PEMODELAN PERTUKARAN NILAI MATA UANG MAKSIMUM RINGGIT TERHADAP YEN TUGAS AKHIR

Transkripsi

1 PEMODELAN PERTUKARAN NILAI MATA UANG MAKSIMUM RINGGIT TERHADAP YEN TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Sarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh AGUNG PRIMADI FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 203

2 PEMODELAN PERTUKARAN NILAI MATA UANG MAKSIMUM RINGGIT TERHADAP YEN AGUNG PRIMADI NIM : Tanggal Sidang : 23 Mei 203 Periode Wisuda : November 203 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Sarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No.55 Pekanbaru ABSTRAK Tugas Akhir ini membahas tentang dua distribusi aitu Gamma dua parameter dan Weibull, dalam menentukan model distribusi ang sesuai untuk data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen. Estimasi parameter ang digunakan adalah metode pembangkit momen, metode grafik dan menggunakan uji kebaikan ( Goodness of Fit) AIC ( Akaike s Information Criterion). Hasil ang diperoleh menunjukkan bahwa, model distribusi Gamma lebih sesuai digunakan untuk data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen, karena nilai AIC na lebih kecil dibandingkan dengan nilai AIC ang diperoleh dengan menggunakan distribusi Weibull. Kata Kunci : Data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen, Distribusi Gamma, Distribusi Weibull, Goodness of Fit, Metode Pembangkit Momen. vii

3 EXCHANGE MODELING OF MAXIMUM VALUE RINGGIT TO YEN AGUNG PRIMADI NIM : Date of Final Exam : Ma 23, 203 Graduation Cremon Period : November, 203 Mathematics Departement Facult of Sciences and Technolog State Islamic Universit of Sultan Sarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No.55 Pekanbaru ABSTRACT This thesis discusses about two distributions that is the two parameter Gamma and Weibull, in determining model appropriate distribution for the exchange maximum data of Ringgit. Estimate parameter used that is moment generating method, graph method and b using the goodness of fit that is Akaike s Information Criterion test. Result obtained indicate that Gamma distribution model is more appropriate for the exchange maximum data of Ringgit, because obtained the AIC value smaller than Weibull distribution of AIC value. Ke Word : Exchange maximum data of Ringgit to Yen, Gamma Distribution, Weibull Distribution, Goodness of Fit, Moment Generating Method. viii

4 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum wr.wb. Alhamdulillahirabil alamin segala puji sukur ke hadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidaah-na sehingga penulis dapat menelesaikan tugas akhir ini dengan judul Pemodelan Pertukaran Nilai Mata Uang Maksimum ringgit terhadap Yen. Penulisan tugas akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu sarat dalam rangka menelesaikan studi Starata (S) di UIN Suska Riau. Sholawat serta salam senantiasa kita hadiahkan buat junjungan alam Nabi Besar Muhammad SAW, semoga dengan senantiasa bersholawat kita mendapatkan safa atna. Rasa hormat dan terima kasih ang sebesar-besana penulis ucapkan pada keluarga tercinta, aah dan ibu ang telah memberikan kasih saang ang tak ternilai hargana kepada penulis serta limpahan doa dan dukungan baik secara materi ataupun semangat untuk kelancaran penulis dalam melakukan perkuliahan. Pada kesempatan ini pula, penulis mengucapkan terima kasih kepada:. Bapak Prof. Dr. H. M. Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Sarif Kasim Riau. 2. Ibu Dra. Hj. Yenita Morena, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Sarif Kasim Riau. 3. Ibu Sri Basriati, M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi. 4. Bapak Rado Yendra, M.Sc selaku Pembimbing ang telah banak membantu, mengarahkan, mendukung, dan membimbing penulis dengan penuh kesabaranna hingga penulis dapat menelesaikan tugas akhir ini. 5. Ibu Ari Pani Desvina, M.Sc selaku Penguji I ang telah banak membantu, memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini. 6. Ibu Rahmadeni, M.Si selaku Peguji II ang telah banak membantu, memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini. ix

