PENGANTAR PROBABILITAS STATISTIKA UNIPA SBY
|
|
- Adi Budiono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENGANTAR PROBABILITAS GANGGA ANURAGA
2 POKOK BAHASAN Konsep dasar probabilitas Teori himpunan Permutasi Kombinasi Koefisien binomial Koefisien multinomial Probabilitas Aksioma probabilitas Probabilitas bersyarat Teorema bayes Kejadian-kejadian yang bebas Variabel Random Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu UTS
3 POKOK BAHASAN Distribusi bersama / joint probability Distribusi bersama variabel random diskrit Distribusi bersama variabel random kontinu Ekspektasi Ekspektasi variabel random Varians, kovarian, korelasi, Fungsi pembangkit moment UAS
4 REFERENSI A First course in Probability: Sheldon Ross Hogg, R.V. dan Craig, A.T Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed. Mac Millon. New York. Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York. Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and Statistical Inference, John Wiley & Sons, New York.
5 KONSEP DASAR PROBABILITAS Teori Himpunan (SET THEORY) : Kumpulan obyek-obyek yang keanggotaanya terdefinisikan secara jelas. Definisi I : Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S. Definisi II : Jika S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S c maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A. contoh : S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A = x ; x = 0, 1 c maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4
6 Definisi III : A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A) jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A contoh : A = x ; 0 x 1, A = x ; 0 x 2, maka A A Gambarkan diagram Venn-nya? Definisi IV : Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A = contoh : A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat, maka A =
7 Definisi V : Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A, ditulis A A = x x A atau x A Gabungan dari himpunan-himpunan A A A contoh : A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 1 A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x A, A, A,...adalah Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x
8 Definisi VI : Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x x A dan x A Irisan dari beberapa himpunan A, A, A...adalah A A A Contoh : A = x, y ; x, y = 0,0, 0,1, 1,1 1 A = x, y ; x, y = 1,1, 1,2, 2, maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh : 1 2 A = x,y ; 0 x+y 1, A = x,y ; 1 maka A A x+y
9 Definisi VII : Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari A A -A = x x A dan x A Contoh : A = x x bilangan asli 1 A = x x 2 A -A = A -A = x x bilangan bulat bilangan bulat tidak positif 1
10 Definisi VIII : Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau anggota A tetapi tidak termuat dalam A A. A + A = x x A atau x A dan x A A Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A. Contoh : A = x x 1 A = x x bilangan cacah maka A + A = x x bilangan bulat negatif bilangan bulat 1
11
12 SOAL LATIHAN : Suatu ruang sampel S = s,s,s,s,s,s,s, s dan himpunan A, A, dan A adalah sebagai berikut : A s,s,s, A s,s,s,s, A s,s,s,s Tentukan A, A, A, A A, A A, A A, c c c A A A, A A, A A, A A A, A - A, A - A, A - A, A - A, A - A, A. c c c c Berikan bukti bahwa : A A A A, c c c A A A A, c c c A A A c A A A c
13 Aplikasi hukum De Morgan s c c c A A s, s, s, A A s, s, s c c c c A A A s, s, A A A s, s c c c A A s, s, s, s, s, s A A s, s, s, s, s, s c A1 A2 A3 s1 s2 s4 s5 s6 s7 s8 c c c A A A s, s, s, s, s, s, s,,,,,,, maka : c c c, A A A A A c, c c c c A A A A A c c c c c c A A A A A A A A A A Hukum De Morgan s
14 SOAL LATIHAN Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah : 1 2 a A 1 x; x 0,1,2, A 2 x; x 2,3,4 b A x;0 x 2, A x;1 x Carilah A c dari himpunan A dengan ruang sampel S sebagai berikut : 5 a S x;0 x 1,A = x; x 1 8
15 Barisan himpunan monoton : n i i+1 n n Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A jika A A, i = 1,2,3,... A A berarti limit A A = A i n n i n i=1 i=1 n n Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A jika A A, n i i+1 i = 1,2,3,... A A berarti limit A A = A i n n i n i=1 i=1
16 SOAL LATIHAN Jika A, A, A,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A k = 1, 2, 3,..., dan lim A k didefinisikan sebagai himpunan gabungan k A 1 A 2 A 3... Carilah lim A k jika : k a) Ak x;1/ k x 31/ k, k 1,2,3...; 2 2 b) A k x, y ;1/ k x y 4 1/ k, k 1,2,3...; Jika A, A, A,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A k k k k+1 k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan interseksi A A A k k k k Carilah lim A jika : a) A x;2 1/ k x 2, k 1,2,3...; 2 2 b) A k x, y ;0 x y 1/ k, k 1,2,3...; k
17 Permutasi dan Kombinasi Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan. Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}. Banyaknya permutasi adalah 6. k n! P n n k! 0! 1 k! k x k 1 x k 2 x x 1 3! 3 x 2! 3 x 2 x 1 6 Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi? Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
18 Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan. Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}. Banyaknya kombinasi adalah 3. C P P n n k k k k n! k! n k! Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
19 SOAL LATIHAN Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentuk kelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara. Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapa kemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?
