Metode Akra-Bazzi Sebagai Generalisasi Metode Master Dalam Menyelesaikan Relasi Rekurensi

Transkripsi

1 JURNAL FOURIER Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, ISSN X Metode Akra-Bazzi Sebagai Geeralisasi Metode Master Dalam Meyelesaika Relasi Rekuresi Muchammad Abrori Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi, UIN Sua Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Idoesia Korespodesi; borymuch@yahoo.com Abstrak Relasi rekuresi adalah persamaa yag meghubugka usur-usur suatu uruta. Salah satu mafaat relasi rekuresi dapat diguaka utuk meghitug ru time / fiish suatu algoritma. Beberapa algoritma megguaka pedekata devide-ad-coquer dalam meyelesaika sebuah masalah. Hubuga rekuresi dega pedekata devide da coquer bisa diselesaika dega beberapa metode. Peelitia ii bertujua utuk megetahui Metode Akra-Bazzi sebagai Perpajaga Metode Guru. Peelitia ii diawali dega membedah kosep yag berkaita dega Relatio Rekuresi, metode utuk meyelesaika Relatioship Rekuresi, da terakhir tetag metode Akra-Bazzi. Perhatika bahwa Metode Akra-Bazzi dapat memecahka sebuah rekuresi devide-ad-coquer dega perhituga lebih pedek. Kata Kuci: Abstract Rekuresi relatio is a equatio that relates the elemets of a sequece. Oe of the beefits of the rekuresi relatio ca be used to calculate the ruig time/fiish of a algorithm. Some algorithms use approach devidead-coquer i resolvig a problem. Rekuresi relatios with the approach of the devide ad coquer ca be solved by several methods. This research aims to kow the Akra-Bazzi Method as a extesio Method of the Master. This research bega with the dissected the cocept pertaiig to the Relatio Rekuresi, methods for resolvig Relatioship Rekuresi, ad lastly about methods of Akra- Bazzi. Note that Akra-Bazzi Method ca solve a rekuresi devide-ad-coquer with shorter calculatio. Keywords Pedahulua Relasi rekuresi adalah sebuah persamaa yag meghubugka eleme-eleme dari suatu barisa. Salah satu mafaat dari relasi rekuresi yaitu dapat diguaka dalam meyelesaika/meghitug ruig time dari suatu algoritma. Ruig time adalah jumlah dari operasi atau bayakya lagkah operasi utuk iput. Beberapa algoritma megguaka pedekata devide-ad-coquer dalam meyelesaika suatu permasalaha. Pedekata divide-ad-coquer memiliki tiga tahapa peyelesaia; membagi masalah kedalam beberapa sub-masalah yag mirip dega masalah asli tetapi memiliki ukura yag lebih kecil, meyelesaika masig-masig sub-masalah secara rekursif, da kemudia, jika diperluka, meggabugka peyelesaia dari masig- masig sub-masalah utuk meciptaka peyelesaia dari masalah asli. Dalam relasi rekuresi dapat berupa persamaa atau ketidaksamaa yag mejelaska fugsi dalam betuk iput yag lebih kecil. Selai itu, relasi rekuresi juga dapat membagi submasalah dalam ukura-ukura yag sama atau pu tidak sama. Relasi rekuresi dega pedekata devide-ad-coquer dapat diselesaika dega beberapa metode. Adapu metode-metode dalam meyelesaika relasi rekuresi tersebut diataraya adalah: 2013 JURNAL FOURIER Versi olie via