5 7. Semua dosen-dosen Jurusan Matematika ang telah memberikan dukungan serta saran dalam menelesaikan tugas akhir ini. Laporan tugas akhir ini telah disusun semaksimal mungkin oleh penulis. Meskipun demikian, tidak tertutup kemungkinan adana kesalahan dan kekurangan dalam penulisan maupun dalam penajian materi. Oleh karena itu, kritik dan saran dari berbagai pihak masih sangat diharapkan oleh penulis demi kesempurnaan laporan ini. Pekanbaru, Mei 203 Agung Primadi x

6 DAFTAR ISI Halaman LEMBAR PERSETUJUAN... ii LEMBAR PENGESAHAAN... iii LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... iv LEMBAR PERNYATAAN... v LEMBAR PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR LAMBANG... xv BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah... I-.2 Rumusan Masalah... I-.3 Batasan Masalah... I-2.4 Tujuan Penilitian... I-2.5 Manfaat Penelitian... I-2.6 Sistematika Penulisan... I-2 BAB II LANDASAN TEORI 2. Distribusi Peluang... II Distribusi Peluang Diskrit... II Distribusi Peluang Kontinu... II- 2.2 Rataan Distribusi Peluang... II Variansi Distribusi Peluang... II Distribusi Gamma... II Distribusi Weibull... II Estimasi Parameter... II- xi

7 2.6. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen... II Regresi Linier Sederhana... II Metode Grafik... II-4 BAB III METODOLOGI 3. Jenis dan Sumber Data... III- 3.2 Metode Analisis Data... III- BAB IV PEMBAHASAN 4. Estimasi Parameter Distribusi Gamma... IV- 4.2 Estimasi Parameter Distribusi Weibull... IV- 4.3 Menentukan Nilai Parameter... IV Distribusi Gamma... IV Distribusi Weibull... IV Uji Kebaikan (Goodness of Fit)... IV Distribusi Gamma... IV Distribusi Weibull... IV-6 BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan... V- 5.2 Saran... V- DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii

8 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Pertukaran nilai mata uang merupakan suatu hal ang sangat penting dalam mempengaruhi pertumbuhan ekonomi suatu negara. Pertukaran nilai mata uang suatu negara terhadap negara lain dapat digunakan untuk memperkirakan baik atau burukna hubungan ekonomi ( export) dimasa ang akan datang, untuk itu sangat diperlukan suatu penelitian ang akurat untuk mendapatkan model pertukaran nilai mata uang ang tepat. Pemodelan pertukaran nilai mata uang dengan menggunakan data pertukaran nilai mata uang maksimum merupakan suatu bagian terpenting ang akan dilakukan dalam penelitian ini. Untuk itu diperlukan suatu nilai titik ambang batas dalam menentukan nilai pertukaran mata uang maksimum tersebut. Nilai-nilai mata uang ang berada diatas titik ambang tersebut akan terdiri dari beberapa kumpulan data ang dipisah oleh sekumpulan data-data ang berada dibawah titik ambang batas. Nilai mata uang maksimum ang di maksudkan adalah nilai mata uang ang terbesar berada didalam kumpulan nilai-nilai mata uang diatas ambang batas. Banak manfaat ang dapat diperoleh dari perkiraan nilai mata uang maksimum tersebut diantarana adalah dapat memperkirakan jumlah export ang harus dilakukan terhadap suatu Negara sehingga dapat memberikan keuntungan semaksimal mungkin. Berdasarkan latar belakang, maka penulis tertarik mengajukan judul Pemodelan Pertukaran Nilai Mata Uang Maksimum Ringgit Terhadap Yen..2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang, maka dapat diberikan suatu rumusan masalah aitu bagaimana menentukan model ang terbaik terhadap pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen. I-

