BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konsep ruang metrik merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika analisis. Selama bertahun-tahun, para peneliti mencoba mengembangkan konsep ruang metrik. Pada 1992, S. G. Matthews mengembangkan ruang metrik menjadi ruang metrik parsial. Pengembangan ini didasari oleh permasalahan yang ditemukan dalam ilmu komputer. Program komputer tidak dapat memproses barisan tak hingga x = {x 0, x 1, } dalam waktu yang terbatas. Oleh karena itu, dilakukan pembatasan sampai suku tertentu. Akibatnya, data yang diproses tidak lengkap. Jika jarak dua barisan dalam himpunan semua barisan berhingga dan tak hingga adalah d( x, ȳ) = 2 k, dengan k adalah bilangan terbesar sehingga x i = y i, i < k, maka dua barisan yang sama belum tentu memiliki jarak nol, sebab suku-suku barisan bisa sama jika terdefinisi. Permasalahan tersebut melatarbelakangi pengembangan konsep metrik, dengan menambahkan sifat jarak suatu titik dengan dirinya sendiri tidak harus nol, yang kemudian lebih dikenal dengan metrik parsial. Berbeda halnya dengan pengembangan yang dilakukan oleh Matthews, pada 2007, Long-Guang dan Xian mengembangkan konsep metrik dengan mengganti nilai metrik yang semula berupa bilangan real dengan suatu nilai di dalam ruang Banach real terurut. Di dalam ruang Banach real tersebut, didefinisikan suatu himpunan tak kosong, dengan sifat-sifat khusus, yang dinamakan cone. Dengan mendefinisikan suatu urutan parsial yang relatif terhadap cone di dalam ruang Banach, cone memiliki kemiripan dengan himpunan bilangan real tak negatif di dalam sistem bilangan real, misalnya setiap x anggota cone, berlaku 0 x. Lebih lanjut, himpunan bilangan real tak negatif merupakan salah satu contoh cone. Dengan mengganti nilai metrik yang semula berupa bilangan real tak negatif menjadi suatu 1

2 2 vektor di dalam cone, maka diperoleh suatu pengembangan baru dari konsep metrik, yang dinamakan metrik cone. Pada metrik cone jarak dua titik tidak hanya dapat dinyatakan dalam bilangan real, tetapi dapat dinyatakan dalam bentuk vektor, baik itu berupa fungsi, matriks, atau vektor lainnya. Contohnya, jarak dua kota dapat dinyatakan dalam (a, b), dengan a menyatakan jarak dalam artian panjang lintasan, dan b menyatakan waktu tempuh dengan kecepatan rata-rata yang konstan. Melihat kelebihan dari konsep metrik parsial dan metrik cone, beberapa peneliti menggabungkan kedua konsep tersebut sehingga diperoleh suatu konsep baru terkait dengan metrik, yang nilainya berupa vektor dan jarak suatu titik dengan dirinya sendiri tidak harus nol. Pengembangan ini, selanjutnya disebut dengan metrik cone parsial. Konsep metrik parsial merupakan perumuman dari konsep metrik. Oleh karena itu, setiap ruang metrik merupakan ruang metrik parsial. Dari suatu ruang metrik parsial (X, p) dapat dibentuk ruang metrik (X, d p ), dengan d p (x, y) = 2p(x, y) p(x, x) p(y, y), untuk setiap x, y X. Dalam Ansar (2013), disebutkan bahwa salah satu sifat dari ruang metrik (X, d p ) adalah (X, d p ) merupakan ruang metrik lengkap jika dan hanya jika (X, p) merupakan ruang metrik parsial lengkap. Berdasarkan pejelasan tersebut, dapat dibentuk ruang metrik cone dari suatu ruang metrik cone parsial. Salah satu teori yang erat kaitannya dengan ruang metrik adalah teori titik tetap. Teori titik tetap menarik untuk dipelajari karena memiliki banyak peranan, baik dalam pengembangan teori matematika maupun penerapannya, beberapa di antaranya adalah dalam permasalahan persamaan integral, persamaan diferensial, persamaan matriks, sistem dinamik, dan ekonomi. Oleh karena itu, banyak peneliti yang mengembangkan teori titik tetap. Pengembangan teori titik tetap dapat dilakukan pada bagian pemetaan yang digunakan, ataupun pada himpunan atau ruang yang merupakan domain dari pemetaan tersebut. Ini berarti, selain di ruang metrik, teori titik tetap juga dapat dikembangkan di ruang metrik parsial, ruang metrik cone, dan ruang metrik cone parsial. Pengembangan teori titik tetap di ruang metrik