2 64 Muchammad Abrori 1. Metode Susbtitusi Dalam metode substitusi, utuk meyelesaika permasalaha rekuresi megguaka dua lagkah: meebak suatu betuk peyelesaia (megguaka poho rekursi) da megguaka iduksi matematika utuk meemuka kostata da meujukkaya bahwa peyelesaia tersebut bear. 2. Metode Poho Rekursi Pada metode poho rekursi kita megguaka/membuat poho rekursi berupa garis- garis utuk meracag tebaka peyelesaia yag bear. Titik-titik pada poho rekursi meggambarka biaya pada tiap-tiap tempat sub-masalah tersebut. Dari masig-masig titik kitamejumlahka biaya pada tiap-tiap tigkat, da kemudia mejumlahka biaya semuatigkat utuk memperoleh total biaya pada semua tigkat rekursi. 3. Metode Master Metode Master merupaka metode yag sudah umum diguaka utuk meyelesaika relasi rekuresi. Metode Master mudah diguaka apabila kita sudah berhasil meetuka jeis kasusya. Aka tetapi metode ii terbatas pegguaaya. Metode Master tidak mampu utuk meyelesaika relasi rekuresi dega betuk T() = T( = 1) + 4. Metode Akra-Bazzi Metode Akra-Bazzi ditemuka oleh dua orag dari Beirut yag berama Mohamad A Akra da Louay M J Bazzi. Metode ii dipublikasika dalam jural Computatioal Optimizatio ad Applicatios pada bula Mei Metode Akra-Bazzi lebih kuat atau lebih umum dari pada Metode Master. The Master Method is fairly powerfull ad result i a closed form solutio for devide-ad-coquer recurreces with a special (but commoly-occurig) form [1]. Seperti yag sudah diyataka di atas bahwa metode master mudah diguaka apabila sudah bisa ditetuka jeis kasusya. Metode ii juga terbatas pegguaaya karea tidak mampu meyelesaia relasi rekuresi dega betuk T() = T( = 1) + Recetly Akra ad Bazzi discovered a far more geeral solutio to divide-ad-coquer recurreces [1]. Metode Akra-Bazzi lebih kuat da umum dari pada Metode Master. Utuk itu, dega peelitia ii aka diketahui sejauh maa kelebiha Metode Akra-Bazzi dibadigka dega Metode Master. Tujua dari peelitia yag hedak dicapai yaituutuk: 1. Meyelesaika relasi rekuresi degametode Akra-Bazzi. 2. Megetahui betuk metode Akra-Bazzi sebagai geeralisasi dari metode master dalam meyelesaika relasi rekuresi. Adapu keguaa dari peelitia ii adalah utuk meghitug ruig time dari suatu algoritma berbasis devide-ad-coquer. Dalam peelitia ii, aka diperlihatka bagaimaa keterbatasa metode master dibadigka dega metode Akra-Bazzi. Akhirya aka diketahui bagaimaa betuk metode Akra-Bazzi sebagai geeralisasi dari metode master. Metode Peelitia Suatu prosedur peyelesaia masalah utuk mecari kebeara yag dituagka dalam betuk perumusa masalah, studi literatur, asumsi-asumsi da hipotesis, pegumpula da pegaalisaa data, higga pearika kesimpula disebut dega metodologi peelitia [2]. Dega metodologi peelitia aka dihasilka kajia materi peelitia yag lebih utuh da komprehesif. Peelitia ii merupaka studi literatur yag dilakuka dega mempelajari beberapa karya ilmiah dalam betuk jural maupu buku teks atau artikel-artikel laiya yag meujag peelitia tetag Metode Akra-Bazzi sebagai Geeralisasi Metode Master dalam Meyelesaika Relasi Rekuresi. Disampig itu, dega memafaatka media olie, peeliti juga melakuka pecaria (searchig) literatur megguaka Google Search (search egie) dega memasukka beberapa keyword yag megacu pada relasi rekuresi, master theorem, asymptotic otatio, algoritma, aalisis algoritma da metode Akra-Bazzi, da kemudia meguduh file (.doc,.pdf) yag sesuai/medukug peelitia ii. Peelitia ii dimulai dega membedah kosep yag berkaita dega Relasi Rekuresi, metodemetode utuk meyelesaika Relasi Rekuresi, da terakhir tetag metode Akra-Bazzi. JURNAL FOURIER (2013)

