Suatu persamaan differensial disebut Persamaan Differensial Tundaan. Sebagai contob persamaan : v "(t) = y (t -/T) meiiq)akan Persamaan Tundaan

Transkripsi

1 B A B I I I K E T I I N G G A L A N S O L U S I P E R I O D I K P E R S A M A A N D I F F E R E N S I A L T U N D A A N 3.1 PERSAMAAN DIFFERENSJALTINDAAN Suatu persamaan differensial disebut Persamaan Differensial Tundaan (Differential Delay Equations), jika pada persamaan terdapat hubungan ketergantungan dari waktu sebelum dan waktu sekarang. Sebagai contob persamaan : v "(t) = y (t -/T) meiiq)akan Persamaan Tundaan dengan I" > 0. Suatu contoh dari Persamaan Differensial Tundaan dapat diamati dapat diamati dari fenomena berikut : Suatu larutan air garam yang mengalir kedalam sebuali tanki dengan jundali 6 liter / menit dan mengalii keluar dengan jundali 5 liter / menit. Tentukanlali konsentrasi dari larutan garam tersebut sebagai fungsi dari waktu. Solusi : Karena perbedaan antara larutan yang mengalir kedalam dan keluar tanki sebesar (6-5) liter / menit. niaka volume di dalani tanki setelali t menit adalah : (5 I / menit) iooo + t 5.v(/) ki^l / iiieilit Output perubahan dari masalah awal yang diberikan pada fenomena ter.sebut dapat dimisalkan dalani persamaan :. = 6-..\(0) = 0 (3,1.1) dt t /

2 Persamaan Differensial Linier (3.1.1) dapat diselesaikan dengan perluasan taktor Integra si : H(t) = ( t )\ sehingga diperoleh ; dt ( t)\vj=6( t)' ( t )\v = ( t)" +c x(t) = ( t) + c( t)-' Dengan menggunakan menggunakan syarat awal \ (0) 0 diperoleh c = - (1000)^' Jadi solusi (3.1.1) adalah : X (t) = ( t) - (1000)''( I) Sehingga konsentrasi larutan garam dalam tanki )ada waktu t adalah ; -j^^l^ = /-f/00n/'(\000 + t/' kg/i (3.1.2) Konsentrasi yang diberikan dari persamaan (3.1.2) mendekati I kg / 1 inituk t ->oo. Bentuk Persamaan :.v'(t) = 6-^^x(t-t ), dengan x(t) = 0 untuk te [-to. ] disebut Differensial Persamaan Tundaan dengan positip to konstanta Suatu Persamaan Differensial Linier Tundaan sederhana : //'(t)=a u(t-b) (3.1.3) dimana a dan b konstanta. 23

3 Persamaan (3.1.3) mempunyai solusi : // = c e", untuk c konstanta. dan s memenuhi Persamaan Transendental: s = a e-'' Solusi (3.1.3) untuk t > 0 dapat digunakan metode langkah-langkah (Method of Steps) dengan asumsi u (t) = f (t) untuk ~b < t < 0. Untuk 0 < t < b, persamaan (3.1.3) men jadi : //'(t)=a u(t-b) = af (t-b). I Jadi II (t) = \ a f ( v - h ) c / v + Ki{0) n Dengan u (t) dalam [0, bj. prosedur dapat berulang sehingga. Sedangkan untuk b < t < 2b, maka jirosedur beilanjut tak terbatas.... Dengan menggunakan metode banyak langkali, persamaan pada masalah nilai awal :.. ^. //'(t)= u (t-l),u(t)= 1 dalam [-!. 0] adalah :! " t-(k - i) * //(t)=:^-^^ L,n-l<l<n dengan n bilangan bulat non negati]). k=ii k] \ 24

4 3.2 KETIINGGALAN SOLIISI PERIODIK PERSAMAAN DIFFERENSIAL TUNDAAN Suatu Persamaan Differensial Tundaan dapat dituliskan dalam bentuk : T'(t) = -//x(t)-f(x.t-«).'... (3.2.1) dimana.i > 0 dan a > 0 merupakan konstanta dan f ; R merupakan fungsi kontinu yang memenuhi f (0) = 0. Ketunggalan solusi persamaan (3.2.1) da )at diteliti dari orbit solusi periodik berorintasi lambat pada bidang phase (x (t)..v' (l)). Orbit-orbit (dalam R') sepanjang kurva teitutuj) sederhana niengelilingi titik O (lingkaran ) pada bidang diatas. Dengan mengganti x dengan persamaan (3.2.1) dapat dituliskan sebagai:.y'(t) = -// \ (t)-a f [j- \(l-a )] dengan a > 0 (3.2.2) Ketunggalan solusi (3.2.2) dapat ditelusuri dari variasi orbit-orbit dari Solusi Periodik Berosilasi Lambat (SPOL) dengan X dan a beitambah / naik (Inerease). Misalkan r(a, X) nierupakan orbit SPOL dari (3.2.2) dalam R" yang ditunjukkan dengan a: < ai > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T(a2, Xj) dan T(ai. X\) ada, maka T(a2, X2) berada dalam ekstensior T(ai. X\).. Definisi 1 : Suatu solusi periodik x dari (3.2.1) dengan periodik (/ dikatakan solusi periodik berosilasi lambat (SPOL) jika terdapat p > a sedeniikian hingga 2 - p > a dan x (t) > 0 untuk t e (o, p) dan X (t)<0 untuk t 6 (p. q) (3.2,3) 25