20 TERIMA KASIH
21 EKSPEKTASI MATEMATIK GANGGA ANURAGA
22 Definisi : Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga : E u x x u x f x dx u x f x untuk variabel random kontinu untuk variabel random diskrit Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x. x
23 Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta 2. E [k u(x)] = k E[u(x)] n n 3. E k i u(x) i k i E[u(x)] i, n hingga ekspektasi bersifat linier i=1 i1
24 Ekspektasi Fungsi U(x) 1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X : E u x x x f x f x dx x 2 x 2. Var u Var(x) = E(x - E(x)) 2 = x x untuk variabel random kontinu untuk variabel random diskrit 2 (x - E(x)) f x dx untuk variabel random kontinu 2 (x - E(x)) f untuk variabel random diskrit
25 Misal X dengan f.d.p f x 2 maka E 6x + 3x...? Contoh 2. x 2 1 x, 0 x 1 0, untuk x yang lainnya Misal X dengan f.d.p f 3 maka E (x)...? x / 6, x 1,2,3 0, untuk x yang lainnya
26 Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p 2 f(x) = 3x, 0 < x < 1 maka : 2 1. E (x), E(x), dan Var (x)...? 2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2 tentukan E (y) dan Var (y)?
27 Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function) Gangga Anuraga
28 tx M t E e tx e f x tx M t E e tx e f x x Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random. Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen M t M ct M cx x cx t cx ct x t E e E e M x ct dt t cx d dt ct x dt M cxd t e M x ct M cxd t E e E e. e e M x ct n d d E x M x t dan M, 2,3, t 0 n x t n t0 dt dt
29 Sifat sifat MGF a. jika a R maka M t M at i1 b. jika variabel random X, X,..., X saling independen maka, n x M n t M x t i X i1 i c. jika a,b R maka : axb tb M t e M at x x 1 2 n d. jika variabel random X,X,..., X independen identik maka : i1 M n t M x t i X i n 1 2 n
30
31 Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p x f x e, x 0. a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen M 2 b) Tentukan E(x), E(x) dan t c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x, M t?? y Var x x
32 contoh : Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean 1 t t 2 2 x dan varians, maka MGF dari X addalah M t e. Tentukan : a. MGF variabel random Y = X -. X b. MGF variabel random W = X - c. MGF variabel random Z = 2 2
33 Moment Generating Function GANGGA ANURAGA
34 Moment : a) U x m n x E x n n disebut sebagai moment ke n maka jika n = 1 didapatkan b) U x m 2 m E x 1 n 2 2 x n mn E x jika n = 2 maka m2 E x
35 Pandang variabel random x dengan f.p.m M t : tx M t e f x dx, h t h t = 0 tx ' ' M t x e f x dx M t x f x dx " 2 " 2 M t x e f x dx M t x f x dx tx k k tx k k M t x e f xdx M t x f xdx k 1 2
36 Contoh : 2 ' '' Jika M t 1 t, t 1 maka M t dan M t adalah... '' 2 1 dan 6 1 ' M ' 3 4 M t t M t t = M '' x f x dx dan x f x dx
37 Variabel random x merupakan variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas 1, x 1 3 f x 2 3, x 2 Tentukan MGF dari variabel random x?
38 2212n2ii1ntμ+σtMisalkanX,X,.,Xvariabelrandomindependenmasing-masingberdistribusiN(μ,σ)MGFdariXadalahMt=edanY=X. Variabel random x~bin m,p dan y~bin n,p, dan z=x+y Tentukan MGF dari z? 22iii1ntμ+σt2iXii=1MGFdariXadalahMt=edanY=X.TentukanMGFdariY? / 2 x 1 2 Sebuah variabel random x dengan MGF, M 1 2., tentukan MGF dari y? n t t y x x
39 RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE) DAN KEJADIAN (EVENT) GANGGA ANURAGA
40 EVENT DAN PROBABILITAS PERCOBAAN RANDOM Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya. Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat diramalkan dengan pasti dan dapat diulang dibawah kondisi yang sama dan hasil yang mungkin dapat diketahui dari percobaan tersebut.