3 Teori Metode Akra-Bazzi Sebagai Geeralisasi Metode Master Dalam Meyelesaika Relasi Rekuresi 65 Kalkulus Itegral Itegral adalah kebalika dari proses diferesiasi. Itegral ditemuka meyusul ditemukaya masalah dalam diferesiasi di maa matematikawa harus berpikir bagaimaa meyelesaika masalah yag berkebalika dega solusi diferesiasi. Lambag itegral adalah. Itegral suatu fugsi f(x) secara matematis ditulis da diyataka sebagai: Dalam hal ii: f(x) : disebut sebgai itegra F(x) : disebut sebagai eleme itegrasi e : disebut sebagai kostata itegrasi f(x) dx = F(X) + c Itegral terbagi dua yaitu itegral tak tetu da itegral tertetu. Itegral taktetu adalah itegral yag maa ilai x dari fugsi tidak disebutka sehigga dapat meghasilka ilai dari fugsi tersebut yag bayak, atau dega kata lai tidak memiliki batas atas da batas bawah. Sedagka itegral tertetu adalah itegral yag maa ilai x dari fugsi telah ditetuka, sehigga ilai dari fugsi itegral tersebut terbatas pada ilai x yag telah ditetapka tersebut (memiliki batas atas da batas bawah). Adaika fugsi f da fugsi g mempuyai ati turua da k adalah suatu kostata, maka (sifat kelieara itegral): kf(x) dx = k f(x) dx [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx Adaika fugsi f kotiu (dapat diitegralka) pada [a, b] da F sebarag ati turua dari f, maka (teorema fudametal kalkulus): b f(x) dx = F(a) F(b) a Aalisis Algoritma Dalam bidag matematika, algoritma merupaka kumpula peritah utuk meyelesaika suatu masalah secara logis da sistematis. Algoritma adalah sesuatu yag eksplisit, tepat, jelas, uruta mekais-eksekusi dari suatu istruksi [3]. Dalam meyelesaika masalah, kumpula peritah ii diterjemahka da diproses secara bertahap dari awal higga akhir, dega dipeuhiya kodisi awal sebelum mejalaka algoritma. Aalisis algoritma adalah suatu cabag khusus dalam ilmu komputer yag mempelajari karakteristik da performa dari suatu algoritma dalam meyelesaika masalah, terlepas dari implemetasi algoritma tersebut. Dalam cabag disipli ii algoritma dipelajari secara abstrak, terlepas dari sistem komputer atau bahasa pemrograma yag diguaka. Algoritma yag berbeda dapat diterapka pada suatu masalah dega kriteria yag sama [4]. Kompleksitas dari suatu algoritma merupaka ukura seberapa bayak komputasi yag dibutuhka algoritma tersebut utuk meyelesaika masalah. Dega istilah lai, algoritma yag dapat meyelesaika suatu permasalaha dalam waktu yag sigkat memiliki kompleksitas yag redah, sedagka algoritma yag membutuhka waktu lama utuk meyelesaika masalahya mempuyai JURNAL FOURIER (2013)

4 66 Muchammad Abrori kompleksitas yag tiggi. Suatu algoritma selai meyelesaika suatu masalah juga harus mempertimbagka megeai faktor keefektifita. Utuk megetahui tetag keefektifa sebuah algoritma kita dapat megguaka beberapa otasi berikut: 1. Notasi O besar Notasi O besar memberika batas atas utuk fugsi ke dalam faktor kosta. O(g()) = f() Utuk suatu bilaga positif c da 0, maka 0 f() cg() utuk semua 0. Dega istilah lai, fugsi f() aka selalu berada dibawah cg() pada 0. Gambar 1 Kurva f() aka selalu berada dibawah cg() pada Notasi Omega besar (Ω) Seperti halya pada otasi O besar, otasi Ω besar memberika batas bawah utuk fugsi ke dalam faktor kosta. Ω(g()) = f() Utuk suatu bilaga positif c da 0, maka 0 cg() f() utuk semua 0. Gambar 2 Kurva f() aka selalu berada diatas cg() pada 0. JURNAL FOURIER (2013)