9 .3 Batasan Masalah Terdapat berbagai model ang dapat digunakan untuk penelitian ini, oleh sebab itu penulis ingin memberikan batasan masalah dalam pemodelan tersebut dengan menerapkan Distribusi Gamma dan Weibull untuk penelitian ini..4 Tujuan Penelitian Tujuan ang ingin dicapai adalah untuk mengetahui model pertukaran model mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen. ang terbaik diantara distribusi Gamma dan Weibull..5 Manfaat Penelitian Menerapkan model berstatistik terutama aplikasi distribusi Weibull dan Gamma terhadap data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen..6 Sistematika Penulisan Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari beberapa bab, ang memberikan gambaran secara meneluruh, aitu: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisikan tentang deskripsi umum isi tugas akhir ang meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab ini berisikan mengenai penjelasan dasar dari teori-teori ang nantina akan mendukung dalam penelesaian tugas akhir ini. BAB III METODOLOGI PENELITIAN Data ang dikumpulkan dalam penelitian ini adalah data sekunder ang diperoleh dari tahun 2003 sampai dengan tahun 2009, data ang dikumpulkan kemudian diatur, disusun dan disajikan dalam I-2

10 tabel, sehingga diolah menggunakan distribusi Gamma dan Distribusi Weibull. BAB IV PEMBAHASAN Bab ini berisikan pemaparan langkah-langkah untuk menentukan nilai dari pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen. BAB V PENUTUP Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai kesimpulan dan saran. I-3

11 BAB II LANDASAN TEORI 2. Distribusi Peluang Dalam statistik dikenal dua macam distribusi peluang aitu distribusi peluang dengan variabel acak diskrit dan distribusi peluang dengan variabel acak kontinu. Pada dasarna distribusi peluang ang menggunakan variabel acak diskrit adalah distribusi ang objekna dapat dihitung dengan jelas, sedangkan untuk distribusi peluang ang menggunakan vairabel acak kontinu objekna tidak jelas atau tak hingga. 2.. Distribusi Peluang Diskrit Peubah acak ang nilaina berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan tidak terhingga disebut peubah acak diskrit. Distribusi peluang ang berhubungan dengan peubah acak diskrit disebut distribusi peluang diskrit. Definisi 2. (Walpole & Mers, 989) Himpunan pasangan teruru t, merupakan suatu fungsi kepadatan peluang, distribusi peluang dengan peubah acak diskrit bila untuk setiap kemungkinan hasil : (2.) Distribusi Peluang Kontinu Fungsi adalah fungsi kepadatan peluang dengan peubah acak kontinu, ang didefenisikan pada himpunan semua bilangan rill R, bila ang di integralkan ang memenuhi kondisi: II-

12 2.2 Rata-Rata Distribusi Peluang Dalam statistik, rata-rata atau rataan (mean) memiliki dua arti: a. Rata-rata dalam pengertian sehari-hari, lebih tepatna disebut rataan aritmetik, untuk membedakan dengan rataan geometrik atau rataan harmonik. Rata rata juga disebut dengan rataan sampel. b. Nilai ekspektasi dari sebuah peubah acak, ang juga disebut dengan rataan populasi. Nilai rata-rata dari suatu peubah acak merupakan salah satu ukuran pemusatan data populasi ang terpenting. Nilai rata-rata distribusi peluang dan ditulis sebagai atau. Rataan ini disebut juga oleh para statistikawan dengan nilai harapan matematik atau nilai harapan peubah acak dan dinatakan dengan (Walpole & Mers, 989). Definisi 2.2 (Dennis dkk, 2002) Diberikan adalah variabel acak dengan fungsi kepadatan peluang. Nilai harapan atau rataan adalah :, bila X diskrit (2.2), bila X kontinu (2.3) Metode ang diuraikan di atas menunjukkan bahwa rataan atau nilai harapan setiap peubah acak diskrit dapat dihitung dengan mengalikan tiap nilai ang diuraikan,,, dari peubah acak dengan peluang padanan na,,, dan kemudian dijumlahkan hasilna. Bila peubah acak kontinu, definisi nilai harapan matematik pada dasarna masih tetap sama, aitu dengan mengganti penjumlahan dengan integral (Walpole & Mers, 989). 2.3 Variansi Distribusi Peluang Rataan atau nilai harapan suatu peubah acak memiliki peran khusus dalam statistika karena menggambarkan keterangan cukup mengenai bentuk distribusi II-2