41 Ruang Sampel Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan dengan huruf S. Contoh : Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yang akan terjadi adalah tampak di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 atau mata 6. Bila dituliskan dalam bentuk himpunan, ruang sampel dari percobaan ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6} Sebuah mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akan tampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampel dapat ditulis menjadi : S = {G,A}
42 Kejadian (event) SBY Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel Contoh : UNIPA Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan Teknologi :STATISTIKA Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka apakah suka mendapat kuliah Statistika. Jika mereka suka diberi simbol Y dan jika tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya adalah
43 Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3 orang suka diadakannya kuliah statistik adalah : Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara 0 dan 1
44 MODEL PROBABILITAS Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6} Event: A = {muncul angka genap}, B = {muncul angka ganjil}, Ukuran Probabilitas: D= {muncul angka 2} P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
45 Aturan-Aturan Probabilitas Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi 0 < P(A) < 1 Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A tidak terjadi P(A c ) = 1 - P(A) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6}; mis A = {2,4}, A c = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(A c ) = 1-1/3 = 2/3 Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/disjoint (no common outcomes) P (A or B) = P(A) + P (B) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6}; mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
46 Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahui bahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul P (A and B) = P(A)*P(B) Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1,1),(1,2),.(6,6)} 36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 6/36 = 1/6 dan P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B) menunjukan independence = 1/36 = P(A) P(B)
47 Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilih secara independent dengan probabilitas: P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼. (a) Cari probabilitas A atau B dipilih P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4 (b) Cari probabilitas A tidak dipilih P(A c ) = 1 P(A) = ¾ (c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali P(AA) = P(A)P(A) = 1/16 (d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
48 KOEFISIEN BINOMIAL DAN MULTINOMIAL GANGGA ANURAGA
49 KOEFISIEN BINOMIAL Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b) n Terlihat bahwa ekspresi (a+b) n tidak ada hubungannya dengan kombinasi, tetapi kenyataannya (a+b) n dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi-r dari n unsur Dalam aljabar diketahui bahwa : a+b a + 3a b + 3ab + b Teorema Binomial : n n nk k a+b, C n k a k 0 b
50 Contoh : Sederhanakan a+b C 4, 0 a b C 4, 4 a b Tentukan koefisien dari a b 11! C 11,6 5!6! 5 Sederhanakan 2x-3y = a 4a b 6a b 4ab b dalam a+b Tentukan koefisien dari x y z dalam x + y + z = Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitiga pascal
51 Aturan segitiga pascal
52 KOEFISIEN MULTINOMIAL Multinomial merupakan perluasan dari binomial n x1 x2 xk x x x 1 2 n1 n2 n 1, 2,, k n n n nk 1 2 n n n nk k n n! dengan = n1, n2,, nk n1! n2! nk!
53 Contoh :
54 Contoh : Tentukan Koefisien dari : 10 x x x x dalam x x x x x ! 2!0!1!3!4! Tentukan Koefisien dari : x y z dalam 2x 3y 5z
55 AKSIOMA PROBABILITAS GANGGA ANURAGA
56 Notasi : S A P A Aksioma 1 P A : ruang sampel : kejadian/event dalam ruang sampel S : probablitas event A 0 Aksioma 2 P S 1 Aksioma 3 mutually exclusive : dua kejadian yang saling tidak berhubungan dan tidak N N P An P A n1 n1 n mungkin terjadi secara bersamaan A K S I O M A P R O B A B I L I T A S
57 probabilitas joint A dan B P A B P A P B P A B probabilitas union A dan B P A B P A P B P A B Definisikan ruang sampel dari diagram venn diatas? Definisikan kejadian/event dari A? Definisikan kejadian/event dari B? Definisikan joint kejadian A dan B? Definisikan union kejadian A dan B?