5 Metode Akra-Bazzi Sebagai Geeralisasi Metode Master Dalam Meyelesaika Relasi Rekuresi Notasi Tetha besar (Θ) Pada otasi tetha besar memberika suatu fugsi suatu batas atas da batas bawah. Secara matematis adalah sebagai berikut: Θ(g()) = f() Utuk suatu bilaga positif c 1, c 2 da 0, maka 0 c 1 g() f() c 2 g() utuk semua 0. Gambar 3 Kurva f() berada diatara c 1 g() da c 2 g() pada 0. Relasi Rekuresi Disadari atau tapa disadari permodela yag megguaka relasi rekuresi cukup bayak di sekitar kita. Sebagai cotoh yata seperti pada persoala buga deposito, populasi hewa, tabuga, da lai-lai. Salah satu dari relasi rekuresi yag tertua adalah bilaga Fiboacci, yag berawal dari suatu pertayaa: Sesudah satu tahu berapa bayak pasaga kelici aka diperoleh apabila pada awal tahu terdapat sepasag kelici, da pada setiap bula setiap pasaga melahirka pasaga baru yag mejadi pasaga produktif sesudah satu bula? Dega asumsi bahwa tidak terjadi kematia dalam tahu tersebut. Berikut ii adalah cotoh sederhaa dari relasi rekuresi: Ikram meabug uagya di bak sebesar Rp ,- dega buga 12% per tahu. Bila X adalah jumlah uag pada akhir tahu ke, tetuka hubuga yag terdapat di atara X da X 1! Pada akhir tahu ke 1 jumlah uag ikram adalah X 1. Sesudah satu tahu, maka aka diperoleh jumlah X 1 ditambah dega buga tadi, sehigga, Atau X = X 1 + (0,12)X 1 X = 1,12X 1 Ii disebt relasi rekuresi, dega ilai awal X 0 = Berikut ii beberapa betuk relasi rekuresi: Bilaga Fiboacci (0,1,1,2,3,5,8,13,.. ) F = F 1 + F 2 (disebut relasi rekuresi), utuk > 1 da kodisi awal F 0 = 0, F 1 = 1. T() = 2T ( ) +, Mergesort 2 T() = 2T( 1) + 1, Meara Haoi. Adapu metode utuk meyelesaika relasi rekuresi diataraya adalah: JURNAL FOURIER (2013)

6 68 Muchammad Abrori 1. Metode Substitusi Dalam Metode Substitusi, utuk meyelesaika permasalaha rekuresi megguaka dua lagkah: meebak suatu betuk peyelesaia (megguaka poho rekursi) da megguaka iduksi matematika utuk meemuka kostata da meujukkaya bahwa peyelesaia tersebut bear [5]. Cotoh: Aka dibuktika bahwa peyelesaia rekuresi dari T() = 2T ( ) + yaitu T() = 2 O( lg ). Peyelesaia: Dega megguaka Metode Substitusi aka ditujukka bahwa T() lg utuk suatu kostata c > 0. Dimulai dega megasumsika bahwa utuk semua bilaga positif m <, khususya utuk m = /2 memberi hasil T( /2 ) c 2 lg( /2 ) Hasil ii disubstitusika ke persamaa rekuresi sehigga diperoleh: T( /2 ) 2c 2 lg ( ) + 2 c lg ( 2 ) + c lg c lg 2 + c lg c + c lg, dimaa berlaku c 0. Dega megguaka iduksi matematika bisa ditujukka bahwa peyelesaia tersebut bear. 2. Metode Poho Rekursi Pada metode poho rekursi kita megguaka/membuat poho rekursi berupa garis-garis utuk meracag tebaka peyelesaia yag bear. Titik-titik pada poho rekursi meggambarka biaya pada tiap-tiap tempat sub-masalah tersebut. Dari masig-masig titik kita mejumlahka biaya pada tiap-tiap tigkat, da kemudia mejumlahka biaya semua tigkat utuk memperoleh total biaya pada semua tigkat rekursi. 3. Metode Master Metode Master merupaka metode yag sudah umum diguaka utuk meyelesaika relasi rekuresi. Metode Master bergatug pada teorema Master: T() = at ( b ) + f() Dimaa a 1, b > 1 kosta, da f() adalah fugsi o-egatif. Ada tiga kemugkia: a. Jika f() = O( log b a ε ), utuk kosta ε > 0, maka T() = Θ( log b a ), b. Jika f() = Θ( log b a ), maka T() = Θ( log b a lg ) c. Jika f() = Ω( log b a+ε ), utuk ε > 0, da jika af(/b) cf(), utuk kosta c < 1 da semua ilai yag besar, maka T() = Θ(f()). Metode master mudah diguaka apabila kita sudah berhasil meetuka jeis kasusya. Aka tetapi metode ii terbatas pegguaaya. Metode master tidak mampu utuk meyelesaika relasi rekuresi dega betuk T() = T( 1) +. JURNAL FOURIER (2013)

