesha, M.E.,, Concept and Application of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons. Denan, F, Osman, M.H., Saad, S.,, The Stdy of Lateral Torsional Bckling Behavior of Beam With Trapezoid Web Steel Section by Experimental and Finite Element Analysis, International Jornal of Research and Reviews in Applied Sciences (). Dowswel l,b.,, Lateral Torsional Bckling of Wide Flange Cantilever Beams, Engineering Jornal, Third Qarter,. Javidinejad, A.,, Bckling of Beams and Colmn Under Combined Axial and Horizontal Loading With Varios Axial Loading Application Location, Jornal of Theoretical and Applied Mechanics, vol o pp9-. Kabir, M.Z., Zeif, A.E., Lateral Torsional Bckling of Retrofitted Steel I Beams Using FRP Sheets, Transaction A: Civil Engeering Vol, o pp 6-, Agst. Krniawan, C.W., Mahendran, M.,, Elastic Lateral Torsional Bckling of LiteSteel Beams nder Transvese Loading, International Jornals of Steel Strctres, (),pp 9-. Marqes, L.,, Tapered Steel Members: Flexral dan Lateral Torsional Bckling, Disertations, Universidade de Coimbra. athercod, D.A., 9, The Effective Length of Cantilevers as Governed By Lateral Bckling, The Strctral Engineer, Vol.. Pinarbasi, S.,, Lateral Torsional Bckling of Rectanglar Beams Using Variational Iteration Method, Scientific Research and Essays Vol 6 (6),pp. -. 9

23 Raftoyiannis, I.G., Adamakos, T,, Critical Lateral Torsional Bckling Moments of Steel Web Tapered I- Beams,, The Open Constrction and Bilding Technology Jornal., pp-. Showkati, H.,, Lateral Torsional Bckling of Castelated Beam, Iranian Jornal of Science and Technology, Vol., o B, pp -6. Rsl, H.,, Distorsional Lateral Torsional Bckling Analysis of Beams of Wide Flange Cross Sections, Thesis, Dept of Civil Engineering, Faclty of Engineering, University of Ottawa. Trahair,.S.,, Steel Cantilever Strength By Inelastic Lateral Bckling, Research Report R9, School of Civil Engineering, The University of Sydney. Timoshenko, Gere, 96, Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill. Trahair,.S,., Steel Cantilever Strength By Inelastic Lateral Bckling, Research Report, School Of Civil Engineering, The University of Sidney. Wilson, E.L.,, Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Strctres, Compter and Strctres. Inc., Berkeley, California,USA. Yones,R.M., Farsakh,G.A.,Hnaiti,Y.M. (9), Effect of Welding on Lateral Torsional Bckling Resistance of I Shaped Bilt-p Steel, Jordan Jornal of Civil Engineering, Vol o. Yan,W.B., Kim, B.S., Chen, C.Y.,, Lateral Torsional Bckling of Steel Web Tapered Tee Section Cantilevers, Jornal of Constrctional Steel Research,Vol.,pp -. Ziemian,R., (), Gide To Stability Design Criteria for Metal Strctres, John Wiley & Sons,Inc. pp6-.