5 3.2 KETIINGGALAN SOLIISI PERIODIK I'ERSAIVIAAN DIFFERENSIAL TUNDAAN Sualii Persamaan Differensial Tundaan dapat dituliskan dalam bentuk :.v'(t) = -//\(t)-f (\. t-a ) (3.2.1) dimana [.i > 0 dan a > 0 merupakan konstanta dan f : R merupakan fungsi kontinu yang memenuhi f (0) = 0. Ketmiggalan solusi persamaan (3.2.1) dapat diteliti dari orbit solusi periodik berorintasi lambat pada bidang phase (\ (t)..v' (t)). Orbit-orbit (dalam R') sepanjang kurva lerlutup sederhana niengelilingi titik O (lingkaran ) pada bidang diatas. Dengan mengganti \ dengan, persamaan (3.2.1) dapat dituliskan sebagai:.y'(t) = -// X (t)-a f [ \(t-o' )] dengan a > 0 (3.2.2) Ketunggalan solusi (3.2.2) dapat ditelusiui dari variasi orbit-orbit dari Solusi Periodik Berosilasi Lambat (SPOL) dengan X dan o beitambah / naik (Inerease). Misalkan r(a, X) merupakan orbit SPOL dari (3.2.2) dalani R'^ yang ditunjukkan dengan a; < ai > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T(a2, X2) dan 'f(ai, A. ) ada, maka T(a2, A,2) berada dalam ekstensior T(ai, X\).. Definisi 1 : Suatu solusi periodik \ dari (3.2.1) dengan periodik <y dikatakan solusi periodik berosilasi lanibal (SPOL) Jika terdapat p > a sedeniikian hingga 2 - p > a dan.\ (t) > 0 untuk t e (o, p) dan \(t)<0 untuk t e (p. q) ;.' (3.2.3) 25

6 Suatu statement (H) : misalkan f 0) = 0 clan asumsikan terclajiat a > 0, li > 0 (berliingga atau tak hingga ) sedeniikian hingga : (i) f (x) adalah c' dan /'(x) > 0 untuk setiap N g(-a. b). /'> n ^ 0 (ii) /;(x)= ^ ^ < I, monoton turun dalani x e (a, b) dan monoton naik dalam f (x) X e (-a. 0). Tcorema 1 : Asumsikan (H) dipenuhi oleh a 0 dan b - 0 dan definisikan cos p = - (/'(O) In)"', p e [f./r] dan «=/','/"'((/'(0),// )' - I) ' (3.2.4) " ' dengan n > 0. maka untuk setiap a > a,, terdapat satu SPOL dari ' (3.2.1) yang memenuhi -a<x(t)<b untuk.setiap (. Untuk a > Oo r-; tidak terdapat SPOL dari (3.2.1). Selanjutnya Jika \ merupakan SPOL dari (3.2.1) yang memenuhi -a < x (t) < b untuk.setiap t dan r(a )= {.Y(/),.Y'(t);te R) merupakan orbit dari x dalam R^. maka T adalah kurva teitutup sederhana niengelilingi lingkaran dan T{a^) adalah ])enutup (closure) dari extenor orbit /"(a.,) dengan a2>ai sedeniikian hingga r(6c )dan T{a^) ada. Bukti Ketunggalan Tcorema 1 : Jika untuk beberapa a > 0. tersapat dua SPOL yang berbeda X dan x: dari (3.2.1) dan misalkan 7", dan 7", mempakan orbit dari X dan X2 dalam R', sedangkan dan merupakan kuiva teitutup sederhana niengelilingi titik awal yang tidak identik. Terdapat p > 1 sedeniikian hingga orbit dari yi = pxi tidak 26

7 didalam exterior orbit X2 atau orbit dari v: = px: tidak didalam exterior xi (atau keduaiiya). Jadi yi dan x; atau y^ dan X merujiakan SPOI, dari (3,2,2) untuk (a, X) = (a, p) dan (a. 1). Untuk ketidaktunggalan dari (H) terdapat suatu biperkasi Hopf dari SPOL pada (3.2.1) pada a = ao. Jadi terdapat suatu barisan a denaan ->cf pada // >oodan SPOL y II = \ dari (3,2.1) untuk a = a dengan su]) v / > 0 pada //^oo. Misalkan terdapat SPOL x dari (3.2.1) untuk a e(0,.v ). sedangkan orbit x dalam K" merujiakan kui"va teitutup sederhana mengelilingi lingkaran. maka terdapat suatu bilangan positip m sedeniikian hingga a, > a dan orbit dari y, adalah didalam interior dari orbit.y. Jadi tidak terdapat SPOL dari (3.2.1) untuk a e (O.ai)). Akibat Teorema 1 dengan (H) yang memenuhi untuk suatu a > 0 dan b > 0, dengan asumsi n = i, dan didefmisikan F(x) = - f (x) untuk -b < x < a, dan asumsikan terdapat suatu sub interval -ajj dari (-a, b) sedeniikian hingga lim sup F"{J)^[-a.h untuk suatu sub inteival kompak I dari (-a.b) dengan F" merupakan ileiasi dari F. Jika X() terdefinisi pada (3.2.2), maka tidak terdapat SPOL dari (3.2.1) dengan a dfilam (0. an) dan terdapat suatu solusi tunggal SPOI; dari (3,2,1) untuk setiap