13 peluang. Ukuran keragaman terpenting suatu peubah acak diperoleh dengan mengambil ( ), karena pentingna dalam statistika maka diberi nama variansi peubah acak atau variansi distribusi peluang dan dinatakan dengan atau atau. Selanjutna akan digunakan untuk menatakan variansi dari distribusi peluang (Dudewicz &Misra, 988). Definisi 2.3 (Dudewicz&Misra, 988) Diberikan adalah peubah acak dengan distribusi peluang dan rataan. Variansi adalah : [( ) ], bila diskrit (2.4) [( ) ], bila X kontinu (2.5) Teorema 2. (Dudewicz&Misra, 988)Variansi dari peubah acak adalah : [ ] (2.6) Bukti : [( )] [( 2 + )] karena μ maka diperoleh: 2 + [ ] 2 + [ ] [ ] Definisi 2.4 (Walpole & Mers, 989) Fungsi distribusi kumulatif variabel dinotasikan sebagai dan didefinisikan sebagai untuk seluruh ang riil. Jika adalah kontinu, maka : (2.7) II-3

14 Definisi 2.5 (Walpole & Mers, 989) Himpunan pasangan terurut, merupakan suatu fungsi kepadatan peluang, fungsi massa peluang atau distribusi peluang peubah acak diskrit bila untuk setiap kemungkinan hasil : (2.8) 6. Definisi 2.6 (Walpole & Mers, 989) Fungsi adalah fungsi kepadatan peluang peubah acak kontinu, ang didefinisikan pada himpunan semua bilangan real, bila :. 0, untuk semua 2. (2.9) 3. < < 2.4 Distribusi Gamma Definisi 2.7 (Walpole & Mers, 989)) Variabel acak Y dikatakan memiliki distribusi gamma dengan parameter 0 dan 0 jika dan hana jika fungsi densitas dari Y adalah : f dimana : e 0,, 0 untuk ang laina 0 e Kuantitas d dikenal dengan fungsi gamma. Integral secara langsung akan menghasilkan bahwa. Dan secara terus-menerus integral akan menghasilkan bahwa untuk, dan juga n n! ang dihasilkan jika n adalah bilangan bulat. Hal di atas dapat ditunjukkan seperti berikut : II-4

15 0 e e 2 e d 0 d 0 0 Selanjutna akan dibuktikan bahwa fungsi densitas peluang distribusi gamma akan ditunjukkan memenuhi sifat distribusi peluang kontinu, seperti berikut : 2 e d f x dx misal x e x 0 e dx 0 0 d x e x dx Dalam kasus tertentu ketika adalah bilangan bulat, distribusi fungsi dari variabel acak ang didistribusikan secara gamma dapat digambarkan sebagai jumlah dari peluang poisson tertentu. Jika tidak bilangan bulat dan 0 c d, tidak memungkinkan untuk memberikan gambaran ang tepat untuk : d c e d Teorema 2.2 Jika Y mempunai distribusi gamma dengan parameter maka : E 2 2 Y dan V Y Bukti: Seperti ang diketahui bahwa : dan, E Y f d 0 e d II-5

