BAB II Elektron Dalam Struktur Kuantum

Transkripsi

1 5 BAB II lekto Dalam Stuktu Kuatum Peilaku pembawa muata (elekto/ole) pada devais bestuktu kuatum sepeti quatum well quatum wies seta quatum dot sagat meaik utuk dikaji kaea efek mekaika kuatum sagat bepea dalam meetuka sifat-sifat devais tesebut. Devais bestuktu kuatum dibetuk dai dua mateial ag memiliki pita eegi bebeda seigga tebetuk bad gap discotiuit Δ c /Δ v. Aga mampu meguug pegeaka pembawa muata devais tesebut aus beukua Ǻ Ǻ atau ekivale dega lapis atom (jika diasumsika satu lapis atom memiliki tebal Ǻ) seigga ukua devais lebi kecil dibadigka pajag gelombag elekto. Gamba.: Semikodukto padua AlGaAs da GaAs ag membetuk sumu potesial akibat pebedaa pita eegi. Regime devais dega ukua aa bebeapa lapis atom dikeal dega istila mesoscopic egime. Pada egime tesebut sifat kimia fisika optik maupu sifat elektoik begatug pada ukua da betuk mateial. Kusus utuk mateial semikodukto egime tesebut tekait dega pajag gelombag de Boglie. Dimaa ukua semikodukto peguugaa aus lebi kecil dibadigka pajag gelombag de Boglie. λ (.) p dega p m v adala mometum elekto m adala massa efektif elekto da v adala kecepata elekto. Jika diasumsika v ~ vt 5

2 6 3KT v t (.) m dega v t adala kecepata temal K adala kostata Boltzma da T adala tempeatu dipeole λ 6 m m T m 3 (.3) seigga ukua devais bestuktu kuatum aus lebi kecil dibadigka dega pajag gelombag de Boglie ag dibeika ole pesamaa (.3). Pada bab ii aka dibaas secaa detail megeai elekto dalam stuktu quatum well quatum wies da quatum dot (ukua devais lebi kecil dai pajag gelombag de Boglie elekto) ag melibatka aspek peguuga kuatum betuut-tuut satu-dimesi dua-dimesi da tiga-dimesi.. Quatum Well Quatum well difabikasi dega meumbuka satu lapis mateial A diataa dua bua lapisa mateial B dega saat pita eegi mateial A lebi kecil dibadigka dega pita eegi mateial B [] sepeti teliat pada gamba.a. Bad discotiuit ataa mateial A da mateial B meediaka semacam sumu potesial peguuga utuk elekto/ole. (a) (b) Gamba.: (a) stuktu da (b) eegi potesial quatum well. 6

3 7.. Fugsi Gelombag da Sub egi Utuk memudaka aalisa sumu potesial diaggap ideal beupa fugsi tagga beikut (gamba.b): utuk z V ( z) (.4) Vb utuk z dega V b da betuut-tuut adala kedalama da ketebala sumu potesial. Kaea fugsi potesial aa fugsi dai sumbu-z saja maka pegeaka elekto pada sumbu da besifat bebas da dapat diataka dega sebua fugsi gelombag bidag (plae wave). Dega tekik sepaasi vaiabel fugsi gelombag elekto dapat ditulis mejadi ik+ ik ψ ( z) e χ( z) Pesamaa Scödige utuk fugsi gelombag ( z) dega k ( ) (.5) χ adala k ( ) χ + V z χ (.6) m z m k k da kuatitas ( k ) m adala eegi kietik elekto pada sumbu da. Jika didefiisika kuatitas ag meataka eegi pada aa sumbu-z k (.7) m Maka pesamaa (.6) dapat dieduksi mejadi pesamaa satu dimesi beikut + V ( z) χ χ (.8) m z Utuk kasus boud state dega < Vb solusi pesamaa Scödige di lua sumu adala dega ( ) k ( z / ) kb Ae utuk z χ ( z) ( + / ) k z (.9) b Be utuk z m b V b 7