8 a > Qd dan jika a(a) (a > a;), merupakan orhit dari (3.2. i) dahuii R' maka T(ai) adalali penutup(closure) dari exterior orbit T(a:) dimana 02 > ai > cxo. Misalkan (H) dipenubi oleh a = b = + co dan f mempunyai batas bawah dan untuk.i = 0 dan a,) = -r / {2 f (0)) maka tidak terdapat SPOL dari (3.2.1) dengan a dalam (0. an) dan terdapat Si'OL yang tunggal dari (3.2.1) untuk setiap a > 0, sehingga jika T(a) (a > 0) merupakan orbit dari SPOL (3.2.1) dalam R\ maka T(ai) berada dalam exterioi' dari orbit T(a2) dengan az > a\ > 0.,t i;..; J i. ;. Suatu (H) yang dipenuhi oleh a dan b, jika x SPOL dari (3.2.1) dengan periode q dengan x (t) e (-a, b) untuk semua t. maka y (t).v'(0 berosilasi lambat dengan t2-t > a dan ti + q + t2 > a. Teorema 2 : Misalkan memnuhi (H) untuk beberapa a > 0. b > 0 dan misalkan x merupakan SPOL, dari untuk (a, X) yang memenuhi -X<\ < x (t) <Xb untuk semua t dan misalkan T(a. X]) merupakan orbit dari x dalam R', jika 02 ^ Oi >0 dan X2 > X\ > 0, T(oi. X\) dan T(a2, ^2) ada maka T(a2, X2) berada dalam exterior dari T(ai, X\). Bukti : Untuk membuktikan Teorema 2 di atas ditunjukkan dengan kontradiksi. ' c.l.--.:-}i^nl\.ulhw-i-a Misalkan x, (i = 1,2) merupakan SPOL dari, (3.2.2) yang berkoresponden dengan T = r(a. X). sedangkan orbit dari SPOL (3.2.2) dalam R" adalah kur\a teitutup sederhana mengelilingi lingkaran, jika T2 tidak.semuanya didalam exterior Ti. maka terdapat bilangan p > 1. 2S

9 Sehingga To = {(p\2 (t). p ; (t) : te R) adalah tidak didalam exterior Tu dan misalkan Xi, pxz. a,, a. dan Xo(t) = p t e R (3.2.5).ladi X() adalah SPOL dari (3.2.2) untuk (a. X) = (a. X,,) dan orbit dari x adalah To dan To mempunyai suatu titik tangen (xo (t"). x'(t")) = (xi (t'). x' (t')) (3.2.6) Klaim : x '(t") = x," (t') dalam (3.2.6) tidak nol. Bukti : Asumsikan x,,' (t") = X ' (t') = 0. maka x (t') = (xi (t) ^ 0. dan dapat ditulis x (t") = x, (t') = c>0 (3.2.7) dengan x' (t)> 0 untuk t e[t' - a. t'] ; i - 0, 1... Dari persamaan (3.2.2). (3.2.6) dan (3.2.7) diperoleh : xi (f - ai) = d <x (I' - a ) = d < 0 (3.2.8) untuk d. die R. Mi.satkan bcsar Q = {x, (t). x,'(t)); te [t' - o,. t']} ; i = dalam bidang phase R^ Misalkan H,, dan D.] merupakan setengah busur bahagian bawali dari D. di R^ dan n di bawah Q\ sedangkan T., di luar Ti, maka Cl] dapat dinyatakan sebagai : n,-{(x.(p)(x) ;x e d.cl} : i 0.1 (3.2.9) dengan (p,(x) = X ' (t,(x)) 2^

10 dan t, (x) nierupakan in\ers dari x = x, (t) untuk t e [t'- a t'] dan (p (x) > (p,(x) > 0 V... (3.3.0) untuk semua t e[di.c]. Karena Xj (t) dipenuhi oleh persamaan differensial x' = (p(x) untuk t e [t'- QJ, t'j. Dari persamaan (3.2.10): xi(t' -I-1) = x.,(t" + t) untuk semua t e [- a, OJ. Dengan ketunggalan solusi persamaan (3.2.2) dan definisi SPOL, maka diperoleh : xi(t) = x.,(t) untuk setiap t. Konsekwensinya (ai, X\) = (a.?t,,) dan f non linier, maka hal ini kontradiksi dengan asumsi X,o> X2> X\_ 30