16 II-6 Dari sifat ang telah dibuktikan sebelumna diketahui bahwa : 0 d e Sehingga, 0 0 d e d e E Y Selanjutna untuk menentukan variansi distribusi gamma, tentukan terlebih dahulu nilai harapan berikut: d e d e E Y Sehingga variansi distribusi gamma dapat ditentukan sebagai : Y E E Y Y V 2.5 Distribusi Weibull Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan "waktu sampai kegagalan (time to failure)" dari suatu sistem dalam Fisika. Misalna pada sistem ang mana jumlah kegagalan meningkat dengan berjalanna waktu (seperti alat elektronik). Distribusi ini telah diusulkan oleh Weibull pada tahun 939 dan diaplikasi untuk berbagai situasi gagal didiskusikan kembali oleh Weibull pada tahun 95. Distribusi Weibull juga telah banak digunakan pada kajian reabilitas dan penakit penebab kematian sesorang. Distribusi dicirikan dengan dua parameter aitu dan, dimana > 0 dan > 0 (Rinne, 2009).

17 Distribusi Weibull termasuk distribusi acak kontinu ang juga mempunai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut: (2.0) dengan nilai espektasi dan variansi secara berurutan adalah Г dan Г + Г( + ). (2.) sedangkan fungsi distribusi kumulatifna adalah :,, (2.5) Akan ditunjukkan berikut: untuk distribusi Weibull dua parameter sebagai dimisalkan: Maka diperoleh: II-7

18 Selanjutna akan ditunjukkan fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi Weibull pada persamaan (2.2 ) berdasarkan definisi (2.8) persamaan (2.0 ), sebagai berikut: misalkan, sehingga; + Selanjutna akan ditunjukkan rata-rata distribusi Weibull dua parameter. Rata-rata atau dari distribusi Weibull adalah : II-8

19 misalkan: sehingga, II-9

20 Г + Г + Г + Г + Г + Berikut ini akan ditunjukkan variansi distribusi Weibull,aitu sebagai berikut: Terlebih dahulu ditentukan: Misal: II-0

21 Maka diperoleh: Г 2 + Г + Г + Г + Г 2 + sehingga, II-

22 ( ) Г 2 + Г + Г 2 + Г + Г 2 + Г Estimasi Parameter Dalam menentukan model dari sebuah distribusi peluang ang sesuai untuk suatu data, terlebih dahulu kita harus menentukan nilai parameter dari distribusi tersebut(krishnamoorth, 2006) Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.8 Jika X variabel acak dengan FKP, fungsi pembangkit momen dari X dengan notasi (t) adalah :, jika diskrit, jika kontinu Definisi 2.9 Asumsikan bahwa adalah sebuah nilai diskrit terbatas ang merupakan variabel acak dengan nilai,,.,, maka fungsi pembangkit momen na adalah (2.2) Jika persamaan (2.2) diturunkan terhadap t, maka : (2.3) Dan untuk r bernilai bilangan bulat positif, (2.4) Persamaan (2.4) dapat digunakan untuk menaksir pada 0, maka (2.5) II-2

23 Sehingga dapat diketahui, untuk mencari rata-rata atau E(X) dari fungsi pembangkit momen adalah turunan pertama dari fungsi pembangkit momen saat 0, ditulis (0) (2.6) Teorema 2.3 Jika fungsi pembangkit momen (moment generating functions) atau biasa disingkat dengan (MGF) dari diketahui, maka (0) untuk r,2,3.. dan Bukti : Dimisalkan: +!! 0 maka diperoleh, (! 0! (! Teorema 2.4 Jika +, maka Bukti : II-3