3 3 parsial sudah dilakukan oleh Matthews (1992), Bukatin, dkk. (2009), dan Ansar (2013). Selain Long-Guang dan Xian (2007), teorema titik tetap di ruang metrik cone juga sudah dibahas oleh Rezapour dan Hamlbarani (2008), bahkan Aage dan Salunke (2009) sudah membahas tentang teorema titik tetap bersama di ruang metrik cone. Konsep ruang metrik cone parsial dan beberapa teorema titik tetap sudah pernah dibahas oleh Sonmez (2012) yang kemudian dilanjutkan oleh Dey dan Saha (2013), namun teorema tersebut masih mensyaratkan cone normal dan kondisi kontraksi yang digunakan masih sama dengan kondisi kontraksi di ruang metrik cone yang diberikan dalam Long-Guang dan Xian (2007). Dalam penelitian ini, penulis bermaksud membahas tentang ruang metrik cone dan teorema titik tetap di dalamnya, serta membangun sifat-sifat di ruang metrik cone parsial dengan memperhatikan sifat-sifat yang ada di ruang metrik cone dan ruang metrik parsial. Penulis juga bermaksud mengembangkan teorema titik tetap di ruang metrik cone parsial dengan cone yang berkaitan tidak harus normal Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Membahas tentang ruang metrik cone dan teorema titik tetap di ruang metrik cone. 2. Membahas tentang definisi dan contoh ruang metrik cone parsial. 3. Membangun konsep-konsep topologi dalam ruang metrik cone parsial. 4. Membentuk ruang metrik cone berdasarkan suatu ruang metrik cone parsial dan menyelidiki sifat-sifatnya. 5. Membangun teorema-teorema titik tetap di ruang metrik cone parsial.

4 Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk lebih memperjelas pemahaman tentang sifat-sifat ruang metrik cone dan ruang metrik cone parsial. Selain itu, dalam penelitian ini, akan dibahas tentang pengembangan teorema titik tetap di ruang metrik cone parsial, yang merupakan perumuman dari teorema titik tetap di ruang metrik cone dan ruang metrik parsial. Pengembangan konsep ruang metrik dan teorema titik tetap ini diharapkan dapat membawa manfaat untuk membantu mengembangkan ilmu di bidang matematika analisis maupun penerapannya, terutama untuk konsep dengan sifat jarak suatu titik dengan dirinya sendiri tidak harus nol Tinjauan Pustaka Konsep ruang metrik merupakan salah satu konsep dasar dalam mempelajari matematika analisis. Dalam Royden (1988), ruang metrik (X, d) didefinisikan sebagai himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi bernilai real d yang terdefinisi pada X X, dengan sifat, untuk setiap x, y, dan z di dalam X berlaku: (i) d(x, y) 0; (ii) d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x); dan (iv) d(x, y) d(x, z)+d(z, y). Fungsi d disebut metrik. Penjelasan lebih lanjut tentang ruang metrik, dan teori titik tetap di ruang metrik diberikan dalam Royden (1988), Kreyszig (1978), Khamsi dan Kirk (2001), serta Agarwal, dkk. (2004). Selanjutnya, definisi metrik tersebut diperumum oleh Matthews (1992) dengan sifat, jarak suatu titik dengan dirinya sendiri tidak harus nol, yang selanjutnya dikenal dengan metrik parsial. Dalam Bukatin, dkk. (2009), metrik parsial p pada himpunan tak kosong X didefinisikan sebagai fungsi bernilai real pada X X, dengan sifat, untuk setiap x, y, z X berlaku : (i) 0 p(x, x) p(x, y); (ii) p(x, y) = p(x, x) = p(y, y) x = y; (iii) p(x, y) = p(y, x); dan (iv) p(x, y) p(x, z) + p(z, y) p(z, z). Himpunan X dilengkapi dengan metrik parsial p disebut ruang metrik parsial. Pada ruang metrik parsial, Matthews (1992) mendefinisikan kekonvergenan barisan serta memberikan teorema titik tetap untuk