58 Lokasi produksi mobil Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian Ya Tidak Jumlah US Non US Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? Berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? Berapa probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di USA
59 PROBABILITAS BERSYARAT Probabilitas Bersyarat P A B, menyatakan probabilitas A bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak. P A B P A B P B Probabilitas Bersyarat P B A, menyatakan probabilitas B bila diketahui A, A dan B adalah kejadian acak. P B A P B A P A
60 Contoh : S 1, 2, 3, 4, 5 2, 4, 6 P B P A B 1, 2, 3, 4 P C B P C B 2, 3, 4 P D B P D B Ruang sampel 1, 2, 3, 4, 5, 6 A P A B P A B maka P C maka P D maka C D
61 Paru-Paru Merokok P(B) ya tidak ya 0,3 0,1 0,4 tidak 0,25 0,35 0,6 p(a) 0,55 0,45 1 P(A) =probabilitas menderita penyakit paru-paru P(B) =probabilitas seseorang merokok P(A =ya B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75 P(B =ya A= ya) = 0,3/0,55 = 0,55
62 VARIABEL RANDOM GANGGA ANURAGA
63 VARIABEL RANDOM - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM f xa Variabel Random Diskrit x f x 0 1 P() x A f x xa
64 DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM Variabel Random Diskrit X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel P A f x S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4.() dimana 4! 1 () f x, xs x!(4)! x2 Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A)? 4. A
65 Variabel random kontinu Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan sebagai : P(A) = P(X A) = Contoh 1: A f x X adalah variabel random dengan fungsi himpunan 2 3x peluang P(A), P(A) = f xdx dimana f x dx. 8 2 A 1 x A x;0 x 2.Tentukan peluang A 1 x;0 x 2 dan A x;1 x 2 yang merupakan himpunan bagian dari A.
66 Latihan Soal 1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y 1 P A A f x, y dimana f(,) x y, 52 x, y S x, y; x, y 0,1, 0,2,..., 0,13, 1,1,..., 1,13,..., 3,13 Hitunglah P A P X, Y A a). A = x,y ; x, y 0,4, 1,3, 2,2 b). A = x,y ; x y 4, x,y S x x 2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S = ; jika A 1 x;0 x dan A 2 x; x 1, A 1 dan A 2 himpunan bagian dari S. Hitunglah P(A) 2 jika P (A) 1. 4
67 VARIABEL RANDOM DISKRIT GANGGA ANURAGA
68 Variabel random diskrit variabel random yang dapat memiliki nilai bilangan bulat. Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan nilai dari variabel random diskrit tersebut dan berpasangan dengan nilai probabilitasnya.
69 Contoh : Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas dari X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang suka matakuliah strategi kognitif. Carilah distribusi probabilitas dari mahasiswa yang suka matakuliah strategi kognitif.
70 Penyelesaian : 4 C C f ( x ) 0 1 C ! 6 3 6! 0! 4! 3! 3! 10! 3! 7! (3x2x1)(7x6x5x4x3x2x1) C C f x f x f C3 C3 ; C C 4 6 ( 3 0 x ) 4 10 C3 4x3x2x1 6x5x4x3x2x1 1( ) (3 2 1)(3 2 1) x x x x x x x 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 C C
71 Distribusi Probabilitas Mahasiswa Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain : Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Poisson
72 Distribusi Bernoulli Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ, berikut fungsi probabilitas bernoulli : f ( x; ) dimana x (1 ) 1 x 1 ; x : variabel random memperoleh sukses θ : probabilitas sukses Distribusi Bernoulli mempunyai mean 2 (1 ) ; 0 x 0,1 dan varians
73 Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakah probabilitasnya seorang siswa akan mendapatkan nilai 5 atau lebih, jika siswa tersebut tidak belajar (menjawab dengan coba-coba). P( x 5) 10 i5 10 C x (0,25) x (1 0,25) 10 x
74 Distribusi Binomial Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, ditulis X ~ B( n, p) jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas : n x n x f ( x; n, p) p (1 p) ; 0 p 1 ; x x Distribusi binomial mempunyai mean 2 np(1 p) dimana : 0,1,2,..., n np dan varians x : variabel random yang menyatakan banyaknya sukses p : probabilitas sukses n : banyak percobaan
75 Contoh : Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh partai demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan dalam 3 putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan pemilu adalah 0,5. Berapa probabilitas partai demokrat memenangkan pemilu sebanyak 3 kali.
76 Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro tersebut 10 kali, Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat waktu? Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat waktu?
77 Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada 15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa: Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304 Jumlah sembuh akan ada lebih dari 6 dan tidak lebih dari 10. 0,79
78 Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalam daerah tertentu. Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ X ~ P( ) jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas : f x e x ( x; ) ; x! Distribusi poisson mempunyai mean 2 0 dan varians
79 Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan?