24 Maka terbukti bahwa +, maka Dalam menentukan rata-rata dan variasi suatu FKP dari fungsi pembangkit momen (MGF) adalah : (konstan) variasi (x) ( ) 0 0 [ 0 ] Regresi Linier Sederhana Dalam Pengolahan data penelitian akan selalu ditentukan hubungan antara dua peubah atau lebih. Model Regresi linier ang paling sederhana adalah garis lurus. Dalam hal ini terdapat peubah bebas, namakan dan satu peubah tak bebas ang bergantung pada, namakan. Pemberian nama pada peubah acak ang bebas dan tak bebas tersebut adalah nama ang paling sering digunakan dalam Regresi. Regresi merupakan suatu alat ukur ang di gunakan untuk mengukur ada atau tidakna korelasi antar variabel. Analisis regresi lebih akurat dalam melakukan analisis korelasi. Jadi, dengan analisis regresi peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula. Regresi linear adalah regresi ang variabel bebasna ( variabel x) berpangkat paling tinggi satu. Untuk regresi linear sederhana, aitu regresi linear ang hana melibatkan dua variabel (variabel x dan ), persamaan garis regresina dapat ditulis : + + Keterangan : variabel tak bebas x variable bebas α intersep β koefisien regresi ε error II-4

25 2.6.3 Metode Grafik Metode ini adalah ang sangat sederhana dan merupakan ang paling sering digunakan oleh ahli statistik untuk mendapatkan nilai awal dalam mengestimasi parameter ang tepat dari suatu distribusi tertentu. Metode ini sangat membantu untuk mendapatkan nilai awal suatu parameter, jika nilai tersebut akan ditentukan secara numerik. Adapun tahapan ang dilakukan untuk menggunakan metode grafik ini adalah sebagai berikut :. Dapatkan fungsi densitas peluang. 2. Sampel dari distribusi komulatif diestimasikan dengan 0.5,,2,.. Untuk sampel data ang telah diurutkan dari ang kecil ke ang besar, 3. Gambarkan grafik dari data ang berlawanan dengan fungsi distribusi kumulatif untuk sampel data ang sudah di estimasi. 4. Grafik ang telah tergambar seperti garis lurus dapat digunakan untuk mendapatkan nilai parameter awal dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. II-5

26 BAB III METODOLOGI PENELITIAN Penulisan skripsi ini menggunakan metode research librar (penelitian kepustakaan) ang berguna untuk mengumpulkan data dan informasi ang dibutuhkan dalam penelitian ang berasal dari buku-buku bacaan ang ada hubunganna dengan penulisan ang akan diuraikan untuk menjadi dasar penelitian. 3. Jenis dan Sumber Data a. Jenis Data Data ang digunakan dalam penelitian ini adalah data perubahan nilai mata uang Ringgit terhadap Yen dari tahun dan dapat lihat pada Lampiran A. b. Sumber Data Data ang digunakan dalam penelitian ini tidak diambil secara langsung dari lapangan. 3.2 Metode Analisis Data Berikut ini langkah-langkah ang penulis terapkan dalam penusunan skripsi ini, aitu :. Diberikan data pertukaran nilai mata uang ringgit terhadap Yen dari tahun 2003 hingga Dapatkan titik ambang batas. 3. Dapatkan Kumpulan data ang berada diatas titik ambang batas 4. Dapatkan nilai maksimum untuk setiap kumpulan data ang berada diatas titik ambang batas. 5. Gunakan nilai maksimum tersebut untuk membuat pemodelan dengan menggunakan distribusi Gamma dan Weibull. 6. Dapatkan parameter-parameter distribusi gamma dan distribusi Weibull. III-

27 Langkah-langkah di atas juga dapat dilihat pada flowchart berikut ini : Data nilai pertukaran uang Ringgit terhadap Yen (2003 s/d 2009) Tentukan titik ambang batas Data diatas titik ambang Ambil nilai Maximum Buat Pemodelan dengan menggunakan Gamma dan Weibull Estimasi parameter distribusi Gamma dan Weibull Dapatkan nilai AIC masing-masing Dapatkan nilai AIC terkecil untuk menentukan metode terbaik Gambar 3. Flowchart Metodologi Penelitian III-2