5 5 pemetaan kontraksi f : X X dengan kondisi, terdapat k [0, 1), sehingga untuk setiap x, y X berlaku p(f(x), f(y)) p(f(x), f(x)) k (p(x, y) p(x, x)). Ruang metrik parsial juga pernah dibahas oleh Ansar (2013). Dalam Ansar (2013), diperlihatkan bahwa ruang metrik (X, d p ), yang dibentuk dari ruang metrik parsial (X, p) memiliki beberapa sifat, salah satunya (X, d p ) merupakan ruang metrik lengkap jika dan hanya jika (X, p) merupakan ruang metrik parsial lengkap. Selain pengembangan oleh Matthews, pengembangan konsep metrik juga dilakukan oleh Long-Guang dan Xian (2007). Long-Guang dan Xian (2007) tidak selalu menggunakan fungsi bernilai real sebagai metrik. Untuk suatu himpunan tak kosong X, Long-Guang dan Xian mendefinisikan metrik sebagai fungsi dari X X ke suatu ruang Banach terurut E. Mula-mula, Long-Guang dan Xian (2007) mendefinisikan sebuah himpunan, yang dinamakan cone, yang merupakan subset dari suatu ruang Banach real. Dalam penelitian ini, akan digunakan ruang bernorma untuk menggantikan ruang Banach. Penjelasan tentang ruang bernorma diberikan dalam Royden (1988) dan Kreyszig (1978). Himpunan P di dalam ruang bernorma E disebut cone jika memenuhi: (i) P tertutup, tak kosong, dan P {0}; (ii) a, b R, a, b 0, x, y P ax + by P ; dan (iii) x, x P x = 0. Dari cone yang diberikan, kemudian didefinisikan urutan parsial dalam ruang bernorma tersebut, dan didefinisikan pula cone normal dan cone regular. Berdasarkan Long-Guang dan Xian (2007), pemetaan d : X X E disebut metrik cone pada X jika untuk setiap x, y, z X, berlaku: (i) 0 d(x, y); (ii) d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x); dan (iv) d(x, y) d(x, z) + d(y, z). Pada ruang metrik cone, jarak dua buah titik tidak harus berupa bilangan real, dapat bernilai vektor. Adapun teorema titik tetap yang diberikan oleh Long-Guang dan Xian (2007) menggunakan kondisi kontraktif d(t (x), T (y)) L d(x, y), untuk setiap x, y X dengan konstanta L [0, 1), dan mensyaratkan cone terkait harus normal. Long-Guang dan Xian juga memberikan teorema titik tetap untuk pemetaan yang memenuhi kondisi d(t (x), T (y)) k(d(t (x), x) + d(t (y), y)), untuk setiap x, y X, dengan k [0, 1 ) serta pemetaan yang memenuhi kondi- 2 si d(t (x), T (y)) k(d(t (x), y) + d(t (y), x)), untuk setiap x, y X, dengan