7 Metode Akra-Bazzi Sebagai Geeralisasi Metode Master Dalam Meyelesaika Relasi Rekuresi Metode Akra-Bazzi Metode Akra-Bazzi ditemuka oleh dua orag dari Beirut yag berama Mohamad A. Akra da Louay M. J. Bazzi. Metode ii dipublikasika dalam jural Computatioal Optimizatio ad Applicatios pada bula Mei Metode Akra-Bazzi lebih kuat atau lebih umum dari pada Metode Master. Hasil da Pembahasa Pada bagia 3 sudah dibedah kosep yag berkaita dega Relasi Rekuresi da metode-metode utuk meyelesaika Relasi Rekuresi. Selajutya pada bagia D ii aka dikupas tetag kosep Metode Master da Metode Akra-Bazzi beserta cotoh soal da peyelesaiya. Selajutya aka diketahui kelebiha Metode Akra-Bazzi dibadigka dega Metode Master Metode Master Thomas H. Corme, dkk. [5] dalam bukuya yag berjudul Itroductio to Algorithms ed. ke-3 tahu 2009 megataka bahwa metode master memberika suatu metode cookbook utuk meyelesaika rekuresi dari betuk: T() = at ( b ) + f() Dimaa a 1 da b > 1 merupaka kostata da f() merupaka fugsi asimtot positif. Utuk megguaka metode master, permasalaha dibagi mejadi tiga kasus. Selajutya apabila sudah ditetuka kasusya, maka dega mudah rekuresi bisa diselesaika. Metode master didasarka pada Teorema Master. Teorema 1. Misal a 1 da b > 1 merupaka kostata da f() merupaka fugsi, da T() didefiisika bilaga bulat da o egative oleh rekuresi T() = at ( ) + f() Dimaa diaggap b berarti merupaka salah satu dari b atau b. Maka T() mempuyai batas asimtotik sebagai b berikut: 1. Jika f() = O( log b a ε ), utuk kosta ε > 0, maka T() = Θ( log b a ), 2. Jika f() = Θ( log b a ), maka T() = Θ( log b a lg ) 3. Jika f() = Ω( log b a+ε ), utuk ε > 0, da jika af(/b) cf(), utuk suatu kosta c < 1 da sembarag bilaga yag cukup besar, maka T() = Θ(f()).[5] Peetua satu dari tiga kasus di atas diperoleh dega cara membadigka fugsi f() dega fugsi log b a. Maa yag lebih besar itu merupaka peyelesaia dari rekuresi. Kasus pertama, jika fugsi log b a lebih besar dari pada fugsi f() maka peyesaiaya yaitu f() = Θ( log b a ). Kasus kedua, jika log b a da f() sama ukuraya maka dikalika dega faktor logaritmis sehigga peyelesaiaya yaitu, T() = Θ( log b a lg ) = Θ(f() lg ) Kasus ketiga, jika fugsi f() yag lebih besar maka peyelesaiaya yaitu T() = Θ(f()). Selai ketetua-ketetua di atas, diperluka kecermata terhadap hal-hal yag bersifat tekis. Dalam kasus pertama, tidak haya f() harus lebih kecil dari pada log b a, f() juga harus merupaka polyomial yag lebih kecil. Dega kata lai, f() secara asimtot lebih kecil dari pada log b a oleh factor dari ε utuk suatu kostata ε < 0. Di dalam kasus ketiga, tidak haya f() harus lebih besar dari pada log b a, tetapi juga harus secara polyomial lebih besar da dalam pertambaha memeuhi kodisi bahwa af( b) cf(). JURNAL FOURIER (2013)