80 VARIABEL RANDOM KONTINU GANGGA ANURAGA
81 Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real. Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati. Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas di bawah kurva antara a dan b. Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain : Distribusi Uniform Distribusi Normal Distribusi Eksponensial Distribusi Chi-Square Distribusi Gamma
82
83 Fungsi Probabilitas : 1 ; a x b f x b a 0 ; x yang lain DISTRIBUSI UNIFORM Mean dari distribusi uniform adalah dan varians 2 b a 2 12 a b 2
84 Contoh : Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka p(2< x < 4) =.
85 Jika x variabel random dengan distribusi uniform (0,10). Tentukan nilai P(x < 3) = P(x > 6) = P( 3 < x < 8) =
86 DISTRIBUSI NORMAL Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians, jika X mempunyai fungsi probabilitas : f ( x;, 2 ) 1 2 e 1 x 2 2 ; ; 0 Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal (Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.
87 Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi (σ)=1. Z x Nilai Z adalah angka yang penyimpangan suatu nilai variabel x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.
88 KURVA DISTRIBUSI NORMAL
89 KURVA NORMAL STANDAR
90 Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah Pengantar Probabilitas berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka carilah : a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60. b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60. c. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai antara 65 sampai dengan 76.
91
92
93 x DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi Distribusi ekponensial dengan parameter, dengan fungsi probabilitas f x x e jika x 0 0 jika x 0 a x P x a e dx 0 e x a 0 a 1 e a 0
94 Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan parameter λ = 1/10. Tentukan P(x > 10) = P( 10 < x < 20) = Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket A berdistribusi eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 8,4 menit dalam 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 8 menit atau lebih? Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket A berdistribusi eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 5,8 menit dalam 50 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 15 menit atau kurang?
95 Distribusi Bersama / Joint Probability dan Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit Gangga Anuraga
96 DEFINISI Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi (X, Y). Fungsi (X, Y) disebut dengan Distribusi Bersama / Distribusi Peluang Gabungan / Joint Distribution Function X dan Y.
97 DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRIT Variabel random X dan Y dikatakan variabel random diskrit berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang berhingga.
98
99 Contoh : Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4 bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah jumlah bola merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang terpililh. Fungsi peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) = P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang, P(X=I, Y=j)?
100
101 Contoh 1
102 Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit Bila distribusi peluang f(x, Y) dari variabel random diskrit maka distribusi peluang marginal X adalah g (X) dan Y adalah h (Y).
103 Berdasarkan contoh 1
104 DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang berupa interval.
105 Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu : x y 1. f, 0, untuk semua x, y 2. f x, y dx dy 1 3. P x, y A f x, y dx dy A untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. Contoh 5.2 : Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah : 1 f x, y x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2?
106 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU,, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x f x y dy y h y f x y dx x Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?
107 DISTRIBUSI BERSYARAT GANGGA ANURAGA
108 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT DEFINISI : f1 x1 f x, x f x x, f x 0 disebut f.d.p bersyarat f x, x dari x bila diketahui X x, sejalan f x x, f x f2 x2 disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X x
109 Contoh : Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random x dan x dengan f.d.p sebagai berikut : 1 2 x1 x2 f x1, x2, x1 1,2,3 ; x2 1,2 21 0, untuk x, x yang lain 1 2 cari terlebih dahulu f.d.p marginal untuk kemudian tentukan f x x dan f x x x dan x 1 2
110 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU Contoh : Misalkan x dan x mempunyai f.d.p : 1 2 f x, x 2,0 x x , untuk yang lain cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya kemudian tentukan f x x dan f x x
STATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Probabilitas Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Probabilitas (Peluang) Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN VI
STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Lebih terperinciProbabilitas & Teorema Bayes
1 Probabilitas & Teorema Bayes Nurwahyu Alamsyah, S.Kom wahyualamsyah.wordpress.com wahyu@plat-m.com Statistika D3 Manajemen Informatika Universitas Trunojoyo Madura 2 Terminologi Teori Probabilitas didasarkan
Lebih terperinci28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS (PELUANG)
DISTRIBUSI PROBABILITAS (PELUANG) Distribusi Probabilitas (Peluang) Distribusi? Probabilitas? Distribusi Probabilitas? JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Distribusi = sebaran,
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciHidup penuh dengan ketidakpastian
BAB 2 Probabilitas Hidup penuh dengan ketidakpastian Tidak mungkin bagi kita untuk dapat mengatakan dengan pasti apa yang akan terjadi dalam 1 menit ke depan tapi Probabilitas akan memprediksikan masa
Lebih terperinciSTK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak
STK 511 Analisis statistika Materi 3 Sebaran Peubah Acak 1 Konsep Peluang 2 Peluang Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman
Lebih terperinciPENS. Probability and Random Process. Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak. Prima Kristalina April 2015
Program Pasca Sarjana Terapan Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Probability and Random Process Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak Prima Kristalina April 215 1 Outline 1. Beberapa macam
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciContoh: Aturan Penjumlahan. Independen. P(A dan B) = P(A) x P(B)
Aturan Penjumlahan Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B) Not Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B) P(A dan B) Contoh:
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi
MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciCNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya
CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan
Lebih terperinciMATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN. A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan peluang.
MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Pendahuluan Ruang Sampel Kejadian Dua Kejadian Yang Saling Lepas Operasi Kejadian BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar Notasi Faktorial
Lebih terperinciStatistika Farmasi
Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu
Lebih terperinciBI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciBAB 3 Teori Probabilitas
BAB 3 Teori Probabilitas A. HIMPUNAN a. Penulisan Hipunan Cara Pendaftaran Cara Pencirian 1) A = {a,i,u,e,o} 1) A = {X: x huruf vokal } 2) B = {1,2,3,4,5} menghasilkan data diskrit 2) B = {X: 1 x 2} menghasilkan
Lebih terperinciNilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) = Σ x. f (x) Var (x) = σ x 2 = E [ x E (x) ] 2 = E (x 2 ) { E (x) } 2
Pertemuan ke- 4 BAB III POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS 3.1 Variabel Random atau Variabel Acak Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan
Lebih terperinciBy : Refqi Kemal Habib
BAB I PENDAHULUAN A. Dasar Teori Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah
Lebih terperinciBagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas
Probabilitas Bagian Probabilitas A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < A) < 1 A) = 0 artinya A pasti terjadi A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode
Lebih terperinciPeubah Acak. 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1
Peubah Acak 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1 Definisi Peubah Acak Peubah acak adalah peubah yang mengkarakterisasikan setiap elemen dalam ruang sampel dengan suatu bilangan real.
Lebih terperinciRENCANA MUTU PEMBELAJARAN. I. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah probabilitas baik secara teoritik maupun aplikasinya dalam kehidupan.
RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 306203 Nama Mata Kuliah : Probabilitas Jumlah sks : 3 sks Semester : III Alokasi Waktu
Lebih terperinciModel dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri
Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri Nomor random >> angka muncul secara acak (random/tidak terurut) dengan probabilitas untuk muncul yang sama. Probabilitas/Peluang merupakan ukuran kecenderungan
Lebih terperinciPROBABILITAS (PELUANG) PENGERTIAN PROBABILITAS
PROBABILITAS (PELUANG) PENGERTIAN PROBABILITAS Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu
Lebih terperinciBab 2 DISTRIBUSI PELUANG
Bab 2 DISTRIBUSI PELUANG PENDAHULUAN Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masingmasing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di sebut
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dapat dianggap mendekati normal dengan mean μ = μ dan variansi
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang melambangkan kemajuan zaman. Oleh karena itu matematika banyak digunakan oleh cabang ilmu lain
Lebih terperinciSTATISTIKA MATEMATIKA
STATISTIKA MATEMATIKA Muhammad Subianto STATISTIKA MATEMATIKA Muhammad Subianto The work in this book/modul was partially supported by Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala. Printed by... ISBN-10:
Lebih terperinciDasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016
Lebih terperinciSTATISTIKA LINGKUNGAN
STATISTIKA LINGKUNGAN TEORI PROBABILITAS Probabilitas -pendahuluan Statistika deskriptif : menggambarkan data Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan akurat ttg populasi dengan mengobservasi
Lebih terperinciBAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS
BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS.1. VARIABEL RANDOM Definisi 1: Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R Contoh (Variabel random)
Lebih terperinciDISTRIBUSI KONTINU. Uniform Normal Gamma & Eksponensial. MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar
DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar Distribusi Uniform 2 Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p: f(x)
Lebih terperinciSATUAN ACUAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : STATISTIK & PROBABILITAS KODE : TIK1010 / SKS : 3 SKS
SATUAN ACUAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : KODE : TIK1010 / SKS : 3 SKS SEMESTER : III / GANJIL WAKTU : 150 Menit JUMLAH PERTEMUAN : 16 x pertemuan (14 x materi kuliah, 2 x Ujian (UTS dan UAS)) 1 ANALISIS
Lebih terperinciMODUL II DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU A. TUJUAN PRAKTIKUM Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat: 1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. 2. Menguji dan
Lebih terperinciHANDOUT PERKULIAHAN. Pertemuan Ke : 3 : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak
HANDOUT PERKULIAHAN Pertemuan Ke : 3 Pokok Bahasan : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Peubah Acak Definisi 1 : Peubah Acak Misalkan E adalah suatu