4 8 Sedagka solusi pesamaa Scödige di dalam sumu adala kombiasi liie dai fugsi gelombag bidag beikut ( z) C si k z + D cos k z χ (.) w w dega k w m da A B C seta D adala kostata sembaag. Pada kasus ii solusi umum didapat dega megkombiasika solusi geap da gajil dega saat A B utuk solusi geap da A B utuk solusi gajil. Utuk solusi geap Utuk solusi gajil ( z / ) mk Ae b utuk z χ ( z) (.) D cos k wz utuk z ( z / ) mk ± Ae b utuk z χ ( z) (.) C si k wz utuk z Taapa beikuta adala matcig fuctio seta tuuaa pada titik z ± utuk solusi geap dipeole D cos k w A Dk si k Ak utuk solusi gajil dipeole C cos k w A Ck w w w w si k Ak b b (.3) (.4) Dai Pesamaa (.3) da (.4) dapat dipeole ugkapa aki tigkat eegi pada quatum well beikut π dega m ( k k ) k + + (.5) m. Peguuga elekto pada aa-z ag diataka ole memuculka sub-sub eegi (subbads eeg) ag mempegaui spektum eegi sistem sepeti teliat pada gamba.3. Kebeadaa sub-sub eegi tesebut meuba bebeapa kaakteistik peilaku elekto dibadigka pada bulk mateial. Sebagai coto pada bulk mateial adaa impuitas 8

5 9 (impuit) meciptaka sedeeta level eegi pada pita elekto semetaa pada quatum well setiap sub eegi membagkitka sedeet level-level impuitas. Gamba.3: Spektum eegi elekto dua-dimesi... Rapat keadaa eegi quatum well Pada pejelasa sebeluma diketaui bawa spektum eegi quatum well agak kompleks da tedii dai sub-sub eegi. Spektum eegi masig-masig subbad tumpag tidi satu sama lai pada k tetetu. Kaea fakto tesebut tekadag lebi ama meliat fakto peguuga elekto diataka dalam apat keadaa eegia. Rapat keadaa eegi g ( ) secaa umum didefiisika ( ) ( ) g δ v (.6) v dega v da v betuut-tuut adala bilaga kuatum da eegi pada bilaga kuatum v tetetu. Bilaga kuatum v melibatka bilaga kuatum bilaga kuatum spi s da vekto dua-dimesi k. Seigga v { s k } da apat keadaa eegi quatum well mejadi ( k k ) ( ) + g δ (.7) k k m Fakto meataka elekto dapat beada pada keadaa spi up maupu spi dow. Utuk megitug ugkapa aki apat keadaa eegi quatum well telebi daulu didefiisika luas aea quatum well: S dega da 9

6 betuut-tuut adala ukua quatum well pada sumbu- da sumbu- da dai ilai k da k ag mugki jika diasumsika saat batas siklika pada sumbu- da sumbu- k l π k π l l... (.8) Seigga betuk somasi pesamaa (.7) diuba mejadi betuk itegal beikut k k ( ) ( π ) dk dk l ( ) (.9) valuasi pesamaa (.7) megguaka betuk itegal pesamaa (.9) dapat dipeole apat keadaa quatum well beikut g ( ) Θ( ) π dega Θ ( ) adala fugsi Heaviside step: ( ) utuk <. (.) Θ utuk > da Θ( ) Gamba.4: Rapat keadaa eegi quatum well da bulk mateial (gais putusputus). Pebedaa ataa bulk mateial da quatum well teletak pada bebeapa sub eegi teeda kaea utuk ag besa apat keadaa eegi quatum well ampi beimpita dega bulk mateial.

7 . Quatum Wies Pada pembaasa sebeluma diketaui bawa peguuga elekto pada satu dimesi saja tela meuba kaakteistik spektum eegi seta apat keadaa eegi sistem elekto jika dibadigka dega kaakteistik spektum eegi seta apat keadaa eegi sistem elekto pada bulk mateial. Pada bagia ii aka dibaas kaakteistik elekto dalam peguuga dua-dimesi ag dikeal dega istila quatum wies. Sala satu caa fabikasi quatum wies adala dega tekik etcig aki dega meeduksi lapisa mateial B da A sepeti teliat pada gamba.5. Gamba.5: Stuktu quatum wies... Fugsi Gelombag da Sub egi Fugsi gelombag elekto dalam stuktu quatum wies ag melibatka peguuga potesial dua dimesi ( z) V dapat ditulis ik ( z) e χ( z) ψ (.) Pesamaa Scödige utuk fugsi gelombag χ ( z) m + z + V χ χ ( z) ( z) ( z) (.) dega k m solusi ( z) adala eegi elekto pada sumbu- da sumbu-z. jika χ i dapat ditemuka ag bekaita dega eegi i disket maka aka didapat eegi total elekto beikut ag besifat