28 BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Bab ini berisikan tentang estimasi parameter menggunakan metode Gamma dan Weibull, dalam menentukan nilai estimasi parameter, dari model distribusi untuk data nilai maksimum mata uang Ringgit dan Yen ang diperoleh dari tahun 2003sampai dengan tahun Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dalam menentukan estimasi parameter dari distribusi Gamma dengan metode momen, maka terlebih dahulu perlu diketahui hubungan parameter terhadap data statistik (rata-rata dan variasi). Hubungan ini dapat dinatakan sebagai berikut :, Dari hubungan ang dinatakan dengan dua persamaan diatas, Selanjutna akan menghasilkan parameter-parameter distribusi Gamma seperti dibawah ini : 4.2 Estimasi Parameter Distribusi Weibull Metode Grafik adalah salah satu metode ang sangat sederhana ang sering digunakan untuk menentukan parameter dari sebuah distribusi. Dalam penelitian ini metode tersebut akan digunakan untuk menentukan parameter dari distribusi Weibull. Fungsi densitas peluang dari distribusi Weibull adalah : IV-

29 Dalam menggunakan metoda grafik perlu dihasilkan fungsi distribusi kumulatif seperti :,, Selanjutna dengan teknik aljabar sederhana, akan dihasilkan suatu bentuk fungsi linier seperti :,,,, log ( ) + Dengan menggunakan suatu nilai hampiran nilai rata-rata., dan beberapa bentuk permisalan seperti: log,,, Akan diperoleh suatu bentuk persamaan regresi linier sederhana seperti t +. Dengan menerapkan metoda kuadrat terkecil akan diperoleh nilai a dan b seperti berikut : 4.3 Menentukan Nilai Parameter Setelah diperoleh persamaan parameter dari distribusi Gamma dan Weibull, akan ditentukan nilai parameter tersebut dari data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen sebagaimana ang terdapat pada Lampiran A. IV-2

30 4.3. Distribusi Gamma Nilai parameter dari distribusi Gamma diperoleh dengan cara menggunakan metode pembangkit Momen untuk menghampiri nilai parameterna selanjutna jika dimisalkan; (230.79)( ) sehingga diperoleh: Maka model ang diperoleh adalah : Γ(230.79) Distribusi Weibull Nilai parameter dari distribusi Weibull disini diperoleh dengan metode Grafik untuk menghampiri nilai parameterna. Fungsi densitas peluang dari distribusi Weibull adalah : Untuk menggunakan metoda grafik perlu dihasilkan fungsi distribusi kumulatif seperti : Selanjutna dengan teknik aljabar sederhana, rubahlah bentuk fungsi diatas sehingga menjadi suatu bentuk fungsi linier seperti : IV-3

31 ,, log ( ) + Dengan menggunakan hampiran nilai rata-rata., dan mengandaikan bahwa : log,,, Akan diperoleh suatu bentuk persamaan regresi linier sederhana seperti t +. Dengan menerapkan metoda kuadrat terkecil akan diperoleh nilai a dan b seperti berikut : b Dari data di lampiran A, didapat : ( ) Sehingga nilai parameter awalna adalah: log exp IV-4

32 exp exp( ) Sehingga model ang diperoleh.. (( )( )) ( )( ). (. ). Berdasarkan hasil dari nilai parameter awal, model distribusi Weibull dapat dilihat pada gambar dibawah ini : Gambar 4. Grafik Model Distribusi Weibull IV-5

33 4.4 Uji Kebaikan (Goodness of Fit) Uji kebaikan dilakukan untuk memperoleh model distribusi ang sesuai untuk data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen dari tahun 2003 sampai dengan tahun Pada penelitian ini akan digunakan uji kebaikan, aitu uji Akaike s Information Criterion (AIC), dengan terlebih dahulu menentukan log likelihood dari kedua distribusi sebagai berikut: 4.4. Distribusi Gamma Parameter dari fungsi kepadatan peluang Gamma (, ) dapat ditunjukkan sebagai berikut :,,, 0 maka fungsi likelihood : Г Setelah diperoleh fungsi likelihood, selanjutna akan ditentukan maksimum likelihood dari persamaan di atas dengan menjadikan fungsi likelihood tersebut menjadi logaritma likelihood, aitu : log log + log exp log log Г log log log Г log log log log Г Distribusi Weibull Parameter dari fungsi kepadatan peluang Weibull (, ) dapat ditunjukkan sebagai berikut :,, ; > 0 ; > 0 IV-6