8 70 Muchammad Abrori Ada tiga kasus yag tidak memeuhi kemugkia-kemugkia utuk f(). Terdapat gap atara kasus 1 da 2 ketika f() lebih kecil dari pada log b a tetapi buka merupaka polyomial yag lebih kecil. Serupa dega hal tersebut, terdapat gap atara kasus 2 da 3 ketika ketika f() lebih besar dari pada log b a tetapi secara polyomial tidak lebih besar. Jika fugsi f() termasuk ke dalam salah satu dari gap tersebut, atau jika tidak memeuhi kodisi yag dipersyaratka utuk kasus 3, maka metode master tidak dapat diguaka utuk meyelesaika rekuresi. Di bawah ii diberika cotoh rekuresi yag diselesaika dega metode master: Selesaika rekuresi T() = 16T ( 4 ) + Peyelesaia: a = 16, b = 4, f() = log b a = log 4 16 = Θ( 2 ) Karea f() = O( log 4 16 ), dimaa ε = 1, sehigga metode master bisa diterapka da meghasilka peyelesaia T() = Θ( 2 ). Metode Akra-Bazzi Metode Akra-Bazzi pertama kali dipublikasika oleh peeliti yag berasal dari Libao yaitu Mohamad Akra da Louay Bazzi pada tahu Misalka betuk umum relasi rekuresi devide-ad-coquer sebagai berikut: k T() = a i T ( ) + f() b i i=1 Dimaa k merupaka suatu kostata, a i > 0 da b i > 0 kosta utuk semua ilai i, da f() = Ω( c ) da f() = O( c ) utuk suatu kostata 0 < c d. Dalam hal ii diasumsika bahwa T(θ(1)) = θ(1). Akra da Bazzi membuktika bahwa rekuresi ii mempuyai peyelesaia asimtotik betuk tertutup sebagai berikut: T() = θ ( ρ (1 + f(u) du)) 1 u ρ+1 Dimaa ρ merupaka peyelesaia riil yag tuggal dari persamaa: k a i Implikasi dari Teorema Akra-Bazzi megikuti betuk dari Teorema Master, yaki: i=1 T() = at ( θ( log b a ) jika c < log b a b ) + c T() = { θ( c log a) jika c = log b a θ( c ) jika c < log b a + ε Teorema Akra-Bazzi tidak memerluka parameter a i da b i berilai iteger atau bilaga rasioal k ρ geap. Di sisi lai, seadaiyapu semua parameterya iteger, persamaa karakteristik i=1 a i b i = 1 tidak mempuyai peyelesaia secara aalitik. Di bawah ii diberika dua cotoh rekuresi yag sulit apabila diselesaika dega cara poho rekursi tetapi mejadi mudah peyelesaiaya dega megguaka Metoda AkraBazzi: b i ρ JURNAL FOURIER (2013)

9 Metode Akra-Bazzi Sebagai Geeralisasi Metode Master Dalam Meyelesaika Relasi Rekuresi Quicksort Radom: T() = T(3 4) + T( 4) +. Persamaa (3 4) ρ + (1 4) ρ = 1 mempuyai peyelesaia tuggal ρ = 1, sehigga T() = θ ( (1 + 1 du)) = O( log ) u 1 2. Seleksi determiistic: T() = T( 5) + T(7 10) +. Persamaa (1 5) ρ + (7 10) ρ = 1 tidak mempuyai peyelesaia secara aalitik. Aka tetapi, bisa dilihat bahwa (1 5) x + (7 10) x = 1 merupaka fugsi meuru dari x, oleh karea itu 0 < ρ < 1. Selajutya, diperoleh: Sehigga f(u) 1 u ρ+1 du = u ρ 1 du = uρ+1 1 ρ = u1 ρ 1 ρ = θ(1 ρ ) u=1 T() = θ ( ρ (1 + θ( 1 ρ ))) = θ() Dari cotoh-cotoh perhituga di atas terlihat bahwa metode Akra-Bazzi dapat meyelesaika suatu rekuresi devide-ad-coquer dega perhituga yag sigkat. Metode ii juga bisa meyelesaika relasi rekuresi dega betuk T() = T( 1) + dimaa kasus ii tidak bisa diselesaika dega Metode Master. Kesimpula Berdasarka hasil pembahasa di atas diperoleh kesimpula sebagai berikut: 1. Peyelesaia rekuresi dega Metode Akra-Bazzi memberika pegerjaa yag lebih mudah da lebih sigkat dibadigka dega Metode Master. 2. Betuk umum Metode Akra-Bazzi sebagai geeralisasi dari Metode Master dalam meyelesaika relasi rekuresi, yaitu: T() = θ ( ρ (1 + f(u) du)) 1 u ρ+1 Dimaa ρ merupaka peyelesaia riil yag tuggal dari persamaa: k a i i=1 b i ρ Referesi [1] Leighto, Tom Notes o Better Master Theorems for Divide-ad-Coquer Recurreces. A joural. Cambridge: The MIT Press [2] Subaa, M. da Sudrajat Dasar-Dasar Peelitia Ilmiah. Badug: CV. Pustaka Pelajar. [3] taggal akses 26 July 2012 Jam 13:05 WIB. [4] taggal akses 25 July 2012 Jam 20:35 WIB. JURNAL FOURIER (2013)

10 72 Muchammad Abrori [5] Corme, Thomas H., Leiserso, Charles E, Rivest, Roald L., Stei, Clifford, Itroductio to Algorithms, Third Editio. Lodo: The MIT Press. [6] Erikso, Jeff, Solvig Recurreces. /algorithms/ JURNAL FOURIER (2013)