8 dega k i + (.3) m k adala vekto satu dimesi. Fugsi gelombag ( z) χ bekaita i dega tigkat eegi disket i ag telokalisasi pada bidag ( z). Hal tesebut megadug ati bawa elekto pada keadaa kuatum ke-i tekuug pada bidag ( z) di bawa pegau potesial peguug ( z) V. Pada kodisi tesebut elekto aa dapat begeak dega bebas pada aa sumbu- saja. Ugkapa potesial ( z) V ag sesuai da dapat diselesaika dega muda adala dega megambil betuk potesial beikut utuk z z V ( z) (.4) utuk z z z dega da z betuut-tuut adala dimesi quatum wies pada sumbu- da sumbu-z. Fugsi gelombag elekto ( z) χ dapat diataka sebagai pekalia ataa fugsi gelombag pada aa sumbu- da sumbu-z beikut ( z) χ( ) χ( z) χ (.5) Seigga solusi pesamaa Scödige utuk masig-masig sumbu mejadi χ ( ) si ( z) π Da eegi tekuatisasi i π z χ si 3... (.6) z z egi total elekto π + m z (.7) k π + m m + z (.8)

9 3 3.. Rapat Keadaa egi Quatum Wies Dega meujuk kembali pesamaa (.6) apat keadaa eegi quatum wies ditulis ( ) ( ) g g (.9) Kotibusi satu subbad teadap apat keadaa eegi quatum wies ( ) k m k g δ (.3) Fakto pada pesamaa (.3) bekaita dega spi elekto. Betuk somasi pesamaa (.3) tesebut kemudia diuba mejadi betuk itegal teadap seluu ilai k ag mugki seigga dipeole ugkapa aki apat keadaa eegi quatum wies beikut ( ) ( ) d m m k k g π δ π Θ (.3) Gamba.6: Rapat keadaa quatum wies. Secaa skematik apat keadaa eegi quatum wies ditujukka pada gamba.6. Jika dibadigka dega apat keadaa eegi quatum well kaakteistik kedua apat keadaa tesebut sagat bebeda. Utuk kasus quatum well apat

10 4 keadaa eegia beupa fugsi tagga sedagka quatum wies memiliki apat keadaa eegi ag ifiite pada titik teeda subbad-a da pelaa meuu seiig dega meigkata eegi kietik elekto..3 Quatum dot Pada pembaasa sebeluma tela dibaas peilaku elekto ag tekuug dalam semikodukto eteostuctue pada satu da dua dimesi peguuga ag meebabka tejadi kuatisasi spektum eegi elekto seigga megasilka sub-sub eegi pada satu da dua dimesi. Pada stuktu demikia masi meisaka deajat kebebasa elekto utuk begeak pada dua da satu dimesi. Pada bagia ii aka dibaas peilaku elekto ag tekuug dalam tiga dimesi atau dega kata lai seluu deajat kebebasa elekto mejadi tekuatisasi. Stuktu semacam ii meujukka sifat sepeti atom ag aka dibaas secaa medetail di bagia ii..3. Fugsi Gelombag da Tigkat-Tigkat egi Quatum dot Ketika meijau spektum eegi dai sebua sistem bedimesi ol pelu dikaji pesamaa Scödige bebas waktu: Ψ + VΨ Ψ (.3) m dega potesial ag meupaka fugsi dai tiga koodiat da meguug elekto pada tiga aa. Betuk potesial ag palig sedeaa utuk memodelka quatum dot adala potesial kotak: ( ) V z di dalam kotak (.3) di lua kotak. + Kotak ag dimaksud ole potesial tesebut dibatasi kodisi z z. 4

11 5 Gamba.7: Model quatum bo. Solusi pesamaa Scödige dega demikia aka bebetuk ψ 8 π π π z 3 ( z ) si si si 3 z z π m* z dega bilaga bulat positif. (.3) (.3) Uika solusi pesamaa Scödige utuk kotak kuatum sebagai model quatum dot ii teletak pada kemucula tiga bilaga kuatum disket ag beasal dai tiga aa kuatisasi. Keadaa ii beati tela dipeole tigkattigkat eegi ag becabag tiga da fugsi gelombag elekto telokalisasi pada seluu tiga dimesi dalam kotak. Secaa umum seluu eegi memiliki ilai ag bebeda atau tidak ada degeeasi. Aka tetapi jika dua atau seluu ukua dimesi kotak ( z) memiliki ilai ag sama atau pebadigaa bilaga bulat maka aka ada tigkat-tigkat eegi ag sama utuk ilai bilaga kuatum ag bebeda. Dega kata lai fugsi gelombag elekto ag bebeda dapat memiliki ilai eegi ag sama. Situasi ii megasilka keadaa degeeasi: satu tigkat eegi becabag dua jika dua dimesi kotak beilai sama da becabag eam jika kotak bea-bea bebetuk kubus. Spektum eegi disket iila ag membedaka kotak kuatum (sebagai model quatum dot) teadap betuk-betuk laia (quatum well da quatum wies). Dega pemecaa pesamaa Scödige ag tela diuaika sebeluma 5

12 6 tampak jelas kemucula sifat tigkat eegi pada quatum dot ag pada awala aa teamati utuk atom biasa. Jadi sagatla waja paa ilmuwa meebut quatum dot sebagai atificial atom. Kemiipa sifat ataa quatum dot dega atom juga dapat dega muda diliat pada kasus speical dot dega betuk potesial V() beikut V () R V R (.33) b dega adala besa dai suatu vekto beaa adial da R adala jai-jai quatum dot. Solusi pesamaa Scödige utuk kasus potesial di atas ag melibatka simeti bola dapat diselesaika dega metode sepaasi vaiabel dimaa solusi umum dai kasus di atas meupaka pekalia dai fugsi gelombag aa adial da fugsi gelombag aa azimutal beikut ( θ ϕ) R( ) ( θ φ) ψ Y l m (.34) Besaa l m bekaita dega bilaga kuatum magetik da poeksia teadap sumbu-z. Utuk fugsi beaa adial pesamaa Scödigea mejadi: dega ( ) χ + V eff m () χ() χ() ( l ) (.35) l χ ( ) R( ) V e ff () V () + (.36) Teliat bawa pesoala utuk kasus di atas dapat dieduksi mejadi pesoala satu-dimesi aki pada aa adial saja. Potesial efektif di atas aa begatug pada vaiabel l saja tetapi tidak begatug pada bilaga kuatum m. Dega demikia tigkat-tigkat eegi pada quatum dot tedegeeasi ole bilaga kuatum m (dega m l + ). Tigkat-tigkat eegi meupaka fugsi dai bilaga kuatum utama da bilaga kuatum l. 6

13 7 Dalam quatum dot elekto tekuug pada suatu sumu potesial ag memiliki kedalama sagat besa seigga dapat diasumsika bawa V b. Seigga fugsi gelombag pada aa adial mejadi R πk () J ( k ) l + / w (.37) dega J l ( ) adala fugsi Bessel speis da k w m. Fugsi Bessel sfeis ag didefiisika sebagai π jl( ) Jl+ /( ) (.38) dega megguaka fugsi duplikasi egede dipeole z / ( ) π ( ) z! z+ /! z+! (.39) s+ jl ( ) + +!! s+ l+ π ( ) ( )! / s π ( s l ) s l l ( ) ( s+ l)! s s s!s l! ( + + ) Utuk kasus kusus dipeole s ( ) ( s+ ) s s! j s+ l+ / (.4) si (.4) Selajuta fugsi Bessel sfeis utuk ode lebi tiggi dapat dipeole melalui umus ekusi beikut: ( ) l ( ) d j ( ) l jl jl + d (.4) 7

14 8.4. j j j j 3 j 4 Gamba.8: Fugsi Bessel speik ( l 4 ) utuk mecai tigkat-tigkat eegi pada quatum dot. Pada a (jai-jai dot) ausla dipeui R(a). Seigga aka-aka dai pesamaa j ( k a) l w aka meataka tigkat-tigkat eegi pada quatum dot. Dalam teoi spektum atom bilaga kuatum l 3 meataka obital s p d... Dega meguutka ilai aka-aka pesamaa ag besesuaia dega ilai eige eegi dipeole deet tigkat-tigkat eegi pada quatum dot s() p(6) d() s() f(4) p(6) Agka dalam kuug meujukka jumla elekto ag tedapat pada tiap tigkat eegi..3. Rapat Keadaa Quatum dot Tekuuga elekto dalam tiga sumbu koodiat pada kasus quatum dot bebetuk kotak meebabka apat keadaa eegia pu beupa sekumpula fugsi delta dega v ( ) 3 ( ) ( ) g δ v (.43) v. Pada kodisi ideal pucak-pucaka sagat sempit da tak beigga sepeti teliat pada gamba.8. 8