34 maka fungsi likelihood : exp (4.5) Setelah diperoleh fungsi likelihood, selanjutna akan ditentukan maksimum likelihood dari persamaan di atas dengan menjadikan fungsi likelihood tersebut menjadi logaritma likelihood, aitu : log log exp log + log + log + log exp log + log + log Setelah fungsi log likelihood diperoleh, maka nilai AIC dapat ditentukan dengan menggunakan rumus aitu: dengan, jumlah parameter. Sehingga nilai AIC dari kedua distribusi dapat dilihat pada Tabel 4. berikut ini. Tabel 4. Nilai AIC dari Kedua Distribusi DISTRIBUSI Nilai (AIC) Akaike s Information Criterion Gamma Weibull IV-7

35 BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan sebelumna dari tugas akhir ini, dapat diambil kesimpulan bahwa model distribusi Gamma lebih sesuai untuk data pertukaran nilai mata uang maksimum Ringgit terhadap Yen dari tahun 2003 sampai dengan tahun 2009 dibandingkan dengan distribusi Weibull. Hal ini ditunjukkan dari hasil metode grafik pada model dari distribusi Weibull ang sebagian data tidak mendekati garis lurus.kemudian dari hasil uji AIC (Akaike s Information Criterion) juga diperoleh nilai distribusi Weibull lebih besar dibandingkan dengan hasil uji AIC pada nilai distribusi Gamma. 5.2 Saran Tugas akhir ini membahas tentang menentukan model distribusi ang sesuai untuk data pertukaran nilai mata uang maximum Ringgit terhadap Yen dari tahun 2003 sampai dengan tahun 2009, dengan menggunakan dua distribusi aitu distribusi Gamma dan Weibull. Bagi pembaca ang berminat melanjutkan tugas akhir ini, penulis sarankan untuk menggunakan distribusi statistik ang lain dengan karakteristik ang mendukung untuk data tersebut dalam menentukan model ang sesuai bagi pertukaran nilai mata uang lainna. V-

36 DAFTAR PUSTAKA Alam, M.M dan Azad,A.K Statistical Analsis of Wind Power Potential in Pakshe River Delta Region Bangladesh. Jurnal Proceeding of the 3th Asian Congress of Fluid Mechanics. Brain, L.J and M. Engelhardt Introduction to Probabilit end Mathematical Statistics. 2 nd ed. California : Duxbur Press. E Walpole, Ronald dan Ramond H Maers Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinur dan Ilmuwan. Bandung : ITB Bandung. Herinaldi, M. Eng Prinsip Prinsip Statistic untuk Teknik dan Sains. Jakarta : Erlangga. J Dudewicz, Edward dan Sata, N. Mishra Modern Mathematical Statistics. John Wile and Sons, Inc. J.Supranto Statistik Teori dan Aplikasi Edisi Kelima. Jakarta : Erlangga. Martono, K Kalkulus. Bandung : Erlangga. Raharjo, Swasono dan Pramono Sidi Kombinasi Poisson Gamma untuk Menaksir Kredibilitas pada Model Morris-Van Slke..Jurnal Matematika, Sains dan Teknologi vol.3 No.2. Wang, Wenu, John dan T. Lee, Elisa Statistical Methods for Survival Data Analsis edisi 3. John Wile and Sons, Inc. Warpole, R.E Pengantar Statistik edisi 3. Jakarta : PT. Gramedia.