6 6 k [0, 1 ). Penjelasan lebih lanjut tentang ruang metrik cone dan teorema titik te- 2 tap pada ruang metrik cone juga diberikan dalam Rezapour dan Hamlbarani (2008), serta dalam Aage dan Salunke (2009). Rezapour dan Hamlbarani (2008) memperumum beberapa teorema titik tetap yang diberikan dalam Long-Guang dan Xian (2007) dengan mengabaikan kenormalan dari cone yang digunakan. Di sisi lain, Aage dan Salunke (2009) memberikan teorema tentang titik tetap bersama untuk pemetaan T, S : X X di ruang metrik cone (X, d). Selanjutnya, dalam Sonmez (2012), pengembangan yang sudah dikerjakan oleh Matthews (1992) dan Long-Guang dan Xian (2007) digabungkan, sehingga diperoleh konsep yang lebih luas, yang dinamakan ruang metrik cone parsial. Adapun teorema titik tetap yang diberikan dalam Sonmez (2012), menggunakan kondisi kontraktif seperti pada ruang metrik cone yang diberikan oleh Long-Guang dan Xian (2007). Selanjutnya, Dey dan Saha (2013) melanjutkan pembahasan yang diberikan Sonmez (2012) dengan menambahkan teorema titik tetap untuk pemetaan-pemetaan dengan kondisi yang diberikan dalam Long-Guang dan Xian (2007). Teorema-teorema titik tetap yang sudah diberikan, baik dalam Sonmez (2012) ataupun dalam Dey dan Saha (2013) masih mensyaratkan cone yang digunakan harus normal Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Terlebih dahulu dikumpulkan dan dipelajari literatur-literatur terkait. Setelah mempelajari literatur-literatur tersebut, penelitian dilanjutkan dengan tahapan sebagai berikut. Pertama, penelitian ditujukan pada ruang metrik cone dan teorema titik tetap di ruang tersebut. Pada tahap ini, dilakukan penyederhanaan terhadap relasi yang digunakan. Dalam Long-Guang dan Xian (2007) dan literatur lainnya, didefinisikan relasi yang relatif terhadap suatu cone P di dalam ruang bernorma E sebagai berikut. Untuk setiap x, y E, (i) x y y x P, (ii) x y x y tetapi x y, dan (iii) x y y x intp. Di dalam penelitian ini, re-

7 7 lasi yang digunakan hanya relasi (i) dan (ii), sehingga semua definisi dan sifat di dalam ruang metrik cone perlu penyesuaian. Selain itu, teorema-teorema titik tetap yang diberikan mengabaikan kenormalan dari cone yang terkait, serta diberikan pembuktian yang lebih detail. Kedua, penelitian difokuskan pada ruang metrik cone parsial. Disini dibahas hubungan ruang metrik, ruang metrik cone, ruang metrik parsial, dan ruang metrik cone parsial, serta diberikan contoh-contoh tentang ruang metrik cone parsial. Dari sifat-sifat ruang metrik cone, akan dibangun konsep-konsep topologi dari ruang mmetrik cone parsial, dengan memperhatikan konsep-konsep di ruang metrik parsial. Ketiga, ditunjukkan bahwa dari suatu ruang metrik cone parsial (X, p) dapat didefinisikan suatu ruang metrik cone (X, d p ) terhadap cone yang sama, dan diselidiki sifat-sifatnya. Keempat, penelitian diarahkan untuk membangun teorema-teorema titik tetap di ruang metrik cone parsial. Teorema-teorema tersebut dibangun berdasarkan teorema-teorema yang diperoleh pada tahap pertama, yang mengabaikan kenormalan dari cone terkait. Selanjutnya, diselidiki pula akibat dari teorema yang diperoleh Sistematika Penulisan Dalam tesis ini, hasil penelitian akan dibagi ke dalam lima bab. Dalam BAB I, yaitu pendahuluan, dibahas mengenai latar belakang permasalahan, rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan tesis. Selanjutnya, dalam BAB II, yaitu dasar teori, dibahas mengenai teorema titik tetap di ruang metrik, ruang bernorma, dan teorema titik tetap di ruang metrik parsial. Kemudian dilanjutkan ke BAB III dan BAB IV, yaitu pembahasan dari hasil penelitian. BAB III difokuskan untuk membahas teorema titik tetap di ruang metrik

8 8 cone, sedangkan dalam BAB IV, difokuskan untuk membahas teorema titik tetap di ruang metrik cone parsial. Terakhir, dalam BAB V memuat kesimpulan dan saran dari hasil penelitian.