15 9 Gamba.9: Rapat keadaa eegi quatum dot. Utuk keadaa ata iteaksi ataa elekto-elekto da ketidakmuia mateial aka meebabka pelebaa tigkat-tigkat eegi disket. Sebagai asila pucak-pucak apat keadaa memiliki amplitudo ag beigga da leba tetetu. Aka tetapi semaki kecila ukua baa (sekita ode aomete) da tempeatu ag eda justu dapat meebabka apat keadaa quatum dot meuju sistem ideal. Dega megguaka bebeapa pedekata jumla keadaa pada volume ΔΔΔ zdapat dituuka dai umusa apat keadaa. Hasila adala 3 k ΔΔΔ z Δ ρ (.44) 3π dega k ( ) m* V ( ) / (.45) Itegasika pada seluu koodiat klasik utuk medapatka jumla keadaa eegi dalam sebua quatum dot aitu N ( m*) 3π 3/ t dddv( ) 3/ (.46) Sebagai coto utuk sebua kotak dega kedalama potesial beigga V b dapat dipeole 9

16 3/ ( m*) 3/ Nt V b z (.47) 3π Adaika seseoag membuat quatum dot dega z m V b ev da massa efektif elekto pada mateial quatum dot adala m* 67m maka didapatka jumla total keadaa elekto eegi di dalam kotak adala N t 75. Jumla elekto sebeaa ag tepeagkap dalam quatum dot seausa kuag dai N t tekait eduksi ole ketidakmuia mateial. Tekologi saat ii baka suda memugkika utuk megotol jumla pembawa muata telokalisasi dega pembeia tegaga lua..4 ksito Dalam Stuktu Kuatum ksito adala ikata pasaga elekto-ole ag disebabka peeapa poto pada semikodukto. Secaa kusus dapat dikataka bawa tedapat elekto di pita koduksi da ole di pita valesi semikodukto da keduaa salig beiteaksi melalui iteaksi Coulomb. ksito sedii bemuata etal. Tedapat dua jeis eksito aki eksito Mott-Waie da eksito Fekel. Iteaksi elekto-ole pada eksito Mott-Waie lema dega eegi ikata beada pada ode mev seigga pasaga elekto-ole tesebut elatif tepisa jau. Bebeda dega eksito Fekel dega eegi ikat beada pada ode mev iteaksi Coulomb ataa elekto da ole kuat. Gamba.: Jeis-jeis eksito.

17 Gamba.: Spektum optik eksito. ksito dapat diamati pada spektum peeapa semikodukto bulk. Pada umuma eksito mucul di bawa eegi gap semikodukto. Hal tesebut kaea eegi eksito lebi eda dibadigka dega eegi gap akibat peguaga ole eegi ikata semikodukto. ec g bidig dega g adala eegi gap.4. Jai-Jai Bo ksito da egi Ikat ksito Jai jai Bo pasaga elekto-ole diugkapka melalui pesamaa beikut m a ec a (.48) μ dega μ m da a betuut-tuut adala massa eduksi eksito kostata dielektik mateial massa diam elekto da jai-jai Bo ( a 58Α ). egi total eksito elatif teadap batas ioisasia adala pebedaaa ataa eegi kietika da eegi potesial Coulomb kaea tot q mv (.49) 4 π mv q (.5) 4π

18 dipeole ( ) m R m q m q tot μ μ π π (.5) dega R adala kostata Rdbeg. egi ikat eksito adala pebedaa eegi ataa pasaga elekto-ole pada obit tetetu da pada tak beigga m R m R bidig μ μ (.5).4. Cakupa Peguuga Tedapat tiga cakupa peguuga ag tekait dega stuktu ag tela dibaas aki cakupa peguuga kuat peguuga meega da peguuga lema. Ketiga cakupa tesebut begatug pada jai-jai Bo eksito. Peguuga kuat Jeis peguuga ii dapat dijumpai pada mateial ao beukua kecil. Ukua mateial lebi kecil dibadigka dega jai-jai Bo elekto da jai-jai Bo ole. Pada kodisi ii sifat optik mateial sagat didomiasi ole efek peguuga kuatum dai elekto da ole. Peguuga meega Pada kasus ii ukua mateial lebi besa dibadigka dega jai-jai Bo sala satu pembawa muata da lebi kecil dibadigka dega jai-jai Bo

19 3 pembawa muata laia. Kaea massa efektif elekto lebi kecil dibadigka dega massa efektif ole maka ukua mateial a B a < ab e <. Peguuga lema Pada kasus ii ukua mateial a a B ab e >. Sebagai kosekuesia eegi ikat eksito lebi besa dibadigka dega eegi peguuga elekto da ole. egi tasisi optika adala selisi ataa eegi gap da eegi ikat eksito. 3