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciDISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON MULTINOMIAL HIPERGEOMETRIK GEOMETRIK BINOMIAL NEGATIF MA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)
Lebih terperinciALJABAR SET & AKSIOMA PROBABILITAS
ALJABAR SET & AKSIOMA PROBABILITAS Pokok Bahasan Sample Space Event Aljabar Set Prinsip dan Aksioma Probabilitas Equally Likely Event Conditional Probability Independent Event Sample Space dan Event Eksperimen
Lebih terperinciDistribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah
Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi
Lebih terperinciMA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 1
DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar September 20 By NN 2008 DISTRIBUSI UNIFORM Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p:
Lebih terperinciBAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT A. Peluang Peluang atau yang sering disebut sebagai probabilitas dapat dipandang sebagai cara untuk mengungkapkan ukuran ketidakpastian/ ketidakyakinan/ kemungkinan suatu
Lebih terperinciDISTRIBUSI KONTINU. Utriweni Mukhaiyar
DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA 2081 Statistika ti tik Dasar Utriweni Mukhaiyar Maret 2012 By NN 2008 Distribusi Uniform Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciSTK511 Analisis Statistika. Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak
STK511 Analisis Statistika Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak Beberapa Konsep Dasar Percobaan statistika: kegiatan yang hasil akhir keluarannya tidak diketahui di awal, tetapi kemungkinan-kemungkinannya
Lebih terperinci25/09/2013. Konsep Peubah Acak. Metode Statistika (STK211) Peubah Acak Diskret. Kuis. Tipe Peubah Acak
Konsep Peubah Acak Metode Statistika (STK11) Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution) Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)
Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution) Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR PELUANG
II. KONSEP DASAR PELUANG Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang lebih
Lebih terperinciMetode Statistika STK211/ 3(2-3)
Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan V Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Septian Rahardiantoro - STK IPB 1 Pertemuan minggu lalu kita sudah belajar mengenai cara untuk membuat daftar kemungkinan-kemungkinan
Lebih terperinciSTATISTIK INDUSTRI 1. Agustina Eunike, ST., MT., MBA
STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Probabilitas PELUANG Eksperimen Aktivitas / pengukuran / observasi suatu fenomena yang bervariasi outputnya Ruang Sampel / Sample Space Semua output
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciSTATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling
STATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling Rengganis Banitya Rachmat rengganis.rachmat@gmail.com 4. Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial
Lebih terperinciDistribusi Peluang Kontinu. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Distribusi Peluang Kontinu Bahan Kuliah II9 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Fungsi Padat Peluang Untuk peubah acak kontinu, fungsi peluangnya
Lebih terperinciMINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT Misalkan X 1, X 2, X 3... barisan variabel random. Kita tulis S n = n X i. Dalam subbab ini kita akan menjawab pertanyaan
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu
Lebih terperinciDISTRIBUSI TEORITIS. Variabel Acak Distribusi Teoritis Binomial Normal
DISTRIBUSI TEORITIS DISTRIBUSI TEORITIS Variabel Acak Distribusi Teoritis Binomial Normal Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasil dari percobaan acak yang secara untung-untungan, dapat
Lebih terperinciDistribusi Peluang Teoritis. Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.
Distribusi Peluang Teoritis. Pendahuluan Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan. Peubah Acak Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat
Lebih terperinciBab 9. Peluang Diskrit
Bab 9. Peluang Diskrit Topik Definisi Peluang Diskrit Sifat Peluang Diskrit Probabilitas terbatas Konsep Teori Himpunan pada Peluang Diskrit Probabilitas Kejadian Majemuk A B dan A B DuaKejadianSalingLepas
Lebih terperinci25/09/2013. Semua kemungkinan nilai yang muncul S={123456} S={1,2,3,4,5,6} Semua kemungkinan nilai yang muncul S={G, A}
Pendahuluan Metode Statistika (STK211) Konsep Peluang (Probability Concept) Suatu fenomena dikatakan acak jika hasil dari suatu percobaan bersifat tidak pasti Fenomena acak sering mengikuti suatu pola
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciDISTRIBUSI TEORITIS. P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses) 30
DISTRIBUSI TEORITIS Distribusi teoritis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT.
KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT. EKSPERIMEN suatu percobaan yang dapat diulang-ulang dengan kondisi yang sama CONTOH : Eksperimen : melempar dadu 1 kali Hasilnya
Lebih terperinciEkspektasi Satu Peubah Acak Kontinu
Chandra Novtiar 0857948015 chandramathitb07@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG Garis Besar Pembahasan Sub Pokok Pembahasan
Lebih terperincimatematika DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI BINOMIAL K e l a s A. Penarikan Sampel dari Suatu Populasi Kurikulum 2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 20 matematika K e l a s XI DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI BINOMIAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami perbedaan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI PELUANG
PROBABILITAS dan STATISTIKA DASAR-DASAR TEORI PELUANG MK. STATISTIKA Konsep Dasar Probabilitas Teori Probabilitas didasarkan pada konsep dari suatu eksperimen random Random fenomena/eksperimen dimana keluaran
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciMisalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari eksperimen.
Peluang Peluang dan Kejadian Peluang Bersyarat Peubah Acak dan Nilai Harapan Kovarian dan Korelasi 1.1 PELUANG DAN KEJADIAN Misalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciSTK 211 Metode statistika. Materi 3 Konsep Dasar Peluang
STK 211 Metode statistika Materi 3 Konsep Dasar Peluang 1 Pendahuluan Banyak kejadian-kejadian di dunia ini yang tidak pasti Misal: Akankah hujan sore hari ini? Akankah PSSI menang? dll Nilai Kejadian
Lebih terperinciFPM PADA KELUARGA EKSPONENSIAL BENTUK KONONIK
FPM PADA KELUARGA EKSPONENSIAL BENTUK KONONIK Oleh : Entit Puspita Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia ABSTRACT We can
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG2D3 PROBABILITAS DAN STATISTIKA Disusun oleh: INDWIARTI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY 1 LEMBAR PENGESAHAN Rencana Pembelajaran Semester (RPS) ini telah disahkan
Lebih terperinciSTATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI
STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1 Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:
Lebih terperinciSekoin uang logam mempunyai dua permukaan H dan T dilemparkan berkali kali. Hasil yg diperoleh pada setiap pelemparan apakah H atau T di catat Hasil
Pertemuan 13 &14 Sekoin uang logam mempunyai dua permukaan H dan T dilemparkan berkali kali. Hasil yg diperoleh pada setiap pelemparan apakah H atau T di catat Hasil dari keseluruhan event yang didapat
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak
Lebih terperinciDISTRIBUSI PELUANG TEORITIS
Distribusi Teoritis 1/ 15 DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 1. Pendahuluan Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.. PEUBAH ACAK Fungsi yang mendefinisikan
Lebih terperinciDistribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 17/12/2014
STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Rata-rata dan Variansi Rumus Umum: Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform Contoh: Suatu
Lebih terperinciKonsep Peluang. Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015
Konsep Peluang Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015 1 THE ROLE OF PROBABILITY IN STATISTICS Probability and statistics are related in an important way. Probability is used as a tool; it allows
Lebih terperinciStatistika (MMS-1403)
Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Minggu ke- Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Pendahuluan 1 Perkuliahan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel
Lebih terperinciProbabilitas dan Statistika Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit. Adam Hendra Brata
dan Statistika dan Fungsi Peluang Adam Hendra Brata acak adalah sebuah fungsi yang memetakan hasil kejadian yang ada di alam (seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau;
Lebih terperinciDISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS
DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK
Lebih terperinciDengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi
Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S.
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut
Lebih terperinciTHEORY. By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP
THEORY By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK Variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja Variabel acak merupakan deskripsi numerik dari outcome beberapa percobaan / eksperimen VARIABEL
Lebih terperinciLearning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso.
Beberapa 27 April 2014 Beberapa Learning Outcome Outline Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat memahami dan menghitung
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2. Distribusi Hipergeometrik
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2 TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-10 Distribusi Hipergeometrik Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. sebuah sampel random berukuran
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut
Lebih terperinciPertemuan ke Nilai Harapan (Mean atau Rata rata) dan Varians Distribusi Kontinu
Pertemuan ke 5 4.1 Nilai Harapan (Mean atau Rata rata) dan Varians Distribusi Kontinu Fungsi Probabilitas dengan variabel kontinu terdiri dari : 1. Distribusi Normal 2. Distribusi T 3. Distribusi Chi Kuadrat
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinci